Coursoscforcee_002

1er cas : m ω 2 < k ⇒ ω < ω 0 2ème cas : m ω 2 > k ⇒ ω > ω 0 3ème cas : m ω 2 = k ⇒ ω = ω 0 ax. ph. mω ω02xm

Fm

ax. ph.

ax. ph. 2

hω ωxm

Fm

ωxm ϕ’

ϕ

Fm

hω ω0xm

ϕ

k.xm -

mω ω2xm

mω ω xm

k.xm

π <φ < 0 2

-π< φ <

k.xm

π 2

φ=-

π 2

x(t) est toujours en retard de phase par rapport à F(t)
Calcul de xm : 1er cas : ω≠ ω 0 (ω ω> ω0 ou ω< ω0 ) 2 2 Fm = ( hω ωxm ) + ( kxm - mω ω2xm )2 ⇒

Fm

xm =

2ème cas : ω = ω 0 Fm = hω ω0xm ⇒ xm = Fm

2 2

h ω + (k - mω2 )2

( résultat qu’on peut retrouver en utilisant l’expression précédente pour ω =ω ω0 )

hω 0


Calcul de ϕ : 1er cas : ω <ω0 hωx m π - < ϕ < 0 ⇒ tgϕ ϕ < 0 D’où tgϕ ϕ= 2 2 mω x m - kx m

soit

tgϕ=

hω mω 2 - k

2ème cas : ω> ω0 -π π <ϕ < -

π π π ; posons ϕ = ϕ’ + avec - < ϕ’ < 0 ⇒ tgϕ ϕ’ < 0 2 2 2

Donc tgϕ ϕ’ =

k - mω 2

π 2

et tgϕ ϕ = tg(ϕ ϕ’ +

hω

)=

π sin(φ'+ ) 2 π cos(φ'+ ) 2

=

cos φ' sin φ'

=-

1 tgφ'

soit

tgϕ ϕ=

hω mω 2 - k

Résonance d’amplitude : xm est max.⇒ ⇒ [ h2ω2 + ( k - mω ω2)2 ] est min⇒ ⇒

d [ h2ω2 dω

+ ( k - mω ω)2 ] = 0

⇒ 2 h2 ωR + 2( k - m ω2R ).( - 2.m. ωR ) = 0 ⇒ 2 ω R [ h 2 - 2m.( k - m ω 2R ) ] = 0 2

⇒ h - 2m k + 2m 2

ω2R

=0

⇒

ω2R

=

k m

-

h2 2m

2

soit

ω 2R = ω 02 -

h2 2m 2

Remarque : ωR =

2 π N R et ω 0 = 2 π N 0 2

2

Donc, la relation précédente devient : (2 π N R ) = (2 π N 0 ) -

h2 2m 2

soit

N 2R = N 02 -

h2 8π 2m 2

Pour h = 0, N R = N 0 (cas idéal) Pour h ≠ 0 , N R < N 0 et si h  alors N R
et N R s’éloigne de plus en plus de N 0 . 2