Coursebook 2nd Issue
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- Words: 7,587
- Pages: 89
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¢ËÌ‹ÙÚÈÔ˜ ¶ÓÂ˘Ì·ÙÈÎfi˜
M·ıËÌ·ÙÈο Aã ¢ËÌÔÙÈÎÔ‡ M·ıËÌ·ÙÈο Ù˘ º‡Û˘ Î·È Ù˘ Zˆ‹˜
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¢EYTEPO TEYXO™
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Aı·Ó¿ÛÈÔ˜ £ÂÔ‰ÒÚÔ˘
EP°O ™Y°XPHMATO¢OTOYMENO 75% A¶O TO EYPø¶A´KO KOINøNIKO TAMEIO KAI 25% A¶O E£NIKOY™ ¶OPOY™
‚ã Ù‡¯Ô˜ OP°ANI™MO™ EK¢O™Eø™ ¢I¢AKTIKøN BIB§IøN
set 960-06 -1834-8 T. Bã 960-06 -1836-4
A£HNA
M·ıËÌ·ÙÈο Aã¢ËÌÔÙÈÎÔ‡ M·ıËÌ·ÙÈο Ù˘ º‡Û˘ Î·È Ù˘ Zˆ‹˜
¢EYTEPO TEYXO™
™Y°°PAºEI™
KPITE™-A•IO§O°HTE™
EIKONO°PAºH™H ºI§O§O°IKH E¶IME§EIA Y¶EY£YNO™ TOY MA£HMATO™ KATA TH ™Y°°PAºH Y¶EY£YNH TOY Y¶OEP°OY
E•øºY§§O ¶POEKTY¶øTIKE™ EP°A™IE™
÷ڿϷÌÔ˜ §ÂÌÔÓ›‰Ë˜, ∫·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ ¢˘ÙÈ΋˜ ª·Î‰ÔÓ›·˜ Aı·Ó¿ÛÈÔ˜ £ÂÔ‰ÒÚÔ˘, ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ A¯ÈÏϤ·˜ K·„¿Ï˘, K·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ M·Î‰ÔÓ›·˜ ¢ËÌ‹ÙÚÈÔ˜ ¶ÓÂ˘Ì·ÙÈÎfi˜, §¤ÎÙÔÚ·˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ ¢˘ÙÈ΋˜ M·Î‰ÔÓ›·˜ £ÂÔ‰fiÛÈÔ˜ Z·¯·ÚÈ¿‰Ë˜, AÓ·ÏËÚˆÙ‹˜ K·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ AıËÓÒÓ M·Ú›· KÔÙÛ·ÎÒÛÙ·, ™¯ÔÏÈ΋ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ £ÂfiÊÈÏÔ˜ T˙ÒÚÙ˙˘, ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜
∫ˆÓÛÙ·ÓÙ›ÓÔ˜ ∞ÚÒÓ˘, ™ÎÈÙÛÔÁÚ¿ÊÔ˜-∂ÈÎÔÓÔÁÚ¿ÊÔ˜ ºÚfiÛˆ •ÈÍ‹, ºÈÏfiÏÔÁÔ˜
°ÂÒÚÁÈÔ˜ ∆‡·˜, ªfiÓÈÌÔ˜ ¶¿Ú‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘ M·Ú›· XÈÔÓ›‰Ô˘-MÔÛÎÔÊfiÁÏÔ˘, E›ÎÔ˘ÚÔ˜ K·ıËÁ‹ÙÚÈ· ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ AÈÁ·›Ô˘ AÓ‰Ú¤·˜ °ÎÔÏÊÈÓfiÔ˘ÏÔ˜, ∂ÈηÛÙÈÎfi˜ ∫·ÏÏÈÙ¤¯Ó˘
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°ã ∫.¶.™. / ∂¶∂∞∂∫ ππ / ∂Ó¤ÚÁÂÈ· 2.2.1. / ∫·ÙËÁÔÚ›· ¶Ú¿ÍÂˆÓ 2.2.1.·: «∞Ó·ÌfiÚʈÛË ÙˆÓ ÚÔÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ ÛÔ˘‰ÒÓ Î·È Û˘ÁÁÚ·Ê‹ Ó¤ˆÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ ·Î¤ÙˆÓ» ¶∞π¢∞°ø°π∫√ π¡™∆π∆√À∆√ ªÈ¯¿Ï˘ ∞Á. ¶··‰fiÔ˘ÏÔ˜ √ÌfiÙÈÌÔ˜ ∫·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ∞.¶.£. ¶Úfi‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘ ¶Ú¿ÍË Ì ٛÙÏÔ:
«™˘ÁÁÚ·Ê‹ Ó¤ˆÓ ‚È‚Ï›ˆÓ Î·È ·Ú·ÁˆÁ‹ ˘ÔÛÙËÚÈÎÙÈÎÔ‡ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ‡ ˘ÏÈÎÔ‡ Ì ‚¿ÛË ÙÔ ¢∂¶¶™ Î·È Ù· ∞¶™ ÁÈ· ÙÔ ¢ËÌÔÙÈÎfi Î·È ÙÔ NËÈ·ÁˆÁ›Ի ∂ÈÛÙËÌÔÓÈÎfi˜ À‡ı˘ÓÔ˜ ŒÚÁÔ˘ °ÂÒÚÁÈÔ˜ ∆‡·˜ MfiÓÈÌÔ˜ ¶¿Ú‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘ ∞Ó·ÏËÚˆÙ‹˜ ∂ÈÛÙËÌÔÓÈÎfi˜ À‡ı˘ÓÔ˜ ŒÚÁÔ˘ °ÂÒÚÁÈÔ˜ √ÈÎÔÓfiÌÔ˘ MfiÓÈÌÔ˜ ¶¿Ú‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘
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¶Ú¿ÍÂȘ °ÂˆÌÂÙÚ›· MÂÙÚ‹ÛÂȘ ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· E·Ó¿ÏË„Ë
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(ۇ̂ÔÏ· ÎÏÂȉȿ)
™ÙËÓ Â¿Óˆ ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÁˆÓ›· οı ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ·fi Ù· ·ÎfiÏÔ˘ı· ۇ̂ÔÏ·: O ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ Ô˘ ÛΤÊÙÂÙ·È - ™‡Ì‚ÔÏÔ ÛΤ„˘:: EÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È Û ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ ÓÔÂÚÒÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÒÓ. H ̤ÏÈÛÛ· - ™‡Ì‚ÔÏÔ ÂÚÁ·ÙÈÎfiÙËÙ·˜: EÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È Û ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ Î·È Â̤‰ˆÛ˘. O Û·ÏÔ˜ ȯÓËÏ¿Ù˘ - ™‡Ì‚ÔÏÔ ·Ó·Î¿Ï˘„˘ : EÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙȘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ÂÈÛ¿ÁÔ˘Ó ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÛÙË Ó¤· ÁÓÒÛË. O ÂϤʷÓÙ·˜ - ™‡Ì‚ÔÏÔ ÌÓ‹Ì˘: EÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙȘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ ·ӿÏ˄˘. OÌ¿‰· Ì·ıËÙÒÓ - ™‡Ì‚ÔÏÔ ÔÌ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜: EÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È Û ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Ô˘ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· Á›ÓÔ˘Ó Û ÔÌ¿‰Â˜.
4
AÚÈıÌfi˜ ÛÂÏ›‰·˜
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¢È‰·ÎÙÈÎÔ› ÛÙfi¯ÔÈ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
™ËÌ›ˆÛË ÁÈ· ÙÔ ‰¿ÛηÏÔ ÛÙÔ˘˜ ÓÔÂÚÔ‡˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ 5
OÈ ‹ÚˆÂ˜ ÙÔ˘ ‚È‚ Ï›Ô˘ ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ Ô ™¿ÌÈÔ˜
(ÂÚ›Ô˘ 600 .Ã.)
O ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ ‹Ù·Ó ¤Ó·˜ ÛÔ˘‰·›Ô˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Ù˘ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜ Ô˘ ÁÂÓÓ‹ıËΠÛÙË ™¿ÌÔ. ÿ‰Ú˘Û ÌÈ· Û¯ÔÏ‹, ÙË Û¯ÔÏ‹ ÙˆÓ ¶˘ı·ÁÔÚ›ˆÓ, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÌÂÏÂÙÔ‡Û·Ó ÙË ÊÈÏÔÛÔÊ›·, Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο Î·È ÙȘ ÂÈÛً̘. ∂›¯Â ‰·ÛοÏÔ˘˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˘˜ ÛÔÊÔ‡˜ Ù˘ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜ Î·È Ù·Í›‰Â„ ÛÙËÓ ∞Û›· Î·È ÙËÓ ∞›Á˘ÙÔ fiÔ˘ ÌÂϤÙËÛ ÙËÓ ·ÈÁ˘Ùȷ΋ ÊÈÏÔÛÔÊ›·, Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο, ÙËÓ ·ÛÙÚÔÓÔÌ›· Î·È ÙËÓ È·ÙÚÈ΋. O ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ ¤ÌÂÈÓ ÁÓˆÛÙfi˜ ˆ˜ Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ Ô˘ ¤‚Ï ·ÓÙÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
O ¶˘ı·ÁfiÚ·˜
H KÔÚ›Ó·
6
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(370-415 Ì.Ã.)
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7
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°ÂˆÌÂÙÚ›· MÂÙÚ‹ÛÂȘ ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
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¢ÔÌ‹ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘
4-5
OÈ ‹ÚˆÂ˜ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘
6-7
¶ÂÚȯfiÌÂÓ·
8-9
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EÓfiÙËÙ· 7Ë:
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Bã ¶ÂÚ›Ô‰Ô˜ ∞ÚÈıÌÔ›: ¶Ú¿ÍÂȘ:
°ÂˆÌÂÙÚ›·: ªÂÙÚ‹ÛÂȘ:
√È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 50 – ™‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘, ÌÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜. ∞Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜ ̤¯ÚÈ ÙÔ 10 – ∞ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ì ÔÏÏÔ‡˜ fiÚÔ˘˜ – ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Ì ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜. ÿڷÍË ÁÚ·ÌÌÒÓ – ∫›ÓËÛË Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› – °ÂˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·. ªÔÙ›‚· – √ ¯ÚfiÓÔ˜.
EÓfiÙËÙ· 5Ë:
√π ∞ƒπ£ª√π ª∂Ãπ ∆√ 50, ª√¡∞¢∂™ ∫∞π ¢∂∫∞¢∂™ – ∆∂∆ƒ∞°ø¡π™ª∂¡√ Ã∞ƒ∆π
4 5 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 45Ô:
÷ڿÍÂȘ, ·˙Ï Î·È ÌˆÛ·˚ο
38-39
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 46Ô:
4 6 ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ‰È„‹ÊÈˆÓ Î·È ÌÔÓÔ„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ
40-41
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 47Ô:
4 7 ∏ ÚfiÛıÂÛË Î·È Ë ·Ê·›ÚÂÛË ˆ˜ 48
·ÓÙ›ÛÙÚÔʘ Ú¿ÍÂȘ – ∏ ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜
42-43
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 48Ô: ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› – ∂ÈÛÙÚÔÊ‹ ÛÙËÓ ÂÓÙ¿‰·
44-45
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 49Ô:
33
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 33Ô: √ÚÁ¿ÓˆÛË Û˘ÏÏÔÁÒÓ – √È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 50
12-13
34
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 34Ô: ªÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜ (π)
14-15
5 0 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
35
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 35Ô: ∞ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ì ÔÏÏÔ‡˜ fiÚÔ˘˜
16-17
5 1 ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
36
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 36Ô: ∫›ÓËÛË Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ›
18-19
37
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 37Ô: ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
20-21
EÓfiÙËÙ· 8Ë: √π ∞ƒπ£ª√π ª∂Ãπ ∆√ 70 – ¶ƒ∞•∂π™ – ª∂∆ƒ∏™∏ – ™Àªª∂∆ƒπ∞
38
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 38Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
22-23
5 2 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 52Ô:
4 9 ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË – ¢È„‹ÊÈÔÈ Î·È ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 50fi:
√È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 70
54-55
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 39Ô: ªÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜ (ππ)
40
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 40fi: °ÂˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·
41
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 41Ô: √ ¯ÚfiÓÔ˜
42
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 42Ô: ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Ì ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜
32-33
43
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 43Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
34-35
26-27 28-29 30-31
56-57
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 54Ô:
5 4 ª¤ÙÚËÛË ÌÂÁÂıÒÓ
39
58-59
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 55Ô:
5 5 ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË ‰È„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ
60-61
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 56Ô:
5 6 ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙË Û˘ÌÌÂÙÚ›·
62-63
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 57Ô:
5 7 ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
64-65
EÓfiÙËÙ· 9Ë:
√π ∞ƒπ£ª√π ª∂Ãπ ∆√ 100 – ¶ƒ∞•∂π™ – µ∞ƒ√™ – °∂øª∂∆ƒπ∫∞ ™Ã∏ª∞∆∞
5 8 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 58Ô:
√È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 – ÃÚ‹Ì·
°ã ¶ÂÚ›Ô‰Ô˜
ªÂÙÚ‹ÛÂȘ:
50-51
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 53Ô:
5 3 ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi
ª√¡∞¢∂™ ∫∞π ¢∂∫∞¢∂™ – °∂øª∂∆ƒπ∫∞ ™Ã∏ª∞∆∞ – Ã√¡√™
°ÂˆÌÂÙÚ›·:
48-49
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 51Ô:
EÓfiÙËÙ· 6Ë:
∞ÚÈıÌÔ›: ¶Ú¿ÍÂȘ:
46-47
√È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 100. ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ‰È„‹ÊÈˆÓ Î·È ÌÔÓÔ„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ – ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ Ì ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜ – ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜. ÷ڿÍÂȘ, ·˙Ï, Ï·ÎfiÛÙÚˆÙÔ Î·È ÌˆÛ·˚ο – °ÂˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù· – ™˘ÌÌÂÙÚ›·. ª¤ÙÚËÛË Û˘Ó¯ÒÓ ÌÂÁÂıÒÓ – µ¿ÚÔ˜ – ¡ÔÌ›ÛÌ·Ù·.
68-69
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 59Ô:
5 9 ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Î·È ‰È·›ÚÂÛË 60
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 60fi: µ¿ÚÔ˜ – §ÂÈÙÔ˘ÚÁ›· ˙˘Á·ÚÈ¿˜
70-71 72-73
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 61Ô:
6 1 ÷ڿÍÂȘ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ – ¶·˙Ï Î·È Ï·ÎfiÛÙÚˆÙÔ
74-75
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 62Ô:
6 2 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
76-77
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 63Ô:
6 3 ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
78-79
9
Ù fi Ë Ó Ù · E 1 5 x 5 8 42 2 96538-7 EÓfiÙËÙ· 5Ë:
API£MOI MEXPI TO 50, MONA¢E™ KAI ¢EKA¢E™ – TETPA°øNI™MENO XAPTI
33
Ë
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 33Ô: √ÚÁ¿ÓˆÛË Û˘ÏÏÔÁÒÓ – AÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 50
34
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 34Ô: ªÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜ (π)
35
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 35Ô: ∞ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ì ÔÏÏÔ‡˜ fiÚÔ˘˜
36
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 36Ô: ∫›ÓËÛË Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ›
37
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 37Ô: ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
38
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 38Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
™Ù· ∫ÂÊ¿Ï·È· 33 Î·È 34 ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ·ÚÈıÌËÙ‹ÚÈÔ, Ù· ˙¿ÚÈ·, Ù· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· Î·È ¿ÏÏ· ˘ÏÈο Ù¤ÙÔÈ·, Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÔÚÁ·ÓˆÌ¤ÓË ‰ÔÌ‹ Ì ‚¿ÛË ÙË ‰Âο‰· Î·È ÙËÓ ÂÓÙ¿‰·. ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 35 ı· ·›ÍÔ˘Ì ·Ú¯Èο ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÙÔ ·È¯Ó›‰È «O ·ÚÈıÌfi˜-ÛÙfi¯Ô˜» ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ·ÛÎËıԇ̠۠·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ·fi ‰‡Ô fiÚÔ˘˜. ∫·ÙfiÈÓ ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 36, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÂÍÔÈÎÂȈıԇ̠̠ÙËÓ Î›ÓËÛË Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ›, ı· ·›ÍÔ˘Ì ̤۷ ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÙÔ ·È¯Ó›‰È Ì ÙÔ ı¤·ÙÚÔ. ™ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·.
¶fiÛÔÈ Â›Ó·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÌÔ˘
1 2 3 4 5
1Ë 1
2
3
2Ë 1 3Ë 1
2
3
2
3
4Ë 1
2
3
5Ë 1
2
3
33
OÚÁ¿ÓˆÛË Û˘ÏÏÔÁÒÓ – ∞ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 50
1 O Ù·Ì›·˜ ∞ÓÙ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Ì ‰¤Î· Ú¿ÛÈÓ˜ Ì¿ÚΘ Ì ̛· ÎfiÎÎÈÓË.
◗ ¶fiÛ˘ ·Í›·˜ Ì¿ÚΘ ¤¯ÂÈ Ô ¶˘ı·ÁfiÚ·˜; ...... ◗ ¶fiÛ˘ ·Í›·˜ Ì¿ÚΘ ¤¯ÂÈ Ë À·Ù›·;
......
◗ ¶ÔÈo˜ ¤¯ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˘ ·Í›·˜ Ì¿ÚΘ; ...... ªÂÙÚÔ‡ÌÂ Î·È ·ÓÙ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Ì ÙȘ Ì¿ÚΘ. ∞ÓÙ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Ì ‰¤Î· Ú¿ÛÈÓ˜ Ì¿ÚΘ Ì ̛· ÎfiÎÎÈÓË.
AÔÙ¤ÏÂÛÌ·
2 5 AÔÙ¤ÏÂÛÌ·
AÔÙ¤ÏÂÛÌ·
12
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË ‰¤Î· ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ Ì ¤Ó· ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ›Û˘ ·Í›·˜.
ÂÓfiÙËÙ· 5 Ë
2
ªÂÙÚÒ Ì¤¯ÚÈ ÙÔ 50.
10 3 °Ú¿Êˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·.
1
5
4
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20
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ÙÚÈ¿ÓÙ·
ÙÚÈ¿ÓÙ· ¤ÓÙÂ
Û·Ú¿ÓÙ·
Û·Ú¿ÓÙ· Ù¤ÛÛÂÚ·
ÂÓ‹ÓÙ·
ÂÓ‹ÓÙ· ¤ÓÙÂ
ÂÓ‹ÓÙ· ÂÓÓ¤·
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·.
10 + 3 = ... 10 + 10 + 7 = ...
5
10 + 8 = ... 10 + 10 + 10 + 5 = ...
2. OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÛÙËÓ ·Ú¯‹ ·ÚÈıÌÔ‡Ó ÚÔÊÔÚÈο ·Ó¿ 1 ̤¯ÚÈ ÙÔ 50. ∑ËÙԇ̠›Û˘ ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ·ÚÈıÌ‹ÛÔ˘Ó ·Ó¿ 10 ̤¯ÚÈ ÙÔ 50 Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ó Ì¤Û· ÛÙ· ΢ÎÏÈο Ï·›ÛÈ· ÙÔ˘˜ ¤ÓÙ ·ÚÈıÌÔ‡˜. 13
34
ªÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜ (I)
1 OÈ ¿‚·Î˜
∫ÈÓ¤˙ÈÎÔ˜ ¿‚·Î·˜.
O «¿‚·Í Ù˘ ™·Ï·Ì›ÓÔ˜» ¯ÚÔÓÔÏÔÁÂ›Ù·È ·fi ÙÔÓ 5Ô ‹ ÙÔÓ 6Ô ·ÈÒÓ· .Ã. ∂›Ó·È Ô ·Ï·ÈfiÙÂÚÔ˜ ¿‚·Î·˜ Î·È ÊÈÏÔÍÂÓÂ›Ù·È ÛÙÔ ∂ıÓÈÎfi ∞Ú¯·ÈÔÏÔÁÈÎfi ªÔ˘ÛÂ›Ô ÙˆÓ ∞ıËÓÒÓ.
Ì·ı·›Óˆ
™Â ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi Ì ‰‡Ô „ËÊ›· – ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÙÔ 26 – ÙÔ „ËÊ›Ô ·fi Ù· ‰ÂÍÈ¿ (2 6) ‰Â›¯ÓÂÈ ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ Î·È ÙÔ „ËÊ›Ô ·fi Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ (2 6) ÙȘ ‰Âο‰Â˜. ¢Âο‰Â˜
MÔÓ¿‰Â˜
2 6 ¢M
Œ¯Ô˘Ì 26 Ì¿ÚΘ.
AÓÙ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Ì 10
ÌÂ Ì›·
.
2 6
2 6 ‰Âο‰Â˜ ÌÔÓ¿‰Â˜
14
∂ÈÛ¿ÁÔ˘ÌÂ Î·È ·ÛÎԇ̠ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÛÙȘ ¤ÓÓÔȘ ÙˆÓ ‰Âο‰ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ.
ÂÓfiÙËÙ· 5 Ë
2 ∏ ΢ڷ-ª·ÚÈÒ, Ë ÔÓËÚ‹ ·ÏÂÔ‡, ¯ÚˆÛÙ¿ 14 ·‚Á¿ ÛÙËÓ Î˘Ú·-¿È· Î·È ı¤ÏÂÈ Ó· Ù· ÂÈÛÙÚ¤„ÂÈ. £· ÛÔ˘ ‰ÒÛˆ fiÛ· ϤÂÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 14. £· ÛÔ˘ ‰ÒÛˆ ‰ËÏ·‰‹ 1 Î·È 4.
∏ ·ÏÂÔ‡ ¤‰ˆÛ ÛÙËÓ Î˘Ú·-¿È· fiÛ· ·‚Á¿ Ù˘ ¯ÚˆÛÙÔ‡Û ‹ ÙËÓ ÍÂÁ¤Ï·ÛÂ;
3 µÚ›ÛΈ ÙȘ ‰Âο‰Â˜ Î·È ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜. ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜.
ñ ∆Ô
27 ¤¯ÂÈ ... ‰Âο‰Â˜ Î·È ... ÌÔÓ¿‰Â˜.
27 = 10 + 10 + 7
ñ ∆Ô
14 ¤¯ÂÈ ............................
14 = .....................
ñ ∆Ô
22 ¤¯ÂÈ ............................
22 =.....................
ñ ∆Ô
36 ¤¯ÂÈ ............................
36 =.....................
ñ ∆Ô
44 ¤¯ÂÈ ............................
44 =..................... 15
35
∞ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ì ÔÏÏÔ‡˜ fiÚÔ˘˜
1 O ·ÚÈıÌfi˜-ÛÙfi¯Ô˜ °È· Ó· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ Î¿ÔÈÔ˜, Ú¤ÂÈ Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 10 ‰È·Ï¤ÁÔÓÙ·˜ ÙÚÂȘ οÚÙ˜.
1
10
2 3 4 5 6 ¶ÔÈÔ˜ ΤډÈÛÂ;
ŒÏÏË
M¿Ì˘
ÿÏÓÙ·
5 2 1
4 2 4
6 2 1
5 + 2 + 1 = ... 4 + ... + ... = ... ... + ... + ... = ...
5 +2 1 ...
4 +2 4 ...
6 +2 1 ...
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ·fi ‰‡Ô fiÚÔ˘˜. 16
ÂÓfiÙËÙ· 5 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ì ÙÚÂȘ ÚÔÛıÂÙ¤Ô˘˜.
3 ™Â ·˘Ùfi ÙÔ ·È¯Ó›‰È ΤډÈÛ·Ó Î·È Ù· ÙÚ›· ·È‰È¿. µÚ›ÛΈ ÔÈ· ‹Ù·Ó Ë ÙÚ›ÙË Î¿ÚÙ· Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜.
ŒÏÏË
5 2
M¿Ì˘
ÿÏÓÙ·
1 5
3 2
5 + 2 + ... = 10 3 + 2 + ... = ... ... + ... + ... = ... 4 ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙȘ ÙÚÂȘ οÚÙ˜, ÁÈ· Ó· ¤¯ˆ ¿ıÚÔÈÛÌ· ›ÛÔ Ì 9.
9
3 2
5
2 4
4
2. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· ̤¯ÚÈ ÙÔ 10 Ì ÙÚÂȘ ÚÔÛıÂÙ¤Ô˘˜, ·fi ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ Ô ÚÒÙÔ˜ ÚÔÛıÂÙ¤Ô˜ Â›Ó·È ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È ÔÈ ‰‡Ô ˘fiÏÔÈÔÈ Â›Ó·È ÙÔ 1 ‹ ÙÔ 2 (.¯. 5 + 1 + 1 Î.Ï.). 17
36
K›ÓËÛË Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ›
1 ™ÙÔ ı¤·ÙÚÔ ™˘˙ËÙԇ̠ÁÈ· ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô Î·ıfiÌ·ÛÙ ÛÙÔ ı¤·ÙÚÔ.
™KHNH
1. Xڈ̷ٛ˙ˆ ÙȘ ı¤ÛÂȘ Ô˘ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ÂÈÛÈÙ‹ÚÈÔ.
EI™ITHPIO ÕÙÔÌ·: 2 ™ÂÈÚ¿: 3Ë £¤ÛÂȘ: 1, 2 2. EÈϤÁˆ ÌÈ· ı¤ÛË ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯¤‰ÈÔ Î·È Áڿʈ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÛÙÔ ÂÈÛÈÙ‹ÚÈÔ.
1Ë
1
2
3
2Ë
1
2
3
3Ë
1
2
3
4Ë
1
2
3
5Ë
1
2
3
EI™ITHPIO ÕÙÔÌ·: 2 ™ÂÈÚ¿: --------£¤ÛÂȘ: ---------
18
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ·fiÎÙËÛË Ù˘ ÈηÓfiÙËÙ·˜ Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ó ÙȘ ı¤ÛÂȘ Î·È Ó· ÎÈÓÔ‡ÓÙ·È Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ›.
ÂÓfiÙËÙ· 5 Ë
EÓÙÔ›˙ˆ Î·È ÂÚÈÁڿʈ ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ ˙ÒˆÓ.
2
1 2 3 4 5 ™¯Â‰È¿˙ˆ ‰ÂÍÈ¿ Ù· ›‰È· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Î·È ÛÙȘ ›‰È˜ ı¤ÛÂȘ.
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 BÚ›ÛΈ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ‚ËÌ¿ÙˆÓ.
2
3
4
ÚÔ˜ Ù· ¿ӈ ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ ÚÔ˜ Ù· ¿ӈ ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÚÔ˜ Ù· οو 19
ÚÔ‚Ï‹
Ù· Ì· Ú
123 x 4567+896538-7 37 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
‹Ì· Ô‚Ï Ù·
1 ∫¿Óˆ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ™˘Ó‰¤ˆ ÙȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ Ì ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜. ; Ì›ÏȘ ˜ Â Ú Â Ù fi ÂÚÈÛÛ ˜ È Ù È Ô;  ¯ ¤ ÚÔÏfiÁÈ Â ¶ÔÈÔ˜ Ì Ë Ô ÈÙ ; ‰Â›¯Ó ÁÁ¤Ï˘ · · Ú µ ¤ Ì Ô È ¤Ú ¶ÔÈ· ÌÂÙ·Ê · › Ï ‚ È ¶fiÛ· ‚
N›ÎÔ˜
B·ÁÁ¤Ï˘ °È¿ÓÓ˘ ∞·ÓÙÒ ÛÙȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ.
◗ ¶fiÛ· ‚È‚Ï›· ÌÂٷʤÚÂÈ Ô µ·ÁÁ¤Ï˘; ..........................................................
◗ ¶ÔÈ· ̤ڷ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ËÌÂÚÔÏfiÁÈÔ; ..............................................................
◗ ¶ÔÈÔ˜ ¤¯ÂÈ ÙȘ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ Ì›ÏȘ; ........................................................................................................ ª·˙› Ì ÙÔ˘˜ Û˘ÌÌ·ıËÙ¤˜ ÌÔ˘ ‚Ú›ÛΈ Î·È ¿ÏϘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ. 20
5 1 x 2 7 38
ÂÓfiÙËÙ· 5 Ë
2
5
£¤ÏÔ˘Ì ӷ ‚¿ÏÔ˘Ì ̤۷ ÛÙ· ΢ÎÏÈο Ï·›ÛÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 2, 3 Î·È 4. ™Â οı ÌÈÎÚfi ·ÎÏÔ ‚¿˙Ô˘Ì ¤Ó·Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi. ∆ÔÔıÂÙԇ̠ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ٤ÙÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ÒÛÙÂ, fiÙ·Ó ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì οıÂÙ·, ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· Î·È Î˘ÎÏÈο, Ó· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 10.
3 ŒÏÏË
M¿Ì˘
M·Ú›·
∏ ŒÏÏË ¤¯ÂÈ ...... ÏÂÙ¿. O ª¿Ì˘ ¤¯ÂÈ ...... ÏÂÙ¿. ∏ ª·Ú›· ¤¯ÂÈ ...... ÏÂÙ¿.
Ù¿ 7 ÏÂ
◗ ¶ÔÈÔ˜ ÌÔÚ› Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ Ì·ÏfiÓÈ; ...................................................... ◗ ¶fiÛ· ÏÂÙ¿ ¤¯Ô˘Ó Ô M¿Ì˘ Î·È Ë ŒÏÏË Ì·˙›; ........................................ ◗ ¶fiÛ· Ú¤ÛÙ· ı· ¿ÚÂÈ Ë M·Ú›·; .................................................................. ◗ ¶fiÛ· ÏÂÙ¿ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ·ÎfiÌË Ë ŒÏÏË, ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ Ì·ÏfiÓÈ; ....................................................................... 21
·ӷÏ
ÙÈÎfi Ì Ë
123 x 4567+896538-7 38 ·ӷÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ· Ì ¿ıË ·
1
∫ÈÓÔ‡Ì·È Ì ÚÔÛÔ¯‹ ÁÈ· Ó· ÌË Ì ʿÂÈ Ô ¶¿ÎÌ·Ó. ÚÔ˜ Ù· ¿ӈ
ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿
T¤ÏÔ˜ ÚÔ˜ Ù· ¿ӈ
ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿
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AÚ¯‹
◗ ∞oʇÁˆ ÙÔÓ ¶¿ÎÌ·Ó; ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙË ‰È·‰ÚÔÌ‹.
◗ ∫ÂÚ‰›˙ˆ ‹ ¯¿Óˆ;
.......................................... ..........................................
µ¿˙ˆ Û ·ÎÏÔ Ù· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿Ûˆ ÙÔ ·È¯Ó›‰È.
9ú 22
2
5 1 x 2 7 38
ÂÓfiÙËÙ· 5 Ë
3 µÚ›ÛΈ Î·È Áڿʈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi.
4 °Ú¿Êˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ϤÍÂȘ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·.
20 + 3 ›ÎÔÛÈ ÙÚ›· 23 ............................................ = .....................................................
12 .............................................. = .....................................................
46 ............................................ = ..................................................... 11 .............................................. = ..................................................... 50 ............................................ = ..................................................... 5 ™¯ËÌ·Ù›˙ˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÛÙÔ˘˜ ¿‚·Î˜.
10 + 10 + 4
30 + 3
10 + 10 + 10
50 + 3
3. ∏ ‰·ÛοϷ ϤÂÈ ÚÔÊÔÚÈο ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙȘ ‰Âο‰Â˜ Î·È ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ Î·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Î·È ÙÔÓ ÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÛÙÔ Ï·›ÛÈÔ. 23
123 x 4567+896
Ù fi Ë Ó Ù · E 1 5 x 6 8 4 2 2 7 9 6 8 538 EÓfiÙËÙ· 6Ë:
MONA¢E™ KAI ¢EKA¢E™ – °EøMETPIKA ™XHMATA – XPONO™
39
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 39Ô: ªÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜ (ππ)
40
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 40fi: °ÂˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·
41
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 41Ô: √ ¯ÚfiÓÔ˜
42
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 42Ô: ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Ì ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜
43
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 43Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
44
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 44Ô: 2Ô ∫ÚÈÙ‹ÚÈÔ AÍÈÔÏfiÁËÛ˘
Ë
ª¤Û· ·fi ÙÔ ·È¯Ó›‰È «O Ù·Ì›·˜» Î·È ÙȘ ·ÓÙ·ÏÏ·Á¤˜ ÓÔÌÈÛÌ¿ÙˆÓ ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 39 ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘ÌÂ Î·È ¿ÏÈ ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ Î·È ÙȘ ‰Âο‰Â˜. ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 40 ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ٷ Û¯‹Ì·Ù· Î·È ı· Û˘Óı¤ÛÔ˘Ì ÂÈÎfiÓ˜ ÚÔÛÒˆÓ Ô˘ Â›Ó·È Û¯Â‰È·Ṳ̂Ó˜ Ì ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·. ™¯ÂÙÈο Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 41 ı· ‚¿ÏÔ˘Ì Û ¯ÚÔÓÔÏÔÁÈ΋ ÛÂÈÚ¿ ʈÙÔÁڷʛ˜ Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ÁÂÁÔÓfiÙ· ·fi ÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ ˙ˆ‹, ı· ‰È·‚¿ÛÔ˘Ì ËÌÂÚÔÏfiÁÈ· Î·È ı· Ì¿ıÔ˘Ì ӷ ϤÌ ÛÙË ÛÂÈÚ¿ ÙȘ Ë̤Ú˜ Ù˘ ‚‰ÔÌ¿‰·˜. ∆¤ÏÔ˜, ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 42 ı· ·ÛÎËıԇ̠۠ÚÔÛı¤ÛÂȘ Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ˘¤Ú‚·Û˘ Ù˘ ‰Âο‰·˜.
AÓÙ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Ì ‰¤Î· Ú¿ÛÈÓ˜ Ì¿ÚΘ Ì ̛· ÎfiÎÎÈÓË
25
2 5 ‰Âο‰Â˜ ÌÔÓ¿‰Â˜
39
ªÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜ (II) O Ù·Ì›·˜
1
∞ÓÙ·ÏÏ¿ÛÛˆ Ù· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· ÙÔ˘ 1 ∂Àƒø Ì ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· ›Û˘ ·Í›·˜ Î·È fiÛÔ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˘ ·Í›·˜.
µ¿˙ˆ Û ·ÎÏÔ Ù· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· Ó· Û¯ËÌ·ÙÈÛÙ› ÙÔ ›‰ÈÔ ÔÛfi Ì ٷ ‰ÈÏ·Ó¿ ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· ÙÔ˘ 1 ∂Àƒø.
¶fiÛ· Â›Ó·È fiÏ· Ù· ∂Àƒø;
¶fiÛ· Â›Ó·È fiÏ· Ù· ∂Àƒø;
26
™˘Ó¯›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÂÍ¿ÛÎËÛË ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ ÛÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘ Ì ٷ ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· Î·È ÙÔ˘˜ ¿‚·Î˜.
ÂÓfiÙËÙ· 6 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‰Âο‰ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡.
3 ™¯ËÌ·Ù›˙ˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÛÙÔ˘˜ ¿‚·Î˜.
25
33
42
50
4 16 ÏÂÙ¿
∫¿ı ·È‰› ı¤ÏÂÈ Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ Ì·ÏfiÓÈ. µ¿˙ˆ Û ·ÎÏÔ Ù· ¯Ú‹Ì·Ù· Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ‰ÒÛÂÈ Î¿ı ·È‰› ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ Ì·ÏfiÓÈ.
2. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 10+Ó, 20+Ó Î.Ï., fiÔ˘ Ó ¤Ó·˜ ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. 27
40
°ÂˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·
1
∞ÛÙ›· ÚfiÛˆ· ¶·Ú·ÙËÚÒ ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜ Î·È ÙȘ Û˘Ó‰¤ˆ Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Û¯‹Ì·.
·ÎÏÔ˜
ÙÚ›ÁˆÓÔ
ÔÚıÔÁÒÓÈÔ
ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ
∫fi‚ˆ Û¯‹Ì·Ù· Î·È Ù· ÎÔÏÏÒ ÁÈ· Ó· Û¯ËÌ·Ù›Ûˆ ÙÔ ‰ÈÎfi ÌÔ˘ ·ÓıÚˆ¿ÎÈ.
28
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·Ó·ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó ÙȘ ÌÔÚʤ˜ Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ó Ù· Û¯‹Ì·Ù·.
ÂÓfiÙËÙ· 6 Ë
2 ¶·Ú·ÙËÚÒ Ù· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Î·È Ù· Û˘Ó‰¤ˆ Ì ٷ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·.
·‚Ô˜
·ÏÈÓ‰ÚÔ˜
ÛÊ·›Ú·
ÛÙÂÚÂfi ÔÚıÔÁÒÓÈÔ
3 ™¯Â‰È¿˙ˆ ÙÔ ‰¤ÓÙÚÔ Ì ηٿÏÏËÏ· ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·.
4 ™¯Â‰È¿˙ˆ ‰›Ï· Ù· ›‰È· Û¯‹Ì·Ù· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ ¯¿Ú·Î·.
29
41
O ¯ÚfiÓÔ˜
1 ∆Ô ËÌÂÚÔÏfiÁÈÔ ¶·Ú·ÙËÚÒ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙȘ ÂÏÏÈ›˜ ηÚ٤Ϙ ÙÔ˘ ËÌÂÚÔÏÔÁ›Ô˘. ¯ı˜
Û‹ÌÂÚ·
·‡ÚÈÔ
........................
........................
........................
ºÂ‚ÚÔ˘·Ú›Ô˘
ºÂ‚ÚÔ˘·Ú›Ô˘
ºÂ‚ÚÔ˘·Ú›Ô˘
¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜ Î·È Û˘˙ËÙ¿ÌÂ.
30
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘.
ÂÓfiÙËÙ· 6 Ë
2 OÈ ÂÔ¯¤˜
ÕÓÔÈÍË
K·ÏÔη›ÚÈ
ºıÈÓfiˆÚÔ
XÂÈÌÒÓ·˜
◗ ¶ÔÈ· ÂÔ¯‹ Â›Ó·È Ù· ÁÂÓ¤ıÏÈ¿ ÛÔ˘; ..............................................................
◗ ¶ÔÈ· ÂÔ¯‹ Â›Ó·È Ù· ÃÚÈÛÙÔ‡ÁÂÓÓ·; ............................................................
◗ ¶ÔÈ· ÂÔ¯‹ Â›Ó·È Ë ÁÈÔÚÙ‹ Ù˘ ¶ÚˆÙÔÌ·ÁÈ¿˜; ............................................
◗ ¶ÔÈ· ÂÔ¯‹ ÎÏ›ÓÔ˘Ó Ù· Û¯ÔÏ›·; ................................................................
3 OÈ Ë̤Ú˜ Ù˘ ‚‰ÔÌ¿‰·˜
¢ T T ¶ ¶ ™ K 5 6 7 8 9 10 11 ◗ ™ÙȘ 6 ÙÔ˘ Ì‹Ó· Â›Ó·È Ë̤ڷ ....................................................................... ◗ ™ÙȘ 10 ÙÔ˘ Ì‹Ó· Â›Ó·È Ë̤ڷ ..................................................................... ◗ ™ÙȘ 8 ÙÔ˘ Ì‹Ó· Â›Ó·È Ë̤ڷ ....................................................................... ◗ ™ÙȘ 11 ÙÔ˘ Ì‹Ó· Â›Ó·È Ë̤ڷ ..................................................................... 31
42
¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Ì ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜
1 ª¤Û· ÛÙÔ ÎÔ˘Ù› ˘¿Ú¯Ô˘Ó 9 ηڷ̤Ϙ Î·È ¤Íˆ ·fi ÙÔ ÎÔ˘Ù› ¿ÏϘ 4. ¶fiÛ˜ Â›Ó·È fiϘ ÔÈ Î·Ú·Ì¤Ï˜;
O ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ ÌÂÙÚ¿ ÁÈ· Ó· ‚ÚÂÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 9 + 4. ∞fi ÙÔ 9 ·Ó‚·›Óˆ 4 ·ÚÈıÌÔ‡˜ (9, 10, 11, 12, 13) Î·È ‚Ú›ÛΈ ÙÔ 13.
∏ À·Ù›· ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 9 + 4. ∞Ó ÚÔÛı¤Ûˆ ÛÙÔ 9 ÙÔ 1, ı· ¤¯ˆ 10. 10 Î·È 3 = ......
4=1+3 9 + 4 = 9 + 1 + 3 = ... 9 + 4 = ...
+4 9 +3
+1 10 ÀÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì Ì ÙÔ ·ÚÈıÌËÙ‹ÚÈÔ
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Ì ÙÔ ·ÚÈıÌËÙ‹ÚÈÔ, fiˆ˜ Ë À·Ù›·, ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 9 + 4.
Œ¯Ô˘Ì 9. ¶ÚÔÛı¤Ùˆ ·ÎfiÌË 1 ÁÈ· Ó· Á›ÓÔ˘Ó 10.
32
™Ù· 10 Ô˘ ¤¯ˆ ÚÔÛı¤Ùˆ ¿ÏÏ· 3.
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÙˆÓ ÚÔÛı¤ÛÂˆÓ Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ˘¤Ú‚·Û˘ Ù˘ ‰Âο‰·˜.
ÂÓfiÙËÙ· 6 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 10.
3 §‡ÓÔ˘Ì ٷ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Î·È Û˘˙ËÙ¿Ì ∏ ™ÔÊ›· ¤¯ÂÈ Ì¤Û· ÛÙÔ ÎÔ˘Ù› 7 ÎÔ‡ÎϘ. ª¤Û· ÛÙÔ ÎÔ˘Ù› ˘¿Ú¯Ô˘Ó 8 ̿Ϙ. £¤ÏÂÈ Ó· ‚¿ÏÂÈ ¿ÏϘ 4. ∞Ó ‚¿ÏÔ˘Ì ̤۷ ÛÙÔ ÎÔ˘Ù› ¶fiÛ˜ ı· Â›Ó·È ÔÈ ÎÔ‡ÎϘ ¿ÏϘ 6 ̿Ϙ, ̤۷ ÛÙÔ ÎÔ˘Ù›; fiÛ˜ ı· Á›ÓÔ˘Ó fiϘ Ì·˙›;
8
7 7 + ... = 10 10 + ... = ... 7 + 4 = ...
8 + ... = 10 6 = ... + ... 8 + 6 = ... 4
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
6 + ... = 10
8 + ... = 10 9 + ... = 10
7 + 3 + 4 = ... 9 + 1 + 6 = ...
7 = 3 + ...
6 + 4 + 2 = ... 8 + 2 + 5 = ...
9 = 4 + ...
2. ¢›ÓÔ˘Ì ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘˜ ÙÔ˘ 5 Î·È ÙÔ˘˜ ηÏԇ̠ӷ ‚ÚÔ˘Ó ÙÔ Û˘Ìϋڈ̿ ÙÔ˘˜, ÒÛÙ ӷ ¤¯Ô˘Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· 10 (.¯. 7 Î·È fiÛÔ Î¿ÓÂÈ 10;). 33
·ӷÏ
ÙÈÎfi Ì Ë
123 x 4567+896538-7 43 ·ӷÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ· Ì ¿ıË ·
1
ªÂÙÚÒ Ù· Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ÌÔÈ¿˙Ô˘Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Î·È Áڿʈ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·
ÙÚ›ÁˆÓ·
·ÎÏÔÈ
ÔÚıÔÁÒÓÈ·
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
7 + ... = 10
34
4 + ... = 10
2 + ... = 10
6 + 4 + 3 = ... 9 + 1 + 4 = ...
8 = 2 + ...
5 + 5 + 7 = ... 7 + 3 + 6 = ...
6 = 4 + ...
5 1 x 2 7 38
ÂÓfiÙËÙ· 6 Ë
3 ∂ÓÒÓˆ ÙȘ ϤÍÂȘ Ì ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÂÈÎfiÓ˜.
XÂÈÌÒÓ·˜
ÕÓÔÈÍË
ºıÈÓfiˆÚÔ
K·ÏÔη›ÚÈ
4 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
8+6=
9+4= +4
+6
9
8 +3
+1 10
10
9+7=
7+4=
+7
+4
9
7
10
10 35
123 x 4567+896
Ù fi Ë Ó Ù · E 1 5 x 7 8 4 2 2 7 9 6 8 538 EÓfiÙËÙ· 7Ë:
XAPA•EI™, ¶AZ§ – ¶PO™£E™H KAI AºAIPE™H – H Y¶EPBA™H TH™ ¢EKA¢A™
45
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 45Ô: ÷ڿÍÂȘ, ·˙Ï Î·È ÌˆÛ·˚ο
46
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 46Ô: ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ‰È„‹ÊÈˆÓ Î·È ÌÔÓÔ„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ
47
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 47Ô: ∏ ÚfiÛıÂÛË Î·È Ë ·Ê·›ÚÂÛË ˆ˜ ·ÓÙ›ÛÙÚÔʘ Ú¿ÍÂȘ – ∏ ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 48Ô: ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› – ∂ÈÛÙÚÔÊ‹ ÛÙËÓ ÂÓÙ¿‰·
48
49
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 49Ô: ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË – ¢È„‹ÊÈÔÈ Î·È ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›
50
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 50fi: ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
51
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 51Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
Ë
∞Ú¯Èο, ÛÙË ÁˆÌÂÙÚ›· ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÙË Û‡ÓıÂÛË ·˙Ï ‚·ÛÈ˙fiÌÂÓˆÓ ÛÙÔ ·È¯Ó›‰È Ù¿ÁÎÚ·Ì, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ·ÛÎËıԇ̠ÛÙËÓ ·Ó¿Ï˘ÛË Î·È ÙË Û‡ÓıÂÛË ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 46 ÛÙËÓ Ù¿ÍË ı· ·›ÍÔ˘Ì ÙÔ ·È¯Ó›‰È «ºÈ‰¿ÎÈ», ÁÈ· Ó· ·ÛÎËıԇ̠ÛÙËÓ ÚfiÛıÂÛË ‰È„‹ÊÈÔ˘ Ì ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi Î·È ÛÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔ˘ ·fi ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi. ™Ù· ÂfiÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È· ÙfiÛÔ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÔÙÈÎÔ‡ ˘ÏÈÎÔ‡ (·ÚÈıÌËÙ‹ÚÈÔ Î·È ‚¿ÛÂȘ) fiÛÔ Î·È ¯ˆÚ›˜ ·˘Ùfi ı· ÂÎÙÂϤÛÔ˘Ì ÔÏϤ˜ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ˘¤Ú‚·Û˘ Ù˘ ‰Âο‰·˜, ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ÂÈÛÙÚÔÊ‹˜ ÛÙËÓ ÂÓÙ¿‰· ηıÒ˜ Î·È ¿ÏϘ ÌÂıfi‰Ô˘˜.
ª¤Û· ÛÙË ÊˆÏÈ¿ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 9 Ì˘ÚÌ‹ÁÎÈ·. ∞Ó ÌÔ˘Ó ·ÎfiÌ· 6, fiÛ· ı· Â›Ó·È fiÏ·;
∫·Ù·Û΢¿˙ˆ ÙÔ Ù¿ÁÎÚ·Ì.
+6 9 +5
+1 10
45
÷ڿÍÂȘ, ·˙Ï Î·È ÌˆÛ·˚ο
1 ∆Ô Ù¿ÁÎÚ·Ì ∫·Ù·Û΢¿˙ˆ ÙÔ Ù¿ÁÎÚ·Ì.
ªÂ Ù· ÎÔÌÌ¿ÙÈ· ÙÔ˘ Ù¿ÁÎÚ·Ì Û˘Óı¤Ùˆ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·.
38
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙȘ ¯·Ú¿ÍÂȘ ηıÒ˜ ›Û˘ ÛÙËÓ ·Ó¿Ï˘ÛË Î·È ÙË Û‡ÓıÂÛË ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ì ·˙Ï Î·È ÌˆÛ·˚ο.
ÂÓfiÙËÙ·
7 Ë
OÈ ÁÚ·Ì̤˜ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘.
2
∂ÓÒÓˆ Ì ÙÔ ¯¿Ú·Î· ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ·fi ÙËÓ ÚÒÙË ÁÚ·ÌÌ‹ Ì ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ ·fi ÙËÓ ÙÚ›ÙË. ∆È ·Ú·ÙËÚÒ;
™˘Ó¯›˙ˆ ÙÔ ¯ÚˆÌ·ÙÈÛÌfi Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ. ¶·Ú·ÙËÚÒ Ù· Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ Ï·ÎfiÛÙÚˆÙÔ.
3
39
46
¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ‰È„‹ÊÈˆÓ Î·È ÌÔÓÔ„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ
1 ¶·›˙Ô˘Ì ÙÔ «ºÈ‰¿ÎÈ»
∫·ÓfiÓ˜ ÙÔ˘ ·È¯ÓȉÈÔ‡ ÃÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ¤Ó· ˙¿ÚÈ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 4, 5 Î·È 6 ı· ¤¯Ô˘Ó ÎfiÎÎÈÓÔ ¯ÚÒÌ·, ÂÓÒ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 2 Î·È 3 ı· ¤¯Ô˘Ó ÌÏ ¯ÚÒÌ·. O ·ÚÈıÌfi˜ ·fi ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÍÂÎÈÓ¿ÌÂ Â›Ó·È ÙÔ 12. ∫¿ı ·›ÎÙ˘ Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ú›¯ÓÂÈ ÙÔ ˙¿ÚÈ. ŸÙ·Ó ÙÔ ˙¿ÚÈ ‰Â›¯ÓÂÈ ÌÈ· ÎfiÎÎÈÓË ÏÂ˘Ú¿, ÚÔ¯ˆÚԇ̠ÌÚÔÛÙ¿ ÙfiÛ˜ ı¤ÛÂȘ fiÛ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ˙¿ÚÈ. ŸÙ·Ó ÙÔ ˙¿ÚÈ ‰Â›¯ÓÂÈ ÌÈ· ÌÏ ÏÂ˘Ú¿, ËÁ·›ÓÔ˘Ì ›Ûˆ ÙfiÛ˜ ı¤ÛÂȘ fiÛ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ˙¿ÚÈ. ¡ÈÎËÙ‹˜ ı· Â›Ó·È ·˘Ùfi˜ Ô˘ ı· ÊÙ¿ÛÂÈ ÚÒÙÔ˜ ÛÙÔ 30.
™˘ÌÏËÚÒÓˆ Ù· ÛÙÔȯ›· Ô˘ ÏÂ›Ô˘Ó ÛÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î˜.
40
AÚÈıÌfi˜ ·fi ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÍÂÎÈÓ¿ÌÂ
Z¿ÚÈ
M·Ú›·
12
4
N›ÎÔ˜
12
3
X¿Ú˘
12
6
AÚÈıÌfi˜ ·fi ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÍÂÎÈÓ¿ÌÂ
Z¿ÚÈ
M·Ú›·
22
5
N›ÎÔ˜
18
3
X¿Ú˘
14
6
AÚÈıÌfi˜ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ÊÙ¿ÓÔ˘ÌÂ
AÚÈıÌfi˜ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ÊÙ¿ÓÔ˘ÌÂ
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÚfiÛıÂÛ˘ ‰È„‹ÊÈÔ˘ Ì ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi Î·È ·Ê·›ÚÂÛ˘ ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔ˘ ·fi ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi ¯ˆÚ›˜ ÎÚ·ÙÔ‡ÌÂÓÔ.
ÂÓfiÙËÙ·
7 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Î·È ÙȘ ‰È·ÊÔÚ¤˜.
3 §‡ÓÔ˘Ì ٷ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Î·È Û˘˙ËÙ¿ÌÂ. ª¤Û· ÛÙÔ Î·Ï¿ıÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 14 Ì‹Ï·. ∞Ó ‚¿Ïˆ ·ÎfiÌË 3 Ì‹Ï·, fiÛ· ı· Â›Ó·È Ù· Ì‹Ï· ̤۷ ÛÙÔ Î·Ï¿ıÈ;
14 °Ú¿Êˆ ÙËÓ Ú¿ÍË Î·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·. O °ÈÒÚÁÔ˜ ›¯Â 17 ·˘ÙÔÎÈÓËÙ¿ÎÈ·. ÿÚÈÛ 3 ·˘ÙÔÎÈÓËÙ¿ÎÈ· ÛÙÔ˘˜ Ê›ÏÔ˘˜ ÙÔ˘. ¶fiÛ· ·˘ÙÔÎÈÓËÙ¿ÎÈ· ¤¯ÂÈ ÙÒÚ·;
°Ú¿Êˆ ÙËÓ Ú¿ÍË Î·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·.
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·.
5 + 2 = ... 15 + 2 = ... 4 – 2 = ... 14 – 2 = ... 2 + 6 = ... 12 + 6 = ...
2 + 2 = ... 12 + 2 = ... 8 – 4 = ... 18 – 4 = ... 4 + 5 = ... 14 + 5 = ...
4
6 + 3 = ... 16 + 3 = ... 9 – 5 = ... 19 – 5 = ... 2 + 7 = ... 12 + 7 = ...
2. ∏ ‰·ÛοϷ ÚÔÙ›ÓÂÈ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ÌÔÓÔ„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ‰ÂÓ ÍÂÂÚÓ¿ ÙÔ 10 (.¯. 4 + 3, 7 – 2 Î.Ï.). OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ó Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÙËÓ Ú¿ÍË Ì¤Û· ÛÙÔ Ï·›ÛÈÔ. 41
47
H ÚfiÛıÂÛË Î·È Ë ·Ê·›ÚÂÛË ˆ˜ ·ÓÙ›ÛÙÚÔʘ Ú¿ÍÂȘ – ∏ ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜
1 ∆· Ì˘ÚÌ‹ÁÎÈ· ª¤Û· ÛÙË ÊˆÏÈ¿ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 9 Ì˘ÚÌ‹ÁÎÈ·. ∞Ó ÌÔ˘Ó ·ÎfiÌ· 6, fiÛ· ı· Â›Ó·È fiÏ·;
9 + ... = 10
+6 9
10 + ... = ... 10
9 + 6 = ...
∞Ó Ù· 6 Ì˘ÚÌ‹ÁÎÈ· Ô˘ Ì‹Î·Ó Ì¤Û· ÛÙË ÊˆÏÈ¿ ‚ÁÔ˘Ó Í·Ó¿ ¤Íˆ, fiÛ· ı· Ì›ÓÔ˘Ó Ì¤Û· ÛÙË ÊˆÏÈ¿; Œ‚Á·Ï· Ù· 5. °È· Ó· ‚Á¿Ïˆ 6 ‚Á¿˙ˆ ¿ÏÏÔ 1.
Afi Ù· 15, ·Ó ‚Á¿Ïˆ Ù· 5, ı· ÌÔ˘ Ì›ÓÔ˘Ó 10.
15 – 5 = 10 10 – 1 = ... 15 – 6 = ...
42
–6 15
10
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÚÔÛı¤ÛÂˆÓ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂˆÓ Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ˘¤Ú‚·Û˘ Ù˘ ‰Âο‰·˜ ηıÒ˜ ›Û˘ ÛÙËÓ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛË Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘ ˆ˜ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊˆÓ Ú¿ÍˆÓ.
ÂÓfiÙËÙ·
7 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ ÙȘ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ÙȘ ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ.
O ∞Ó¤ÛÙ˘ ›¯Â ̤۷ ÛÙÔ ÎÔ˘Ù› 14 ÌÈÛÎfiÙ·. ŒÊ·Á ٷ 5. ¶fiÛ· ÌÈÛÎfiÙ· ÙÔ‡ ¤ÌÂÈÓ·Ó;
14 – ... = 10
14
3
–5 14
10 – ... = ... 10
14 – 5 = ...
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
9+3=
7+4= +4 7
4
+3 9
10
10
12– 3 =
11– 4 = –4 11
–3 12
10
10
2. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ. OÈ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 10+Ó (.¯. 10 + 3, 10 + 7 Î.Ï.) Î·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÔÈ ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 1Ó–Ó (.¯. 14 – 4, 16 – 6 Î.Ï.). 43
48
ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› – ∂ÈÛÙÚÔÊ‹ ÛÙËÓ ÂÓÙ¿‰·
1 ™¯ËÌ·Ù›˙ˆ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ٷ ‰¿¯Ù˘Ï· ¶fiÛ· Â›Ó·È fiÏ· Ù· ‰¿¯Ù˘Ï· οı ÊÔÚ¿;
ηÈ
ηÈ
ηÈ
5 + ... = ...
... + ... = ...
... + ... = ...
™¯ËÌ·Ù›˙ˆ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÙÔ ·ÚÈıÌËÙ‹ÚÈÔ ¶fiÛ˜ Â›Ó·È ÔÈ ¯¿ÓÙÚ˜ Û οı ·ÚÈıÌËÙ‹ÚÈÔ;
44
6 = 5 + ...
... = 5 + ...
6=5+1 7=5+2 6 + 7 = ...
8 = 5 + ... 6 = ... + ... 8 + 6 = ...
... = 5 + ...
7 = ... + ... 9 = ... + ... 7 + 9 = ...
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙË ‰È·‰Èηۛ· ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ÙË ÛÙÚ·ÙËÁÈ΋ Ù˘ «ÂÈÛÙÚÔÊ‹˜ ÛÙËÓ ÂÓÙ¿‰·».
ÂÓfiÙËÙ·
7 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·.
3 ∏ ª·Ú›· ¤¯ÂÈ 6 ηڷ̤Ϙ. ∏ ÌËÙ¤Ú· Ù˘ Ù˘ ‰›ÓÂÈ ·ÎfiÌ· 5. ¶fiÛ˜ Â›Ó·È fiϘ Ì·˙› ÔÈ Î·Ú·Ì¤Ï˜ Ù˘ ª·Ú›·˜; O ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ ÌÂÙÚ¿ ÁÈ· Ó· ‚ÚÂÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 6 + 5.
∏ À·Ù›· ÙÔÔıÂÙ› ÙȘ ηڷ̤Ϙ Ì ÙË ‰È¿Ù·ÍË Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÔÈ ÎÔ˘ÎΛ‰Â˜ ÛÙÔ ˙¿ÚÈ Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÈ. 6=5+1
∞fi ÙÔ 6 ·Ó‚·›Óˆ 5 ·ÚÈıÌÔ‡˜ (7, 8, 9, 10, 11) Î·È ‚Ú›ÛΈ ÙÔ 11.
6 + 5 = ...
6+5=5+1+5 6 + 5 = ...
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ fiˆ˜ Ë À·Ù›· Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·.
7+5
7 = 5 + ... 7 = 5 + ...
7 +8
7 = 5 + ... 8 = 5 + ... 7 + 8 = ...
2. ∏ ‰·ÛοϷ ÚÔÙ›ÓÂÈ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 5+Ó ‹ Ó+5 Ì ÙÈÌ‹ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ›ÛË ÙÔ˘ 10. OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Î·È Ù· ÁÚ¿ÊÔ˘Ó Ì ۇ̂ÔÏ· ̤۷ ÛÙ· Ï·›ÛÈ·. 45
49
¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË – ¢È„‹ÊÈÔÈ Î·È ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›
1 ª·ÓÙ‡ˆ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi OÈ ÌÔÓ¿‰Â˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È 4. ∞Ó ·Ê·ÈÚ¤Ûˆ ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ ·fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi, ‚Ú›ÛΈ ÙÔ 10.
™Î¤ÊÙÔÌ·È ¤Ó·Ó ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi.
¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÛΤÊÙËη;
°Ú¿Êˆ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Î·È ÙËÓ Ú¿ÍË.
... – ... = ... 2 µÚ›ÛΈ ¿ÓÙ· ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 8 ™Î¤ÊÙÔÌ·È ¤Ó·Ó ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi. O ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ 20.
∞fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ÛΤÊÙËη ·Ê·ÈÚÒ ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜. ∞fi ·˘Ùfi Ô˘ ‚Ú›ÛΈ ·Ê·ÈÚÒ ÙÔ 2 Î·È ‚Ú›ÛΈ ÙÔ 8.
°Ú¿Êˆ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Î·È ÙȘ Ú¿ÍÂȘ.
... – ... = ... 46
... – 2 = 8
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÚÔÛı¤ÛÂˆÓ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂˆÓ ÓÔÂÚ¿ Ì ÙË ÛÙÚ·ÙËÁÈ΋ Ù˘ «ÂÈÛÙÚÔÊ‹˜ ÛÙËÓ ÂÓÙ¿‰·».
ÂÓfiÙËÙ·
7 Ë
3 µÚ›ÛΈ Î·È Áڿʈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi.
4 ∞Ê·›ÚÂÛË Ì ÚfiÛıÂÛË ÚÔ˜ Ù· ¿ӈ. ª¤Û· Û ÌÈ· ηÛÂÙ›Ó· ¤¯ˆ 13 ÎËÚÔÌÔÁȤ˜. ∞Ó ‚Á¿Ïˆ ÙȘ 9, fiÛ˜ ÎËÚÔÌÔÁȤ˜ ı· Ì›ÓÔ˘Ó Ì¤Û· ÛÙËÓ Î·ÛÂÙ›Ó·;
13
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË 13 – 9.
9 + 1 = 10
9 Î·È 1 Ì·˜ οÓÔ˘Ó 10. 10 Î·È 3 Ì·˜ οÓÔ˘Ó 13. ∞Ó¤‚Ëη 4.
10 + 3 = 13 ÕÚ·
13 – 9 = ... 5
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙȘ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ÙȘ ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ Ì ٷ ‰ÈÏ¿.
6 + 6 = ... 7 + 7 = ... 8 + 8 = ... 9 + 9 = ... 12 – 6 = ... 14 – 7 = ... 16 – 8 = ... 18 – 9 = ... 3. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ¤Ó·Ó ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·˜ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ Î·È ÙˆÓ ‰Âο‰ˆÓ ÙÔ˘ (.¯. «ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ 6 ÌÔÓ¿‰Â˜ Î·È 2 ‰Âο‰Â˜»). OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi. 47
ÚÔ‚Ï‹
Ù· Ì· Ú
123 x 4567+896538-7 50 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
‹Ì· Ô‚Ï Ù·
1 ∆Ô Ì·ÁÈÎfi ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ
4 9 2 3 5 7 8 1 6
™ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ·˘Ùfi ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÙÈ ÙÔ Ì·ÁÈÎfi. ¶ÚÔÛı¤Ùˆ ÙÔ˘˜ ÙÚÂȘ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÔÚÈ˙ÔÓÙ›ˆ˜, ηı¤Ùˆ˜ Î·È ‰È·ÁˆÓ›ˆ˜. ∆È ·Ú·ÙËÚÒ;
2 O ¯ÒÚÔ˜ ÛÙ¿ıÌ¢Û˘ ™ÙÔ ¯ÒÚÔ ÛÙ¿ıÌ¢Û˘ ÌÈ·˜ ÔÏ˘Î·ÙÔÈΛ·˜ ˘‹Ú¯·Ó 5 ·˘ÙÔΛÓËÙ·. ∆Ô ÌÂÛË̤ÚÈ ‹Úı·Ó Î·È ÛÙ¿ıÌÂ˘Û·Ó ¿ÏÏ· 6. ∆Ô ‚Ú¿‰˘ ¤Ê˘Á·Ó Ù· 3. ¶fiÛ· ·˘ÙÔΛÓËÙ· ¤ÌÂÈÓ·Ó ÛÙÔ ¯ÒÚÔ ÛÙ¿ıÌ¢Û˘;
48
5 1 x 2 7 38
ÂÓfiÙËÙ·
7 Ë
3
Œ¯ˆ ÛÙËÓ ÙÛ¤Ë ÌÔ˘ 15 ÏÂÙ¿. ∞Ó ÙÔ ¤Ó· ÓfiÌÈÛÌ· Â›Ó·È ÙˆÓ 10 ÏÂÙÒÓ, Ù· ˘fiÏÔÈ· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· ÙÈ ÌÔÚ› Ó· ›ӷÈ; µÚ›ÛΈ ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌÔ‡˜ Ì ٷ ÓÔÌ›ÛÌ·Ù·. ∑ˆÁÚ·Ê›˙ˆ Ù· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù·.
10 ÏÂÙ¿
4 ¶·Ú·ÙËÚÒ ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜. ¢È·Ù˘ÒÓˆ ‰Èο ÌÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·.
£·Ï‹˜
NÂʤÏË
MfiÓ·
6 ¯ÚfiÓˆÓ
10 ¯ÚfiÓˆÓ
13 ¯ÚfiÓˆÓ 49
·ӷÏ
ÙÈÎfi Ì Ë
123 x 4567+896538-7 51 ·ӷÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ· Ì ¿ıË ·
1
∫¿ÔȘ ηڷ̤Ϙ Â›Ó·È Ì¤Û· Î·È Î¿ÔȘ ¤Íˆ ·fi ÙÔ ÎÔ˘Ù›.
8
7
10
¶fiÛ˜ Â›Ó·È fiϘ ÔÈ ÎfiÎÎÈÓ˜ ηڷ̤Ϙ;
+
=
¶fiÛ˜ Â›Ó·È fiϘ ÔÈ Ú¿ÛÈÓ˜ ηڷ̤Ϙ;
+
=
¶fiÛ˜ Â›Ó·È fiϘ ÔÈ ÎfiÎÎÈÓ˜ Î·È ÔÈ Ú¿ÛÈÓ˜ ηڷ̤Ϙ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Ì¤Û· ÛÙ· ÎÔ˘ÙÈ¿;
+
=
∂¿Ó Ê¿ˆ 6 ÌÔ‚ ηڷ̤Ϙ, fiÛ˜ ı· Ì›ÓÔ˘Ó;
–
=
∂¿Ó Ê¿ˆ 5 ÎfiÎÎÈÓ˜ ηڷ̤Ϙ, fiÛ˜ ı· Ì›ÓÔ˘Ó;
– 50
=
ÂÓfiÙËÙ·
1
Ë
5 1 x 2 7 38
2
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙˆÓ ÚÔÛı¤ÛˆÓ.
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
10
4 2
ŸÏ· Ì·˙› Â›Ó·È 20.
5 5
5
ŸÏ· Ì·˙› Â›Ó·È 18.
10 6
3
10
ŸÏ· Ì·˙› Â›Ó·È 30.
5 4
5
ŸÏ· Ì·˙› Â›Ó·È 17.
™¯Â‰È¿˙ˆ ‰›Ï· ÙËÓ ›‰È· ÂÈÎfiÓ·.
™˘Ó¯›˙ˆ ÙÔ ¯ÚˆÌ¿ÙÈÛÌ· Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ.
2. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ Ó+5 ‹ 5+Ó, fiÔ˘ Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 6, 7 ‹ 8. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ›Û˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ô˘ Â›Ó·È Ù· ÌÂÁ¿Ï· ‰ÈÏ¿ (‰ËÏ·‰‹ 6+6, 7+7 Î.Ï.).
4
5
51
123 x 4567+896
Ù fi Ë Ó Ù · E 1 5 x 8 8 4 2 2 7 9 6 8 538 EÓfiÙËÙ· 8Ë:
API£MOI MEXPI TO 70 – ¶PA•EI™ – METPH™H – ™YMMETPIA
52
Ë
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 52Ô: √È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 70
53
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 53Ô: ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi
54
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 54Ô: ª¤ÙÚËÛË ÌÂÁÂıÒÓ
55
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 55Ô: ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË ‰È„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ
56
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 56Ô: ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙË Û˘ÌÌÂÙÚ›·
57
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 57Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 52, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÂÍÔÈÎÂȈıԇ̠̠ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ̤¯ÚÈ ÙÔ 70, ı· ·›ÍÔ˘Ì ¤Ó· ·È¯Ó›‰È Ô˘ ϤÁÂÙ·È «ÌÂÙÚËÙ‹˜ ÙˆÓ ¯ÈÏÈÔ̤ÙÚˆÓ». ™ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· ‰Ô‡Ì ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·fi ÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ ˙ˆ‹, ÛÙ· ÔÔ›· ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È ÔÚÁ·ÓˆÌ¤Ó˜ ÔÌ¿‰Â˜ fiˆ˜ Â›Ó·È Ù· ̤ÏË ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜, Î·È ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÌÈ· Ó¤· Ú¿ÍË Ô˘ ϤÁÂÙ·È «ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜». ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 54 ı· ·ÛÎËıԇ̠ÛÙȘ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 55 ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ·Ê·›ÚÂÛ˘ Ì ‰Âο‰Â˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Ù· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· Î·È Ù· ¯·ÚÙÔÓÔÌ›ÛÌ·Ù· ÙÔ˘ ∂Àƒø. ∫·ÙfiÈÓ ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 56 οÓÔÓÙ·˜ Ûٿ̘ Ì ‰ÈÏÒÛÂȘ Î·È Ì ÙÔÓ Î·ıÚ¤ÊÙË ı· ÂÈÛ¿ÁÔ˘Ì ÌÈ· ηÈÓÔ‡ÚÈ· ¤ÓÓÔÈ·: ÙË Û˘ÌÌÂÙÚ›·.
TÔ Ì¤ÙÚÔ
5
5
5
5
20
52
OÈ ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 70 O ÌÂÙÚËÙ‹˜ ÙˆÓ ¯ÈÏÈÔ̤ÙÚˆÓ
1
O ÌÂÙÚËÙ‹˜ Á˘Ú›˙ÂÈ ·Ó¿ ¤Ó· ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚÔ. µÚ›ÛΈ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ¶ÔÈ· ΢ÎÏ¿ÎÈ· ı· Á˘Ú›Ûˆ;
4
8
°˘Ú›˙ˆ ÌfiÓÔ ÙÔ ·ÚÈÛÙÂÚfi ΢ÎÏ¿ÎÈ, ÒÛÙ ӷ ·Ó‚·›ÓÂÈ ·Ó¿ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi. µÚ›ÛΈ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ı· Û¯ËÌ·ÙÈÛÙÔ‡Ó.
4
0
2
¶ÂÓ‹ÓÙ· ÏÂÙ¿ ¶ÂÓ‹ÓÙ· EYPø
E›ÎÔÛÈ ÏÂÙ¿ E›ÎÔÛÈ EYPø
54
∞ÛÎԇ̠ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÛÙË ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì¤¯ÚÈ ÙÔ 70.
ÂÓfiÙËÙ·
8 Ë
3 µÚ›ÛΈ ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Î·È ÙÔÓ ÂfiÌÂÓÔ ·ÚÈıÌfi.
65
66
67 4
°Ú¿Êˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ϤÍÂȘ.
56 60 70
66 56 61 5 ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
3. ∏ ‰·ÛοϷ ϤÂÈ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ·fi ÙÔ 50 ̤¯ÚÈ ÙÔ 70 Î·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Î·È ÙÔÓ ÂfiÌÂÓÔ ·ÚÈıÌfi. 55
53
∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi
1 ªÂÙÚ¿Ì ̿ÙÈ·, ·˘ÙÈ¿ Î·È ‰¿¯Ù˘Ï· ªÂÙÚ¿Ì ٷ ‰¿¯Ù˘Ï·
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Ì ÂÓÙ¿‰Â˜ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
1 ¯¤ÚÈ 1 ÊÔÚ¿ ÙÔ 5 = 2 ¯¤ÚÈ·
+
=
2 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 5 =
3 ¯¤ÚÈ·
+
+
=
3 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 5 =
4 ¯¤ÚÈ·
+
+
+
=
4 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 5 =
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Ì ‰Âο‰Â˜.
56
3 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 10:
10 + 10 + 10 = 30
2 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 10:
10 + ......................
4 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 10:
.............................
5 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 10:
.............................
∂ÈÛ¿ÁÔ˘Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ·ӷϷ̂·ÓfiÌÂÓË ÚfiÛıÂÛË.
ÂÓfiÙËÙ·
8 Ë
2 MÂÙÚÒ ·Ó¿ 10 ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 Î·È ·Ó¿ 5 ̤¯ÚÈ ÙÔ 50.
10
...
20
100 3
ªÂÙÚÒ Ù· ÎÂÚ¿ÛÈ·.
ŸÏ· Ù· ÎÂÚ¿ÛÈ· Â›Ó·È ...
4 ªÂÙÚÒ ·Ó¿ 2.
+2
0
+2
+2
2
4
+2
6
+2
8
+2
10
3 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 2:
2+2=4 2 + 2 + 2 = ...................
4 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 2:
........................................
5 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 2:
........................................
6 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 2:
........................................
2 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 2:
12
2. OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÂÙÚ¿Ó ÚÔÊÔÚÈο ·Ó¿ 10 ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 Î·È ·Ó¿ 5 ̤¯ÚÈ ÙÔ 50. 57
54
ª¤ÙÚËÛË ÌÂÁÂıÒÓ
1 ªÂÙÚÒ ÙËÓ Èı·Ì‹ ÌÔ˘
H Èı·Ì‹ ÌÔ˘ H Èı·Ì‹ ÌÔ˘ Â›Ó·È ...
H Èı·Ì‹ ÌÔ˘ Â›Ó·È ...
H Èı·Ì‹ ÌÔ˘ Â›Ó·È ...
◗ ™¯Â‰È¿˙ˆ ÙËÓ Èı·Ì‹ ÌÔ˘ Î·È ÙË ÌÂÙÚÒ ÌÂ Û˘Ó‰ÂÙ‹Ú˜, ͇ÛÙÚ˜ Î·È Û‚ËÛÙ‹Ú˜. ◗ ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔÓ ›Ó·Î· Ì ‚¿ÛË ÙȘ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ô˘ οӈ. ◗ ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ Î·È ÔÈÔ˜ Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜: ÙˆÓ Û˘Ó‰ÂÙ‹ÚˆÓ, ÙˆÓ Û‚ËÛÙ‹ÚˆÓ ‹ ÙˆÓ Í˘ÛÙÚÒÓ; ¢ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.
ªÂÙÚÒ Ì ÙÔ Ì¤ÙÚÔ TÔ Ì¤ÙÚÔ ◗ ∏ Ù¿ÍË ÌÔ˘ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ ۯ‰fiÓ
... ̤ÙÚ·.
◗ ∏ Ù¿ÍË ÌÔ˘ ¤¯ÂÈ Ï¿ÙÔ˜ ۯ‰fiÓ ... ̤ÙÚ·.
58
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÂÙÚÔ‡Ó Ì‹ÎË, ÂÈÊ¿ÓÂȘ Î·È ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· Ì ÌË Û˘Ì‚·ÙÈΤ˜ Î·È Û˘Ì‚·ÙÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘.
ÂÓfiÙËÙ·
8 Ë
2 ªÂÙÚÒ ÙË ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ·
ŒÓ· Ï›ÙÚÔ ÓÂÚÔ‡ ÁÂÌ›˙ÂÈ Û¯Â‰fiÓ 4 ÔÙ‹ÚÈ·.
¶fiÛ· ÔÙ‹ÚÈ· ı· ÁÂÌ›ÛÂÈ ÙÔ ÌÈÛfi Ï›ÙÚÔ ÓÂÚÔ‡; Ãڈ̷ٛ˙ˆ Ù· ÔÙ‹ÚÈ· Ô˘ ı· ÁÂÌ›ÛÂÈ.
¶fiÛ· ÔÙ‹ÚÈ· ı· ÁÂÌ›ÛÔ˘Ó Ù· ‰‡Ô Ï›ÙÚ· ÓÂÚÔ‡; Ãڈ̷ٛ˙ˆ Ù· ÔÙ‹ÚÈ· Ô˘ ı· ÁÂÌ›ÛÔ˘Ó.
3 ¶ÔÈÔ ‚·ÁfiÓÈ ÎÔ˘‚·Ï¿ Ù· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ÎÈ‚ÒÙÈ·; °Ú¿Êˆ ÛÙ· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÎÈ‚ˆÙ›ˆÓ.
A
B
° 59
55
¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË ‰È„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ (π)
1 ∆Ô Ô‰‹Ï·ÙÔ
65 ú
£·Ï‹˜
ÿÏÓÙ·
M¿Ì˘
O £·Ï‹˜ ¤¯ÂÈ ... ú.
∏ ÿÏÓÙ· ¤¯ÂÈ ... ú.
O ª¿Ì˘ ¤¯ÂÈ ... ú.
◗ ¶ÔÈÔ ·È‰› ÌÔÚ› Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ Ô‰‹Ï·ÙÔ; ...........................
◗ ¶fiÛ· ¯Ú‹Ì·Ù· ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ·ÎfiÌË Ô £·Ï‹˜ ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ Ô‰‹Ï·ÙÔ; ...........................
◗ ¶fiÛ· ¯Ú‹Ì·Ù· ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ·ÎfiÌË Ô ª¿Ì˘ ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ Ô‰‹Ï·ÙÔ; ...........................
60
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È Û ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ‰È„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ·fi ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ô ¤Ó·˜ Â›Ó·È ‰Âο‰·.
ÂÓfiÙËÙ·
8 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ÙˆÓ Ú¿ÍˆÓ.
3 ∑ˆÁÚ·Ê›˙ˆ Ù· ÏÈÁfiÙÂÚ· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· Ô˘ ı· ¯ÚÂÈ·ÛÙÒ ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿Ûˆ Ù· ·ÓÙÈΛÌÂÓ·.
45 ÏÂÙ¿
24 ÏÂÙ¿
62 ÏÂÙ¿
73 ÏÂÙ¿
4 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ Ï›ÂÈ.
60 + 10 = ...
43 + 20 = ...
67 – 20 = ...
40 + 20 = ...
52 – 30 = ...
40 + ... = 70
60 – 30 = ...
35 + 40 = ...
30 + ... = 60
70 – 40 = ...
58 – 30 = ...
20 + ... = 70
2. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÌfiÓÔ ‰Âο‰Â˜ (.¯. 20 + 20, 30 + 20 Î.Ï.).
61
56
EÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙË Û˘ÌÌÂÙÚ›· OÈ Ûٿ̘ Î·È Ô Î·ıÚ¤ÊÙ˘
BOY¢A¶E™TH ºÙÈ¿¯Óˆ Ûٿ̘. ∆È ·Ú·ÙËÚÒ;
™˘ÌÏËÚÒÓˆ Ù· ¯ÚÒÌ·Ù· ÛÙȘ Ûٿ̘.
62
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÂÈÛ¿ÁÔÓÙ·È Î·È ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·ÍÔÓÈ΋˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜.
1
ÂÓfiÙËÙ·
8 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ÙˆÓ ·Ê·ÈÚ¤ÛˆÓ.
¶·Ú·ÙËÚÒ ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜ Î·È ‚¿˙ˆ Û ·ÎÏÔ ÙȘ Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜.
3
4 ¶·Ú·ÙËÚÒ ·˘Ùfi ÙÔ ¯ÚÈÛÙÔ˘ÁÂÓÓÈ¿ÙÈÎÔ ‰¤ÓÙÚÔ. OÈ Ì¿Ï˜ Â›Ó·È ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂Ó˜ Û˘ÌÌÂÙÚÈο;
Ãڈ̷ٛ˙ˆ ÙȘ ̿Ϙ Û˘ÌÌÂÙÚÈο.
2. £¤ÙÔ˘Ì ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ÛÙȘ Ôԛ˜ Ô ·Ê·ÈÚÂÙ¤Ô˜ Â›Ó·È ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÂÓÒ ·Ú¿ÏÏËÏ· ÚÔÛʤÚÔÓÙ·È ÁÈ· Â›Ï˘ÛË Ì ÚfiÛıÂÛË ÚÔ˜ Ù· ¿ӈ (.¯. 15 – 9, 13 – 8 Î.Ï.). 63
·ӷÏ
ÙÈÎfi Ì Ë
123 x 4567+896538-7 57 ·ӷÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ· Ì ¿ıË ·
1 ∏ ÂÙ·ÏÔ‡‰· ∞ÓÙÈÁڿʈ ÙÔ Û¯‹Ì· Û ¤Ó· ʇÏÏÔ ¯·ÚÙÈÔ‡.
∆Ô ‰ÈÏÒÓˆ Î·È Îfi‚ˆ.
∞ÓÔ›Áˆ.
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
64
15 + 4 = ...
12 + 5 = ...
6 + ... = 26
17 – 2 = ...
16 – 2 = ...
21 + ... = 29
12 +6
19 – 5
ÂÓfiÙËÙ·
8
3
Ë
5 1 x 2 7 38
µÚ›ÛΈ Î·È Áڿʈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi.
4 ¶·Ú·ÙËÚÒ Ù· ·Ú¿ı˘Ú· Î·È ÙËÓ fiÚÙ·. ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ÈÔ ÌÂÁ¿ÏÔ;
Ãڈ̷ٛ˙ˆ Ù· ·Ú¿ı˘Ú· Î·È ÙËÓ fiÚÙ· Ì ٷ ¯ÚÒÌ·Ù· Ô˘ Ú¤ÂÈ, ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ Î·È ÚÔ¯ˆÚÒÓÙ·˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ.
1Ô
2Ô
3Ô
5 ŒÓ· ÎÔ˘Ù› ¤¯ÂÈ Ì¤Û· 5 ÎËÚÔÌÔÁȤ˜. ¶fiÛ˜ ÎËÚÔÌÔÁȤ˜ ı· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ̤۷ Û 4 ÎÔ˘ÙÈ¿;
ª¤Û· Û 4 ÎÔ˘ÙÈ¿ ı· ˘¿Ú¯Ô˘Ó
ÎËÚÔÌÔÁȤ˜.
3. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì οı ÊÔÚ¿ ¤Ó·Ó ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi ·fi ÙÔ 50 ̤¯ÚÈ ÙÔ 70, ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·˜ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ Î·È ÙˆÓ ‰Âο‰ˆÓ ÙÔ˘ (.¯. «ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ 4 ÌÔÓ¿‰Â˜ Î·È 6 ‰Âο‰Â˜;»). 65
123 x 4567+896
Ù fi Ë Ó Ù · E 1 5 x 9 8 4 2 2 7 9 6 8 538 EÓfiÙËÙ· 9Ë:
API£MOI MEXPI TO 100 – ¶PA•EI™ – BAPO™ – °EøMETPIKA ™XHMATA
58
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 58Ô: √È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 – ÃÚ‹Ì·
59
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 59Ô: ∂ÌÂÈÚÈÎfi˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Î·È ‰È·›ÚÂÛË
60
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 60fi: µ¿ÚÔ˜ – §ÂÈÙÔ˘ÚÁ›· ˙˘Á·ÚÈ¿˜
61
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 61Ô: ÷ڿÍÂȘ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ – ¶·˙Ï Î·È Ï·ÎfiÛÙÚˆÙÔ
62
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 62Ô: ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
63
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 63Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
64
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 64Ô: 3Ô ∫ÚÈÙ‹ÚÈÔ AÍÈÔÏfiÁËÛ˘
™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 58 ·›˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ·È¯Ó›‰È «ºÈ‰¿ÎÈ» ı· Ì¿ıÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ̤¯ÚÈ ÙÔ 100. ™ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· ·ÎÔ‡ÛÔ˘Ì ¤Ó· ·Ú·Ì‡ıÈ Ì ٷ ÙÚ›· ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ· Î·È Ì¤Û· ·fi ÙËÓ Â›Ï˘ÛË Û¯ÂÙÈÎÒÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ ı· ·ÛÎËıԇ̠ÛÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi Î·È ÙȘ ÌÔÈÚ·ÛȤ˜. ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 60 ı· ÂÈÚ·Ì·ÙÈÛÙԇ̠̠ÙË Ì¤ÙÚËÛË ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ Î·È ı· Ì¿ıÔ˘Ì ÁÈ· Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ›‰Ë ˙˘Á·ÚÈÒÓ. ∫·ÙfiÈÓ ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 61 ı· ·Û¯ÔÏËıÔ‡ÌÂ Î·È ¿ÏÈ Ì ¯·Ú¿ÍÂȘ, ·˙Ï Î·È Ï·ÎfiÛÙÚˆÙ·, ÂÓÒ ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· χÛÔ˘Ì ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·.
T· 100 EYPø
3
3
3
3
Ë
12
58
OÈ ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 – ÃÚ‹Ì·
1 TÔ Êȉ¿ÎÈ
∫·ÓfiÓ˜ ÙÔ˘ ·È¯ÓȉÈÔ‡ ÃÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ¤Ó· ˙¿ÚÈ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 4, 5 Î·È 6 ı· ¤¯Ô˘Ó ÎfiÎÎÈÓÔ ¯ÚÒÌ·, ÂÓÒ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 2 Î·È 3 ı· ¤¯Ô˘Ó ÌÏ ¯ÚÒÌ·. •ÂÎÈÓ¿Ì ·fi ÙÔ 0. ∫¿ı ·›ÎÙ˘ Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ú›¯ÓÂÈ ÙÔ ˙¿ÚÈ. ŸÙ·Ó ÙÔ ˙¿ÚÈ ‰Â›¯ÓÂÈ ÌÈ· ÎfiÎÎÈÓË ÏÂ˘Ú¿, ÚÔ¯ˆÚԇ̠ÌÚÔÛÙ¿ ÙfiÛ˜ ı¤ÛÂȘ fiÛ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ˙¿ÚÈ. ŸÙ·Ó ÙÔ ˙¿ÚÈ ‰Â›¯ÓÂÈ ÌÈ· ÌÏ ÏÂ˘Ú¿, ËÁ·›ÓÔ˘Ì ›Ûˆ ÙfiÛ˜ ı¤ÛÂȘ fiÛ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ˙¿ÚÈ. ¡ÈÎËÙ‹˜ ı· Â›Ó·È ·˘Ùfi˜ Ô˘ ı· ÊÙ¿ÛÂÈ ÚÒÙÔ˜ ÛÙÔ 100.
™˘ÌÏËÚÒÓˆ Ù· ÛÙÔȯ›· Ô˘ ÏÂ›Ô˘Ó ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·. AÚÈıÌfi˜ ·fi ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÍÂΛÓËÛ·Ó
Z¿ÚÈ
£¿ÏÂÈ·
30
4
¢ËÌ‹ÙÚ˘
80
3
KÔÚ›Ó·
40
6
Ì·ı·›Óˆ T· 100 ú
AÚÈıÌfi˜ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ¤ÊÙ·Û·Ó
T· 100 ÏÂÙ¿ ·Í›˙Ô˘Ó fiÛÔ 1ú
10 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 10 =
68
∞ÛÎԇ̠ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÛÙË ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì¤¯ÚÈ ÙÔ 100.
ÂÓfiÙËÙ·
9 Ë
ªÂÙÚÒ ·Ó¿ 10 ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 Î·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·.
10
...
20
100 3
°Ú¿Êˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ϤÍÂȘ.
80
100
90
ÔÁ‰fiÓÙ·
89
2
ÂÓÂÓ‹ÓÙ·
ÂηÙfi
97
72
86
99
ÔÁ‰fiÓÙ· ÂÓÓ¤·
68
¢È·‚¿˙ˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ Ù· ÎÂÓ¿.
68 = 60 + 8
76 = .......................................
∆ M 6 8 ∆ M
88 = .......................................
∆ M
88 = .....................
90 = .......................................
∆ M
90 = .....................
99 = .......................................
∆ M
99 = .....................
68 =
ÂÍ‹ÓÙ· ÔÎÙÒ
4
76 = .....................
2. OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÂÙÚÔ‡Ó ·Ó¿ 10 ̤¯ÚÈ ÙÔ 100. ∂›Û˘ ·Ó‚·›ÓÔ˘Ó ·Ó¿ 10 ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÌÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ‰Âο‰·. ∆¤ÏÔ˜, ηÙ‚·›ÓÔ˘Ó ·Ó¿ 10 ·fi ÙÔ 100. 69
59
¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Î·È ‰È·›ÚÂÛË
1 ∆· ÙÚ›· ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ·
∆· ÙÚ›· ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ· ‚Á‹Î·Ó ÛÙÔ ‰¿ÛÔ˜ ÁÈ· Ó· Ê¿ÓÂ. ∫¿ı ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ ¤Ê·ÁÂ: ‰‡Ô Ì·ÓÈÙ¿ÚÈ· ◗ ¶fiÛ· Ì·ÓÈÙ¿ÚÈ· ¤Ê·Á·Ó Î·È Ù· ÙÚ›· ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ· Ì·˙›; ŸÏ· Ì·˙› ¤Ê·Á·Ó ... Ì·ÓÈÙ¿ÚÈ·.
Ù¤ÛÛÂÚ· ‚ÂÏ·Ó›‰È· ◗ ¶fiÛ· ‚ÂÏ·Ó›‰È· ¤Ê·Á·Ó Î·È Ù· ÙÚ›· ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ· Ì·˙›; ŸÏ· Ì·˙› ¤Ê·Á·Ó ... ‚ÂÏ·Ó›‰È·.
ÂÓÓ¤· ηڇ‰È· T· ÙÚ›· ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ· ‚Ú‹Î·Ó ÛÙÔ ‰¿ÛÔ˜ 9 ηڇ‰È· Î·È ·ÔÊ¿ÛÈÛ·Ó Ó· Ù· ÌÔÈÚ·ÛÙÔ‡Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ¶fiÛ· ηڇ‰È· ı· ¿ÚÂÈ Î¿ı ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ; ∫¿ı ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ ı· ¿ÚÂÈ ... ηڇ‰È·.
70
∂Í·ÛÎԇ̠ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Û ÂÌÂÈÚÈΤ˜ ηٷÛÙ¿ÛÂȘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ Ù˘ ·ӷϷ̂·ÓfiÌÂÓ˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ‰È·›ÚÂÛ˘ Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ Ù˘ ÌÔÈÚ·ÛÈ¿˜.
ÂÓfiÙËÙ·
9 2
10
...
20
Ë
ªÂÙÚÒ ·Ó¿ 10 ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 Î·È ·Ó¿ 5 ̤¯ÚÈ ÙÔ 50.
100 3
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Ù· ¤Ù·Ï·.
1 ÏÔ˘ÏÔ‡‰È ¤Ù·Ï·
1 ÊÔÚ¿ ÙÔ 3 =
3
2 ÏÔ˘ÏÔ‡‰È·
+
=
¤Ù·Ï·
2 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 3 =
3 ÏÔ˘ÏÔ‡‰È·
+
+
=
¤Ù·Ï·
3 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 3 =
=
4 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 3 =
4 ÏÔ˘ÏÔ‡‰È·
+
+
+
4
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙȘ Úfi‰Â˜.
1 ·˘ÙÔΛÓËÙÔ 1 ÊÔÚ¿ ÙÔ 4 =
Úfi‰Â˜
4
2 ·˘ÙÔΛÓËÙ·
+
=
2 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 4 =
Úfi‰Â˜
3 ·˘ÙÔΛÓËÙ·
+
+
=
3 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 4 =
Úfi‰Â˜
4 ·˘ÙÔΛÓËÙ·
+
+
+
=
Úfi‰Â˜
4 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 4 =
=
5 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 4 =
5 ·˘ÙÔΛÓËÙ·
+
+
+
+
2. OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÂÙÚÔ‡Ó ÚÔÊÔÚÈο ·Ó¿ 10 ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 Î·È ·Ó¿ 5 ̤¯ÚÈ ÙÔ 50.
71
60
µ¿ÚÔ˜ – §ÂÈÙÔ˘ÚÁ›· ˙˘Á·ÚÈ¿˜
1 ¢È¿ÊÔÚ˜ ˙˘Á·ÚȤ˜.
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ‚·Ú‡ÙÂÚÔ; ∑˘Á›˙ˆ Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Î·È ‚Ú›ÛΈ ÙÔ ÈÔ ‚·Ú‡.
∆Ú›· ›‰È· ÎÔ˘ÙÈ¿ Â›Ó·È ÁÂÌ¿Ù· Ì ¿ÌÌÔ, ηʤ Î·È ‚·Ì‚¿ÎÈ. ∞ÚÈıÌÒ Ù· ÎÔ˘ÙÈ¿ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 2 Î·È 3 ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙÔ ‚·Ú‡ÙÂÚÔ Î·È ÚÔ¯ˆÚÒÓÙ·˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÂÏ·ÊÚ‡ÙÂÚÔ.
‚·Ì‚¿ÎÈ
72
¿ÌÌÔ˜
ηʤ˜
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ¤Ú¯ÔÓÙ·È Û ÚÒÙË Â·Ê‹ Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ Î·È ÙË Ì¤ÙÚËÛ‹ ÙÔ˘.
ÂÓfiÙËÙ·
9 Ë
2
¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜ Î·È Û˘˙ËÙ¿ÌÂ.
◗ ∏ ·ÚÎÔ‡‰· Â›Ó·È ‚·Ú‡ÙÂÚË ·fi Û¤Ó·; ◗ ∆Ô ·ÚÎÔ˘‰¿ÎÈ ˙˘Á›˙ÂÈ fiÛÔ Î·È Ë ÌÂÁ¿ÏË ·ÚÎÔ‡‰·; ◗ O ÂϤʷÓÙ·˜ Â›Ó·È ÂÏ·ÊÚ‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙËÓ ·ÚÎÔ‡‰·; ◗ ∆Ô ÂÏÂÊ·ÓÙ¿ÎÈ ˙˘Á›˙ÂÈ fiÛÔ Ô ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ÂϤʷÓÙ·˜; ◗ ¶ÔÈ· ¿ÏÏ· ˙Ò· Ì ÌÂÁ¿ÏÔ ‚¿ÚÔ˜ ÁÓˆÚ›˙ÂȘ;
3
µ¿˙ˆ Û ·ÎÏÔ Ù· Ú¿ÁÌ·Ù· Ô˘ ÓÔÌ›˙ˆ fiÙÈ Â›Ó·È ÈÔ ÂÏ·ÊÚ¿ ·fi ¤Ó· ‚È‚Ï›Ô.
----------------------------------------
ÎÔ˘Ù¿ÏÈ
ÎÔ˘Ó¤ÏÈ
Ì·ÏfiÓÈ
Û·ÏÔ˜
ÏÔ˘ÏÔ‡‰È 73
61
÷ڿÍÂȘ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ – ¶·˙Ï – ¶Ï·ÎfiÛÙÚˆÙÔ
1 ∏ ‰È·‰ÚÔÌ‹ ÙÔ˘ ÎÔ˘ÓÂÏÈÔ‡ ¢È·‚¿˙ˆ ÙȘ ÈÛÙÔڛ˜ Î·È ÙÚ·‚Ò ÁÚ·Ì̤˜. ◗ ŒÓ· ÎÔ˘ÓÂÏ¿ÎÈ ÍÂΛÓËÛ ·fi ÙË ÊˆÏÈ¿ ÙÔ˘ Î·È ¤ÊÙ·Û ̤¯ÚÈ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ fiÔ˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ù· ηÚfiÙ·. ∞fi ÂΛ ‹Á ÛÙÔ Î›ÙÚÈÓÔ ÏÔ˘ÏÔ‡‰È. •ÂÎÔ˘Ú¿ÛÙËΠÏÈÁ¿ÎÈ Î·È Â¤ÛÙÚ„ ÛÙË ÊˆÏÈ¿ ÙÔ˘.
∆È Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ Ë ‰È·‰ÚÔÌ‹ ÙÔ˘;
∞¿ÓÙËÛË: ..................................................................................... ◗ ∆Ô ÎÔ˘ÓÂÏ¿ÎÈ ÍÂΛÓËÛ ·fi ÙÔ Ú¿ÛÈÓÔ Ï¿¯·ÓÔ Î·È ‹Á ÛÙÔ ÎfiÎÎÈÓÔ ÏÔ˘ÏÔ‡‰È. ∞fi ÙÔ ÎfiÎÎÈÓÔ ÏÔ˘ÏÔ‡‰È ‹Á ÛÙÔ Î›ÙÚÈÓÔ Ï¿¯·ÓÔ Î·È ·fi ÂΛ ÛÙÔ ÌÔ‚ ÏÔ˘ÏÔ‡‰È. ∞fi ÙÔ ÌÔ‚ ÏÔ˘ÏÔ‡‰È ¤ÛÙÚ„ ÛÙÔ Ú¿ÛÈÓÔ Ï¿¯·ÓÔ. ∆È Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ Ë ‰È·‰ÚÔÌ‹ ÙÔ˘;
∞¿ÓÙËÛË: .....................................................................................
74
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ı· Û˘Ó¯›ÛÔ˘Ó ÙËÓ ÂÍ¿ÛÎËÛ‹ ÙÔ˘˜ ÛÙȘ ¯·Ú¿ÍÂȘ ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, ÛÙË Û‡ÓıÂÛË ·˙Ï Î·È ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ï·ÎfiÛÙÚˆÙˆÓ.
ÂÓfiÙËÙ·
9 Ë
2 ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ Ì ÙÔ ¯¿Ú·Î· Î·È Û˘Ó¯›˙ˆ ÙÔ ¯ÚˆÌ·ÙÈÛÌfi Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ.
3 Ãڈ̷ٛ˙ˆ οı ÎÔÌÌ¿ÙÈ Ì ÙÔ ›‰ÈÔ ¯ÚÒÌ·.
75
ÚÔ‚Ï‹
Ù· Ì· Ú
123 x 4567+896538-7 62 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
‹Ì· Ô‚Ï Ù·
1 OÈ Î¿ÚÙ˜ Ì ٷ ·ÁÁ›· ∏ ¡·Ù·Ï›· ·ÁfiÚ·Û οÚÙ˜ ·fi ÙÔ ÌÔ˘Û›Ô. ÿÚÈÛ ÛÙÔ Ê›ÏÔ Ù˘ ÙÔÓ ÃÚ‹ÛÙÔ 8 οÚÙ˜ Î·È Ù˘ ¤ÌÂÈÓ·Ó ·˘Ù¤˜ Ô˘ ‚ϤÂȘ. ¶fiÛ˜ ·ÁfiÚ·ÛÂ Û˘ÓÔÏÈο;
∞¿ÓÙËÛË: ∏ ¡·Ù·Ï›· ·ÁfiÚ·Û ... οÚÙ˜ ·fi ÙÔ ÌÔ˘Û›Ô. ™˘˙ËÙ¿Ì ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÙÈ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó ·˘Ù¤˜ ÔÈ Î¿ÚÙ˜. 76
5 1 x 2 7 38
ÂÓfiÙËÙ·
9 Ë
2
∏ Ù¿ÍË Ù˘ ÃÚÈÛÙ›Ó·˜ ¤¯ÂÈ 18 ·È‰È¿. ∂Ù¿ ·fi ·˘Ù¿ ÊÔÚÔ‡Ó Á˘·ÏÈ¿. ¶fiÛ· ·È‰È¿ ‰Â ÊÔÚÔ‡Ó Á˘·ÏÈ¿;
∞¿ÓÙËÛË: ... ·È‰È¿ ‰Â ÊÔÚÔ‡Ó Á˘·ÏÈ¿. ºÙÈ¿¯ÓÔ˘Ì ¤Ó· ·ÚfiÌÔÈÔ Úfi‚ÏËÌ· ÁÈ· ÙË ‰È΋ Ì·˜ Ù¿ÍË Î·È ÙÔ Ï‡ÓÔ˘ÌÂ. ∏ Ù¿ÍË Ì·˜ ¤¯ÂÈ ......... ·È‰È¿. ........... ·fi ·˘Ù¿ ...................................................... ¶fiÛ· ·È‰È¿ ............................................................ ;
∞¿ÓÙËÛË: ..............................................................
3 ™Â οı ʈÏÈ¿ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 3 Ô˘Ï¿ÎÈ·. ™ÙÔ ‰¤ÓÙÚÔ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 4 ʈÏȤ˜. ¶fiÛ· Â›Ó·È fiÏ· Ù· Ô˘Ï¿ÎÈ· ÛÙÔ ‰¤ÓÙÚÔ;
77
·ӷÏ
ÙÈÎfi Ì Ë
123 x 4567+896538-7 63 ·ӷÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ· Ì ¿ıË ·
1 Ãڈ̷ٛ˙ˆ Ì ÙÔ ›‰ÈÔ ¯ÚÒÌ· Ù· Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ Â›Ó·È ›‰È·.
2 ªÔ˘ ·Ú¤ÛÂÈ Ôχ Ó· ÙÚÒˆ ηÚfiÙ·. ∞Ó Î¿ı ̤ڷ ÙÚÒˆ 3 ηÚfiÙ·, fiÛ· ηÚfiÙ· ı· Ê¿ˆ Û ÌÈ· ‚‰ÔÌ¿‰·;
78
5 1 x 2 7 38
ÂÓfiÙËÙ·
9 Ë
3
µÚ›ÛΈ Î·È Áڿʈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi.
4 ™˘ÌÏËÚÒÓˆ Ì ÙÔ ¯¿Ú·Î· ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Û¯‹Ì· ÒÛÙ ӷ Á›ÓÂÈ ›‰ÈÔ Ì ÙÔ ÚÒÙÔ.
5 µ¿˙ˆ Û ·ÎÏÔ ÙÔ ÂÏ·ÊÚ‡ÙÂÚÔ.
ÔÚÙÔοÏÈ
ÏÂÌfiÓÈ
OÈ Ì·Ó¿Ó˜ ˙˘Á›˙Ô˘Ó ................
3. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì οı ÊÔÚ¿ ¤Ó·Ó ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi ·fi ÙÔ 70 ̤¯ÚÈ ÙÔ 100, ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·˜ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ Î·È ÙˆÓ ‰Âο‰ˆÓ ÙÔ˘ (.¯. «ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ 3 ÌÔÓ¿‰Â˜ Î·È 9 ‰Âο‰Â˜;»). 79
ªÂ ·fiÊ·ÛË Ù˘ ∂ÏÏËÓÈ΋˜ ∫˘‚¤ÚÓËÛ˘ Ù· ‰È‰·ÎÙÈο ‚È‚Ï›· ÙÔ˘ ¢ËÌÔÙÈÎÔ‡, ÙÔ˘ °˘ÌÓ·Û›Ô˘ Î·È ÙÔ˘ §˘Î›Ԣ Ù˘ÒÓÔÓÙ·È ·fi ÙÔÓ √ÚÁ·ÓÈÛÌfi ∂ΉfiÛˆ˜ ¢È‰·ÎÙÈÎÒÓ µÈ‚Ï›ˆÓ Î·È ‰È·Ó¤ÌÔÓÙ·È ‰ˆÚÂ¿Ó ÛÙ· ¢ËÌfiÛÈ· ™¯ÔÏ›·. ∆· ‚È‚Ï›· ÌÔÚ› Ó· ‰È·Ù›ıÂÓÙ·È ÚÔ˜ ÒÏËÛË, fiÙ·Ó Ê¤ÚÔ˘Ó ‚È‚ÏÈfiÛËÌÔ ÚÔ˜ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÁÓËÛÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜. ∫¿ı ·ÓÙ›Ù˘Ô Ô˘ ‰È·Ù›ıÂÙ·È ÚÔ˜ ÒÏËÛË Î·È ‰Â ʤÚÂÈ ‚È‚ÏÈfiÛËÌÔ, ıˆÚÂ›Ù·È ÎÏ„›Ù˘Ô Î·È Ô ·Ú·‚¿Ù˘ ‰ÈÒÎÂÙ·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙȘ ‰È·Ù¿ÍÂȘ ÙÔ˘ ¿ÚıÚÔ˘ 7, ÙÔ˘ ¡fiÌÔ˘ 1129 Ù˘ 15/21 ª·ÚÙ›Ô˘ 1946 (ºEK 1946, 108, Aã).
BIB§IO™HMO
∞·ÁÔÚ‡ÂÙ·È Ë ·Ó··Ú·ÁˆÁ‹ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘, Ô˘ ηχÙÂÙ·È ·fi ‰ÈηÈÒÌ·Ù· (copyright), ‹ Ë ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÌÔÚÊ‹, ¯ˆÚ›˜ ÙË ÁÚ·Ù‹ ¿‰ÂÈ· ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘.
123 x 4567+896538-72x15
81
123 x 4567+896538-72x15
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KÂÊ¿Ï·ÈÔ 40
KÂÊ¿Ï·ÈÔ 57
¢ËÌ‹ÙÚÈÔ˜ ¶ÓÂ˘Ì·ÙÈÎfi˜
M·ıËÌ·ÙÈο Aã ¢ËÌÔÙÈÎÔ‡ M·ıËÌ·ÙÈο Ù˘ º‡Û˘ Î·È Ù˘ Zˆ‹˜
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‚ã Ù‡¯Ô˜ OP°ANI™MO™ EK¢O™Eø™ ¢I¢AKTIKøN BIB§IøN
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÷ڿϷÌÔ˜ §ÂÌÔÓ›‰Ë˜, ∫·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ ¢˘ÙÈ΋˜ ª·Î‰ÔÓ›·˜ Aı·Ó¿ÛÈÔ˜ £ÂÔ‰ÒÚÔ˘, ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ A¯ÈÏϤ·˜ K·„¿Ï˘, K·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ M·Î‰ÔÓ›·˜ ¢ËÌ‹ÙÚÈÔ˜ ¶ÓÂ˘Ì·ÙÈÎfi˜, §¤ÎÙÔÚ·˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ ¢˘ÙÈ΋˜ M·Î‰ÔÓ›·˜ £ÂÔ‰fiÛÈÔ˜ Z·¯·ÚÈ¿‰Ë˜, AÓ·ÏËÚˆÙ‹˜ K·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ AıËÓÒÓ M·Ú›· KÔÙÛ·ÎÒÛÙ·, ™¯ÔÏÈ΋ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ £ÂfiÊÈÏÔ˜ T˙ÒÚÙ˙˘, ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜
∫ˆÓÛÙ·ÓÙ›ÓÔ˜ ∞ÚÒÓ˘, ™ÎÈÙÛÔÁÚ¿ÊÔ˜-∂ÈÎÔÓÔÁÚ¿ÊÔ˜ ºÚfiÛˆ •ÈÍ‹, ºÈÏfiÏÔÁÔ˜
°ÂÒÚÁÈÔ˜ ∆‡·˜, ªfiÓÈÌÔ˜ ¶¿Ú‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘ M·Ú›· XÈÔÓ›‰Ô˘-MÔÛÎÔÊfiÁÏÔ˘, E›ÎÔ˘ÚÔ˜ K·ıËÁ‹ÙÚÈ· ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ AÈÁ·›Ô˘ AÓ‰Ú¤·˜ °ÎÔÏÊÈÓfiÔ˘ÏÔ˜, ∂ÈηÛÙÈÎfi˜ ∫·ÏÏÈÙ¤¯Ó˘
ACCESS °Ú·ÊÈΤ˜ T¤¯Ó˜ A.E.
°ã ∫.¶.™. / ∂¶∂∞∂∫ ππ / ∂Ó¤ÚÁÂÈ· 2.2.1. / ∫·ÙËÁÔÚ›· ¶Ú¿ÍÂˆÓ 2.2.1.·: «∞Ó·ÌfiÚʈÛË ÙˆÓ ÚÔÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ ÛÔ˘‰ÒÓ Î·È Û˘ÁÁÚ·Ê‹ Ó¤ˆÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ ·Î¤ÙˆÓ» ¶∞π¢∞°ø°π∫√ π¡™∆π∆√À∆√ ªÈ¯¿Ï˘ ∞Á. ¶··‰fiÔ˘ÏÔ˜ √ÌfiÙÈÌÔ˜ ∫·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ∞.¶.£. ¶Úfi‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘ ¶Ú¿ÍË Ì ٛÙÏÔ:
«™˘ÁÁÚ·Ê‹ Ó¤ˆÓ ‚È‚Ï›ˆÓ Î·È ·Ú·ÁˆÁ‹ ˘ÔÛÙËÚÈÎÙÈÎÔ‡ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ‡ ˘ÏÈÎÔ‡ Ì ‚¿ÛË ÙÔ ¢∂¶¶™ Î·È Ù· ∞¶™ ÁÈ· ÙÔ ¢ËÌÔÙÈÎfi Î·È ÙÔ NËÈ·ÁˆÁ›Ի ∂ÈÛÙËÌÔÓÈÎfi˜ À‡ı˘ÓÔ˜ ŒÚÁÔ˘ °ÂÒÚÁÈÔ˜ ∆‡·˜ MfiÓÈÌÔ˜ ¶¿Ú‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘ ∞Ó·ÏËÚˆÙ‹˜ ∂ÈÛÙËÌÔÓÈÎfi˜ À‡ı˘ÓÔ˜ ŒÚÁÔ˘ °ÂÒÚÁÈÔ˜ √ÈÎÔÓfiÌÔ˘ MfiÓÈÌÔ˜ ¶¿Ú‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘
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¢ÔÌ‹ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ AÚÈıÌfi˜ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
Xڈ̷ÙÈο ۇ̂ÔÏ· K¿ı ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ, ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙË ıÂÌ·ÙÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ ÛÙËÓ ÔÔ›· ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È, ¤¯ÂÈ ¤Ó· ¯ÚÒÌ·. OÈ ÂÚÈÔ¯¤˜ Â›Ó·È ÔÈ ÂÍ‹˜: AÚÈıÌÔ›
T›ÙÏÔ˜ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
™‡Ì‚ÔÏÔ - ÎÏÂȉ› ÁÈ· ÙÔ Â›‰Ô˜ Ù˘ ÂÚÁ·Û›·˜ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› *
¶Ú¿ÍÂȘ °ÂˆÌÂÙÚ›· MÂÙÚ‹ÛÂȘ ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· E·Ó¿ÏË„Ë
EÈÎÔÓ›‰È·
(ۇ̂ÔÏ· ÎÏÂȉȿ)
™ÙËÓ Â¿Óˆ ·ÚÈÛÙÂÚ‹ ÁˆÓ›· οı ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ·fi Ù· ·ÎfiÏÔ˘ı· ۇ̂ÔÏ·: O ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ Ô˘ ÛΤÊÙÂÙ·È - ™‡Ì‚ÔÏÔ ÛΤ„˘:: EÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È Û ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ ÓÔÂÚÒÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÒÓ. H ̤ÏÈÛÛ· - ™‡Ì‚ÔÏÔ ÂÚÁ·ÙÈÎfiÙËÙ·˜: EÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È Û ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ Î·È Â̤‰ˆÛ˘. O Û·ÏÔ˜ ȯÓËÏ¿Ù˘ - ™‡Ì‚ÔÏÔ ·Ó·Î¿Ï˘„˘ : EÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙȘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ÂÈÛ¿ÁÔ˘Ó ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÛÙË Ó¤· ÁÓÒÛË. O ÂϤʷÓÙ·˜ - ™‡Ì‚ÔÏÔ ÌÓ‹Ì˘: EÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙȘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ ·ӿÏ˄˘. OÌ¿‰· Ì·ıËÙÒÓ - ™‡Ì‚ÔÏÔ ÔÌ·‰ÈÎfiÙËÙ·˜: EÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È Û ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Ô˘ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· Á›ÓÔ˘Ó Û ÔÌ¿‰Â˜.
4
AÚÈıÌfi˜ ÛÂÏ›‰·˜
¢
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˘ Ô › Ï ‚ È ¢ÔÌ‹ ÙÔ˘ ‚ AÚÈıÌfi˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·˜
¢È‰·ÎÙÈÎÔ› ÛÙfi¯ÔÈ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘
™ËÌ›ˆÛË ÁÈ· ÙÔ ‰¿ÛηÏÔ ÛÙÔ˘˜ ÓÔÂÚÔ‡˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ 5
OÈ ‹ÚˆÂ˜ ÙÔ˘ ‚È‚ Ï›Ô˘ ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ Ô ™¿ÌÈÔ˜
(ÂÚ›Ô˘ 600 .Ã.)
O ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ ‹Ù·Ó ¤Ó·˜ ÛÔ˘‰·›Ô˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Ù˘ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜ Ô˘ ÁÂÓÓ‹ıËΠÛÙË ™¿ÌÔ. ÿ‰Ú˘Û ÌÈ· Û¯ÔÏ‹, ÙË Û¯ÔÏ‹ ÙˆÓ ¶˘ı·ÁÔÚ›ˆÓ, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ ÌÂÏÂÙÔ‡Û·Ó ÙË ÊÈÏÔÛÔÊ›·, Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο Î·È ÙȘ ÂÈÛً̘. ∂›¯Â ‰·ÛοÏÔ˘˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˘˜ ÛÔÊÔ‡˜ Ù˘ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜ Î·È Ù·Í›‰Â„ ÛÙËÓ ∞Û›· Î·È ÙËÓ ∞›Á˘ÙÔ fiÔ˘ ÌÂϤÙËÛ ÙËÓ ·ÈÁ˘Ùȷ΋ ÊÈÏÔÛÔÊ›·, Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο, ÙËÓ ·ÛÙÚÔÓÔÌ›· Î·È ÙËÓ È·ÙÚÈ΋. O ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ ¤ÌÂÈÓ ÁÓˆÛÙfi˜ ˆ˜ Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ Ô˘ ¤‚Ï ·ÓÙÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
O ¶˘ı·ÁfiÚ·˜
H KÔÚ›Ó·
6
‚Ï›Ô˘
‚ È Ï ‚ › Ô ˘ ˘ Ô Ù OÈ ‹ÚˆÂ˜ À·Ù›· Ë ∞ÏÂÍ·Ó‰ÚÈÓ‹
(370-415 Ì.Ã.)
∏ À·Ù›· ‹Ù·Ó Ë ÚÒÙË Á˘Ó·›Î· Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ÛÙËÓ πÛÙÔÚ›·. °ÂÓÓ‹ıËΠÛÙËÓ ∞ÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ·. ◊Ù·Ó ÎfiÚË ÙÔ˘ ÊÈÏfiÛÔÊÔ˘ £¤ˆÓ·, ‰È¢ı˘ÓÙ‹ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ Ù˘ ∞ÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ·˜. °È· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ›¯Â ÙËÓ Ù‡¯Ë Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÂÈ Û¿ÓÈ· ÌfiÚʈÛË, Û ÌÈ· ÂÔ¯‹ Ô˘ Ë ı¤ÛË Ù˘ Á˘Ó·›Î·˜ ÛÙËÓ ÎÔÈÓˆÓ›· ‹Ù·Ó Ôχ ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ·fi fi,ÙÈ Û‹ÌÂÚ·. ™˘Ó¤¯ÈÛ ÙȘ ÛÔ˘‰¤˜ Ù˘ ÛÙËÓ ∞ı‹Ó· Î·È ÙË ƒÒÌË ÂÓÙ˘ˆÛÈ¿˙ÔÓÙ·˜ fiÏÔ˘˜ fiÛÔÈ ÙËÓ Û˘Ó·Ó·ÛÙÚ¤ÊÔÓÙ·Ó Ì ÙÔ Ó‡̷, ÙË ÛÂÌÓfiÙËÙ·, ÙËÓ ÔÌÔÚÊÈ¿ Î·È ÙËÓ Â˘ÁψÙÙ›· Ù˘. ∂ÈÛÙÚ¤ÊÔÓÙ·˜ ÛÙËÓ ∞ÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ· Ôχ Û‡ÓÙÔÌ· ·Ó·‰Â›¯ıËΠ۠ÌÂÁ¿ÏË ‰·ÛοϷ Ù˘ ÊÈÏÔÛÔÊ›·˜ Î·È ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ.
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7
¶ÂÚȯfiÌÂÓ·
Xڈ̷ÙÈο ۇ̂ÔÏ· AÚÈıÌÔ› ¶Ú¿ÍÂȘ E·Ó¿ÏË„Ë
°ÂˆÌÂÙÚ›· MÂÙÚ‹ÛÂȘ ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
8
¢ÔÌ‹ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘
4-5
OÈ ‹ÚˆÂ˜ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘
6-7
¶ÂÚȯfiÌÂÓ·
8-9
· Ó Â Ì ¶ÂÚȯ fi
Ó·
EÓfiÙËÙ· 7Ë:
Ã∞ƒ∞•∂π™ KAI ¶∞∑§ – ¶ƒ√™£∂™∏ ∫∞π ∞º∞πƒ∂™∏ – ∏ À¶∂ƒµ∞™∏ ∆∏™ ¢∂∫∞¢∞™
Bã ¶ÂÚ›Ô‰Ô˜ ∞ÚÈıÌÔ›: ¶Ú¿ÍÂȘ:
°ÂˆÌÂÙÚ›·: ªÂÙÚ‹ÛÂȘ:
√È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 50 – ™‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘, ÌÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜. ∞Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜ ̤¯ÚÈ ÙÔ 10 – ∞ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ì ÔÏÏÔ‡˜ fiÚÔ˘˜ – ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Ì ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜. ÿڷÍË ÁÚ·ÌÌÒÓ – ∫›ÓËÛË Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› – °ÂˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·. ªÔÙ›‚· – √ ¯ÚfiÓÔ˜.
EÓfiÙËÙ· 5Ë:
√π ∞ƒπ£ª√π ª∂Ãπ ∆√ 50, ª√¡∞¢∂™ ∫∞π ¢∂∫∞¢∂™ – ∆∂∆ƒ∞°ø¡π™ª∂¡√ Ã∞ƒ∆π
4 5 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 45Ô:
÷ڿÍÂȘ, ·˙Ï Î·È ÌˆÛ·˚ο
38-39
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 46Ô:
4 6 ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ‰È„‹ÊÈˆÓ Î·È ÌÔÓÔ„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ
40-41
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 47Ô:
4 7 ∏ ÚfiÛıÂÛË Î·È Ë ·Ê·›ÚÂÛË ˆ˜ 48
·ÓÙ›ÛÙÚÔʘ Ú¿ÍÂȘ – ∏ ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜
42-43
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 48Ô: ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› – ∂ÈÛÙÚÔÊ‹ ÛÙËÓ ÂÓÙ¿‰·
44-45
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 49Ô:
33
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 33Ô: √ÚÁ¿ÓˆÛË Û˘ÏÏÔÁÒÓ – √È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 50
12-13
34
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 34Ô: ªÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜ (π)
14-15
5 0 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
35
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 35Ô: ∞ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ì ÔÏÏÔ‡˜ fiÚÔ˘˜
16-17
5 1 ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
36
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 36Ô: ∫›ÓËÛË Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ›
18-19
37
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 37Ô: ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
20-21
EÓfiÙËÙ· 8Ë: √π ∞ƒπ£ª√π ª∂Ãπ ∆√ 70 – ¶ƒ∞•∂π™ – ª∂∆ƒ∏™∏ – ™Àªª∂∆ƒπ∞
38
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 38Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
22-23
5 2 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 52Ô:
4 9 ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË – ¢È„‹ÊÈÔÈ Î·È ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 50fi:
√È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 70
54-55
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 39Ô: ªÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜ (ππ)
40
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 40fi: °ÂˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·
41
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 41Ô: √ ¯ÚfiÓÔ˜
42
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 42Ô: ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Ì ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜
32-33
43
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 43Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
34-35
26-27 28-29 30-31
56-57
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 54Ô:
5 4 ª¤ÙÚËÛË ÌÂÁÂıÒÓ
39
58-59
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 55Ô:
5 5 ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË ‰È„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ
60-61
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 56Ô:
5 6 ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙË Û˘ÌÌÂÙÚ›·
62-63
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 57Ô:
5 7 ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
64-65
EÓfiÙËÙ· 9Ë:
√π ∞ƒπ£ª√π ª∂Ãπ ∆√ 100 – ¶ƒ∞•∂π™ – µ∞ƒ√™ – °∂øª∂∆ƒπ∫∞ ™Ã∏ª∞∆∞
5 8 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 58Ô:
√È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 – ÃÚ‹Ì·
°ã ¶ÂÚ›Ô‰Ô˜
ªÂÙÚ‹ÛÂȘ:
50-51
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 53Ô:
5 3 ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi
ª√¡∞¢∂™ ∫∞π ¢∂∫∞¢∂™ – °∂øª∂∆ƒπ∫∞ ™Ã∏ª∞∆∞ – Ã√¡√™
°ÂˆÌÂÙÚ›·:
48-49
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 51Ô:
EÓfiÙËÙ· 6Ë:
∞ÚÈıÌÔ›: ¶Ú¿ÍÂȘ:
46-47
√È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 100. ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ‰È„‹ÊÈˆÓ Î·È ÌÔÓÔ„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ – ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ Ì ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜ – ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜. ÷ڿÍÂȘ, ·˙Ï, Ï·ÎfiÛÙÚˆÙÔ Î·È ÌˆÛ·˚ο – °ÂˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù· – ™˘ÌÌÂÙÚ›·. ª¤ÙÚËÛË Û˘Ó¯ÒÓ ÌÂÁÂıÒÓ – µ¿ÚÔ˜ – ¡ÔÌ›ÛÌ·Ù·.
68-69
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 59Ô:
5 9 ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Î·È ‰È·›ÚÂÛË 60
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 60fi: µ¿ÚÔ˜ – §ÂÈÙÔ˘ÚÁ›· ˙˘Á·ÚÈ¿˜
70-71 72-73
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 61Ô:
6 1 ÷ڿÍÂȘ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ – ¶·˙Ï Î·È Ï·ÎfiÛÙÚˆÙÔ
74-75
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 62Ô:
6 2 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
76-77
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 63Ô:
6 3 ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
78-79
9
Ù fi Ë Ó Ù · E 1 5 x 5 8 42 2 96538-7 EÓfiÙËÙ· 5Ë:
API£MOI MEXPI TO 50, MONA¢E™ KAI ¢EKA¢E™ – TETPA°øNI™MENO XAPTI
33
Ë
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 33Ô: √ÚÁ¿ÓˆÛË Û˘ÏÏÔÁÒÓ – AÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 50
34
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 34Ô: ªÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜ (π)
35
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 35Ô: ∞ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ì ÔÏÏÔ‡˜ fiÚÔ˘˜
36
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 36Ô: ∫›ÓËÛË Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ›
37
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 37Ô: ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
38
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 38Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
™Ù· ∫ÂÊ¿Ï·È· 33 Î·È 34 ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ·ÚÈıÌËÙ‹ÚÈÔ, Ù· ˙¿ÚÈ·, Ù· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· Î·È ¿ÏÏ· ˘ÏÈο Ù¤ÙÔÈ·, Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÔÚÁ·ÓˆÌ¤ÓË ‰ÔÌ‹ Ì ‚¿ÛË ÙË ‰Âο‰· Î·È ÙËÓ ÂÓÙ¿‰·. ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 35 ı· ·›ÍÔ˘Ì ·Ú¯Èο ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÙÔ ·È¯Ó›‰È «O ·ÚÈıÌfi˜-ÛÙfi¯Ô˜» ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ·ÛÎËıԇ̠۠·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ·fi ‰‡Ô fiÚÔ˘˜. ∫·ÙfiÈÓ ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 36, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÂÍÔÈÎÂȈıԇ̠̠ÙËÓ Î›ÓËÛË Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ›, ı· ·›ÍÔ˘Ì ̤۷ ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÙÔ ·È¯Ó›‰È Ì ÙÔ ı¤·ÙÚÔ. ™ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·.
¶fiÛÔÈ Â›Ó·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÌÔ˘
1 2 3 4 5
1Ë 1
2
3
2Ë 1 3Ë 1
2
3
2
3
4Ë 1
2
3
5Ë 1
2
3
33
OÚÁ¿ÓˆÛË Û˘ÏÏÔÁÒÓ – ∞ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 50
1 O Ù·Ì›·˜ ∞ÓÙ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Ì ‰¤Î· Ú¿ÛÈÓ˜ Ì¿ÚΘ Ì ̛· ÎfiÎÎÈÓË.
◗ ¶fiÛ˘ ·Í›·˜ Ì¿ÚΘ ¤¯ÂÈ Ô ¶˘ı·ÁfiÚ·˜; ...... ◗ ¶fiÛ˘ ·Í›·˜ Ì¿ÚΘ ¤¯ÂÈ Ë À·Ù›·;
......
◗ ¶ÔÈo˜ ¤¯ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˘ ·Í›·˜ Ì¿ÚΘ; ...... ªÂÙÚÔ‡ÌÂ Î·È ·ÓÙ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Ì ÙȘ Ì¿ÚΘ. ∞ÓÙ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Ì ‰¤Î· Ú¿ÛÈÓ˜ Ì¿ÚΘ Ì ̛· ÎfiÎÎÈÓË.
AÔÙ¤ÏÂÛÌ·
2 5 AÔÙ¤ÏÂÛÌ·
AÔÙ¤ÏÂÛÌ·
12
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË ‰¤Î· ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ Ì ¤Ó· ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ›Û˘ ·Í›·˜.
ÂÓfiÙËÙ· 5 Ë
2
ªÂÙÚÒ Ì¤¯ÚÈ ÙÔ 50.
10 3 °Ú¿Êˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·.
1
5
4
™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
20
›ÎÔÛÈ
›ÎÔÛÈ ÙÚ›·
ÙÚÈ¿ÓÙ·
ÙÚÈ¿ÓÙ· ¤ÓÙÂ
Û·Ú¿ÓÙ·
Û·Ú¿ÓÙ· Ù¤ÛÛÂÚ·
ÂÓ‹ÓÙ·
ÂÓ‹ÓÙ· ¤ÓÙÂ
ÂÓ‹ÓÙ· ÂÓÓ¤·
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·.
10 + 3 = ... 10 + 10 + 7 = ...
5
10 + 8 = ... 10 + 10 + 10 + 5 = ...
2. OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÛÙËÓ ·Ú¯‹ ·ÚÈıÌÔ‡Ó ÚÔÊÔÚÈο ·Ó¿ 1 ̤¯ÚÈ ÙÔ 50. ∑ËÙԇ̠›Û˘ ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ·ÚÈıÌ‹ÛÔ˘Ó ·Ó¿ 10 ̤¯ÚÈ ÙÔ 50 Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ó Ì¤Û· ÛÙ· ΢ÎÏÈο Ï·›ÛÈ· ÙÔ˘˜ ¤ÓÙ ·ÚÈıÌÔ‡˜. 13
34
ªÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜ (I)
1 OÈ ¿‚·Î˜
∫ÈÓ¤˙ÈÎÔ˜ ¿‚·Î·˜.
O «¿‚·Í Ù˘ ™·Ï·Ì›ÓÔ˜» ¯ÚÔÓÔÏÔÁÂ›Ù·È ·fi ÙÔÓ 5Ô ‹ ÙÔÓ 6Ô ·ÈÒÓ· .Ã. ∂›Ó·È Ô ·Ï·ÈfiÙÂÚÔ˜ ¿‚·Î·˜ Î·È ÊÈÏÔÍÂÓÂ›Ù·È ÛÙÔ ∂ıÓÈÎfi ∞Ú¯·ÈÔÏÔÁÈÎfi ªÔ˘ÛÂ›Ô ÙˆÓ ∞ıËÓÒÓ.
Ì·ı·›Óˆ
™Â ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi Ì ‰‡Ô „ËÊ›· – ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÙÔ 26 – ÙÔ „ËÊ›Ô ·fi Ù· ‰ÂÍÈ¿ (2 6) ‰Â›¯ÓÂÈ ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ Î·È ÙÔ „ËÊ›Ô ·fi Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ (2 6) ÙȘ ‰Âο‰Â˜. ¢Âο‰Â˜
MÔÓ¿‰Â˜
2 6 ¢M
Œ¯Ô˘Ì 26 Ì¿ÚΘ.
AÓÙ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Ì 10
ÌÂ Ì›·
.
2 6
2 6 ‰Âο‰Â˜ ÌÔÓ¿‰Â˜
14
∂ÈÛ¿ÁÔ˘ÌÂ Î·È ·ÛÎԇ̠ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÛÙȘ ¤ÓÓÔȘ ÙˆÓ ‰Âο‰ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ.
ÂÓfiÙËÙ· 5 Ë
2 ∏ ΢ڷ-ª·ÚÈÒ, Ë ÔÓËÚ‹ ·ÏÂÔ‡, ¯ÚˆÛÙ¿ 14 ·‚Á¿ ÛÙËÓ Î˘Ú·-¿È· Î·È ı¤ÏÂÈ Ó· Ù· ÂÈÛÙÚ¤„ÂÈ. £· ÛÔ˘ ‰ÒÛˆ fiÛ· ϤÂÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 14. £· ÛÔ˘ ‰ÒÛˆ ‰ËÏ·‰‹ 1 Î·È 4.
∏ ·ÏÂÔ‡ ¤‰ˆÛ ÛÙËÓ Î˘Ú·-¿È· fiÛ· ·‚Á¿ Ù˘ ¯ÚˆÛÙÔ‡Û ‹ ÙËÓ ÍÂÁ¤Ï·ÛÂ;
3 µÚ›ÛΈ ÙȘ ‰Âο‰Â˜ Î·È ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜. ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜.
ñ ∆Ô
27 ¤¯ÂÈ ... ‰Âο‰Â˜ Î·È ... ÌÔÓ¿‰Â˜.
27 = 10 + 10 + 7
ñ ∆Ô
14 ¤¯ÂÈ ............................
14 = .....................
ñ ∆Ô
22 ¤¯ÂÈ ............................
22 =.....................
ñ ∆Ô
36 ¤¯ÂÈ ............................
36 =.....................
ñ ∆Ô
44 ¤¯ÂÈ ............................
44 =..................... 15
35
∞ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ì ÔÏÏÔ‡˜ fiÚÔ˘˜
1 O ·ÚÈıÌfi˜-ÛÙfi¯Ô˜ °È· Ó· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ Î¿ÔÈÔ˜, Ú¤ÂÈ Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 10 ‰È·Ï¤ÁÔÓÙ·˜ ÙÚÂȘ οÚÙ˜.
1
10
2 3 4 5 6 ¶ÔÈÔ˜ ΤډÈÛÂ;
ŒÏÏË
M¿Ì˘
ÿÏÓÙ·
5 2 1
4 2 4
6 2 1
5 + 2 + 1 = ... 4 + ... + ... = ... ... + ... + ... = ...
5 +2 1 ...
4 +2 4 ...
6 +2 1 ...
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ·fi ‰‡Ô fiÚÔ˘˜. 16
ÂÓfiÙËÙ· 5 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ì ÙÚÂȘ ÚÔÛıÂÙ¤Ô˘˜.
3 ™Â ·˘Ùfi ÙÔ ·È¯Ó›‰È ΤډÈÛ·Ó Î·È Ù· ÙÚ›· ·È‰È¿. µÚ›ÛΈ ÔÈ· ‹Ù·Ó Ë ÙÚ›ÙË Î¿ÚÙ· Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜.
ŒÏÏË
5 2
M¿Ì˘
ÿÏÓÙ·
1 5
3 2
5 + 2 + ... = 10 3 + 2 + ... = ... ... + ... + ... = ... 4 ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙȘ ÙÚÂȘ οÚÙ˜, ÁÈ· Ó· ¤¯ˆ ¿ıÚÔÈÛÌ· ›ÛÔ Ì 9.
9
3 2
5
2 4
4
2. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· ̤¯ÚÈ ÙÔ 10 Ì ÙÚÂȘ ÚÔÛıÂÙ¤Ô˘˜, ·fi ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ Ô ÚÒÙÔ˜ ÚÔÛıÂÙ¤Ô˜ Â›Ó·È ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î·È ÔÈ ‰‡Ô ˘fiÏÔÈÔÈ Â›Ó·È ÙÔ 1 ‹ ÙÔ 2 (.¯. 5 + 1 + 1 Î.Ï.). 17
36
K›ÓËÛË Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ›
1 ™ÙÔ ı¤·ÙÚÔ ™˘˙ËÙԇ̠ÁÈ· ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô Î·ıfiÌ·ÛÙ ÛÙÔ ı¤·ÙÚÔ.
™KHNH
1. Xڈ̷ٛ˙ˆ ÙȘ ı¤ÛÂȘ Ô˘ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ÂÈÛÈÙ‹ÚÈÔ.
EI™ITHPIO ÕÙÔÌ·: 2 ™ÂÈÚ¿: 3Ë £¤ÛÂȘ: 1, 2 2. EÈϤÁˆ ÌÈ· ı¤ÛË ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯¤‰ÈÔ Î·È Áڿʈ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÛÙÔ ÂÈÛÈÙ‹ÚÈÔ.
1Ë
1
2
3
2Ë
1
2
3
3Ë
1
2
3
4Ë
1
2
3
5Ë
1
2
3
EI™ITHPIO ÕÙÔÌ·: 2 ™ÂÈÚ¿: --------£¤ÛÂȘ: ---------
18
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ·fiÎÙËÛË Ù˘ ÈηÓfiÙËÙ·˜ Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ó ÙȘ ı¤ÛÂȘ Î·È Ó· ÎÈÓÔ‡ÓÙ·È Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ›.
ÂÓfiÙËÙ· 5 Ë
EÓÙÔ›˙ˆ Î·È ÂÚÈÁڿʈ ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ ˙ÒˆÓ.
2
1 2 3 4 5 ™¯Â‰È¿˙ˆ ‰ÂÍÈ¿ Ù· ›‰È· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Î·È ÛÙȘ ›‰È˜ ı¤ÛÂȘ.
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 BÚ›ÛΈ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ‚ËÌ¿ÙˆÓ.
2
3
4
ÚÔ˜ Ù· ¿ӈ ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ ÚÔ˜ Ù· ¿ӈ ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÚÔ˜ Ù· οو 19
ÚÔ‚Ï‹
Ù· Ì· Ú
123 x 4567+896538-7 37 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
‹Ì· Ô‚Ï Ù·
1 ∫¿Óˆ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ™˘Ó‰¤ˆ ÙȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ Ì ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜. ; Ì›ÏȘ ˜ Â Ú Â Ù fi ÂÚÈÛÛ ˜ È Ù È Ô;  ¯ ¤ ÚÔÏfiÁÈ Â ¶ÔÈÔ˜ Ì Ë Ô ÈÙ ; ‰Â›¯Ó ÁÁ¤Ï˘ · · Ú µ ¤ Ì Ô È ¤Ú ¶ÔÈ· ÌÂÙ·Ê · › Ï ‚ È ¶fiÛ· ‚
N›ÎÔ˜
B·ÁÁ¤Ï˘ °È¿ÓÓ˘ ∞·ÓÙÒ ÛÙȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ.
◗ ¶fiÛ· ‚È‚Ï›· ÌÂٷʤÚÂÈ Ô µ·ÁÁ¤Ï˘; ..........................................................
◗ ¶ÔÈ· ̤ڷ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ËÌÂÚÔÏfiÁÈÔ; ..............................................................
◗ ¶ÔÈÔ˜ ¤¯ÂÈ ÙȘ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ Ì›ÏȘ; ........................................................................................................ ª·˙› Ì ÙÔ˘˜ Û˘ÌÌ·ıËÙ¤˜ ÌÔ˘ ‚Ú›ÛΈ Î·È ¿ÏϘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ. 20
5 1 x 2 7 38
ÂÓfiÙËÙ· 5 Ë
2
5
£¤ÏÔ˘Ì ӷ ‚¿ÏÔ˘Ì ̤۷ ÛÙ· ΢ÎÏÈο Ï·›ÛÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 2, 3 Î·È 4. ™Â οı ÌÈÎÚfi ·ÎÏÔ ‚¿˙Ô˘Ì ¤Ó·Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi. ∆ÔÔıÂÙԇ̠ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ٤ÙÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ÒÛÙÂ, fiÙ·Ó ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì οıÂÙ·, ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· Î·È Î˘ÎÏÈο, Ó· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 10.
3 ŒÏÏË
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∏ ŒÏÏË ¤¯ÂÈ ...... ÏÂÙ¿. O ª¿Ì˘ ¤¯ÂÈ ...... ÏÂÙ¿. ∏ ª·Ú›· ¤¯ÂÈ ...... ÏÂÙ¿.
Ù¿ 7 ÏÂ
◗ ¶ÔÈÔ˜ ÌÔÚ› Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ Ì·ÏfiÓÈ; ...................................................... ◗ ¶fiÛ· ÏÂÙ¿ ¤¯Ô˘Ó Ô M¿Ì˘ Î·È Ë ŒÏÏË Ì·˙›; ........................................ ◗ ¶fiÛ· Ú¤ÛÙ· ı· ¿ÚÂÈ Ë M·Ú›·; .................................................................. ◗ ¶fiÛ· ÏÂÙ¿ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ·ÎfiÌË Ë ŒÏÏË, ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ Ì·ÏfiÓÈ; ....................................................................... 21
·ӷÏ
ÙÈÎfi Ì Ë
123 x 4567+896538-7 38 ·ӷÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ· Ì ¿ıË ·
1
∫ÈÓÔ‡Ì·È Ì ÚÔÛÔ¯‹ ÁÈ· Ó· ÌË Ì ʿÂÈ Ô ¶¿ÎÌ·Ó. ÚÔ˜ Ù· ¿ӈ
ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿
T¤ÏÔ˜ ÚÔ˜ Ù· ¿ӈ
ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿
ÚÔ˜ Ù· οو
AÚ¯‹
◗ ∞oʇÁˆ ÙÔÓ ¶¿ÎÌ·Ó; ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙË ‰È·‰ÚÔÌ‹.
◗ ∫ÂÚ‰›˙ˆ ‹ ¯¿Óˆ;
.......................................... ..........................................
µ¿˙ˆ Û ·ÎÏÔ Ù· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿Ûˆ ÙÔ ·È¯Ó›‰È.
9ú 22
2
5 1 x 2 7 38
ÂÓfiÙËÙ· 5 Ë
3 µÚ›ÛΈ Î·È Áڿʈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi.
4 °Ú¿Êˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ϤÍÂȘ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·.
20 + 3 ›ÎÔÛÈ ÙÚ›· 23 ............................................ = .....................................................
12 .............................................. = .....................................................
46 ............................................ = ..................................................... 11 .............................................. = ..................................................... 50 ............................................ = ..................................................... 5 ™¯ËÌ·Ù›˙ˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÛÙÔ˘˜ ¿‚·Î˜.
10 + 10 + 4
30 + 3
10 + 10 + 10
50 + 3
3. ∏ ‰·ÛοϷ ϤÂÈ ÚÔÊÔÚÈο ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙȘ ‰Âο‰Â˜ Î·È ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ Î·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Î·È ÙÔÓ ÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÛÙÔ Ï·›ÛÈÔ. 23
123 x 4567+896
Ù fi Ë Ó Ù · E 1 5 x 6 8 4 2 2 7 9 6 8 538 EÓfiÙËÙ· 6Ë:
MONA¢E™ KAI ¢EKA¢E™ – °EøMETPIKA ™XHMATA – XPONO™
39
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 39Ô: ªÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜ (ππ)
40
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 40fi: °ÂˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·
41
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 41Ô: √ ¯ÚfiÓÔ˜
42
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 42Ô: ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Ì ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜
43
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 43Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
44
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 44Ô: 2Ô ∫ÚÈÙ‹ÚÈÔ AÍÈÔÏfiÁËÛ˘
Ë
ª¤Û· ·fi ÙÔ ·È¯Ó›‰È «O Ù·Ì›·˜» Î·È ÙȘ ·ÓÙ·ÏÏ·Á¤˜ ÓÔÌÈÛÌ¿ÙˆÓ ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 39 ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘ÌÂ Î·È ¿ÏÈ ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ Î·È ÙȘ ‰Âο‰Â˜. ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 40 ı· ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ì ٷ Û¯‹Ì·Ù· Î·È ı· Û˘Óı¤ÛÔ˘Ì ÂÈÎfiÓ˜ ÚÔÛÒˆÓ Ô˘ Â›Ó·È Û¯Â‰È·Ṳ̂Ó˜ Ì ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·. ™¯ÂÙÈο Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 41 ı· ‚¿ÏÔ˘Ì Û ¯ÚÔÓÔÏÔÁÈ΋ ÛÂÈÚ¿ ʈÙÔÁڷʛ˜ Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ÁÂÁÔÓfiÙ· ·fi ÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ ˙ˆ‹, ı· ‰È·‚¿ÛÔ˘Ì ËÌÂÚÔÏfiÁÈ· Î·È ı· Ì¿ıÔ˘Ì ӷ ϤÌ ÛÙË ÛÂÈÚ¿ ÙȘ Ë̤Ú˜ Ù˘ ‚‰ÔÌ¿‰·˜. ∆¤ÏÔ˜, ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 42 ı· ·ÛÎËıԇ̠۠ÚÔÛı¤ÛÂȘ Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ˘¤Ú‚·Û˘ Ù˘ ‰Âο‰·˜.
AÓÙ·ÏÏ¿ÛÛÔ˘Ì ‰¤Î· Ú¿ÛÈÓ˜ Ì¿ÚΘ Ì ̛· ÎfiÎÎÈÓË
25
2 5 ‰Âο‰Â˜ ÌÔÓ¿‰Â˜
39
ªÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜ (II) O Ù·Ì›·˜
1
∞ÓÙ·ÏÏ¿ÛÛˆ Ù· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· ÙÔ˘ 1 ∂Àƒø Ì ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· ›Û˘ ·Í›·˜ Î·È fiÛÔ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˘ ·Í›·˜.
µ¿˙ˆ Û ·ÎÏÔ Ù· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· Ó· Û¯ËÌ·ÙÈÛÙ› ÙÔ ›‰ÈÔ ÔÛfi Ì ٷ ‰ÈÏ·Ó¿ ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· ÙÔ˘ 1 ∂Àƒø.
¶fiÛ· Â›Ó·È fiÏ· Ù· ∂Àƒø;
¶fiÛ· Â›Ó·È fiÏ· Ù· ∂Àƒø;
26
™˘Ó¯›˙Ô˘Ì ÙËÓ ÂÍ¿ÛÎËÛË ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ ÛÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘ Ì ٷ ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· Î·È ÙÔ˘˜ ¿‚·Î˜.
ÂÓfiÙËÙ· 6 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‰Âο‰ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡.
3 ™¯ËÌ·Ù›˙ˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÛÙÔ˘˜ ¿‚·Î˜.
25
33
42
50
4 16 ÏÂÙ¿
∫¿ı ·È‰› ı¤ÏÂÈ Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ Ì·ÏfiÓÈ. µ¿˙ˆ Û ·ÎÏÔ Ù· ¯Ú‹Ì·Ù· Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ‰ÒÛÂÈ Î¿ı ·È‰› ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ Ì·ÏfiÓÈ.
2. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 10+Ó, 20+Ó Î.Ï., fiÔ˘ Ó ¤Ó·˜ ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. 27
40
°ÂˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·
1
∞ÛÙ›· ÚfiÛˆ· ¶·Ú·ÙËÚÒ ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜ Î·È ÙȘ Û˘Ó‰¤ˆ Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Û¯‹Ì·.
·ÎÏÔ˜
ÙÚ›ÁˆÓÔ
ÔÚıÔÁÒÓÈÔ
ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ
∫fi‚ˆ Û¯‹Ì·Ù· Î·È Ù· ÎÔÏÏÒ ÁÈ· Ó· Û¯ËÌ·Ù›Ûˆ ÙÔ ‰ÈÎfi ÌÔ˘ ·ÓıÚˆ¿ÎÈ.
28
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·Ó·ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó ÙȘ ÌÔÚʤ˜ Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ó Ù· Û¯‹Ì·Ù·.
ÂÓfiÙËÙ· 6 Ë
2 ¶·Ú·ÙËÚÒ Ù· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Î·È Ù· Û˘Ó‰¤ˆ Ì ٷ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·.
·‚Ô˜
·ÏÈÓ‰ÚÔ˜
ÛÊ·›Ú·
ÛÙÂÚÂfi ÔÚıÔÁÒÓÈÔ
3 ™¯Â‰È¿˙ˆ ÙÔ ‰¤ÓÙÚÔ Ì ηٿÏÏËÏ· ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·.
4 ™¯Â‰È¿˙ˆ ‰›Ï· Ù· ›‰È· Û¯‹Ì·Ù· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ ¯¿Ú·Î·.
29
41
O ¯ÚfiÓÔ˜
1 ∆Ô ËÌÂÚÔÏfiÁÈÔ ¶·Ú·ÙËÚÒ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙȘ ÂÏÏÈ›˜ ηÚ٤Ϙ ÙÔ˘ ËÌÂÚÔÏÔÁ›Ô˘. ¯ı˜
Û‹ÌÂÚ·
·‡ÚÈÔ
........................
........................
........................
ºÂ‚ÚÔ˘·Ú›Ô˘
ºÂ‚ÚÔ˘·Ú›Ô˘
ºÂ‚ÚÔ˘·Ú›Ô˘
¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜ Î·È Û˘˙ËÙ¿ÌÂ.
30
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘.
ÂÓfiÙËÙ· 6 Ë
2 OÈ ÂÔ¯¤˜
ÕÓÔÈÍË
K·ÏÔη›ÚÈ
ºıÈÓfiˆÚÔ
XÂÈÌÒÓ·˜
◗ ¶ÔÈ· ÂÔ¯‹ Â›Ó·È Ù· ÁÂÓ¤ıÏÈ¿ ÛÔ˘; ..............................................................
◗ ¶ÔÈ· ÂÔ¯‹ Â›Ó·È Ù· ÃÚÈÛÙÔ‡ÁÂÓÓ·; ............................................................
◗ ¶ÔÈ· ÂÔ¯‹ Â›Ó·È Ë ÁÈÔÚÙ‹ Ù˘ ¶ÚˆÙÔÌ·ÁÈ¿˜; ............................................
◗ ¶ÔÈ· ÂÔ¯‹ ÎÏ›ÓÔ˘Ó Ù· Û¯ÔÏ›·; ................................................................
3 OÈ Ë̤Ú˜ Ù˘ ‚‰ÔÌ¿‰·˜
¢ T T ¶ ¶ ™ K 5 6 7 8 9 10 11 ◗ ™ÙȘ 6 ÙÔ˘ Ì‹Ó· Â›Ó·È Ë̤ڷ ....................................................................... ◗ ™ÙȘ 10 ÙÔ˘ Ì‹Ó· Â›Ó·È Ë̤ڷ ..................................................................... ◗ ™ÙȘ 8 ÙÔ˘ Ì‹Ó· Â›Ó·È Ë̤ڷ ....................................................................... ◗ ™ÙȘ 11 ÙÔ˘ Ì‹Ó· Â›Ó·È Ë̤ڷ ..................................................................... 31
42
¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Ì ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜
1 ª¤Û· ÛÙÔ ÎÔ˘Ù› ˘¿Ú¯Ô˘Ó 9 ηڷ̤Ϙ Î·È ¤Íˆ ·fi ÙÔ ÎÔ˘Ù› ¿ÏϘ 4. ¶fiÛ˜ Â›Ó·È fiϘ ÔÈ Î·Ú·Ì¤Ï˜;
O ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ ÌÂÙÚ¿ ÁÈ· Ó· ‚ÚÂÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 9 + 4. ∞fi ÙÔ 9 ·Ó‚·›Óˆ 4 ·ÚÈıÌÔ‡˜ (9, 10, 11, 12, 13) Î·È ‚Ú›ÛΈ ÙÔ 13.
∏ À·Ù›· ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 9 + 4. ∞Ó ÚÔÛı¤Ûˆ ÛÙÔ 9 ÙÔ 1, ı· ¤¯ˆ 10. 10 Î·È 3 = ......
4=1+3 9 + 4 = 9 + 1 + 3 = ... 9 + 4 = ...
+4 9 +3
+1 10 ÀÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì Ì ÙÔ ·ÚÈıÌËÙ‹ÚÈÔ
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Ì ÙÔ ·ÚÈıÌËÙ‹ÚÈÔ, fiˆ˜ Ë À·Ù›·, ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 9 + 4.
Œ¯Ô˘Ì 9. ¶ÚÔÛı¤Ùˆ ·ÎfiÌË 1 ÁÈ· Ó· Á›ÓÔ˘Ó 10.
32
™Ù· 10 Ô˘ ¤¯ˆ ÚÔÛı¤Ùˆ ¿ÏÏ· 3.
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÙˆÓ ÚÔÛı¤ÛÂˆÓ Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ˘¤Ú‚·Û˘ Ù˘ ‰Âο‰·˜.
ÂÓfiÙËÙ· 6 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 10.
3 §‡ÓÔ˘Ì ٷ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Î·È Û˘˙ËÙ¿Ì ∏ ™ÔÊ›· ¤¯ÂÈ Ì¤Û· ÛÙÔ ÎÔ˘Ù› 7 ÎÔ‡ÎϘ. ª¤Û· ÛÙÔ ÎÔ˘Ù› ˘¿Ú¯Ô˘Ó 8 ̿Ϙ. £¤ÏÂÈ Ó· ‚¿ÏÂÈ ¿ÏϘ 4. ∞Ó ‚¿ÏÔ˘Ì ̤۷ ÛÙÔ ÎÔ˘Ù› ¶fiÛ˜ ı· Â›Ó·È ÔÈ ÎÔ‡ÎϘ ¿ÏϘ 6 ̿Ϙ, ̤۷ ÛÙÔ ÎÔ˘Ù›; fiÛ˜ ı· Á›ÓÔ˘Ó fiϘ Ì·˙›;
8
7 7 + ... = 10 10 + ... = ... 7 + 4 = ...
8 + ... = 10 6 = ... + ... 8 + 6 = ... 4
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
6 + ... = 10
8 + ... = 10 9 + ... = 10
7 + 3 + 4 = ... 9 + 1 + 6 = ...
7 = 3 + ...
6 + 4 + 2 = ... 8 + 2 + 5 = ...
9 = 4 + ...
2. ¢›ÓÔ˘Ì ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘˜ ÙÔ˘ 5 Î·È ÙÔ˘˜ ηÏԇ̠ӷ ‚ÚÔ˘Ó ÙÔ Û˘Ìϋڈ̿ ÙÔ˘˜, ÒÛÙ ӷ ¤¯Ô˘Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· 10 (.¯. 7 Î·È fiÛÔ Î¿ÓÂÈ 10;). 33
·ӷÏ
ÙÈÎfi Ì Ë
123 x 4567+896538-7 43 ·ӷÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ· Ì ¿ıË ·
1
ªÂÙÚÒ Ù· Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ÌÔÈ¿˙Ô˘Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Î·È Áڿʈ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·
ÙÚ›ÁˆÓ·
·ÎÏÔÈ
ÔÚıÔÁÒÓÈ·
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
7 + ... = 10
34
4 + ... = 10
2 + ... = 10
6 + 4 + 3 = ... 9 + 1 + 4 = ...
8 = 2 + ...
5 + 5 + 7 = ... 7 + 3 + 6 = ...
6 = 4 + ...
5 1 x 2 7 38
ÂÓfiÙËÙ· 6 Ë
3 ∂ÓÒÓˆ ÙȘ ϤÍÂȘ Ì ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÂÈÎfiÓ˜.
XÂÈÌÒÓ·˜
ÕÓÔÈÍË
ºıÈÓfiˆÚÔ
K·ÏÔη›ÚÈ
4 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
8+6=
9+4= +4
+6
9
8 +3
+1 10
10
9+7=
7+4=
+7
+4
9
7
10
10 35
123 x 4567+896
Ù fi Ë Ó Ù · E 1 5 x 7 8 4 2 2 7 9 6 8 538 EÓfiÙËÙ· 7Ë:
XAPA•EI™, ¶AZ§ – ¶PO™£E™H KAI AºAIPE™H – H Y¶EPBA™H TH™ ¢EKA¢A™
45
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 45Ô: ÷ڿÍÂȘ, ·˙Ï Î·È ÌˆÛ·˚ο
46
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 46Ô: ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ‰È„‹ÊÈˆÓ Î·È ÌÔÓÔ„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ
47
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 47Ô: ∏ ÚfiÛıÂÛË Î·È Ë ·Ê·›ÚÂÛË ˆ˜ ·ÓÙ›ÛÙÚÔʘ Ú¿ÍÂȘ – ∏ ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 48Ô: ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› – ∂ÈÛÙÚÔÊ‹ ÛÙËÓ ÂÓÙ¿‰·
48
49
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 49Ô: ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË – ¢È„‹ÊÈÔÈ Î·È ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›
50
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 50fi: ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
51
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 51Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
Ë
∞Ú¯Èο, ÛÙË ÁˆÌÂÙÚ›· ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÙË Û‡ÓıÂÛË ·˙Ï ‚·ÛÈ˙fiÌÂÓˆÓ ÛÙÔ ·È¯Ó›‰È Ù¿ÁÎÚ·Ì, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ·ÛÎËıԇ̠ÛÙËÓ ·Ó¿Ï˘ÛË Î·È ÙË Û‡ÓıÂÛË ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 46 ÛÙËÓ Ù¿ÍË ı· ·›ÍÔ˘Ì ÙÔ ·È¯Ó›‰È «ºÈ‰¿ÎÈ», ÁÈ· Ó· ·ÛÎËıԇ̠ÛÙËÓ ÚfiÛıÂÛË ‰È„‹ÊÈÔ˘ Ì ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi Î·È ÛÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔ˘ ·fi ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi. ™Ù· ÂfiÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È· ÙfiÛÔ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÔÙÈÎÔ‡ ˘ÏÈÎÔ‡ (·ÚÈıÌËÙ‹ÚÈÔ Î·È ‚¿ÛÂȘ) fiÛÔ Î·È ¯ˆÚ›˜ ·˘Ùfi ı· ÂÎÙÂϤÛÔ˘Ì ÔÏϤ˜ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ˘¤Ú‚·Û˘ Ù˘ ‰Âο‰·˜, ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ÂÈÛÙÚÔÊ‹˜ ÛÙËÓ ÂÓÙ¿‰· ηıÒ˜ Î·È ¿ÏϘ ÌÂıfi‰Ô˘˜.
ª¤Û· ÛÙË ÊˆÏÈ¿ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 9 Ì˘ÚÌ‹ÁÎÈ·. ∞Ó ÌÔ˘Ó ·ÎfiÌ· 6, fiÛ· ı· Â›Ó·È fiÏ·;
∫·Ù·Û΢¿˙ˆ ÙÔ Ù¿ÁÎÚ·Ì.
+6 9 +5
+1 10
45
÷ڿÍÂȘ, ·˙Ï Î·È ÌˆÛ·˚ο
1 ∆Ô Ù¿ÁÎÚ·Ì ∫·Ù·Û΢¿˙ˆ ÙÔ Ù¿ÁÎÚ·Ì.
ªÂ Ù· ÎÔÌÌ¿ÙÈ· ÙÔ˘ Ù¿ÁÎÚ·Ì Û˘Óı¤Ùˆ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·.
38
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙȘ ¯·Ú¿ÍÂȘ ηıÒ˜ ›Û˘ ÛÙËÓ ·Ó¿Ï˘ÛË Î·È ÙË Û‡ÓıÂÛË ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ì ·˙Ï Î·È ÌˆÛ·˚ο.
ÂÓfiÙËÙ·
7 Ë
OÈ ÁÚ·Ì̤˜ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘.
2
∂ÓÒÓˆ Ì ÙÔ ¯¿Ú·Î· ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ·fi ÙËÓ ÚÒÙË ÁÚ·ÌÌ‹ Ì ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ ·fi ÙËÓ ÙÚ›ÙË. ∆È ·Ú·ÙËÚÒ;
™˘Ó¯›˙ˆ ÙÔ ¯ÚˆÌ·ÙÈÛÌfi Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ. ¶·Ú·ÙËÚÒ Ù· Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ Ï·ÎfiÛÙÚˆÙÔ.
3
39
46
¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ‰È„‹ÊÈˆÓ Î·È ÌÔÓÔ„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ
1 ¶·›˙Ô˘Ì ÙÔ «ºÈ‰¿ÎÈ»
∫·ÓfiÓ˜ ÙÔ˘ ·È¯ÓȉÈÔ‡ ÃÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ¤Ó· ˙¿ÚÈ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 4, 5 Î·È 6 ı· ¤¯Ô˘Ó ÎfiÎÎÈÓÔ ¯ÚÒÌ·, ÂÓÒ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 2 Î·È 3 ı· ¤¯Ô˘Ó ÌÏ ¯ÚÒÌ·. O ·ÚÈıÌfi˜ ·fi ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÍÂÎÈÓ¿ÌÂ Â›Ó·È ÙÔ 12. ∫¿ı ·›ÎÙ˘ Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ú›¯ÓÂÈ ÙÔ ˙¿ÚÈ. ŸÙ·Ó ÙÔ ˙¿ÚÈ ‰Â›¯ÓÂÈ ÌÈ· ÎfiÎÎÈÓË ÏÂ˘Ú¿, ÚÔ¯ˆÚԇ̠ÌÚÔÛÙ¿ ÙfiÛ˜ ı¤ÛÂȘ fiÛ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ˙¿ÚÈ. ŸÙ·Ó ÙÔ ˙¿ÚÈ ‰Â›¯ÓÂÈ ÌÈ· ÌÏ ÏÂ˘Ú¿, ËÁ·›ÓÔ˘Ì ›Ûˆ ÙfiÛ˜ ı¤ÛÂȘ fiÛ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ˙¿ÚÈ. ¡ÈÎËÙ‹˜ ı· Â›Ó·È ·˘Ùfi˜ Ô˘ ı· ÊÙ¿ÛÂÈ ÚÒÙÔ˜ ÛÙÔ 30.
™˘ÌÏËÚÒÓˆ Ù· ÛÙÔȯ›· Ô˘ ÏÂ›Ô˘Ó ÛÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î˜.
40
AÚÈıÌfi˜ ·fi ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÍÂÎÈÓ¿ÌÂ
Z¿ÚÈ
M·Ú›·
12
4
N›ÎÔ˜
12
3
X¿Ú˘
12
6
AÚÈıÌfi˜ ·fi ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÍÂÎÈÓ¿ÌÂ
Z¿ÚÈ
M·Ú›·
22
5
N›ÎÔ˜
18
3
X¿Ú˘
14
6
AÚÈıÌfi˜ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ÊÙ¿ÓÔ˘ÌÂ
AÚÈıÌfi˜ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ÊÙ¿ÓÔ˘ÌÂ
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÚfiÛıÂÛ˘ ‰È„‹ÊÈÔ˘ Ì ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi Î·È ·Ê·›ÚÂÛ˘ ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔ˘ ·fi ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi ¯ˆÚ›˜ ÎÚ·ÙÔ‡ÌÂÓÔ.
ÂÓfiÙËÙ·
7 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Î·È ÙȘ ‰È·ÊÔÚ¤˜.
3 §‡ÓÔ˘Ì ٷ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Î·È Û˘˙ËÙ¿ÌÂ. ª¤Û· ÛÙÔ Î·Ï¿ıÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 14 Ì‹Ï·. ∞Ó ‚¿Ïˆ ·ÎfiÌË 3 Ì‹Ï·, fiÛ· ı· Â›Ó·È Ù· Ì‹Ï· ̤۷ ÛÙÔ Î·Ï¿ıÈ;
14 °Ú¿Êˆ ÙËÓ Ú¿ÍË Î·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·. O °ÈÒÚÁÔ˜ ›¯Â 17 ·˘ÙÔÎÈÓËÙ¿ÎÈ·. ÿÚÈÛ 3 ·˘ÙÔÎÈÓËÙ¿ÎÈ· ÛÙÔ˘˜ Ê›ÏÔ˘˜ ÙÔ˘. ¶fiÛ· ·˘ÙÔÎÈÓËÙ¿ÎÈ· ¤¯ÂÈ ÙÒÚ·;
°Ú¿Êˆ ÙËÓ Ú¿ÍË Î·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·.
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·.
5 + 2 = ... 15 + 2 = ... 4 – 2 = ... 14 – 2 = ... 2 + 6 = ... 12 + 6 = ...
2 + 2 = ... 12 + 2 = ... 8 – 4 = ... 18 – 4 = ... 4 + 5 = ... 14 + 5 = ...
4
6 + 3 = ... 16 + 3 = ... 9 – 5 = ... 19 – 5 = ... 2 + 7 = ... 12 + 7 = ...
2. ∏ ‰·ÛοϷ ÚÔÙ›ÓÂÈ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ÌÔÓÔ„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ‰ÂÓ ÍÂÂÚÓ¿ ÙÔ 10 (.¯. 4 + 3, 7 – 2 Î.Ï.). OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ó Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÙËÓ Ú¿ÍË Ì¤Û· ÛÙÔ Ï·›ÛÈÔ. 41
47
H ÚfiÛıÂÛË Î·È Ë ·Ê·›ÚÂÛË ˆ˜ ·ÓÙ›ÛÙÚÔʘ Ú¿ÍÂȘ – ∏ ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜
1 ∆· Ì˘ÚÌ‹ÁÎÈ· ª¤Û· ÛÙË ÊˆÏÈ¿ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 9 Ì˘ÚÌ‹ÁÎÈ·. ∞Ó ÌÔ˘Ó ·ÎfiÌ· 6, fiÛ· ı· Â›Ó·È fiÏ·;
9 + ... = 10
+6 9
10 + ... = ... 10
9 + 6 = ...
∞Ó Ù· 6 Ì˘ÚÌ‹ÁÎÈ· Ô˘ Ì‹Î·Ó Ì¤Û· ÛÙË ÊˆÏÈ¿ ‚ÁÔ˘Ó Í·Ó¿ ¤Íˆ, fiÛ· ı· Ì›ÓÔ˘Ó Ì¤Û· ÛÙË ÊˆÏÈ¿; Œ‚Á·Ï· Ù· 5. °È· Ó· ‚Á¿Ïˆ 6 ‚Á¿˙ˆ ¿ÏÏÔ 1.
Afi Ù· 15, ·Ó ‚Á¿Ïˆ Ù· 5, ı· ÌÔ˘ Ì›ÓÔ˘Ó 10.
15 – 5 = 10 10 – 1 = ... 15 – 6 = ...
42
–6 15
10
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÚÔÛı¤ÛÂˆÓ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂˆÓ Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ˘¤Ú‚·Û˘ Ù˘ ‰Âο‰·˜ ηıÒ˜ ›Û˘ ÛÙËÓ ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛË Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘ ˆ˜ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊˆÓ Ú¿ÍˆÓ.
ÂÓfiÙËÙ·
7 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ ÙȘ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ÙȘ ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ.
O ∞Ó¤ÛÙ˘ ›¯Â ̤۷ ÛÙÔ ÎÔ˘Ù› 14 ÌÈÛÎfiÙ·. ŒÊ·Á ٷ 5. ¶fiÛ· ÌÈÛÎfiÙ· ÙÔ‡ ¤ÌÂÈÓ·Ó;
14 – ... = 10
14
3
–5 14
10 – ... = ... 10
14 – 5 = ...
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
9+3=
7+4= +4 7
4
+3 9
10
10
12– 3 =
11– 4 = –4 11
–3 12
10
10
2. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ. OÈ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 10+Ó (.¯. 10 + 3, 10 + 7 Î.Ï.) Î·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÔÈ ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 1Ó–Ó (.¯. 14 – 4, 16 – 6 Î.Ï.). 43
48
ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› – ∂ÈÛÙÚÔÊ‹ ÛÙËÓ ÂÓÙ¿‰·
1 ™¯ËÌ·Ù›˙ˆ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ٷ ‰¿¯Ù˘Ï· ¶fiÛ· Â›Ó·È fiÏ· Ù· ‰¿¯Ù˘Ï· οı ÊÔÚ¿;
ηÈ
ηÈ
ηÈ
5 + ... = ...
... + ... = ...
... + ... = ...
™¯ËÌ·Ù›˙ˆ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÙÔ ·ÚÈıÌËÙ‹ÚÈÔ ¶fiÛ˜ Â›Ó·È ÔÈ ¯¿ÓÙÚ˜ Û οı ·ÚÈıÌËÙ‹ÚÈÔ;
44
6 = 5 + ...
... = 5 + ...
6=5+1 7=5+2 6 + 7 = ...
8 = 5 + ... 6 = ... + ... 8 + 6 = ...
... = 5 + ...
7 = ... + ... 9 = ... + ... 7 + 9 = ...
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙË ‰È·‰Èηۛ· ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ÙË ÛÙÚ·ÙËÁÈ΋ Ù˘ «ÂÈÛÙÚÔÊ‹˜ ÛÙËÓ ÂÓÙ¿‰·».
ÂÓfiÙËÙ·
7 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·.
3 ∏ ª·Ú›· ¤¯ÂÈ 6 ηڷ̤Ϙ. ∏ ÌËÙ¤Ú· Ù˘ Ù˘ ‰›ÓÂÈ ·ÎfiÌ· 5. ¶fiÛ˜ Â›Ó·È fiϘ Ì·˙› ÔÈ Î·Ú·Ì¤Ï˜ Ù˘ ª·Ú›·˜; O ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ ÌÂÙÚ¿ ÁÈ· Ó· ‚ÚÂÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 6 + 5.
∏ À·Ù›· ÙÔÔıÂÙ› ÙȘ ηڷ̤Ϙ Ì ÙË ‰È¿Ù·ÍË Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÔÈ ÎÔ˘ÎΛ‰Â˜ ÛÙÔ ˙¿ÚÈ Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÈ. 6=5+1
∞fi ÙÔ 6 ·Ó‚·›Óˆ 5 ·ÚÈıÌÔ‡˜ (7, 8, 9, 10, 11) Î·È ‚Ú›ÛΈ ÙÔ 11.
6 + 5 = ...
6+5=5+1+5 6 + 5 = ...
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ fiˆ˜ Ë À·Ù›· Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·.
7+5
7 = 5 + ... 7 = 5 + ...
7 +8
7 = 5 + ... 8 = 5 + ... 7 + 8 = ...
2. ∏ ‰·ÛοϷ ÚÔÙ›ÓÂÈ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 5+Ó ‹ Ó+5 Ì ÙÈÌ‹ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ›ÛË ÙÔ˘ 10. OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Î·È Ù· ÁÚ¿ÊÔ˘Ó Ì ۇ̂ÔÏ· ̤۷ ÛÙ· Ï·›ÛÈ·. 45
49
¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË – ¢È„‹ÊÈÔÈ Î·È ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›
1 ª·ÓÙ‡ˆ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi OÈ ÌÔÓ¿‰Â˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È 4. ∞Ó ·Ê·ÈÚ¤Ûˆ ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ ·fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi, ‚Ú›ÛΈ ÙÔ 10.
™Î¤ÊÙÔÌ·È ¤Ó·Ó ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi.
¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÛΤÊÙËη;
°Ú¿Êˆ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Î·È ÙËÓ Ú¿ÍË.
... – ... = ... 2 µÚ›ÛΈ ¿ÓÙ· ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 8 ™Î¤ÊÙÔÌ·È ¤Ó·Ó ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi. O ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ 20.
∞fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ÛΤÊÙËη ·Ê·ÈÚÒ ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜. ∞fi ·˘Ùfi Ô˘ ‚Ú›ÛΈ ·Ê·ÈÚÒ ÙÔ 2 Î·È ‚Ú›ÛΈ ÙÔ 8.
°Ú¿Êˆ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Î·È ÙȘ Ú¿ÍÂȘ.
... – ... = ... 46
... – 2 = 8
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÚÔÛı¤ÛÂˆÓ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂˆÓ ÓÔÂÚ¿ Ì ÙË ÛÙÚ·ÙËÁÈ΋ Ù˘ «ÂÈÛÙÚÔÊ‹˜ ÛÙËÓ ÂÓÙ¿‰·».
ÂÓfiÙËÙ·
7 Ë
3 µÚ›ÛΈ Î·È Áڿʈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi.
4 ∞Ê·›ÚÂÛË Ì ÚfiÛıÂÛË ÚÔ˜ Ù· ¿ӈ. ª¤Û· Û ÌÈ· ηÛÂÙ›Ó· ¤¯ˆ 13 ÎËÚÔÌÔÁȤ˜. ∞Ó ‚Á¿Ïˆ ÙȘ 9, fiÛ˜ ÎËÚÔÌÔÁȤ˜ ı· Ì›ÓÔ˘Ó Ì¤Û· ÛÙËÓ Î·ÛÂÙ›Ó·;
13
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË 13 – 9.
9 + 1 = 10
9 Î·È 1 Ì·˜ οÓÔ˘Ó 10. 10 Î·È 3 Ì·˜ οÓÔ˘Ó 13. ∞Ó¤‚Ëη 4.
10 + 3 = 13 ÕÚ·
13 – 9 = ... 5
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙȘ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ÙȘ ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ Ì ٷ ‰ÈÏ¿.
6 + 6 = ... 7 + 7 = ... 8 + 8 = ... 9 + 9 = ... 12 – 6 = ... 14 – 7 = ... 16 – 8 = ... 18 – 9 = ... 3. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ¤Ó·Ó ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·˜ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ Î·È ÙˆÓ ‰Âο‰ˆÓ ÙÔ˘ (.¯. «ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ 6 ÌÔÓ¿‰Â˜ Î·È 2 ‰Âο‰Â˜»). OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi. 47
ÚÔ‚Ï‹
Ù· Ì· Ú
123 x 4567+896538-7 50 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
‹Ì· Ô‚Ï Ù·
1 ∆Ô Ì·ÁÈÎfi ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ
4 9 2 3 5 7 8 1 6
™ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ·˘Ùfi ˘¿Ú¯ÂÈ Î¿ÙÈ ÙÔ Ì·ÁÈÎfi. ¶ÚÔÛı¤Ùˆ ÙÔ˘˜ ÙÚÂȘ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÔÚÈ˙ÔÓÙ›ˆ˜, ηı¤Ùˆ˜ Î·È ‰È·ÁˆÓ›ˆ˜. ∆È ·Ú·ÙËÚÒ;
2 O ¯ÒÚÔ˜ ÛÙ¿ıÌ¢Û˘ ™ÙÔ ¯ÒÚÔ ÛÙ¿ıÌ¢Û˘ ÌÈ·˜ ÔÏ˘Î·ÙÔÈΛ·˜ ˘‹Ú¯·Ó 5 ·˘ÙÔΛÓËÙ·. ∆Ô ÌÂÛË̤ÚÈ ‹Úı·Ó Î·È ÛÙ¿ıÌÂ˘Û·Ó ¿ÏÏ· 6. ∆Ô ‚Ú¿‰˘ ¤Ê˘Á·Ó Ù· 3. ¶fiÛ· ·˘ÙÔΛÓËÙ· ¤ÌÂÈÓ·Ó ÛÙÔ ¯ÒÚÔ ÛÙ¿ıÌ¢Û˘;
48
5 1 x 2 7 38
ÂÓfiÙËÙ·
7 Ë
3
Œ¯ˆ ÛÙËÓ ÙÛ¤Ë ÌÔ˘ 15 ÏÂÙ¿. ∞Ó ÙÔ ¤Ó· ÓfiÌÈÛÌ· Â›Ó·È ÙˆÓ 10 ÏÂÙÒÓ, Ù· ˘fiÏÔÈ· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· ÙÈ ÌÔÚ› Ó· ›ӷÈ; µÚ›ÛΈ ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌÔ‡˜ Ì ٷ ÓÔÌ›ÛÌ·Ù·. ∑ˆÁÚ·Ê›˙ˆ Ù· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù·.
10 ÏÂÙ¿
4 ¶·Ú·ÙËÚÒ ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜. ¢È·Ù˘ÒÓˆ ‰Èο ÌÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·.
£·Ï‹˜
NÂʤÏË
MfiÓ·
6 ¯ÚfiÓˆÓ
10 ¯ÚfiÓˆÓ
13 ¯ÚfiÓˆÓ 49
·ӷÏ
ÙÈÎfi Ì Ë
123 x 4567+896538-7 51 ·ӷÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ· Ì ¿ıË ·
1
∫¿ÔȘ ηڷ̤Ϙ Â›Ó·È Ì¤Û· Î·È Î¿ÔȘ ¤Íˆ ·fi ÙÔ ÎÔ˘Ù›.
8
7
10
¶fiÛ˜ Â›Ó·È fiϘ ÔÈ ÎfiÎÎÈÓ˜ ηڷ̤Ϙ;
+
=
¶fiÛ˜ Â›Ó·È fiϘ ÔÈ Ú¿ÛÈÓ˜ ηڷ̤Ϙ;
+
=
¶fiÛ˜ Â›Ó·È fiϘ ÔÈ ÎfiÎÎÈÓ˜ Î·È ÔÈ Ú¿ÛÈÓ˜ ηڷ̤Ϙ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Ì¤Û· ÛÙ· ÎÔ˘ÙÈ¿;
+
=
∂¿Ó Ê¿ˆ 6 ÌÔ‚ ηڷ̤Ϙ, fiÛ˜ ı· Ì›ÓÔ˘Ó;
–
=
∂¿Ó Ê¿ˆ 5 ÎfiÎÎÈÓ˜ ηڷ̤Ϙ, fiÛ˜ ı· Ì›ÓÔ˘Ó;
– 50
=
ÂÓfiÙËÙ·
1
Ë
5 1 x 2 7 38
2
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙˆÓ ÚÔÛı¤ÛˆÓ.
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
10
4 2
ŸÏ· Ì·˙› Â›Ó·È 20.
5 5
5
ŸÏ· Ì·˙› Â›Ó·È 18.
10 6
3
10
ŸÏ· Ì·˙› Â›Ó·È 30.
5 4
5
ŸÏ· Ì·˙› Â›Ó·È 17.
™¯Â‰È¿˙ˆ ‰›Ï· ÙËÓ ›‰È· ÂÈÎfiÓ·.
™˘Ó¯›˙ˆ ÙÔ ¯ÚˆÌ¿ÙÈÛÌ· Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ.
2. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ Ó+5 ‹ 5+Ó, fiÔ˘ Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 6, 7 ‹ 8. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ›Û˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ô˘ Â›Ó·È Ù· ÌÂÁ¿Ï· ‰ÈÏ¿ (‰ËÏ·‰‹ 6+6, 7+7 Î.Ï.).
4
5
51
123 x 4567+896
Ù fi Ë Ó Ù · E 1 5 x 8 8 4 2 2 7 9 6 8 538 EÓfiÙËÙ· 8Ë:
API£MOI MEXPI TO 70 – ¶PA•EI™ – METPH™H – ™YMMETPIA
52
Ë
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 52Ô: √È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 70
53
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 53Ô: ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi
54
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 54Ô: ª¤ÙÚËÛË ÌÂÁÂıÒÓ
55
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 55Ô: ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË ‰È„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ
56
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 56Ô: ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙË Û˘ÌÌÂÙÚ›·
57
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 57Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 52, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÂÍÔÈÎÂȈıԇ̠̠ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ̤¯ÚÈ ÙÔ 70, ı· ·›ÍÔ˘Ì ¤Ó· ·È¯Ó›‰È Ô˘ ϤÁÂÙ·È «ÌÂÙÚËÙ‹˜ ÙˆÓ ¯ÈÏÈÔ̤ÙÚˆÓ». ™ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· ‰Ô‡Ì ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·fi ÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ ˙ˆ‹, ÛÙ· ÔÔ›· ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È ÔÚÁ·ÓˆÌ¤Ó˜ ÔÌ¿‰Â˜ fiˆ˜ Â›Ó·È Ù· ̤ÏË ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜, Î·È ı· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÌÈ· Ó¤· Ú¿ÍË Ô˘ ϤÁÂÙ·È «ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜». ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 54 ı· ·ÛÎËıԇ̠ÛÙȘ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 55 ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ·Ê·›ÚÂÛ˘ Ì ‰Âο‰Â˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Ù· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· Î·È Ù· ¯·ÚÙÔÓÔÌ›ÛÌ·Ù· ÙÔ˘ ∂Àƒø. ∫·ÙfiÈÓ ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 56 οÓÔÓÙ·˜ Ûٿ̘ Ì ‰ÈÏÒÛÂȘ Î·È Ì ÙÔÓ Î·ıÚ¤ÊÙË ı· ÂÈÛ¿ÁÔ˘Ì ÌÈ· ηÈÓÔ‡ÚÈ· ¤ÓÓÔÈ·: ÙË Û˘ÌÌÂÙÚ›·.
TÔ Ì¤ÙÚÔ
5
5
5
5
20
52
OÈ ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 70 O ÌÂÙÚËÙ‹˜ ÙˆÓ ¯ÈÏÈÔ̤ÙÚˆÓ
1
O ÌÂÙÚËÙ‹˜ Á˘Ú›˙ÂÈ ·Ó¿ ¤Ó· ¯ÈÏÈfiÌÂÙÚÔ. µÚ›ÛΈ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ¶ÔÈ· ΢ÎÏ¿ÎÈ· ı· Á˘Ú›Ûˆ;
4
8
°˘Ú›˙ˆ ÌfiÓÔ ÙÔ ·ÚÈÛÙÂÚfi ΢ÎÏ¿ÎÈ, ÒÛÙ ӷ ·Ó‚·›ÓÂÈ ·Ó¿ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi. µÚ›ÛΈ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ı· Û¯ËÌ·ÙÈÛÙÔ‡Ó.
4
0
2
¶ÂÓ‹ÓÙ· ÏÂÙ¿ ¶ÂÓ‹ÓÙ· EYPø
E›ÎÔÛÈ ÏÂÙ¿ E›ÎÔÛÈ EYPø
54
∞ÛÎԇ̠ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÛÙË ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì¤¯ÚÈ ÙÔ 70.
ÂÓfiÙËÙ·
8 Ë
3 µÚ›ÛΈ ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Î·È ÙÔÓ ÂfiÌÂÓÔ ·ÚÈıÌfi.
65
66
67 4
°Ú¿Êˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ϤÍÂȘ.
56 60 70
66 56 61 5 ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
3. ∏ ‰·ÛοϷ ϤÂÈ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ·fi ÙÔ 50 ̤¯ÚÈ ÙÔ 70 Î·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Î·È ÙÔÓ ÂfiÌÂÓÔ ·ÚÈıÌfi. 55
53
∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi
1 ªÂÙÚ¿Ì ̿ÙÈ·, ·˘ÙÈ¿ Î·È ‰¿¯Ù˘Ï· ªÂÙÚ¿Ì ٷ ‰¿¯Ù˘Ï·
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Ì ÂÓÙ¿‰Â˜ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
1 ¯¤ÚÈ 1 ÊÔÚ¿ ÙÔ 5 = 2 ¯¤ÚÈ·
+
=
2 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 5 =
3 ¯¤ÚÈ·
+
+
=
3 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 5 =
4 ¯¤ÚÈ·
+
+
+
=
4 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 5 =
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Ì ‰Âο‰Â˜.
56
3 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 10:
10 + 10 + 10 = 30
2 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 10:
10 + ......................
4 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 10:
.............................
5 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 10:
.............................
∂ÈÛ¿ÁÔ˘Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ·ӷϷ̂·ÓfiÌÂÓË ÚfiÛıÂÛË.
ÂÓfiÙËÙ·
8 Ë
2 MÂÙÚÒ ·Ó¿ 10 ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 Î·È ·Ó¿ 5 ̤¯ÚÈ ÙÔ 50.
10
...
20
100 3
ªÂÙÚÒ Ù· ÎÂÚ¿ÛÈ·.
ŸÏ· Ù· ÎÂÚ¿ÛÈ· Â›Ó·È ...
4 ªÂÙÚÒ ·Ó¿ 2.
+2
0
+2
+2
2
4
+2
6
+2
8
+2
10
3 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 2:
2+2=4 2 + 2 + 2 = ...................
4 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 2:
........................................
5 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 2:
........................................
6 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 2:
........................................
2 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 2:
12
2. OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÂÙÚ¿Ó ÚÔÊÔÚÈο ·Ó¿ 10 ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 Î·È ·Ó¿ 5 ̤¯ÚÈ ÙÔ 50. 57
54
ª¤ÙÚËÛË ÌÂÁÂıÒÓ
1 ªÂÙÚÒ ÙËÓ Èı·Ì‹ ÌÔ˘
H Èı·Ì‹ ÌÔ˘ H Èı·Ì‹ ÌÔ˘ Â›Ó·È ...
H Èı·Ì‹ ÌÔ˘ Â›Ó·È ...
H Èı·Ì‹ ÌÔ˘ Â›Ó·È ...
◗ ™¯Â‰È¿˙ˆ ÙËÓ Èı·Ì‹ ÌÔ˘ Î·È ÙË ÌÂÙÚÒ ÌÂ Û˘Ó‰ÂÙ‹Ú˜, ͇ÛÙÚ˜ Î·È Û‚ËÛÙ‹Ú˜. ◗ ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔÓ ›Ó·Î· Ì ‚¿ÛË ÙȘ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ô˘ οӈ. ◗ ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ Î·È ÔÈÔ˜ Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜: ÙˆÓ Û˘Ó‰ÂÙ‹ÚˆÓ, ÙˆÓ Û‚ËÛÙ‹ÚˆÓ ‹ ÙˆÓ Í˘ÛÙÚÒÓ; ¢ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.
ªÂÙÚÒ Ì ÙÔ Ì¤ÙÚÔ TÔ Ì¤ÙÚÔ ◗ ∏ Ù¿ÍË ÌÔ˘ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ ۯ‰fiÓ
... ̤ÙÚ·.
◗ ∏ Ù¿ÍË ÌÔ˘ ¤¯ÂÈ Ï¿ÙÔ˜ ۯ‰fiÓ ... ̤ÙÚ·.
58
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÂÙÚÔ‡Ó Ì‹ÎË, ÂÈÊ¿ÓÂȘ Î·È ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· Ì ÌË Û˘Ì‚·ÙÈΤ˜ Î·È Û˘Ì‚·ÙÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘.
ÂÓfiÙËÙ·
8 Ë
2 ªÂÙÚÒ ÙË ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ·
ŒÓ· Ï›ÙÚÔ ÓÂÚÔ‡ ÁÂÌ›˙ÂÈ Û¯Â‰fiÓ 4 ÔÙ‹ÚÈ·.
¶fiÛ· ÔÙ‹ÚÈ· ı· ÁÂÌ›ÛÂÈ ÙÔ ÌÈÛfi Ï›ÙÚÔ ÓÂÚÔ‡; Ãڈ̷ٛ˙ˆ Ù· ÔÙ‹ÚÈ· Ô˘ ı· ÁÂÌ›ÛÂÈ.
¶fiÛ· ÔÙ‹ÚÈ· ı· ÁÂÌ›ÛÔ˘Ó Ù· ‰‡Ô Ï›ÙÚ· ÓÂÚÔ‡; Ãڈ̷ٛ˙ˆ Ù· ÔÙ‹ÚÈ· Ô˘ ı· ÁÂÌ›ÛÔ˘Ó.
3 ¶ÔÈÔ ‚·ÁfiÓÈ ÎÔ˘‚·Ï¿ Ù· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ÎÈ‚ÒÙÈ·; °Ú¿Êˆ ÛÙ· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÎÈ‚ˆÙ›ˆÓ.
A
B
° 59
55
¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË ‰È„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ (π)
1 ∆Ô Ô‰‹Ï·ÙÔ
65 ú
£·Ï‹˜
ÿÏÓÙ·
M¿Ì˘
O £·Ï‹˜ ¤¯ÂÈ ... ú.
∏ ÿÏÓÙ· ¤¯ÂÈ ... ú.
O ª¿Ì˘ ¤¯ÂÈ ... ú.
◗ ¶ÔÈÔ ·È‰› ÌÔÚ› Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ Ô‰‹Ï·ÙÔ; ...........................
◗ ¶fiÛ· ¯Ú‹Ì·Ù· ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ·ÎfiÌË Ô £·Ï‹˜ ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ Ô‰‹Ï·ÙÔ; ...........................
◗ ¶fiÛ· ¯Ú‹Ì·Ù· ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ·ÎfiÌË Ô ª¿Ì˘ ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÙÔ Ô‰‹Ï·ÙÔ; ...........................
60
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È Û ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ‰È„‹ÊÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ·fi ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ô ¤Ó·˜ Â›Ó·È ‰Âο‰·.
ÂÓfiÙËÙ·
8 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ÙˆÓ Ú¿ÍˆÓ.
3 ∑ˆÁÚ·Ê›˙ˆ Ù· ÏÈÁfiÙÂÚ· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· Ô˘ ı· ¯ÚÂÈ·ÛÙÒ ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿Ûˆ Ù· ·ÓÙÈΛÌÂÓ·.
45 ÏÂÙ¿
24 ÏÂÙ¿
62 ÏÂÙ¿
73 ÏÂÙ¿
4 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ Ï›ÂÈ.
60 + 10 = ...
43 + 20 = ...
67 – 20 = ...
40 + 20 = ...
52 – 30 = ...
40 + ... = 70
60 – 30 = ...
35 + 40 = ...
30 + ... = 60
70 – 40 = ...
58 – 30 = ...
20 + ... = 70
2. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÌfiÓÔ ‰Âο‰Â˜ (.¯. 20 + 20, 30 + 20 Î.Ï.).
61
56
EÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙË Û˘ÌÌÂÙÚ›· OÈ Ûٿ̘ Î·È Ô Î·ıÚ¤ÊÙ˘
BOY¢A¶E™TH ºÙÈ¿¯Óˆ Ûٿ̘. ∆È ·Ú·ÙËÚÒ;
™˘ÌÏËÚÒÓˆ Ù· ¯ÚÒÌ·Ù· ÛÙȘ Ûٿ̘.
62
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÂÈÛ¿ÁÔÓÙ·È Î·È ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·ÍÔÓÈ΋˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜.
1
ÂÓfiÙËÙ·
8 Ë
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ÙˆÓ ·Ê·ÈÚ¤ÛˆÓ.
¶·Ú·ÙËÚÒ ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜ Î·È ‚¿˙ˆ Û ·ÎÏÔ ÙȘ Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜.
3
4 ¶·Ú·ÙËÚÒ ·˘Ùfi ÙÔ ¯ÚÈÛÙÔ˘ÁÂÓÓÈ¿ÙÈÎÔ ‰¤ÓÙÚÔ. OÈ Ì¿Ï˜ Â›Ó·È ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂Ó˜ Û˘ÌÌÂÙÚÈο;
Ãڈ̷ٛ˙ˆ ÙȘ ̿Ϙ Û˘ÌÌÂÙÚÈο.
2. £¤ÙÔ˘Ì ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ÛÙȘ Ôԛ˜ Ô ·Ê·ÈÚÂÙ¤Ô˜ Â›Ó·È ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÂÓÒ ·Ú¿ÏÏËÏ· ÚÔÛʤÚÔÓÙ·È ÁÈ· Â›Ï˘ÛË Ì ÚfiÛıÂÛË ÚÔ˜ Ù· ¿ӈ (.¯. 15 – 9, 13 – 8 Î.Ï.). 63
·ӷÏ
ÙÈÎfi Ì Ë
123 x 4567+896538-7 57 ·ӷÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ· Ì ¿ıË ·
1 ∏ ÂÙ·ÏÔ‡‰· ∞ÓÙÈÁڿʈ ÙÔ Û¯‹Ì· Û ¤Ó· ʇÏÏÔ ¯·ÚÙÈÔ‡.
∆Ô ‰ÈÏÒÓˆ Î·È Îfi‚ˆ.
∞ÓÔ›Áˆ.
2 ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
64
15 + 4 = ...
12 + 5 = ...
6 + ... = 26
17 – 2 = ...
16 – 2 = ...
21 + ... = 29
12 +6
19 – 5
ÂÓfiÙËÙ·
8
3
Ë
5 1 x 2 7 38
µÚ›ÛΈ Î·È Áڿʈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi.
4 ¶·Ú·ÙËÚÒ Ù· ·Ú¿ı˘Ú· Î·È ÙËÓ fiÚÙ·. ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ÈÔ ÌÂÁ¿ÏÔ;
Ãڈ̷ٛ˙ˆ Ù· ·Ú¿ı˘Ú· Î·È ÙËÓ fiÚÙ· Ì ٷ ¯ÚÒÌ·Ù· Ô˘ Ú¤ÂÈ, ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ Î·È ÚÔ¯ˆÚÒÓÙ·˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ.
1Ô
2Ô
3Ô
5 ŒÓ· ÎÔ˘Ù› ¤¯ÂÈ Ì¤Û· 5 ÎËÚÔÌÔÁȤ˜. ¶fiÛ˜ ÎËÚÔÌÔÁȤ˜ ı· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ̤۷ Û 4 ÎÔ˘ÙÈ¿;
ª¤Û· Û 4 ÎÔ˘ÙÈ¿ ı· ˘¿Ú¯Ô˘Ó
ÎËÚÔÌÔÁȤ˜.
3. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì οı ÊÔÚ¿ ¤Ó·Ó ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi ·fi ÙÔ 50 ̤¯ÚÈ ÙÔ 70, ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·˜ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ Î·È ÙˆÓ ‰Âο‰ˆÓ ÙÔ˘ (.¯. «ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ 4 ÌÔÓ¿‰Â˜ Î·È 6 ‰Âο‰Â˜;»). 65
123 x 4567+896
Ù fi Ë Ó Ù · E 1 5 x 9 8 4 2 2 7 9 6 8 538 EÓfiÙËÙ· 9Ë:
API£MOI MEXPI TO 100 – ¶PA•EI™ – BAPO™ – °EøMETPIKA ™XHMATA
58
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 58Ô: √È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 – ÃÚ‹Ì·
59
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 59Ô: ∂ÌÂÈÚÈÎfi˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Î·È ‰È·›ÚÂÛË
60
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 60fi: µ¿ÚÔ˜ – §ÂÈÙÔ˘ÚÁ›· ˙˘Á·ÚÈ¿˜
61
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 61Ô: ÷ڿÍÂȘ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ – ¶·˙Ï Î·È Ï·ÎfiÛÙÚˆÙÔ
62
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 62Ô: ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
63
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 63Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·
64
∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 64Ô: 3Ô ∫ÚÈÙ‹ÚÈÔ AÍÈÔÏfiÁËÛ˘
™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 58 ·›˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ·È¯Ó›‰È «ºÈ‰¿ÎÈ» ı· Ì¿ıÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ̤¯ÚÈ ÙÔ 100. ™ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· ·ÎÔ‡ÛÔ˘Ì ¤Ó· ·Ú·Ì‡ıÈ Ì ٷ ÙÚ›· ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ· Î·È Ì¤Û· ·fi ÙËÓ Â›Ï˘ÛË Û¯ÂÙÈÎÒÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ ı· ·ÛÎËıԇ̠ÛÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi Î·È ÙȘ ÌÔÈÚ·ÛȤ˜. ™ÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 60 ı· ÂÈÚ·Ì·ÙÈÛÙԇ̠̠ÙË Ì¤ÙÚËÛË ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ Î·È ı· Ì¿ıÔ˘Ì ÁÈ· Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ›‰Ë ˙˘Á·ÚÈÒÓ. ∫·ÙfiÈÓ ÛÙÔ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 61 ı· ·Û¯ÔÏËıÔ‡ÌÂ Î·È ¿ÏÈ Ì ¯·Ú¿ÍÂȘ, ·˙Ï Î·È Ï·ÎfiÛÙÚˆÙ·, ÂÓÒ ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ı· χÛÔ˘Ì ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·.
T· 100 EYPø
3
3
3
3
Ë
12
58
OÈ ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 – ÃÚ‹Ì·
1 TÔ Êȉ¿ÎÈ
∫·ÓfiÓ˜ ÙÔ˘ ·È¯ÓȉÈÔ‡ ÃÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ¤Ó· ˙¿ÚÈ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 4, 5 Î·È 6 ı· ¤¯Ô˘Ó ÎfiÎÎÈÓÔ ¯ÚÒÌ·, ÂÓÒ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 2 Î·È 3 ı· ¤¯Ô˘Ó ÌÏ ¯ÚÒÌ·. •ÂÎÈÓ¿Ì ·fi ÙÔ 0. ∫¿ı ·›ÎÙ˘ Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ú›¯ÓÂÈ ÙÔ ˙¿ÚÈ. ŸÙ·Ó ÙÔ ˙¿ÚÈ ‰Â›¯ÓÂÈ ÌÈ· ÎfiÎÎÈÓË ÏÂ˘Ú¿, ÚÔ¯ˆÚԇ̠ÌÚÔÛÙ¿ ÙfiÛ˜ ı¤ÛÂȘ fiÛ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ˙¿ÚÈ. ŸÙ·Ó ÙÔ ˙¿ÚÈ ‰Â›¯ÓÂÈ ÌÈ· ÌÏ ÏÂ˘Ú¿, ËÁ·›ÓÔ˘Ì ›Ûˆ ÙfiÛ˜ ı¤ÛÂȘ fiÛ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ ÙÔ ˙¿ÚÈ. ¡ÈÎËÙ‹˜ ı· Â›Ó·È ·˘Ùfi˜ Ô˘ ı· ÊÙ¿ÛÂÈ ÚÒÙÔ˜ ÛÙÔ 100.
™˘ÌÏËÚÒÓˆ Ù· ÛÙÔȯ›· Ô˘ ÏÂ›Ô˘Ó ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·. AÚÈıÌfi˜ ·fi ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÍÂΛÓËÛ·Ó
Z¿ÚÈ
£¿ÏÂÈ·
30
4
¢ËÌ‹ÙÚ˘
80
3
KÔÚ›Ó·
40
6
Ì·ı·›Óˆ T· 100 ú
AÚÈıÌfi˜ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ¤ÊÙ·Û·Ó
T· 100 ÏÂÙ¿ ·Í›˙Ô˘Ó fiÛÔ 1ú
10 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 10 =
68
∞ÛÎԇ̠ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÛÙË ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì¤¯ÚÈ ÙÔ 100.
ÂÓfiÙËÙ·
9 Ë
ªÂÙÚÒ ·Ó¿ 10 ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 Î·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·.
10
...
20
100 3
°Ú¿Êˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ϤÍÂȘ.
80
100
90
ÔÁ‰fiÓÙ·
89
2
ÂÓÂÓ‹ÓÙ·
ÂηÙfi
97
72
86
99
ÔÁ‰fiÓÙ· ÂÓÓ¤·
68
¢È·‚¿˙ˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ Ù· ÎÂÓ¿.
68 = 60 + 8
76 = .......................................
∆ M 6 8 ∆ M
88 = .......................................
∆ M
88 = .....................
90 = .......................................
∆ M
90 = .....................
99 = .......................................
∆ M
99 = .....................
68 =
ÂÍ‹ÓÙ· ÔÎÙÒ
4
76 = .....................
2. OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÂÙÚÔ‡Ó ·Ó¿ 10 ̤¯ÚÈ ÙÔ 100. ∂›Û˘ ·Ó‚·›ÓÔ˘Ó ·Ó¿ 10 ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÌÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ‰Âο‰·. ∆¤ÏÔ˜, ηÙ‚·›ÓÔ˘Ó ·Ó¿ 10 ·fi ÙÔ 100. 69
59
¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Î·È ‰È·›ÚÂÛË
1 ∆· ÙÚ›· ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ·
∆· ÙÚ›· ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ· ‚Á‹Î·Ó ÛÙÔ ‰¿ÛÔ˜ ÁÈ· Ó· Ê¿ÓÂ. ∫¿ı ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ ¤Ê·ÁÂ: ‰‡Ô Ì·ÓÈÙ¿ÚÈ· ◗ ¶fiÛ· Ì·ÓÈÙ¿ÚÈ· ¤Ê·Á·Ó Î·È Ù· ÙÚ›· ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ· Ì·˙›; ŸÏ· Ì·˙› ¤Ê·Á·Ó ... Ì·ÓÈÙ¿ÚÈ·.
Ù¤ÛÛÂÚ· ‚ÂÏ·Ó›‰È· ◗ ¶fiÛ· ‚ÂÏ·Ó›‰È· ¤Ê·Á·Ó Î·È Ù· ÙÚ›· ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ· Ì·˙›; ŸÏ· Ì·˙› ¤Ê·Á·Ó ... ‚ÂÏ·Ó›‰È·.
ÂÓÓ¤· ηڇ‰È· T· ÙÚ›· ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ· ‚Ú‹Î·Ó ÛÙÔ ‰¿ÛÔ˜ 9 ηڇ‰È· Î·È ·ÔÊ¿ÛÈÛ·Ó Ó· Ù· ÌÔÈÚ·ÛÙÔ‡Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ¶fiÛ· ηڇ‰È· ı· ¿ÚÂÈ Î¿ı ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ; ∫¿ı ÁÔ˘ÚÔ˘Ó¿ÎÈ ı· ¿ÚÂÈ ... ηڇ‰È·.
70
∂Í·ÛÎԇ̠ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Û ÂÌÂÈÚÈΤ˜ ηٷÛÙ¿ÛÂȘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ Ù˘ ·ӷϷ̂·ÓfiÌÂÓ˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ‰È·›ÚÂÛ˘ Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ Ù˘ ÌÔÈÚ·ÛÈ¿˜.
ÂÓfiÙËÙ·
9 2
10
...
20
Ë
ªÂÙÚÒ ·Ó¿ 10 ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 Î·È ·Ó¿ 5 ̤¯ÚÈ ÙÔ 50.
100 3
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Ù· ¤Ù·Ï·.
1 ÏÔ˘ÏÔ‡‰È ¤Ù·Ï·
1 ÊÔÚ¿ ÙÔ 3 =
3
2 ÏÔ˘ÏÔ‡‰È·
+
=
¤Ù·Ï·
2 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 3 =
3 ÏÔ˘ÏÔ‡‰È·
+
+
=
¤Ù·Ï·
3 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 3 =
=
4 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 3 =
4 ÏÔ˘ÏÔ‡‰È·
+
+
+
4
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙȘ Úfi‰Â˜.
1 ·˘ÙÔΛÓËÙÔ 1 ÊÔÚ¿ ÙÔ 4 =
Úfi‰Â˜
4
2 ·˘ÙÔΛÓËÙ·
+
=
2 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 4 =
Úfi‰Â˜
3 ·˘ÙÔΛÓËÙ·
+
+
=
3 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 4 =
Úfi‰Â˜
4 ·˘ÙÔΛÓËÙ·
+
+
+
=
Úfi‰Â˜
4 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 4 =
=
5 ÊÔÚ¤˜ ÙÔ 4 =
5 ·˘ÙÔΛÓËÙ·
+
+
+
+
2. OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÂÙÚÔ‡Ó ÚÔÊÔÚÈο ·Ó¿ 10 ̤¯ÚÈ ÙÔ 100 Î·È ·Ó¿ 5 ̤¯ÚÈ ÙÔ 50.
71
60
µ¿ÚÔ˜ – §ÂÈÙÔ˘ÚÁ›· ˙˘Á·ÚÈ¿˜
1 ¢È¿ÊÔÚ˜ ˙˘Á·ÚȤ˜.
¶ÔÈÔ Â›Ó·È ‚·Ú‡ÙÂÚÔ; ∑˘Á›˙ˆ Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Î·È ‚Ú›ÛΈ ÙÔ ÈÔ ‚·Ú‡.
∆Ú›· ›‰È· ÎÔ˘ÙÈ¿ Â›Ó·È ÁÂÌ¿Ù· Ì ¿ÌÌÔ, ηʤ Î·È ‚·Ì‚¿ÎÈ. ∞ÚÈıÌÒ Ù· ÎÔ˘ÙÈ¿ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 2 Î·È 3 ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙÔ ‚·Ú‡ÙÂÚÔ Î·È ÚÔ¯ˆÚÒÓÙ·˜ ÚÔ˜ ÙÔ ÂÏ·ÊÚ‡ÙÂÚÔ.
‚·Ì‚¿ÎÈ
72
¿ÌÌÔ˜
ηʤ˜
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ¤Ú¯ÔÓÙ·È Û ÚÒÙË Â·Ê‹ Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ Î·È ÙË Ì¤ÙÚËÛ‹ ÙÔ˘.
ÂÓfiÙËÙ·
9 Ë
2
¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜ Î·È Û˘˙ËÙ¿ÌÂ.
◗ ∏ ·ÚÎÔ‡‰· Â›Ó·È ‚·Ú‡ÙÂÚË ·fi Û¤Ó·; ◗ ∆Ô ·ÚÎÔ˘‰¿ÎÈ ˙˘Á›˙ÂÈ fiÛÔ Î·È Ë ÌÂÁ¿ÏË ·ÚÎÔ‡‰·; ◗ O ÂϤʷÓÙ·˜ Â›Ó·È ÂÏ·ÊÚ‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙËÓ ·ÚÎÔ‡‰·; ◗ ∆Ô ÂÏÂÊ·ÓÙ¿ÎÈ ˙˘Á›˙ÂÈ fiÛÔ Ô ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ÂϤʷÓÙ·˜; ◗ ¶ÔÈ· ¿ÏÏ· ˙Ò· Ì ÌÂÁ¿ÏÔ ‚¿ÚÔ˜ ÁÓˆÚ›˙ÂȘ;
3
µ¿˙ˆ Û ·ÎÏÔ Ù· Ú¿ÁÌ·Ù· Ô˘ ÓÔÌ›˙ˆ fiÙÈ Â›Ó·È ÈÔ ÂÏ·ÊÚ¿ ·fi ¤Ó· ‚È‚Ï›Ô.
----------------------------------------
ÎÔ˘Ù¿ÏÈ
ÎÔ˘Ó¤ÏÈ
Ì·ÏfiÓÈ
Û·ÏÔ˜
ÏÔ˘ÏÔ‡‰È 73
61
÷ڿÍÂȘ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ – ¶·˙Ï – ¶Ï·ÎfiÛÙÚˆÙÔ
1 ∏ ‰È·‰ÚÔÌ‹ ÙÔ˘ ÎÔ˘ÓÂÏÈÔ‡ ¢È·‚¿˙ˆ ÙȘ ÈÛÙÔڛ˜ Î·È ÙÚ·‚Ò ÁÚ·Ì̤˜. ◗ ŒÓ· ÎÔ˘ÓÂÏ¿ÎÈ ÍÂΛÓËÛ ·fi ÙË ÊˆÏÈ¿ ÙÔ˘ Î·È ¤ÊÙ·Û ̤¯ÚÈ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ fiÔ˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ù· ηÚfiÙ·. ∞fi ÂΛ ‹Á ÛÙÔ Î›ÙÚÈÓÔ ÏÔ˘ÏÔ‡‰È. •ÂÎÔ˘Ú¿ÛÙËΠÏÈÁ¿ÎÈ Î·È Â¤ÛÙÚ„ ÛÙË ÊˆÏÈ¿ ÙÔ˘.
∆È Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ Ë ‰È·‰ÚÔÌ‹ ÙÔ˘;
∞¿ÓÙËÛË: ..................................................................................... ◗ ∆Ô ÎÔ˘ÓÂÏ¿ÎÈ ÍÂΛÓËÛ ·fi ÙÔ Ú¿ÛÈÓÔ Ï¿¯·ÓÔ Î·È ‹Á ÛÙÔ ÎfiÎÎÈÓÔ ÏÔ˘ÏÔ‡‰È. ∞fi ÙÔ ÎfiÎÎÈÓÔ ÏÔ˘ÏÔ‡‰È ‹Á ÛÙÔ Î›ÙÚÈÓÔ Ï¿¯·ÓÔ Î·È ·fi ÂΛ ÛÙÔ ÌÔ‚ ÏÔ˘ÏÔ‡‰È. ∞fi ÙÔ ÌÔ‚ ÏÔ˘ÏÔ‡‰È ¤ÛÙÚ„ ÛÙÔ Ú¿ÛÈÓÔ Ï¿¯·ÓÔ. ∆È Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ Ë ‰È·‰ÚÔÌ‹ ÙÔ˘;
∞¿ÓÙËÛË: .....................................................................................
74
OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ı· Û˘Ó¯›ÛÔ˘Ó ÙËÓ ÂÍ¿ÛÎËÛ‹ ÙÔ˘˜ ÛÙȘ ¯·Ú¿ÍÂȘ ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, ÛÙË Û‡ÓıÂÛË ·˙Ï Î·È ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ï·ÎfiÛÙÚˆÙˆÓ.
ÂÓfiÙËÙ·
9 Ë
2 ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ Ì ÙÔ ¯¿Ú·Î· Î·È Û˘Ó¯›˙ˆ ÙÔ ¯ÚˆÌ·ÙÈÛÌfi Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ.
3 Ãڈ̷ٛ˙ˆ οı ÎÔÌÌ¿ÙÈ Ì ÙÔ ›‰ÈÔ ¯ÚÒÌ·.
75
ÚÔ‚Ï‹
Ù· Ì· Ú
123 x 4567+896538-7 62 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
‹Ì· Ô‚Ï Ù·
1 OÈ Î¿ÚÙ˜ Ì ٷ ·ÁÁ›· ∏ ¡·Ù·Ï›· ·ÁfiÚ·Û οÚÙ˜ ·fi ÙÔ ÌÔ˘Û›Ô. ÿÚÈÛ ÛÙÔ Ê›ÏÔ Ù˘ ÙÔÓ ÃÚ‹ÛÙÔ 8 οÚÙ˜ Î·È Ù˘ ¤ÌÂÈÓ·Ó ·˘Ù¤˜ Ô˘ ‚ϤÂȘ. ¶fiÛ˜ ·ÁfiÚ·ÛÂ Û˘ÓÔÏÈο;
∞¿ÓÙËÛË: ∏ ¡·Ù·Ï›· ·ÁfiÚ·Û ... οÚÙ˜ ·fi ÙÔ ÌÔ˘Û›Ô. ™˘˙ËÙ¿Ì ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÙÈ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó ·˘Ù¤˜ ÔÈ Î¿ÚÙ˜. 76
5 1 x 2 7 38
ÂÓfiÙËÙ·
9 Ë
2
∏ Ù¿ÍË Ù˘ ÃÚÈÛÙ›Ó·˜ ¤¯ÂÈ 18 ·È‰È¿. ∂Ù¿ ·fi ·˘Ù¿ ÊÔÚÔ‡Ó Á˘·ÏÈ¿. ¶fiÛ· ·È‰È¿ ‰Â ÊÔÚÔ‡Ó Á˘·ÏÈ¿;
∞¿ÓÙËÛË: ... ·È‰È¿ ‰Â ÊÔÚÔ‡Ó Á˘·ÏÈ¿. ºÙÈ¿¯ÓÔ˘Ì ¤Ó· ·ÚfiÌÔÈÔ Úfi‚ÏËÌ· ÁÈ· ÙË ‰È΋ Ì·˜ Ù¿ÍË Î·È ÙÔ Ï‡ÓÔ˘ÌÂ. ∏ Ù¿ÍË Ì·˜ ¤¯ÂÈ ......... ·È‰È¿. ........... ·fi ·˘Ù¿ ...................................................... ¶fiÛ· ·È‰È¿ ............................................................ ;
∞¿ÓÙËÛË: ..............................................................
3 ™Â οı ʈÏÈ¿ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 3 Ô˘Ï¿ÎÈ·. ™ÙÔ ‰¤ÓÙÚÔ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 4 ʈÏȤ˜. ¶fiÛ· Â›Ó·È fiÏ· Ù· Ô˘Ï¿ÎÈ· ÛÙÔ ‰¤ÓÙÚÔ;
77
·ӷÏ
ÙÈÎfi Ì Ë
123 x 4567+896538-7 63 ·ӷÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ· Ì ¿ıË ·
1 Ãڈ̷ٛ˙ˆ Ì ÙÔ ›‰ÈÔ ¯ÚÒÌ· Ù· Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ Â›Ó·È ›‰È·.
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BIB§IO™HMO
∞·ÁÔÚ‡ÂÙ·È Ë ·Ó··Ú·ÁˆÁ‹ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘, Ô˘ ηχÙÂÙ·È ·fi ‰ÈηÈÒÌ·Ù· (copyright), ‹ Ë ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÌÔÚÊ‹, ¯ˆÚ›˜ ÙË ÁÚ·Ù‹ ¿‰ÂÈ· ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘.
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