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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS DEFORMABLES Première Partie : Généralités sur les milieux continus défor niables. TABLE DES MATIERES

ChapitreI 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Chapitre II 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6

RAPPELS-NOTION DE TENSEUR Scalaires - vecteurs - tenseurs de rang 2 Transformations Définition d'un tenseur Quadrique représentative Grandeur en valeur absolue d!une propriété physique dans une direction donnée Propriétés géométriques de la quadrique représentative Diagonalisation d'un tenseur. Détermination analytique des axes principaux du tenseur. Invariants d'un tenseur Construction du cercle de Mohr Ellipsoïde de la propriété CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX - ESSAIS FONDAMENTAUX Essai de traction Essai de compression Essai de torsion Notion de contrainte Notion de déformation Diagrammes fondamentaux

Chapitre III TENSEUR DES CONTRAINTES 111.1 Définition-Notations. Contrainte sur une facette quelconque 111.2 Répartition des contraintes autour d'un point III.2.1. Quadrique de Cauchy. Eléments principaux en P 111.2.2 Invariants de «TÎJ 111.2.3 Ellipsoïde de Lamé 111.2.4 Recherche des éléments principaux quand on connait à priori une direction principale 0*5. 111.2.5 Tricercle de Mohr 111.2.6 Tenseur déviateur 111.2.7 Contraintes octaédriques 111.3 Equations d'équilibre 111.4 Formes particulières prises par le tenseur des contraintes

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Chapitre IV

TENSEUR DES DEFORMATIONS

IV.1 Déplacements et déformations IV.2 Déformations infinitésimales IV.2.1 Signification géométrique des e-y IV.2.2 Décomposition de la déformation : rotation et déformatiob pure IV.2.3 Déformations pures IV.2,3.1. Dilatation linéaire dans une direction quelconque IV.2.3«2. Distorsion d f un angle quelconque IV.2.3.3 Déformation d'un cube unitaire IV.2.3.4 Déformation autour d'un point. Eléments principaux IV.3 Formes particulières du tenseur des déformations IV.4 Dilatation thermique Chapitre V

RELATIONS_CONTRAINTES - DEFORMATIONS - TENSEUR_g L A S T T c Î T E "

V.l Loi de Hooke V.2 Signification géométrique V.3 Les élasticités forment un tenseur de rang 4 V.4 Notation matricielle V.5 Thermodynamique de la déformation V.6 Effet de la symétrie du cristal V.7 Cas des solides isotropes Exercice. Chapitre VI

ENERGIE DE DEFORMATIONJET CRITERES DE RESISTANCE

VI.1 Energie de déformation VI.1.1 Forme différentielle VI.1.2 Forme intégrée VI.1.3 Energie de changement de volume et de changement de forme VI.2 Critères de résistance ou de plasticité VI.2.1 Position du problème VI.2.2 Matériaux ductiles - Matériaux fragiles VI.2.3 Critère de Rankine VI.2.4 Critère de Trèsca~Coulomb VI.2.5 Critère de Von Misés VI.2.6 Critère de Stassi VI.2.7 Courbes et surfaces intrinsèques VI.2.8 Détermination expérimentale d f un critère VI.3 Calcul du coefficient de sécurité par le critère de Stassi VI.3.1 Coefficient de sécurité et contrainte équivalente statiques VI.3.2 Coefficient de sécurité dynamique

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Chapitre VII

LES EQUATIONS QENERALES DE LA THEORIE DE L'ELASTICITE

VII.1 Rappels d'analyse vectorielle VII.2 Equations d'équilibre (méthode de Lamé et Clapeyron) Calcul des déplacements VII.3 Méthode des conditions de compatibilité calcul direct des contraintes. Equations de Beltrami Exercice. Chapitre VIII METHODES EXPERIMENTALES D'ANALYSE DES CONTRAINTES VIII.1 Extensométrie VIII.1.1 Principes généraux VIII.1.2 Divers types dfextensomètres VIII.1.3 Jauges de contraintes VIII.2 Photoélasticité VIII.2.1 Rappels biréfringence - Milieux optiquement anisotropes VIII.2.2 Principe de l'analyse des contsaintes par photoélasticité : isochromes, isoclines, isostatiques VIII. 3 Méthodes analogique : analogie électrique VIII.3.1 Principe de la méthode VIII.3.2 Signe des contraintes Annexe I TENSEUR DEFORMATION EN COORDONNEES CYLINDRIQUES ET SPHERIQTJES Annexe II MATRICES (s..) -——•—«—————. j_ j et_(Ç..) j_ j POUR LES 7 SYSTEMES CRISTALLINS Annexe III TRACE DU RESEAU DfISOSTATIQUES ET DETERMINATION DES CONTRAINTES PRINCIPALES SEPAREES.

++++++++ +

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MECANIQUE

DES

MILIEUX

CONTINUS

DEpORMABLES

StsaSSSaSSSSSSSSSSSSSSa&SSSSSSSSSSSSS&SsaSSSSSSSSSSXSSSSSSSSSSS:

Première partie : GENERALITES SUR LES MILIEUX CONTINUS DEFORMABLES

INTRODUCTION = == = = = = =:= = = =

Tous les matériaux soumis à des forces extérieures se déforment. Alors que la mécanique rationnelle n'étudie que le mouvement d'ensemble des corps considérés comme indéformables ["solide parfait"), la mécanique des milieux continus déformables a pour but de calculer les déformations dues aux forces extérieures. Ce calcul ne peut être réalisé qu'à partir de l'observation expérimentale et, en ce sens, on peut dire que la mécanique des milieux déformables est une branche de la physique, par opposition à la mécanique rationnelle. Toutefois, cette classification ne doit ias être considérée dans l'absolu et nous dirons simplement que nous sommes à la frontière de la mécanique et de la physique. D'ailleurs, ceci est bien illustré par le fait que, dans le cas des solides réels, on peut considérer que les deux phénomènes mouvement et déformation sont simplement superposés alors que pour les corps liquides ou gazeux déplacement et déformation ne peuvent plus être séparés distinctement. Ainsi la mécanique des milieux continus déformables comprend deux branches distinctes : - la mécanique des solides déformables - la mécanique des fluides. L'observation et l'expérience jouent un rôle primordial en mécanique des milieux continus. Le fondement physique des calculs théoriques doit être clairement établi et si la théorie est nécessaire pour coordonner l'ensemble des faits expérimentaux, il est indispensable de vérifier les calculs par l'expérience. "L'expérience suggère et contrôle" (J. flandel). Dans ce cours, nous désirons présenter aux élèves-ingénieurs les théories générales de la mécanique des milieux continus (première partie) et les appliquer à la résistance des matériaux (deuxième partie). Nous admettrons par la suite que l'étudiant est familiarisé avec le calcul tensoriel. Dans le cas contraire, l'étudiant se reportera au premier chapitre du cours consacré à la notion de tenseur. © [M.BOIVIN G.FANTOZZI], [2000], INSA de Lyon, tous droits réservés.

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f-1ELASTICITE - MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS — a—as —s—a—=—=-=2-ss —=: —a—a — ss —=:•-=! —a — s—s — =s— ss — = — = —

CHAPITRE I - Rappels - NOTION DE TENSEUR

>

ïo5r2^yp5ï°G : II est parfaitement possible mais peu commode de présenter la tftéorie de l'élasticité

sans faire appel aux tenseurs.

Dans le cadre de ce cours, nous ne donnerons pas (essentiellement pour des raisons de temps) de définition rigoureuse et générale de l'être mathématique appelé tenseur. Nous nous contenterons de donner le sens physique des tenseurs dans le cas particulier de l'espace eyclidien à trois 'imensions en axes cartésiens. Dans le cas de la Physique, la notion de tenseur est intimement liée à la définition de la grandeur représentée et à la façon dont cette grandeur se transforme dans un changement de coordonnées.

I.1.- Scalaires^ vecteurs, tenseurs de_rang 2 1°) Scalaires : ou tenseur d'ordre 0 Un scalaire est défini par un seul nombre et indépendant des axes de référence [donc indépendant de toute notion d'orientation). Citons parmi les grandeurs scalaires : masse, densité, température, volume. 2°) V^Çteurs : ^ar opposition aux scalaires, il existe des grandeurs physiques très différentes, les vecteurs, qui sont inséparables de la notion de direction : c'est le cas par exemple d'une force ou de l'intensité du champ électrique, le grandient de température en un point.

— -> E, E, E t E représentant l'intensité du vecteur. Nous choisirons cette convention.

Nous pouvons désigner un wecteur par

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www.almohandiss.com 1-2B§orÉ˧Q5?£i9oJdLyQ_vË9ti?yE : Choisissons un trièdre trirectangle Ox , Ox , Ox . Les composantes du I

&-

O

vecteur sur les axes [ c'est-à-dire les projections du vecteur sur les axes) représentent le vecteur en intensité et directions.

E

i

Ë

E2

ou

Ë - [ E I . E2. Ej

E

3

Un vecteur est un tenseur de rang 1 [cf. suite) Nous supposerons que le lecteur est familiarisé avec fb'analyse vectorieMje.

3

°^ I§o§§yr^d? Eaos_?™!2y_dlordE!L2! Nous pouvons généraliser la notion de vecteur. Appliquons un champ

électrique Représenté par le vecteur E, sur un conducteur. Il se produit un courant électrique. La densité de courant [intensité par unité de surface perpendiculaire au courant] ->• est représentée par le vecteur j . Si le conducteur est isotrope et si la loi d'Ohm s'applique, on a J-tf^F

(13

a « conductivité. Si dans le système d'axes

j -

On a

[jr J2. J3]

1 2 3 Ox , Ox , Ox

et F - [E.,. E2. Ej

J1 - a ^

J2 - ^

chaque composante de

J 3 = a E3

(2)

j est proportionnelle à la composante correspondante de

E.

Par contre, si le conducteur est anisotrope [cas d'un cristal) la relation entre les composantes de

j" et de

¥ n'a plus la forme simple de l'équation (2).

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www.almohandiss.com 1-3Remargue^: Les cristaux du système cubique forment un groupe particulier dont la conductivité est isotrope. L'équation (2) est remplacée, pour les cristaux, par les relations [3_)

J

a

j,

2 = °21 E1

J

3 = °31 E1 + "32 E2 + "33^3 ,

a

+

"Ê

°12 E2 * C13 E3 '

J

°23 E2 + °23 E3

l [3)

^étabt des constantes.

Chaque composante de de

+

1 ' °11 E1

et J

j

est liée par une relation linéaire aux trois composantes

n'a pâius la même direction que

E . On peut donner aux coefficients

0.. de [3] une signification physique.

Si le champ est appliqué parallèlement à l'axe 1.

ÏÏ «

[E1 , 0 , 0 ] et les équations (3) deviennent (4) :

j

! ' "11 E1 |

J

2 = °21 E1

J 3 = °31 E!

ï

W

J

II y a. donc des composantes de j non seulement sur l'axe 1 mais aussi sur les autres axes : la composante dans la direction du champ est donnée par transversales par

a

o f. l

et les deux composantes

et

a .« De façon semblaôl

blé , a2«3 mesure la composante de j parallèle à x

quand le champ est parallèle à x .

Ainsi la~conductivité d'un cristal est une propriété qui est décrite par neuf coefficients, que l'on peut écrire sous la forme d'un tableau carré, entre deux crochets, qui symbolise un tenseur de rang 2* © [M.BOIVIN G.FANTOZZI], [2000], INSA de Lyon, tous droits réservés.

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www.almohandiss.com A-* "°11

S2 "13

°21

°22 °23

°31

°32 °33

a.„ sont les composantes du tenseur.

Ainsi, nous avons introduit trois sortes de quantités ; - tenseur de rang zéro (scalaire) représenté par un seul nombre et indépendant de tout système de référence. - tenseur de rang 1 (vecteur) caractérisé par trois nombres ou composantes qui sont associés à un système d'axes de référence. - tenseur de rang 2 caractérisé par 9 nombres ou composantes dont chacun est associé à deux axes (pris dans un ordre déterminé). La notation introduite traduit bien ces distinctions : scalaire s'écrit sens indice, les composantes d'un vecteur avec 1 indice, celles d'un tenseur de rang 2 avec deux indices. Lenombre des indices donne le rang du tenseur D'une façon générale, si une propriété

T

lie deux vecteurs

ip

s

(p., p0, p.J I

3

£•

et q - (q , q , q ) de telle sorte que :

P

1 " T11 q l

2 = T21 q i

P

+ T

12 q2 + T13 q 3

+ T

22 q2 + T23 q3

3 ' T31 q1

P

''

C6)

+ T

32 q2 * T33 q3

T^.» étant des constantes, on dit que ï.. représente un tenseur de rang deux. Un grand nombre de propriétés, en physique, font appel à des tenseurs de rang deux ï exemple ï conductivité électrique, thermique, perméabilité etc... 4°) Notation des indices muets II faut simplifier les notations. Les équations (6) peuvent s'écrire :

p =

C7)

i ,*. Tu qj J

Ci - 1.2,3)

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On supprime le signe Z i "Tij qj U'j *1' 2' 3)

C8)

p

en adoptant la convention d'Einstein ; quand un indice intervient 2 fois dans un terme monôme, la sommation par rapport à cet indice est sous-entendue. Ainsi (6), et i

(7) et C8) sont équivalentes. Dans l'équation Cô), j est dit indice muet

indice libre.

p±

: désigne vecteur

p

^Tp^ P2« P3~]

q.

: désigne vecteur q

Ti.

: désigne tenseur JJ^V]

I.2.- Transformations Dans ï'équation C6), les valeurs des coefficients T.. dépendent des axes de références choisis. Cependant, ces coefficients représentent toujours la même quantité physique : il doit donc exister une certaine relation entre les coefficients correspondant à des systèmes d'axes différents. Lorsqu'on change le système de référence, seule change la méthode de représentation de la propriété physique mais la propriété elle-même reste inchangée. Nous allons déterminer la loi de variation des neuf composantes T.. d'un tenseur lors d'un changement d'axes,

I.2.1.- Transformation des axes Considérons un changement d'axes c'est-à-dire le passage d'un système d'axes trirectangles à un autre trirectanglesayant la même origine. Sur chaque axe, l'unité de (longueur reste la même. Le premier système est x., x2, x , le second

x' , x* , x'o" l

Z.

3

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Les relations angulaires liant les axes sont données par le tableau suivant (tableau des cos. directeurs). Anciens axes

X>

Nouveaux

1

X

1

X

2

X

a

l1

a

l2

a

x'2

a^

X<

6

3

31

a22 9

32

Par exemple ; les cos directeurs de x' a

3

i3

a^ a

33

par rapport à x , x^» xg sont

et les cos directeurs de x^/ x 1 , x 1 » et x'

a±J

s

C9)

sont

a

,a

a

,a

et

et a33- Ainsi s

cos angle ^x^, xj

/% anciens

nouveaux axes

Le tableau des a . . est une matrice : désigné symboliquement par fa..J. Les 9 composantes ne sont pas

indépendantes les unes des autres. Vous pourrez d'ailleurs

en exercice établir les relations qui existent entre les cos. directeurs a . . .

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www.almohandiss.com 1-7Exercice n° 1 : Relations entre les cos. directeurs de la matrice ( a . . ) . Montrer que trois quantités indépendantes suffisent pour définir la transformation d'axes ; cela revient à trouver 6 relations indépendantes entre fces 9 coefficients a . . . On considérera ; qu'une longueur unité reste égale à 1 et que 2 axes rectangulaires ont des cos. directeurs nuls." de KRONECKER

<S. .* 13

Les 9 coefficients

a..

ne sont pas indépendants. Considérons le nombre de degrés

de liberté de la transformation : si les axes 2 angles pour préciser la direction de Ox

1

Ox , Ox_ et Ox

sont donnés, il

faut

[latitude et longitude). Les nouveaux

axes peuvent encore tourner autour de O x ' autour de Ox'

On utilisera le symbole

/I!S:LÏSJ Lo ii»J

et un autre angie, l'angle de rotation

est nécessaire pour les fixer complètement.Ainsi trois quantités

indépendantes suffisent pour définir la transformation : nous devons donc trouver 6 relations indépendantes entre les 9 coefficientsa... Chaque ligne du tableau [1] représente les 3 cos. directeurs d'une droite par rapport à 3 axes orthogonaux Ox., Ox 2 , Ox . On a donc :

a

112

+

9

+ 3

212

3

31

B

iK

+ 9

a

a

V *

222

322

jk

l32

+ 3

233

+ 3

=<

= 1

332

Sl

S

1K

= 1

6

1

a

=

1

- 3

2K

3k

9

1K

9

= 1

2k

= 1

3k

= 1

a

(?)

De plus, 2 lignes successives du tableau CD représentent les cos. directeurs de 2 axes rectangulaires.

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Gka a i

a

l1 S21

+ a

i2

3

3

21 331

+ 9

22

3

3

31

a

i1

3

13

3

23

=

°

3

32

+ 3

23

3

33

=

°

= 9 a 2k 3K

°

32 312

+ 9

33

a

i3

=

°

a 3 1k = 3K

°

22 *

+ 3

ou

a

a

1K

JK

1k

»• 0

si

3

2k " °

"

,

i ï j

(3)

Les équations C2) et [3) sont appelées relations d'orthogonalité [ * 6) On peut les exprimer en une seule équation :

a77~a.. - 6. . | ik jk ij I

(4)

fti-j = «f ^Q i/j

6 . . * symbole de KRONECKER _il_ ___ » _

« matrice unité ( ô . J ^

Le même raisonnement peut être fait pour les colonnes mais les relations n'apportent pas de renseignements nouveaux

Remarque ; propriété de substitution des Considérons la composante

calculons ô . . p .

De même

(<$. J

p. d'un vecteur

: on a 6 . . p . » p.

p

^ on substitue

j à i

S j j P . * P±

Pour une composante tensorielle T...

:

6..T

6

~ J

ii T ji = T ji

( 6 . J est, pour cette raison, souvent appelée matrice de substitution. §X§E5Î9§ 0°»? ~ Démontrer, par la notation des indices muets, que le carré de la iongueur d'un vecteur Fp.l

défini par p.p. est conservé dans un changement d'axes

[une telle grandeur est un invariant)

P P

i i •

a

ji

P

'j

a

Ki P 'k

-

W'k

=

P<

KP'k

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www.almohandiss.com 1-91.2.2.- Transformations des composantes d'un^vecteur

-

Considérons un vecteur p

PI^

x

p

i

P

X

3

3

x

ip.

^^

ix.

/^

X>

P

3

p' est obtenu en projetant p., p~ (considérés,

3

et

PS

comme des vecteurs] sur la

' direction x ' ^ .

pj| * pn cos Cx^ x ' n ) + p2 cos Cx 2 , x^) * P3 cos Cx37 x 1 ^

Soit d'après (9)

De nême

P< 1 = ai1 P1 + ai2 P2 + 813 P3 p'2 = a^ p^ - ^ ^ * ^ P>

3

= 3

P

31 1

+ B

P

32 2

+ a

(1D

-1) C10.2)

Pg

P

t1

33 3

3)

°'

que l'on peut écrire selon la notation des indices muets :

P'± = a

expression des nouveaux

p

p

"

C11)

en fonction des anciens.

On peut faire le même raisonnement pour la transformation inverse : on a alors P

1

PI

= a

11

P>

1

+ 9

21 P> 2 + 331 P'3

« aj^P-j

expression des"anciens" p

HZ)

en fonction des "nouveaux".

Remarque Transformations des coordonnées d'un point Les coordonnées d'un r point

p

X

2

. n , . . 7^7 sont les composantes du vecteur GP.

X

3

On a donc :

x'

« a.. x.

x X i

- 9a X x' ji J

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C12 bis)

www.almohandiss.com £-10!

I«2.4.™ Transformation des composantes d'un tenseur de rang deux Les vecteurs p et q sont reliés entre eux par les 3 équations (6). Les valeurs particulières des coefficients T. : dépendent du système d'axes choisi. Considérons un nouveau système d'axes x' » x' , x' . Les vecteurs p et q ont pour composantes p'. et q'.. Pour trouver les relations qui existent entre les nouvelles composantes, nous utiliserons la série d'équations suivantes s (11)

(8)

(12)

en fonction de

'i = aik "K

P

P

K

= T

kl ql

q

l " ajl q'j

En combinant ces équations i P'i = aik TK1 9jl q'j = °r P'i=T'ij q'j

| V . . - a.k ajl^T|

soit

k et 1 sont des indices muets* alors que

C13) i et j

sont des indices libres

[représentés deux fois). sont Les 9 composantes définies par la loi de transformation i 'un tenseur de rang 2 ï équations(13) permettent d'écrire dans les nouveaux axes les relations entre P'i et q'..

-

Remargue_ï développement de__l^équation (13) Le développement se fait en deux étapes ï d'abord / indice puis / l'autre l'ordre étant indifférent. Développons /l : T

'ij

= a

ikaj1 Tk1 * 3ik 3J2 Tk2 + 3ik aj3 Tk3

k est un indice muet dans chaque terme. T

'ij = ai1aja T11

+ a

i2aj1T21 + ai3 aj1 T31

+ a

iïaj2T12 + 3i2 aj2 T22+ 3i3 9J2 T32

* aiiaj3T13 + 3i2 3J3 T23 + ai3aj3 T33

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r-nOn comprend ainsi toute l'économie que représente la notation |des indices muets . ^3) représente un système de neuf équations, chacun ayan£ 9 termes dans son second membre. Remargue_2 : transformation inverse On considérera la série p -> p'-> q' •»• q qui permet d'obtenir les anciennes composantes en fonction des nouvelles

PI = \i pl k

'k " T'ki q'i

| T13 = \i

d'où

q

p

a

lj

T

'i = ai,j qj C14)

[

'kl

B§mËr9y§_?_i.m9^§0_mQÉm2ϧ9bQi9y§ Dans la transformation (13), où les nouvelles composantes sont exprimées en fonction des anciennes, les indices muets sont aussi voisins que possible, alors que dans la transformation inverse (14) c'est le contraire. Il en est de même pour les lois de transformation vectorielle. Remargue 4 : le tableau ci-dessous rassemble les lois de transformation d'un scalaire, vecteur, tenseurs de rang deux et plus ( nous utiliserons le tenseur élasticité qui est de rang 4). Ces lois de transformation sont d'une importance fondamentale, car elles forment la base de la définition d'un tenseur.

Nom

Rang

Scalaire

0

vecteur

1

Tenseur

2

Nouveaux en fonction des anciens

Anciens en fonction nouveaux

^' « Vf

Y »t' p± « a j ± P'j

p' ± « a^p^ T

3

T

4

T

V

a

ikajlTkl a

a

T

V\i

il jm kn lmn

T

'ijkl=aimajnakoalpTmnop

T

'ijk

=a

des

ijk "

a

lj

a

T

'kl

a

li mjankT' Imn

iJKl"amianJaokaplTlmnop

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1-12www.almohandiss.com I.3.- Définition_d^un_tenseur Les lois de transformation des tenseurs sont d ' u n e importance telle que nous pouvons les

utiliser comme définition d ' u n tenseur. Déterminons leur

signification profonde,, Prenons l'exemple du vecteur : on peut dire q u ' u n vecteur est une quantité qui se transforme dans un changement d'axes selon leë équations ( 1 1 ) « Cette règle de transformation nous a été imposée par le fait que les 3 nombres Pi associés aux axes Ox., Ox I

£.

et Ox

3

sont les composantes d ' u n e grandeur- physique qui

se conserve dans le changement d'axes. Ainsi dire que les 3 nombres

p. suivent la règle [11) revient à dire qu'ils sont

les coordonnées sur Ox. d ' u n e grandeur physique invariante. De même un tenseur de rang 2 représente une propriété physique à laquelle on attribue une existence propre

en dehors des systèmes ci'axes particuliers choisis. C'est la

reconnaissance de cette existence (relation eihtre 2 grandeurs vectorielles) qui nous a conduit "aux règles (13) et ( 1 4 ) « Inversement on peut dire que quand ces règles sont respectées, cela signifie que l ' o n manipule "l'être" qui représente une propriété physique indépendante du système d'axes. Remargue 1 ; différence entre la matrice de transformation (a.1J.) et le tenseur (T. .1 ~ ~~~~r -« L ^J (a* J et T. . | sont tous deux des tableaux ^Je 9 nombres mais leur ressemblance se limite là.'-

^

(a. J est un tableau de coefficients exprimant les relations entre dieux systèmes 1J F I T.. est une grandeur physique qui, pour un système d'axes

d s a x e s » Par contre

donné, est représentée par 9 nombres. Remargue 2 i Tenseurs symétriques et antisyméjtriques Un tenseur

T. .

"

"

est symétrique si

T. . " T . L

est antisymétrique si

T. . * - T.. =^>ce qui implique que T . . = 0.

La propriété de symétrie et d ? antisymétrie d'Jjn tenseur est indépendante des axes de référence. On démontrera facilement que si on a

T

' i j ' aiK a jl \1

T. .

T

a

T..

'ji " b jl

*âs* T 1 . . - T' ..

9

iK T1K " II T

T

"KI

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'ij

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I.4.-

Quadriqueireg résent atiye Nous donnerons dans ce paragraphe la représentation géométrique °"un

tenseur de rang 2. Considérons l'équation S±j x.

Xj

- 1

(15)

où les S.. sont des coefficients Effectuons les sommations par rapport à i et j dans (15) et posons

S^* S

.

On obtient i S

11 V

+ S

22 X22 * S33 "s" * 2 S23 X2 X3 + 2 S31 X3X1 *2 S12 X1 X2 = 1

c'est l'équation générale d'une surface du second degré ou quadrique rapportée à un système d'axes dont l'origine est en son centre. Cette quadrique est en général une ellipsoïde ou une hyperboloïde. On peut transformer l'équation C15) dans un nouveau système d'axes en utilisant les équations (12 bis) donnant la transformation des coordonnées d'un point :

x = a

i

kix'k

x =a

j

aj x 'i

s

ijAi X V \j x 'i = 1

d'où

S'kl x^x', = 1

avec

j S'^ » a^ a^ S^ |

On s'aperçoit que cette loi de transformation est identique à celle d'un tenseur de rang 2. Nous avions posé S.. = S... Donc les coefficients S se

de la quadratique (15)

transforment comme les coefficients d'un tenseur symétrique de rang 2.

Pour savoir comment se transforment les composantes d'un tel tenseur, on examinera la transformation de la quadrique correspondante (15) qu'on appelle quadrique représentative du tenseur S^.. Tous les tenseurs de rang 2 (sauf un, le tenseur thermoélectrique) représentant les propriétés cristallines sont symétriques. Ainsi la quadrique représentative peut être utilisée pour décrire n'importe quel tenseur symétrique de rang 2 s en .particulier on peut l'utiliser pour décrire n'importe quelle propriété cristalline représentéer^par un tel tenseur.

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I.4.1.- QΧg9Q§îiËËÏï2Q«^lyQ-!˧O˧yEi~ô^§Ë_GriOEï6Êy^ Sans revenir en détail sur les propriétés des quadriques, on sait qu'elles possèdent des axes principaux : c'est-à-dire qu'il existe trois directions orthogonales telles que l'équation de la quadrique générale, rapportée à ces axes, s'écri

Vl2

+ S

2 *22 * S3 X32

= 1

C16)

Un tenseur symétrique de rang 2 rapporté à ses axes principaux s'écrira de même :

5 ,S , S

sont les composantes principales du tenseur

6 composantes indépendantes

S.. j

3 mais le nombre de "degrés de liberté" reste

égal à 6 car 3 quantités indépendantes sont nécessaires pour préciser les directions des axes et 3 autres pour déterminer les valeurs des composantes principales.

La comparaison de (16) à l'équation classique

' "T * b ^2 * c% = 1 a montre que les longueurs des demi axes de la quadrique

(16 bis

*

sont

1 -——,

1 1 ——- j •— —

V£T ^2

VS3

Si S , S , S sont > §, la surface est un ellipsoïde.

Si deux coefficients sont > 6 et le troisième négatif, on a un hyperboloïde à une nappe C2 sections principales, JLaux axes sont hyperboliques, l'autre étant elliptique). Si un coefficient est

> o et les deux autres < o, on a un hyperboloïde à 2 nappes :

2 sections principales sont des hyperboles et la troisième est une ellipse imaginaire « Enfin si 3

< o «^ ellipsoïde imaginaire.

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www.almohandiss.com r-is1.4.2.- Sir^lificatign_dQS_éguations^guand_allas^3gnt-ram8nées-aux Reprenons l'équation liant le vecteujrp au vecteur p

p

i ' Tu qj

C17)

Si

Mi*!

est

symétrique, on a p.^ » Sjnqi

Si

[S-H 1

est

rapporté à ses axes principaux, (17) s'écrit alors ï

P1 - S1 QI

p2 - S2 q2

p3 * S3 q3

(17 bis)

Si q est dirigé selon l'un quelconque des 3 axes principaux* p est alors parallèle à q. I.5.- Grandeurjan^yaleur^absglu^^ Défirtitign ; 0 Si on a une propriété tensorielle du type p. ,*» l'intensitéW S x * S-M 1 r -ï J J — de la propriété S.. dans une certaine direction s'obtient en appliquant q dans cette direction et en mesurant P///q , P// étant la composante de p parallèle à q. §ÏBrËË5î°Q§_ËGËî^5i9y§l

Considérons l'exemple de la conductivité. 1°) 9§E-£§GB9rt-§y^.§25®?.6EiQ9iS§yï • de conductivité. Considérons unedirection

axes

d^ référence sont les axes principaux &

1. » cos 'directeur

^

>^

>*\

\

<*£?''* 7

c«s directeur » composantes du vecteur unitaire // direction. On applique E dans cette direction ¥ * C^E, 12E, 13E). Soit d'après (l7 bis^ I s fc^ 1-4 E' a 2 1 2 E '°3 1 3 E - ) La composahte de J., à "Ê est la somme des projectioBS des composantes de J sur ¥ soit s L'intensité a

b/ " 112"1E* 12 af + 1 3 <J 3 E de la conductivité dans la direction 1. est donc î ° - \2 °1 * 122j2 * 13*°3

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(1fl)

www.almohandiss.com 1-162) Par_rapgortmà des_axes_guel®gngues Soient

1^

les cos directeurs de

E. - EI. J

//

jL-f-J: E

JAJIJL E

"

E par rapport aux axes

j. = «r,. Er "*"

Produit scalaire en notation tensorielle

Dans la direction 1., la conductivité est donc s

• - ^ - y 1 - ^ - -«v, a « a ± . 1± 1.

05^

MMmTOm r

" ""—i——-»-4

[19) est l 8 expression

générale

^ g j étant 1 cas particulier

L'équation [193 est valable si le tenseur n'est pas symétrique-

1.6.™ Proprietés^géométriques de_la quadrigue représentative I.6.1.- Longueur du__rayon vecteur Soit P un point quelconque de l'ellipsoïde a . . x. x.

°P~

'1 2

1

m

1

P

x± - rl±

cas dirj 3

si OP « r Soit a . . x. x. » 1 » r

D'après

[19) a * -y-

a. .1.1. = 1

r * yW

r

C20)

\/a

Ce raisonnement s'applique à toutes les propriétés représentées par un tenseur symétrique de rang 2 l S^. I 1 S « * _^

r

r r

« « -J—

YS

S » intensité de la propriété dans la direction

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www.almohandiss.com I-"-

Bemarque : si la quadrique Si x^ x. m 1 est un hyperboloïde ou un ellipsoïde imaginaire, quand les longueurs des rayons vecteurs sont imaginaires, on considérera alors la quadrique i

U Vj " -1

S

que le rayon vecteur coupe en un point réel et _on aura î

S--4r2

a: I

r--L Y^T

•* cas de 1'hyperboloïde à 2 nappes : - 1 : est transformé en hyperboloïde à 1 nappe - cas de l'hyperboloïde à 1 nappe : - 1=^2 nappes " ou ellipsoïde imaginaire : •» 1 s=à réel

1.6.2.- Progriété_de^la_normale_au_rayon_yecteur Prenons pour Ox. les axes principaux de Ë » C^E, 12 E, 13E3 Si P

a...

J - C^^E, a2!2E, a^E)

est un point de la surface représentative du tenseur.

Vl2 + °2X22 + C3X32 = 1 rl

tel que DP soit parallèle à E

:P

1 ri

DP = r

rl

3

L'équation du plan tengent en P.-est : r I101x1 * tfl2 O2x2 * él3 03x3 - 1 (généralisation de l'équation de la tangente à 1 ellipse). Les EQS: directeurs de la normale en P sont proportionnels'1 à : 11V 12 «2. I3o3.

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www.almohandiss.com 1-18x1 En effet considérons un point ™°~"5t

X

il

2 du plan tangent * le produit

-»_»»_

?*& • 11

PU . normale doit être nul» ' soit : r l a tx^ - rl^J + r!2 ^Cx^ - rl2) + rl3C(x3 - ri ) * 0 Le point

SI

vérifiant l'équation du plan tangent en P, cette égalité est satis-

faite s les cas directeurs de la normale

en P sont donc bien prop

| à l*o*>

l^a , !„ o Ge résultat est général ï si p. « S. .q., on peut déterminer la direction de lorsque

q

est donné en menant d'abord parallèlement à q

p

un rayon vecteur

de la quadrique représentative et en menant ensuite la normale en P

OP

à la qua-

drique. Remarque ; si on a un point imaginaire, on considérera alors la quadriqdfi S., x.x. * - 1

pfînt réel : [normale vers l'intérieur),

I.7.- Diagonalisation d'un_tenseur^ Détermination analytique des axes principaux dy.ÎËQ?!?yï> lDYËrÎËD£§_dlyn_tenseur. Nous avons dit au paragraphe 1.4. que l'équation de la quadrique re2 2 présentative S., x.x. » 1 (S,. = J1 S..) pouvait 'se simplifier en IS Ix + £S £.x + ,_ JLj 1 J XJ Sx

« 1 par un changement d'axes. Aux points d'intersection de la quadrique

avec ses axes principaux, la normale à la quadrique est parallèle au rayon vecteur. Considérons un point P quelconque de la quadrique : OP I x.. Nous avons vu (propriété du rayon-normele) que le vecteur S..x. est parallèle à la normale en P. Pour les axes principaux le vecteur S..x. est // à x. : ceci s'écrit : «J J J S

i1 X4 *^xi

(21 )

-

ts A « C » [21) est un ensemble de 3 équations linéaires et homogènes des variables x.» Pour que la solution soit différente de x. = Q* le déterminant des coefficients

F ÇA) doit être nul ) PCX] =

S

11-X S12

S

S

S

S

S

12 S22-X

31

ou

F U) fr I S

- xC,

23

31 S23..

33~

- 0

« 0

Cette équation du Sème degré en X

(22)

X

(23) est appelée équation séculaire . Les 3 racines

X ! , X", X1^ sont les 3 valeurs possibles de X qui permettent à l'équation (21) de posséder unz solution ffc de 0. Chaque racine définit une direction pour laquelle le rayon vecteur de laquadrique est // à la normale! Cette direction e^t

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1-19-

UM- <x*«t- ^princw^cu -

Ces trois directions sont perpendiculaires 2 à 2 : considérons 2 d'entrés elles définies par

X 1 et X". Soient x*• e^ x" „ les 2 rayons vecteurs correspondant?

s

ij *'j • x > *'i ] * *"i

C

«v»l

ij Multiplions la 1ère par On a

gg

j

W

x

Vl

*i

x ' J « ( X f - X") x^x^

S j L . C x . x"± - x"

« S

«W»»

*iJ

x". et la 2ème par x ' . et soustrayons

>

Puisque S^

T,»»

A

, le 1er membre est nul donc

x'.x"..^ * °

Le produit scalaire de x ' . et x". est nul : les 2 vecteurs sont perpendiculaires.

QiF§9£î9Q_des_axes jDrincigaux On résout l'équation (22) par rapport à X „ Avec une des valeurs de

X

les 3 équations

1

(21); S.£. x ' . « X ' x ^ et on détermine les V/^VeurS

On recommence pour

X" : x " ^ , x" 2 * x".

on forme

X ,,* x ' , x'

La 3ème direction est perpendiculaire aux

2 autres. t-9QSy§yr_^§:!_ axes grincigaux S^. x ' . » X ' x 1 . S

î1

x

'*

x

i *

*'

multiplions les 2 membres par x 1 . x

'ix'i "

1

x

'i

étant yn ra

La longueur du rayon vecteur correspondant à

y°n vecteur.

X'

est donc :

\/rr~TT\ » 1 W * x *) ' yjr Les axes principaux ont pour longueur

donc

s

- X1

1 ——

1 -r--^—

1 —

K \FT V^I

S2 - X M

S3 -

X'"

(24)

Les 3 racines de (22) sont égales aux 3 coefficients principaux S , S , S,.. • £. «3

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Semargue ; moyen mnémotechnique : si la quadrique est déjà rapportée à ses axes principaux, l'équation séculaire est alors :

s1 - x 0 0 (S^ X)

CS2~ X)

o

o

S2~ X

0

0

« 0

S ™ X «3 •

(S3- X) * 0 dont les racines sont évidemment S , S , S .

'Invariants d ' un tenseur

L'équation séculaire (22} permettant de diagonaliser le tenseur s'écrit si on la développe

-fc 3 + I1 X2 - I2X

* I3 = 0

avec ^ - S.. - S^ * S22 + S33

X

2 ' ^ = S

[S

iiSJ3 -SiJ2)

11S22^ S22S33* S33S11 - S^ S^2- S^2

I- = I S. . o j ij

=

déterminant de la matrice des S. ..' ij

Cette équation doit conserver les mêmes racines si on change d'axes puisque les valeurs propres sont constantes (axes principaux du tenseur ^ leur longueur étant égale aux racines]. Par conséquent I.. 1 et !„ sont les trois invariants d'un tenseur.

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CHAPITRE

II

CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX

ESSAIS FONDAMENTAUX

II-1. -

Essai de traction L'essai de traction consiste à soumettre un échantillon à

des contraintes longitudinales qui tendent à l'allonger ou même à le casser. On trace ainsi un diagramme effort-déformation. Dans une machine de traction, les extrémités de l'éprouvette sont solidaires de deux traverses rigides : l'une est fixe, l'autre est rendue mobile par un dispositif à vis ou hydraulique. Une vitesse de déplacement constante est imposée à la traverse mobile et on mesure la charge à chaque instant grâce à des capteurs électriques ou à des dispositifs mécaniquesou hydrauliques. Les variations de la charge F en fonction de l'élongation AL = L - L

sont me-

surées : on obtient ainsi une courbe de traction. L'essai de traction doit être réalisé dans des conditions précises, sur des éprouvettes normalisées. On utilise très souvent des éprouvettes cylindriques dont les extrémités (têtes) de diamètre supérieur sont raccordées à la partie utile (corps) par des congés de grand rayon (fig. 1).

La forme générale d'une courbe de traction est indiquée par la figure 2. Elle se compose de deux parties s

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- zone^l^ : zone élastique (zone OAB)

le solide reprend son

état initial dès que la charge est supprimée. Dans ce cas la transformation est parfaitement réversible : la relation effort-déformation est univoque. La courbe OB est constituée de deux parties : - une partie rectiligne OA (pour une charge <^ F.) - une partie légèrement courbée AB (pour une charge F-^F^F ]. La partie OA est A

B

dite zone d'élasticité linéaire et F. est la limite d'élasticité proportionnelle. A La partie AB est dite zone d'élasticité non linéaire et F0 est la limite d'élasD ticité. RejïTarqu£ : la signification de ces limites est toute relative car elle dépend de la précision des mesures. - zor\è_2_ " (zone B0E) zone plastique s lorsqu'on supprime l'effort9 l'éprouvette ne revient pas à son état initial mais garde une déformation permanente ou plastique. Si on fait croître la charge jusqu'en C puis si on fait décroître, on décrit la courbe CD', 00' représentant l'allongement permanent. La courbe CO' est pratiquement parallèle à la courbe OA. Si après cette expérience, on procède à une nouvelle charge on constate que la limite élastique du matériau F_ est plus grande que précédemment ^^r)* C'est le phénomène d'écrouissage ï la limite élastique a été augmentée mais le matériau est plus fragile. © [M.BOIVIN G.FANTOZZI], [2000], INSA de Lyon, tous droits réservés.

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www.almohandiss.com It- 3 -

Dans la zone BD, les allongements sont répartis uniformément dans l'éprouvette (plasticité répartie) alors que dans la zone DE, les allongements deviennent localisés ï la déformation a lieu dans une région très limitée de l'éprouvette dont la section diminue rapidement ; c'est le phénomène de striction ou plasticité localisée (fig. 3). La striction précède de peu la rupture qui a lieu dans la section la plus réduite en S pour une charge ultime F F « En fait la rupture commence en D et la charge Fn est appelée charge de rupture ou charge maximum.

Figure 3 II.2 ~ Essai de compression Dans l'essai de compression peut apparaitre le phénomène de flambage pour les éprouvettes longues Cfig. 4). On dit qu'il y a flambage quand sous l'action d'un effort axial une éprouvette fléchit. Pour éviter le phénomène de flambage, il faut que le rapport longueur sur diamètre soit petit. En général, la longueur ne doit pas excéder 3 fois le diamètre .

Mais dans ce cas le rôle des faces- d'appui devient important : la dilatation des extrémités de l'éprouvette est gênée par le frottement entre les extrémités et les plateaux de compression (problème de la liaison d'extrémité). Ainsi les extrémités de l'éprouvette de compression ont tendance à garder leur diamètre © [M.BOIVIN G.FANTOZZI], [2000], INSA de Lyon, tous droits réservés.

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www.almohandiss.com Jt-4 -

initial alors que la section centrale se dilate donnant à l'éprouvette une forme de tonneau (fig« 5).

II.3 - Essai de torsion

Ce type d'essai permet essentiellement de déterminer les caractéristiques des matériaux aux grandes déformations. En effet, dans le cas de la torsion, il n'y a pas de modification de la forme de l'éprouvette et par conséquent la striction n'existe pas* L'essai de torsion consiste en la mesure de la déformation angulaire a tion du couple C appliqué aux extrémités du cylindre C.fig.6).

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en fonc-

www.almohandiss.com JE- 5 -

Le diagramme de torsion a l'allure indiquée par la figure 6. On remarque les mêmes domaines qu'en traction : - les déformations sont d'abord proportionnelles au couple i c'est le domaine élastique. La longueur du cylindre L est constante. - les déformations deviennent ensuite permanentes ; c'est la zone plastique. La longueur augmente très légèrement alors que le diamètre de l'éprouvette subit une légère diminution. Il faut remarquer que tous les points décrivent des arcs de cercle même dans le domaine plastique. Dans l'essai de torsion, la déformation n'est pas homogène : elle est nulle sur l'axe et maximale sur la surface. Pour avoir une déformation homogène, on utilise parfois un tube à paroi très mince. Mais les difficultés pratiques d'usinage et les phénomènes de flambage rendent difficile ce genre d'essais. II.4 - Notion de contrainte II.4.1. - Définition Un solide est en état de contrainte quand il est soumis à l'action des forces extérieures. Un élément de volume à l'intérieur d'un corps en état de contrainte est soumis à deux catégories de forces : 1 - les forces de volume i dues à des champs de force (comme, par exemple, la pesanteur) qui s'exerce sur tous les éléments de volume. Les forces de volume sont proportionnelles au volume de l'élément. 2 - les forces de surface : exercées sur la surface de l'élément par le milieu qui l'entoure. Elles sont proportionnelles à la surface externe de l'élément. La force par unité de surface est appelée "contrainte".

Considérons un corps en équilibre soumis à l'action de forces extérieures F., F« ... F.

Sous l'action de ces forces extérieures, des

forces intérieures vont prendre naissance. Pour étudier la grandeur de ces forces en un point quelconque P, séparons le corps en deux parties I et II par un plan quelconque ir passant par le point P. Considérons l'une des parties I.Cfig 7).

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Figure 7 Elle est en équilibre sous l'action des forces extérieures qui lui sont appliquées et des forces intérieures réparties sur la section transversale (S) du corps par le plan ir qui représentent l'action de la partie II sur la partie "T. On admet que ces forces intérieures sont réparties d'une manière continue sur la surface CS). Si on considère un élément de surface dS appartenant à la section (S) et passant par le point P, les actions exercées par la partie II sur la partie I à travers dS ont pour résultante dF« La limite de (—1 quand dS tend vers 0 donne la contrainte agissant sur la section (S) au point P. contrainte au point P sur la facette dS dont l'orientation est définie parla normâle -^ n à la facette (la normale est orientée vers l'extérieur de la partie isolée I), Une contrainte est une grandeur vectorielle. On a l'habitude de décomposer la contrainte en deux composantes [fig. 8) s composante normale de la contrainte ou co n t r ai n t éj^hormàj^ (tr/>0 correspond à une tension, CT<0 à une compression), composante tangentielle de la contrainte ou contrainte tàngéhtielle (ou de cisaillement) ou cij3sic3n.

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www.almohandiss.com ff- 7 -

L'équation aux dimensions d'une contrainte est

^ - n L~V2 Z L

L'unité de contrainte du système international est le Pascal (symbole Pa) :

^77^7 1m

On utilise couramment comme unités ï bar et hectobar : bar

. da| . 1(J5

pg

cm 1hbar

, daN mm

m 1Q7 pa

On exprime encore les contraintes en Kgf/mm g = 9,81 m/s2 soit sensiblement

1 Kgf/mm

: 1 Kgf/mm2 = 9,81

106 Pa

^ 1 hbar

II.4.2. - Equilibre - Réduction des forces extérieures Quand on réalise une coupure dans un solide comme précédemment, la partie isolée reste en équilibre sous l'action d'une part des forces extérieures qui lui sont appliquées et d'autre part des actions de contact identiques aux actions de la partie enlevée. Le corps étant en équilibre, le système des forces appliquées à la partie isolée est donc équivalent à zéro. Ce système comprend : - d'une part le système des forces extérieures appliquées à la partie isolée - d'autre part le système des forces appliquées dans la surface de la coupure (soit le système des contraintes dans cette surface). Ces deux systèmes de forces sont donc opposées. Si on réalise leur réduction en un point, leurs résultantes sont opposées et leurs momente résultants par rapport à ce point sont opposés.

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www.almohandiss.com jr-lAinsi pour étudier lea contraintes dans une section d'un corps, on effectue la réduction du système des forces extérieures appliquées à l'une des parties isolées par la section, cette réduction étant généralement effectuée au centre de gravité G de la section Cfig. 9).

Figuré 9

Si R est la résultante en G des forces extérieures appliquées à la partie

(I),

on appelle s - la composante normale à S : N i résultante normale ou de traction ou effort longitudinal - la composante tangentielle T ; résultante tangentielle ou de cisaillement ou jgffort tranchant Si M est le moment résultant en G des forces extérieures appliquées à la partie CI), on appelle : - la composante normale : M. : moment de torsign_ - la composante tangentielle i M

2 moment de flexion

II«4.3. - Quelques exemples

1

^'Traction î Soit une pièce travaillant en traction simple

c'est-à-dire soumise à ses extrémités A et B à deux forces opposées F et -F Cfig 10). Considérons une facette S perpendiculaire à l'axe de traction z séparant l'éprouvette en deux parties CI) et

(II).

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www.almohandiss.com •Or 9 •

Effectuons la réduction en G centre de gravité S des forces extérieures appliquées à la partie I. Ces forces se réduisent à -F • On aura N = -F s valeur algébrique sur l'axe z de l'effort appliqué sur la partie isolée I. T =0 Mt = 0 Mf - 0 L'équilibre de la partie I soumise à la force F et aux contraintes dans la section

S implique que la résultante des contraintes soit égale à -N et que le moment résultant par rapport à G soit nul. Ces conditions sont vérifiées par un système de contraintes normales (T = 0) et uniformes.

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www.almohandiss.com H- "ib "- " ) 2/ Torgj.£n^j^nj&ube^ On dit qu'il y a torsion pure si la réduction des forces extérieures est telle que seul le moment de torsion n'est pas nul. C'est le cas des sections droites d'une pièce cylindrique soumise aux extrémités à deux couples opposés. On procède de la même manière que pour la traction tfig. 11). Les forces extérieures appliquées à la partie I se réduisent à un couple -C : N = 0, T = 0, M = -Cs M = 0. L'équilibre de la partie I implique que le système des contraintes ait une résultante nulle et un moment résultant par rapport à G égal à -M , On fait les hypothèses suivantes i 1 -Dans la section S, les contraintes normale a sont nulles (il n'y a pas de déplacement axial de la section) et les contraintes radiales sont nulles aussi car la section reste de grandeur constante (ceci découle de l'observation expérimentale). Seules existent les contraintes T normales au rayon vecteur. 2 - On peut admettre'dans le cas d'un tube mince que T = cte.

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ff- 11 3 - Torsion d'une barre p3.ej.ne La contrainte n'est pas homogène : elle est nulle sur l'axe z et maximale pour r = R On peut admettre que :

T s Kr L'équation d'équilibre est donc : Jr rdS + M = 0 S

K Jr2 dS * Mt « 0

S

dS = I

/

= moment d'inertie de la section par rapport à son axe au moment

G

d'inertie polaire de la section k

= -V
G

. 1 soit

T=

*G

c r r =— IPG IpG

"Ç -—

1

II.5. - Notion de déformation

II.5.1. - Dilatation linéaire unitaire

Considérons un essai de traction. Au cours de l'essai, la longueur entre deux sections augmente s on définit la dilatation linéaire unitaire dans la direction longitudinale par le rapport (sans dimension) :

L^L. L"U'°-....ct..,.^ L L o

L

L' o

Dans la direction transversale : •rrD- irD^ D - BA û û = AjD__ = ~~W D D

& C T

O

0

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0

o

H - 12 www.almohandiss.com

Si on conaidère un carré de câté unité dont le plan confient l'axe de traction, il se déforme de la manière indiquée par la figure 14 ; ~2277™7~\ T çL -> ,->

//// / n ///f/

Figure 14

4 ^J< £T
e

= AL

= AD

Remarques : 1 - Quelle que soit F, dans le domaine élastique, on remarque que D-D o e D _ = ™-™__™____-_~___. _ Qte = - v £ , L~L L o

____ o soit

v - - — E L »_____

v est le coefficient de Poisson (v 2> 0,3 pour l'acier)

2 - Le volume de l'échantillon est V * —4

x L

La variation relative de volume est égale à — V 8olt

soit

^

*-V

.- 2AD

V

D o

— V

o_

+

= -^ + — D L

AL . . ^

L o

L

L

= (1 - 2v) e. L

q

^

si v = 0,5 : le corps est incompressible. Donc le volume d'un acier en traction augmente dans le domaine élastique Cfig 15).

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Figure 15 II.5.2. - Glissement Considérons le cas de la torsion d'un tube Cfig 16). Sous l'action du couple de torsion, le déplacement d'une section droite est uniquement une rotation cX, autour de son axe et proportionnelle à £a distance à la section d'encastrement [section de référence). On appelle déformation relative en torsion 9 la rotation par unité de longueur :

e . Jï. . _£' . cte L o L'o Si on considère un parallélogramme unité, le glissement relatif ou glissement par unité de longueur du cylindre est l'angle de l'hélice formée par les points d'une génératrice initiale du cylindre.

(glissement ou distorsion)

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II.6 -

Diagrammes fondamentaux

^ ~ Traction^ ; A partir de la courôe conventionnelle [F, AL) obtenue comme indiqué au 5 II.1, on peut tracer la courbe donnant la contrainte vraie en fonction de e .

a

= contrainte conventionnelle = —

s F ° a = contrainte vraie = — S Le domaine élastique linéaire est caractérisé par la pente de la droite E module d'élasticité longitudinale ou de Young. o = eE loi de Hooke pour une contrainte uniaxiale. Acier E ±? 21.000 hbar. Remarque si ae ££21 hbar, l'allongement unitaire ee correspondant est égal à : — .— — i e 6

= 2£ * 10~3 = 0,1% E

On définit

a la limite de proportionnalité a1 la limite d'élasticité Pour les métaux usuels, a e Ci a 1 e Souvent, il est difficile de définir la limite élastique car elle n'apparait pas toujours comme un point particulier sur la courbe de traction (cf. physique des matériaux). On définit alors une limite élastique conventionnelle à 0,2 % qui est la contrainte provoquant un allongement permanent de 0,2%.

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On trace le diagramme contrainte-glissement à partir de la courbe de torsion (pour un tube par exemple).

T T'

est la limite de proportionnalité au cisaillement e

est la limite d'élasticité au cisaillement

En général pour les métaux T £^T' e e Le domaine élastique est caractérisé par la pente de la droite qui est le module d'élasticité transversale ou de Coulomb G T = Gy loi de Hooke pour une contrainte tangentielle Acier : G £? 8000 hbar Remarques : V Nous verrons par la suite que les 3 constantes élastiques E, G, v ne sont pas indépendantes. Il existe en effet entre ces 3 constantes la relation G-

—^~ 2(1+v)

2/ Te et ae sent aussi liées par l'intermédiaire des critères de résistance, 3/ Dans le domaine plastique, il existe une liaison entre les courbes fondamentales de traction et de torsion. En effet, on peut établir une courbe générale d'écrouissage. De plus, la loi de Hooke n'est plus valable dans le domaine plastique. Elle doit être remplacée par une loi plus générale (loi de comportement). © [M.BOIVIN G.FANTOZZI], [2000], INSA de Lyon, tous droits réservés.

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a*- aCHAPITRE

TENSEUR

DE

III

CONTRAINTES

III.1. Définition - Notations - Contrainte sur une facette quelconque

Considérons à l'intérieur d'un corps un parallélépipède infiniment petit autour d'un point P et d'arêtes parallèles aux axes de coordonnées rectangulaires Qxj. Ox^, Ox0lfig.1). Sur chaque face du parallélépipède, la matière exerce une force qui peut être décomposée en 3 composantes. Si on considère une face perpendiculaire à l'axe Ox., on a les composantes de contrainte ï -a., parallèle à l'axe Ox : contrainte 1 ï normale -021 parallèle à l'axe Ox2 )contralnte de -a parallèle à l'axe Ox« ) cisaillement ^1 ^ .

On peut adopter la même définition pour les faces perpendiculaires à l'axe OxL et à l'axe Ox'w. On définit ainsi 9 composantes de la contrainte autour du point P que l'on peut désigner d'une façon générale par a . a étant la composante selon l'axe Ox*. de la contrainte qui s'exerce sur une face du parallélépipède perpendiculaire à l'axe Ox . a représente la contrainte exercée dans la direction +0x. par la matière qui se trouve du côté sfeOx sur la matière «ui se trouve du côté -Ox..

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www.almohandiss.com m- 2 On adopte la convention de signe.suivante : a ..^ 0 correspond à une tension a .. ^ 0 . • compression a .. représente les composantes normales de la contrainte o . (± £ j) représente les composantes de cisaillement (ou tangentielles) Remarque i sur la face perpendiculaire à Ox. mais orientée par l'opposée de 1, on a - cr.,., - cr * - a^. [action et réaction) III.1.1. Caractère tensoriel des a..

Nous allons maintenant montrer que les composantes des contraintes a., forment un tenseur de rang 2. On a.-vu qu'un ensemble de grandeurs T.. liant deux vecteurs p. et q. par une équation de la forme : P^èl^q. -T l j q j

CD

j obéissent à une loi de transformation tensorielle et forment donc un tenseur de rang deux. Il faut donc montrer que a.. lient bien 2 vecteurs par une équation de ce type. Considérons un solide en équilibre soumis à des contraintes. Soit à l'intérieur d'un tel solide un tétraèdre élémentaire RABC (infiniment petit) et étudions son équilibre (fig. 2).

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www.almohandiss.com 3H - 3 -

L'orientation de la face ABC du tétraèdre est définie par sa normale n (vecteur unitaire dirigé de l'intérieur vers l'extérieur) dont les cosinus directeurs sont :

-*n "n1

2

"3

Sur la facette ABC s'exerce une force égale à J x S [ABC) (force exercée par la matière située du côté ^0 sur la matière située du côté '^0).Les forces qui s'exercent sur les 3 autres faces sont représentées par les composantes des contraintes «•. . : les forces de volume (poids, inertie) du Sème ordre peuvent"être négligées par rapport aux forces de surface précédentes qui sont du 2ème ordre. Le tétraèdre étant en équilibre, il doit être soumis à un ensemble de forces équi.,-*• valent à zéro : la résultante p> F et le moment résultant doivent être nuls. £T-^

& £F - o

*-

Suivant l'axepx,., cette équation s'écrit : X^ = 0^ BPC + 012 APC + 013 APB

Aire (BPC) = Aire (ABC) x n Aire (APC) = Aire (ABC) x r\2 Aire (APB) - Aire (ABC) x n. o

Soit Xl - o1ini • O12n2 * a13n3 de même pour les axes Ox et Ox3 i soit X

2lnl

+C

3 = C31n1

+ a

2

X

= C

22n2 + °23n3 32P2 + °33n3

soit en notation indicielle

3 X

i *

2 aijnj ^ Qijnj J-1

(2)

i - 1à3

Les 0 lient donc les vecteurs X. et n. selon une relation linéaire identique à l'équation (1). Ils forment donc un tenseur du second ordre. © [M.BOIVIN G.FANTOZZI], [2000], INSA de Lyon, tous droits réservés.

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www.almohandiss.com m - 4La relation (2) pentiet donc de calculer les, contraintes pour une facette d'orientation quelconque à partir des composantes
Présentation matricielle de l'équation C2) i f=U X

°12

°13

°ij^ a 21

°22

"23

CT

°33

4- JlJgjggDJ résultant - 0

n

-

n2

[n]

|n3j

°11

f^J12 f a l

^=

3j

°31

On a donc

-0]

32

=

f°]

I

(fig. 3).

PA2 - 12

Gg2 - !2/3

PA3 , 13

Gg3 - !3/3

El

a

11

a

°21

G

I2 22

a

Q

31

Soit G le centre de gravité de ABC et g

a

g » g

l2 32

a

13

f- a 23 a

33

ses projections sur les faces

PBC, PAC et PAB respectivement. L'équation du moment par rapport à G s'écrit [dans le cas où il

n'existe pas de champ de moments ) :

_*. —^ —*> -ï —$> —^ " Gg1 A f f a i r e PBC) - Gg 2 Aj 2 Caire PAC) - Gg3 A^ Caire PAB) « 0 —> -^ —-> -5> -î> -^ soit S n d ( G g l A J^ * Sn2 CGg 2 AÏ 2 ) * Sn3 (Gg 3 AÎ 3 )

«0

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www.almohandiss.com 1H.-S-

Swivant l'axe PoC^Wla : —* G

T*

SiA*i*°

12

/

-^ Gg

•?

1

-=» T5

2

1

3

l cr G = > a 2 A! 2*7 32 / S3A/3 5 - 3 - 23

13

soit Sn2 —,-c32 - Sn3 — ^ = 0 J2

or Sn — 2 3

13

!

• Sn_ — 3 3

= V = volume du tétraèdre [•=• base x hauteur) 3

d OÙ g

' | 23 = q32 De même suivant les 2 autres axes C

31

=

°13

°12 " °21

°1J * gjl|

C3)

II y a réciprocité des contraintes tangentielles. Les o*^ * forment donc un tenseur symétrique. Remarques; 1/ Cette propriété découle du fait qu'on suppose qu'il n'existe pas de champ de moment (par exemple une action magnétique). Dans le cas contraire, le tenseur des contraintes n'est plus symétrique. 2/ Interprétation physique (fig, 4)

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www.almohandiss.com Df -6 -

Exgrclce^ • Relation de Cunchy Montrer que si l'on considère deux facettes passant par le —=> —> -p> —^ même point de vecteurs contraintes et de normales respectives ® tra et » ,, n', -* " on a T*-f è e n' « «3> é . «n In 'n1 III.1«2. Calcul des contraintes normales et tangentielles

Contrainte normale (F*nn a

nn

C

nn

=

fn'n

=

CT

°nn

=

°1lnl2

+ a

22 n 2 2

+ a

33n33

l"l

+ X n

22

+ X n

33

= X n

i i

n n iJ(

=

= X

ij

°11 n ^°12 n 2 n l " q l 3 n l n 3 * "•

+ 2

°12n1n2

+ 2a

23n2n3

+ 2

°13nin3

C4)

Présentation matricielle

\^\ fn) -ftW (4-J

ann . ( ^ fa] [n]

C'est la forme quadratique associée à la matrice symétrique faj et développée par rapport au vecteur n. Ccmtr'ain11e taing;eintie 11 e i T T\\. contrainte tangentielle quelconque obtenue par —_„,..,.,,. ..„.,,. ., .,„„.,„ __, „,..„.„„ .,„. „ —^ jrojection sur une direction t du plan dS. «$ —£ ««^ \, t, t', forment un trièdre trirectangle.

j^ -, ; t t et t' :

sont perpendiculaires à n

nt =T'rC Vl * X2*2 + V3 ' Xiti - "ij-j*!

^

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www.almohandiss.com -ffn - 7 -

T

T

nt

=

Ca

11P1 * °12n2

nt

=

"nVl

+

+

+

°13n33 *1

+

"22n2t2 * "saVs

"•

+ a

12ln2*1

+

"1*2'

+

•°23Cn3V Vs'

"nln
Présentation matricielle

v-WW-WWfnJ C'est la forme polaire associée à la matrice symétrique fal —* ^> *- J rapport aux vecteurs n et t. Remarque : la contrainte de cisaillement totale est T

et développée par

2 2 T2 = I * -a •*n nn

III.2. - Répartition des contraintes autour d'un point

III.2.1. - Quadrique de Cauchy. Eléments principaux en P

En un point P et pour un élément de surface dS de normale n, on peut représenter la valeur de-la, contrainte normale cr en portant sur la normale nn positive un vecteur Cfig.6) PQ de longueur :

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www.almohandiss.com 3fl- & I Le lieu géométrique de l'extrémité du vecteur PQ est donné par :

r

S

V~

1

°"CT11X12+ff22X22+a33X32+ 2ai2X1X2 * 2
=

-1

Le signe + correspondant au cas où cr est positif M Le signe " négatif. C'est l'équation générale d'une quadrique rapportée à un système d'axes dont l'origine est en son centre. Cette quadrique est soit un ellipsoïde soit un hyperboloïde (se rep3rter au f 1.4). La quadrique de C^fêfehy n'est autre que la quadriqu représentative du tenseur des contraintes ou quadrique des contraintes, dont l'équation en notation indicielle est ï

"uVj = :1

(7)

Rapportée à leurs axes principaux (cf. § 1.4.1) j l'équation de la quadrique s'écrit : Vl2 * V22 * a3X32 = i 1

Les demi-axes ont pour longueur •

1

1 1 , ——, ™z^>

K V^ V^


cr s a_ et a

1 2

3

pouvant être ^ 0 ou

cr , a et a sont les contraintes jjrincipales et les axes principaux sont les • *3 ~""'"~-~"ji • """"

j^rggtj^rg_prj.ncipale^ des contraintes. Les axes principaux de la quadrique sont des directions privilégiées : ce sont les normales à des éléments qui sont soumis uniquement à une contrainte normale. La recherche des directions et de£ contraintes principales revient à trouver les directions telles que (cf. 5 1.7).

-r> " k*^3 .^^

^

Aff

11'

soit en écriture tensorielle :

a..n. = Xn. (8) ou (a.. -X è.J n = 0

lj J

1

Stv Ai = n. 0 -Q

!

3.J

XJ

J

è. . = symbole de KrCtnecker (cf. § 1.2.1) 1J

a^ =|1 si i = j (0 si i ^ J

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itc- 9 ~

En écriture matricielle : (JVJ - X[l])

ri

[n]

* 0

(8)

f 1 0 0'

[11 = matrice unité =

010

001

•

On reconnaît la recherche des vecteurs et valeurs propres d'un tenseur wn hrivuT* Pour qufil y ait une solutioriVil faut que le déterminant de ([aj - X fil ) soit nul (ou le déterminant de ( a.. -X6^.). En développant, on obtient une équation du 3ème degré en k (équation séculaire) dont les 3 racines X.,X sont toujours réelles car a.. 0,X, 1 c. 3 1J est symétrique : on a cr = X , a^ = X , a, = X,. Les trois directions propres correspondantes forment un trièdre trirectangle qui sont les directions principales des contraintes. Leur détermination se fait en résolvant le système (8) pour chaque racine de X : (a11 -X) n1 + ai2n2''''+ 013n3 = ° a

!2nl +

^

(a

22 -X)n2 + a!3n3 = °

a

!3nl * °23n2 + (a33 ~X)n3= °

2 2 2 avec n. + n p + n"5 = ^ Le tenseur des contraintes ramené à ses axes principaux s f é c r i t : 1

r i l'^" ° °1 K.U 0^2 o l

1J

J

L 0

0 «3 J

Remarques : l/ La propriété du rayon normal de la quadrique (§ 1.6.2 et fig.6) permet de déterminer la direction de la force résultante ^ndS appliquée à l'aire dS. a © [M.BOIVIN G.FANTOZZI], [2000], INSA de Lyon, tous droits réservés.

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www.almohandiss.com 5£r w~

-à*

On mène parallèlement à ri^ le rayon vecteur de la quadrique de longueur r5 il coupe en Q la surface de la quadrique. La direction de «pfn est donnée par la normale en Q à la quadrique. Evidemment, \ -»*» -2» si Q est sur l'un des 3 axes principauxs é est parallèle à n : il n'y a pas de composante de cisaillement. 2/ Si le tenseur des contraintes es$ ramené à ses axes principaux, les contraintes normales et tangentielles deviennent :

f°nn

= c n 2

l l * °2n22

+

W

) T

(9) =

+

n t

+

n t

1 nt "iVl °2 2 2 °3 3 3 n , n^, n^ étant les cosinus directeurs de la normale par rapport aux axes principaux et t.5 t^s t, celles de la tangente t. 3/ Casparticuliers " °1 = °2 * a"5 :la
On a vu que la recherche des directions principales conduit à la solution de (a.. - Xô..)x. = 0 ij ij j II n'y a des solutions que si •la.. ij - X6.. ij I i = 0

11 "X _ a !2

C

a

°23

0

soitià =

!3

12

°13 , _ C X a 23 2 2~ a

=0

33"X

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www.almohandiss.com HT -11 -

où -X 3 + I a X 2 » I 2 X + I 3 = 0 Développons A : A

= (a1± -X)

/rr

\A

r (:» ' 2 i - * K f |^(a -X)Y~a 22

* a!3 [a12 a23

23

- a!3

I

= aii = a al + a22 + a

I

est invariant linéaire

X

2

a

=

\

(

a

22 Q33 " a23

33 all " a!3

("33 "*> - "13 a23

1

22 "X >1

= trace du tenseur a^.

=

°11 "22

+
22 °33 * a33?ir(
= m

^neur ^elatîf à a

=

a

"

2 a

2

(
°ii °JO ' °iJ2)

ll a22 " Q12

12

..

=

ll V I a0/.

= é. mineurs relatifs aux termes diagonaux

22

I2 est 1*invariant quadratique I

a j

=

a n • I = déterminant de la matrice des a.. | ij J J-J = a

I

ll a22 a33+2Î2 a!3 a23 "all a232 " 022 a!3

"°33a12

est l1invariant cubique

Nous rappelons (cf; § 1.7) que I , I et I sont des invariants car si on part d T un autre système d'axes, le tenseur des contraintes est a'., et l'équation séculaire s'écrira : ij - X 3 +If!x2 ' II2X + I!3 = °

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www.almohandiss.com -jpC - 12 Mais on doit retrouver les mêmes contraintes principales tf-jjcrpjtf* donc les mêmes racines de lféquation séculaire (seuls les cosinus directeurs des directions principales sont différents ) ; ceci implique donc que 1^ = I 1 ^, 1^ ™ I f 2 et I_ = Par rapport aux axes principaux *1 = °1 * °2

+

I*.

°3

\ ^2 = Œ1CT2 + a2a3 + °r3al I3 = a1 a2 a3 III.2.3» ~ Ellipsoïde de Lamé (fig. 7)

Considérons lfextrémité F du vecteur contrainte sur un élément ds ~>> défini par sa normale positive n. Prenons pour axes de coordonnées les axes principaux a-t^c^scr-z' Le point F a pour coordonnées :

j xi = *ini j X2 = o2n2 I X3 = a3n3

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www.almohandiss.com -ICC - 13 Le lieu géométrique de F lorsque ds décrit tout l'espace autour du point P est : ?

n. 1

?

Y*" A

?

+ n0 + n, = 1 2

soit

3

.Y .Ap

Y ^ .A_.

-±- + -^ + ~2~ = 1 -l2 ^22 °32

C'est un ellipsoïde rapporté à ses axes principaux, dont les demiaxes sont jaJ3 \°2\ e^ 1 ^l * C'est l'ellipsoïde de la propriété définie au § 1.9. III.2.4. - Recherche des éléments principaux quand on connait a priori une direction principale a^ - 1 - Formules de bases (fig. 8)

Figure 8 Par rapport aux axes x^ x29 <j- 3 le tenseur a. . a la forme : ""il fij]^"

o

C

12

°

^ a°

o.

3 «I

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www.almohandiss.com IEC - ^ - aœJJ

Calculons

^

pour une facette parallèle à l*axe a, et dont la nor-

male n a pour coordonnées

cos 0 sin 6 0

[XJ = [o] fn]

X

a

l

X

2 X

=

Xi = c . . n.

ll a!2

COS 6

°

a

!2 a 22 ° 0 0 0

Sin 8

0

a11 cose +a12 sin© a

!2

C0s8+ Q

22 s^-ne

0 Ça contrainte normale a °nn

=

°llnl2

= a tj^n

=

+ a

22n22

2 cos 0 -i- a

est égale à (relation III.4)

+ 2a

12nln2 2 sin 0 + 2 a.2cos0 sin0

a aia +a2 n" a oo -£- + _H_2i 2 2

cos 20 * a , 9 sin 20 li£

cos 2 = l+cos20 — 2 2

o-î sin

— Izcos20 "~ " "" «™^

La contrainte tangentielle suivant t

- sin 0

cos 0 0

«B»»ÏJ

t

étant dans le plan x^9 x^s est égale à (relation III.5)

Tnt = - a^sin0 cos© + appSin© cos0 + a.p (-sin 0 + cos 0) Tnt

a a = . 22_ill i sin 2e

+ 012 cos 20

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www.almohandiss.com T0> *5 -

- 2 - Méthode algébrique "n^est direction principale si soit

tg 2f

=

-.-llg— a

I—

Tnt = 0 c'est-à-dire pour 6 = \^

—

(10)

2]p à * près

ir°22 —

y à 1 près ' 2

¥• = Y + 21 q

' I

r

s

H + °2 2

g +

2

ll' l ' q 2g

ll-°22

cos2.

2

oyi =

q

a

a12 = l^

^ ( °ll- g 22 2 )

+

/^

11—22.. cos2|5

2

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+

a id

s.n

^ /

- 012 sin 2y>

3EE 16 www.almohandiss.com On adopte la convention

:

ap ^ vyi algébriquement a

n ~CTPP — >0 cosi^ ^

<*f> - crp'j^O T ^ cos2^

c'est-à-dire que

doit être du signe de a^ - a^

Eliminons

^ entre tg2^

et ap (ou a^') :

1 2 —±j— = 1 + tg^2^ cos 2j?

(or 2 ll"a22)2+4a12 = —ii_££ lé (a±1 "cr22)2

_î_ = î^iZS^Z a ±1 . a22

cos 2jp on prend le signe -s- pour avoir

d,où

g 0?<

s

il^22

±

o^ y> ap/

(cos2^ est alors du signe de o±1- a22)

__L y((Jii-a22)2+ „ ^^

(12)

D'où le tenseur ramené à ses axes principaux ^af7 * (T-z i~"

~x

(hJ 0

0

0 0^/

0

0

0^

Exercice : Retrouver les valeurs de (J"^ et^Tu?* a partir de la recherche des valeurs propres de la matrice \<J"1. - 3 " Méthode graphique. Construction du cercle de Mohr (cf. § 1.8)

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www.almohandiss.com HT" 17 Problême 1 : On suppose connus les axes ^3 ^ f et ovp5çry>' Trouver a et T , pour une facette quelconque n.

nn

nu

f 1

a

a a +a ii"a22 = -11—22 + _H_22_ ces 26 nn p 2 a

II T . = v nu

c (

Ojm s T

a ll" 22 sin ±i_££p

26

+ a^sin20 12

+ a 1^ . n c o s 20

J6±a'+ £^i cos ^

nt = - - 5 f a/ -in2l'

C'est l f é q u a t i o n paramétrique d ' u n cercle^ lieu de l'extrémité m -f> -^ «^ de é dans les axes mobiles n et t. (a

nn "

a

2

) + T

nt

=

(
i^

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}

www.almohandiss.com -HP-- 18 ( Le centre I du cercle est sur Pn au point '•TTcry

et

1

son rayon est

égal à • "p-qy . (fi g . 11 )

5 = **

Py = oy/

PI

= gy*gp? 2

crnn ± PI + R cos2i|> i nt = - R sin 2*

Figure 11 Remarque 1 : L'axe de Mohr (fig. 12)

^ est parallèle à A^/r/'m d'où la construction

!!/ 0nn PT =

\t

PΣure_J.£ Remarque 2 : Quand n tourne d!un angle $ par rapport à l^axe ¥)9 on tourne d'un angle 2^ en sens inverse. - Les contraintes normales a sont comprises entre «f'^nn^f - Cissions particulières : cission maximale pour * T = -^-^£l v = + 45° max 2

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www.almohandiss.com •ffC- 19 cission pure seulement si oy» et crpf sont de signe contraire. - points particuliers : m' représente une facette symétrique par rapport à l f axe y m" une facette perpendiculaire à celle représentée par m. Remarque 3 : lieu de m dans les axes y et y* 1 'Xll X_ =

" cllcosM12Sine ~l d19cos ô +o00sih« I ^

xj L

o

J

(

\*V~] fC>P C°3'1' I =

sint

IvJ h' _

X = csp COST|/ Y = cftp' sinif;

est l'équation paramétrique d*une ellipse (fig. 13) qui est l'ellipse de Lame (cf. § III.2.3) X2 * Y2 = , ! a>p a^

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www.almohandiss.com HT- 20 ] Si cr^ = 6^ est parallèle à n e t Q r n = a r i P Problème 2 : On connait o^-pO^ et °~12* Déterminer les éléments principaux (figure 14). PH± =
^=^12 H2m2 = - ^12 (cf § III.2.4.1)

Figure 14 - On prend t à +^/2 de n (sens ^>0 étant donné par 1, 2) - On place m. puis nu(ou I) d f où le cercle de Mohr - On relève PAf = et PA^' = ^rf» - L'angle *K est lfangle entre l'axe ^f et 1. Si la construction est faite sur n// à l'axe 1 5 Ay m. est parallèle à l'axe *P . Remarque : La méthode algébrique donne c^ alors que la méthode graphique donne U^ avec *f = - ^.

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www.almohandiss.com -S&- 21 —

III.2.5. - Tricercle

de Mohr

- 1 - Position du problème : c'est une représentation plane du faisceau des contraintes fondamentales. On cherche à représenter l'état de contrainte sur un élément de surface ds entourant le point P :• cherchons le lieu de m dans les axes mobiles "n^ t, t étant dans le plan contenant à la fois n et p . Soient X., X2, X, les axes principaux et a^, a 2 5 o-z les contraintes principales avec la convention d'écriture : 0^2^°^

(fig

' 15)

Figure 15 Lorsque la facette // à lraxe X, tourne autour de X^, le point m se trouve sur le cercle de centre !.. et de diamètre A,^. Il en est de même pour les axes X1 et Xp.

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www.almohandiss.com -m.- 22 Pour une facette quelconque (non parallèle à l'un des axes principaux)3 on va montrer que le point m représentatif se situe obligatoirement dans la zone hachurée du diagramme (Cfnn . ~C ) Fig. 16 n T>

Figure 16 - 2 - Mise en équation (fig 17)

*î n \-

«

[•„]•

° -, L °

X^ s^ ^7 ^ ^^^^'^ ^^~—~~——^

/

r ai ° ° " o a

°

3

Appliquons la relation III. 9 On a a m = a^ 2 + a^n^+a^ 2

XX

/

T^ 2

^n

/

2

= ^nn

+ T

2

2

= X

nt

l

+ X

2

2

2

+ X

3

^/\

d!après la relation III.2 = a 4.

Figure_17

f

T

nn

j ann

(

+Qp 2 n

n 2

2

3 n3

2 ^ 2 2 2 2 2 2 2 +T nt = al nl +a2 n2 +a3 *3 = a

lnl2 * a2n22 + a3n32

1 = na

2

+

n22

+

n32

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(13)

www.almohandiss.com HT- 23 -

1

II est possible dfattacher à toute facette de normale n un point m (a ,T ,) dans le plan (a ,T ,), Inversement recherchons à quelle nn nu nn nt condition^ un point m (ann 3 T n,\>) du plan correspond à une facette de normale "r? (n. 3 n 2 > n _ . ) . Cette condition se ramène simplement à rédoudre le système d'équations (13). 2 2 3 Résolvons le système par rapport à n. , n« , n, .

A^:

•a2 °2~2

-32

0x

<^-z

Op

1

1

'a2' "32

I "a^ '/ r

^^

a

~ CTp

p

0

1

-j2

a ;

""

^

"S

0

1 2

a

A

2

= (a a - a 2 ) (a 2 ~ cr )

l ~a2)

=

^ a l "" a 2^ ^°2 ~ a 3^ ^ a l " a 3^ +T

nt2

a 2 2 a

1 =

(a

2

1

l

+

a

+a

?

a

3

'

"^

1

1

a^

0

0

1

°2 " a 2 " a 3 )

(a

nl2=: ann2

(a

2 -a3)

=

A

soit

+cr

l

a

nn^Tnt2 °2+ff3 °32

V a

3

=(0

2 -a3}

1

a

nn

1

(a

a 3

1

0

2 -a3) (ann2+ Tnt2 +(Va3)<73 -ann(a2+03) ' ^l

na2 =

An 2

l /nn 2+ T nt 2 - g nn ( q 3 + V*_ q 2 a 3 ._ A (a^ ~cr 2 ) (a^ "^3)

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1

www.almohandiss.com TU- 2H ] et par permutation circulaire 2 . *nn2 +^nt2 -*nn(*3 * gl^3 gl

n

2

n

(

Ml, )

(

^2 -'3> *2 -'!>

2 _ %/ +Tnt2 -gnn(ffl +CT2} *al q2 " (a3 -a±) (c3 -a2)

3

- 3 ~ Discussion Ces trois valeurs représentent les cosinus directeurs (par rapport aux axes principaux) de la normale aux facettes pour lesquelles a et T . ont les valeurs choisies. Mais ces deux valeurs nn nt 2 2 2 ne sont pas quelconques car n. , n2 et n^ sont positifs. Il faut donc que ' °nn2 <

+ T

nt2 ~ crnn(<J2+03) +C2a3^ °

0

nn2 + Tnt2 ~ °nn(aS°2>

°nn2

+ T

nt2 ~ "nn^l^a5

+a

la2'£0

+tr

l°2 ^ °

Ces conditions signifient que le point représentatif doit se trouver dans la partie hachurée du diagramme de la fig. 18 . En effet : - la 1ère condition exprime que m est à l'extérieur du cercle centré en I. et de rayon ^JL^l' - la 2ème condition est vérifiée à 1!intérieur du cercle centré en Id0 et de rayon a__ l""a3 - la 3ème condition est vérifiée à 1Textérieur du cercle centré en g I, l a2 ^ et de rayon __

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Remarques On voit sur la figure 18 que : - les contraintes normales sont comprises entre a., et a. - 1!addition d'un état de contrainte sphérique ( a O O , O a O , O O a ) se traduit simplement par une translation d'ensemble du diagramme de Mohr de a suivant l'axe des ann - lorsque deux contraintes principales sont égales, un des cercles se réduit à un point et les autres cercles sont confondus, le point m se trouvant nécessairement dessus. - lorsque les trois contraintes principales sont égales, les 3 cercles se réduisent à un point et le point m est confondu avec ce point - lorsque le point m est situé sur un des cercles n^np ou n^ est égal à 0 et la facette correspondante contient une direction principale. Dans ce cas, on peut utiliser les résultats obtenus au § III.2.4.

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www.almohandiss.com -JEC- 26 1

- 4 - Cisaillements principaux (fig. 18) Pour des facettes passant par l f axe x^a la cission maximale est égale à (point m*) : /

TI =

°2~G~*)

~r

Pour l*axe x?, point nu ) <1

a

=

T

^

i~cN r? 2

:

contrainte tangentielle maximale

(15)

Pour l f axe x.,, point m.,

\

T

- gl"°2 3 '2

Les cosinus directeurs correspondant à chacune de ces cissions maximales peuvent être calculés à partir des relations (III.14). .-. Pour T ± : n1 = 0 Pour i^ : n^ = j; i/i Pour T : n ± = + l/|2

:n

2 = î|/f

3 : n3 = i|il

n

2

=

°

3 = i /f

n

n

2= ±y| n

3=

°

Ce sont des facettes passant respectivement par les axes x., Xp, x, et bissectrices de 1*angle que font les deux autres axes principaux.

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www.almohandiss.com 3TE 27 III.2.6

)

Tenseur déviateur

Le tenseur des contraintes définit entièrement l'état des contraintes autour d f un point

a±. =

a

ll

a

!2

a

G

12

a

22

a

a

!2

!3 23

a

Q

23

33

Le tenseur a., peut être décomposé, d'après les proij ^ priétés générales des tenseurs, en la somme de deux tenseursa^. et a"-. . avec S = / 0 '» ° 0°\a 0^ m %

(16)

. !il^22^3J_ - traçeW. V — ^ (*)

\ ° ° m] qui représente un état de contrainte très particulier : état de contrainte sphérique (ellipsoïde de Lamé est une sphère) ou hydrostatique correspondant uniquement à un changement de volume. / 2girq22"cr23 (16) 6t

4 'ij

3 "12

=

\

'V

a

12

2a

0

"13

?2~ ll~ 3-5 3 °2Ï

\

a

^3 Z

°M-'^K

I

qui correspond au contraire à un état de contrainte sans dilatation volumique mais avec distorsion (ou cisaillement) : a
Xa est souvent appelé "contrainte moyenne": c'est en fait la moyenne des contraintes principales.

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www.almohandiss.com •an.- 28 - ) Les invariants

du déviateur sont les suivants

:

II '= - ^T^-^j^-sK^^)1 *-

+ 6 (<sx}+fcrç+^0l 1

= -1 [ (5-^ * Çt-^) *f4-<*)*] T^ <X*[
!J

/ a 1 0

0 a2

!J

\ / 0 \ a J m 0 = 0

5

- .

!J

0 a

\ /20^0,,-a 0 0 \ —i—^ i 3 o 0 + 0 _2^V^3_

s

0

\ \

0

1° ° " / r y i • • ^y III.2.7. - Contraintes octaédriques

Les ruptures ont tendance à se produire suivant des plans également inclinés sur les 3 aces principaux (la normale est la trissectrice du triëdre) (fis. 19)

^-isCTp^cr n

l = n2

sont donnés = n

j, = -fc

Ainsi, on a (relations III.13) a

nn

= a n 2+a

l!

2n22 +a^

a 2 +T2 2 2^ 2 2 2 2 nn nt=a^ n^ +a2 n2 +a, n^

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www.almohandiss.com JEU - 29 -

[

S0lt g

T

nn

VVff3 * 1= g = ~ oct 3

g

i2îq22+g52

2

nt

=

-

T

%

9

+ 2a22 + 2a

oct2=Tnt2 = |[^rtf2)2

=

(<W°5)2

-

3

= ~(2a12

<">

I

2

+ (

VCT3)2+

- 2a1a2-2a2cr5-2a5a1)

(a

3 -l^J

= f T(aram)2 + (*2 ^m)2+ (^3-%)2J

T

oct2 = i (21 2 - 6I0)

9

1

^

On remarque que aQ ^ et T

t

s*expriment uniquement

en fonction des invariants du tenseur des contraintes. Ces valeurs sont les mêmes pour les huit plans identiques à ABC entourant le point P et formant un octaèdre. C f est pour cette raison qu f on les appelle contraintes octaédriques. On peut exprimer T

^ en fonction des a., rapportés à des

axes quelconques (cf. § III.2.2).

T

oct = i |^2a112+ 2a222+ 2a332^a11022^a22a33^a33a11

-

=

6a

lla22~6a22CT33"6a33all+6a132+6a322+6a122 1

\ [(airCT22)2+(a22^33)2+(a33^Qll)2+6(a122+a232+a132)]

On peut remarquer aussi que : T

2

=

_ 2_

3

2

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www.almohandiss.com m- 30 - i

III.3 - Equations dféquilibre

Les composantes du tenseur des contraintes dans un corps en équilibre sous l'action de forces de surface et de forces de volume doivent vérifier les équations d'équilibre indéfini et les équations d'équilibre à la surface. Considérons un parallélépipède élémentaire situé à l'intérieur d'un corps soumis à des contraintes (fig. 20).

Ecrivons que le parallélépipède est en équilibre : on écrit d!abord que la somme des moments des forces par rapport à chacun des axes est nulle (mouvement de rotation) et on retrouve le fait qu'en l'absence de champ de moments a., est un tenseur symétrique. "^ des forces appliquées au pdtrai>€pit t' On écrit ensuite que la résultante feâvê est nulle. Considérons la projection de cette résultante sur 1'axe Ox.. Les forces suivant Ox. qui s'exercent sur les 2 faces perpendiculaires à Ox. sont : a a ll dx^x^x^ -aaidx2dx5 + (a11 + ^ — ll dx 1 ) dx^x^ =^ —— 1 1

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Sur les deux faces perpendiculaires à Ox^ : 1212. dx dx ± 2 3x2

dx *

Sur les deux faces perpendiculaires à Ox

i2H

dx, dx. dx_

av 3X 3

2

•"•

S'il existe un champ de force F , l'équation du mouvement s'écrit : 3all..+ 3al2 .+ 3al3 —— .+ «h

ax1 p

3x2

2 xl = pd—_

ax

dt

= masse volumique

Suivant les deux autres axes, on obtient des équations identiques. Ainsi, l'équation du mouvement de translation prend la forme :

^ii + P . =Pd-\ V1

3X.

"

(18)

dt

J

si —* FV est la pesanteur : F . = pg. 2

îïîî 3xj

+

Pg, =P ^ •"

dt

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(19)

www.almohandiss.com Ht- 32 «

C'est 1f'équation 'fondamentale qui relie les variations spatiales des contraintes dans un corps aux accélérations des éléments de volume. Elle constitue comme nous le verrons ultérieurement3 le point de départ de l'étude des oscillations élastiques dans les solides. Dans le cas où le corps est en équi1ib re statique3 les équations (19) prennent la forme :

-5£M + p _0_xj

=

o

(18») [

|2ii + pg. = 0 [ Jxj

(19')

-

Ce sont les équations d'équilibre, très utilisées dans la "théorie de l'élasticité. Ces équations peuvent aussi s'écrire : diva

ij * Fvi

=

°

(18IÎ)

Conditions a.ux_li mi t e s : Considérons un point P situé sur la surface du corps (fig. 21)-«,f*

^3 /h /r 5 -^! A ^

._^—~-4~y^ * \ ^i \.

]a~~-~j——?<x^

itf^V ?iv ^o^v^-^&i à IL'KuLGLU/n"

o

Figure 21

Supposons qu'au point P soit appliquée une force de contact d>s I dont les composantes par unité de surface sont égalès""à :

^ ^ X

r

sl* Xs25 Xs3 Les contraintes internes doivent en ce point équilibrer les efforts extérieurs soit en appliquant la relation (III.2) : X

l = allnl + 012n2 + Cl3n3 = Xsl ou plus généralement : (20) S X si. = cr..n. ij j j La condition (20) doit être vérifiée sur toute la surface. Si au point considéré ne sfapplique aucune force (la surface est dite libre)s on aura alors : a..n. = 0, -*-J J

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www.almohandiss.com -HC- 33 -

III,4 - Formes particulières prises par le tenseur des contraintes (rapporté à ses axes principaux) 1°/ Contrainte uniaxiale "a 0 0

0 0 0

0 0 0

C f e s t le cas d'une tige verticale infiniment longue portant un poids à son extrémité. 2°/ Contrainte "biaxiale ~a1 0 0

0 cr 2 0

0 0 0

Nous retrouverons un tel tenseur dans le cas d'une plaque mince. 3°/ Contrainte triaxiale C f est l'état de contrainte le plus général, présentant trois contraintes principales i 0.

a1

0

0 0

a

0

2 ° 0 a

M 0 / Pression hydrostatique

-p 0 0

0 (T| -p 0 0 -p

ou |-P«ij 1 L J

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www.almohandiss.com 3Π- ,4 .

5°/ Contrainte de cisaillement pur G*est un cas particulier de contrainte biaxiale. Dans une tige longue soumise à une torsion pure se produit une distribution non uniforme de contraintes de cisaillement pur. La construction du cercle de Mohr montre que, si l f on fait tourner les axes de 45° autour de Ox^a la contrainte normale disparaît et le tenseur prend la forme :

Ox-z est l*axe de cisaillement. I^es forces qui agissent sur les faces d!éléments orientés différemment sont les suivantes :

Reniarc£U£ : Différence entre le penseur des contraintes et le tenseur représentant des propriétés cristallines Les tenseurs représentant les propriétés cristallines ont des orientations bien définies dans le cristal et suivent la symétrie cristalline. Ce sont des tenseurs_matériels. Par contre le tenseur des contraintes (comme celui de déformation que nous allons voir)^peut avoir n'emporte quelle orientation à l'intérieur du cristal» *I1 peut exister aussi bien dans les corps isotropes que dans les cristaux anisotropes. Il ne traduit pas les propriétés d'un cristal mais dépend d f un champ de forces appliquée au solide : de tels tenseurs sont des tenseurs de champ.

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www.almohandiss.com -$L 1 CHAPITRE

TENSEUR

IV

DES DEFORMATIONS

IV.1. - Déplacements et déformations

Soient dans un solide continu non déformé deux points P et Q voisins de coordonnées respectives x^ et x^+dx^. Le carré de leur distance est : de2 = *è~ dx.2

Supposons que chaque point du solide subisse un déplacement —^ u(x.) défini de façon unique et dépendent des coordonnées du point donné : P vient en P! de coordonnées X. = x. + u. Q vient en Q' de coordonnées X'^= x. + u. + dx^ + du^ X.

+

"~^~~"

Le carré de la distance des deux points déplacés P'Q' est : dS2 = ^ dXi2

2 Nous disons qu'il y a déformation locale si dS est différent 2 2 2 de ds (si dS = ds il y a déplacement rigide de l'ensemble). Nous n'avons pas fait d'hypothèses sur le déplacement u(x.) sinon qu'il soit défini et unique en tout point du solide. Faisons maintenant l'hypothèse que le champ de vecteurs u(x.) est continu et dérivable.

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www.almohandiss.com -UÉ 2 -I Considérons un point P de coordonnées x.^au repos. Après déformation P vient en P. de coordonnées x, + u., le vecteur PP^ étant le vecteur déplacement u (fig. 1). Considérons un point Q voisin de P : PQ = jdx. | Après déformation5 Q vient en Q^ :

Vi = Kl + M

= dx

L i1

FΣure___l_ [du£1 est la variation de la distance des deux points P et Q initialement séparés de (dx.! . Comme |UAest fonction de x^, on peut écrire , les déplacements étant supposés petits : 3u 3u 8u. dUl = —•- dx1 + —- dx2 + —- dx^ —£

du

3X,»

3 Xp

8 X_.

3U?

8U?

3Up

dup = —~ dx + — dx + —- dx 3X 8X 8X 1 2 3 8U^ 8u^ 3u^ du = —— dx1 + —- dx2 -f -~-2 dx 3X^1

O XQ

O X^.

3U.

ou

du. = —^ dx. = i J 3x<

!__^^

avec

e.. dx. ij J

"^^^^^^J^~~™™™n e- • = ~— J

3x

i

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(1)

(2)

www.almohandiss.com TS-3_rl. La quantité e* .. , qui représente le gradient du déplacement est un tenseur du second ordre Ce;:; '. relie entre eux les deux vecteurs A^ la valeur doit être calculée en P. du et dx, cf. chapitre I), dont Ainsi le déplacement des points voisins Q et Q' s'écrivent : Ui(Q)

= u.(P) * e.. dx. J

u.(Q') = u. (P) + e.. dx'. -L

-L

J-J

'

J

On peut donc écrire :

dXi = dx± + du i = dx i + u i (Q) - u i ( P ) f . dX. = dx.

}

i

i

+ e..dx. = ( 6 . . + e..) j

ij

ij

dx.

J

ij

] dX'. = dx». + e.. dx'. = ( ô . . + e.,) dx'. l i i ij J ij ij j 6 ^ . = tenseur unité ou symbole de Kronecker

6. . ( = 1 si i t j -*-j /

\- 0 si i i j

On peut vérifier que 61J . . ôJ. ,K = 61K ., ,

ij T jk 6

kk

,

= T ik

,-* 2

ijVj = V k = l v

= 3 —5»

—S»

—:>

—^

Comparons les produits scalaires dx« dx' et dX. dX' «.«' = dX.dX'. = ( 6ik+e.k) («y+ey) dx^x'. = (6

=

P

jk + e ok + e kj + e ik e ij )

kj

dx

dx dx

k 'o

k d x 'd

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^^

www.almohandiss.com &* -'

avec

P.. = 5.. + 2 A . . 1J 1J . j1' n A e +e ij = ^ L iJ JÎ + e ki e kjJ

A-

0

B

. . • (".au.

3.Ù.

3u.

2 l ax.

ax.

3x^ a x .

I

(1)

.a.u, ~1

^

_i+ _1 + _* -JE

^

On a ainsi : dîf.dX' = ( 6 . . + 2 A . . ) d x . d x ' . ij ij i J = d Xj d x ' . --»>

+

2 Ay d x . d x ' .

—">

= dx.dx 1 + 2 A . . dx. d x T . 10 i J d ^ o ù d X ^ d X » - d x . d x t = 2 A . , dx. d x ' . ij

-*-

J

.

(5)

P . . et A . , sont des tenseurs symétriques de rang deux, j-j ij Dans le cas où les produits scalaires sont conservés, A . , est nul -LJ et P.. est alors égal à 6.. : c f est le cas d f un déplacement rigide ij ij de lfensemble du solide. Ainsi P.. et A., donnent une mesure de la déformation du milieu et peuvent donc être utilisés comme tenseurs de déformation : ce sont respectivement les tenseurs de Cauchy et 3e Green.

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www.almohandiss.com tf 5 - ) IV.2. - Déformations infinitésimales

IV.2.1. - Signification

géométrique

des e..

Les expressions précédentes se simplifient si les déplacements et les composantes du gradient du déplacement sont petits : c'est-à-dire si du.«dx i i

et si

e..«l ij

Dans ces conditions, on peut donner une signification géométrique simple aux e^. . Considérons~~deux positions particulières du vecteur PQ : l'une parallèle à l'axe Ox , l'autre parallèle à l'axe Ox2 (fig. 2). Examinons la déformation de l'élément rectangulaire en P.

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www.almohandiss.com î*6 -| Pour le vecteur PQ, on a : dx S0it

=

- 0

*>! ' -Êf ^ " elltol

au dU

2

=

l

= 6

dx 17 3x1 l

= 6

—3X

dx

21dXl

1 3u

dU

3

=

31dXl

Donc e.. mesure l'allongement par unité de longueur de PQ dans la direction Ox^. e^^ mesure la rotation de PQ (le sens positif étant le sens inverse des aiguilles d'une montre) vers l f axe Ox^, cette rotation étant effectuée autour de l'axe Ox « On a en effet : e

= _™^__

^

dxt+dUl

|r

-SgQ

«A _£

dx^j^

D f une manière générale : - e.. représente lfallongement par unité de longueur parallèlement à l'axe Ox. d ? un segment initialement parallèle à cet axe Ox. f - e.. i j teprésente la rotation vers Ox.i d un élément linéaire parallèle à Ox.3 cette rotation étant effectuée autour de l'axe Ox, . J *£ IV.2.2. - Décomposition de la déformation. Rotation et déformation pure

Le tenseur Qe••1 représente-t-il bien la déformation au point P ? Si oui, les composantes du tenseur doivent s'annuler quand il n'y a pas de déformation. Or ceci n'est pas vrai.

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www.almohandiss.com •fif 7 -

i

Imposons en effet au corps une rotation infiniment petite de vecteur 75*: le déplacement du point P est égal à (fig. 3)X

—*-*—>

^P

l

PP^ = * AOP

5F*

^?

x

q

x3

qx3-Fx2

**l= rxrpx3 px2-qx±

De même, QQ^ rûfAÔQ^ x.+dx. «^ OQ x2+dx2 x-,+dx_.

soit PIQI"= p^F+ PQ"+ QQ± dX = dx + du —

—_~_

_

—M»

^

.

r -9>

^

«^

du = PaP 4- QQ1 = a; A(OQ - OP) = CUA(PQ) —S>

du =

y

a> Adx du

= q dx

- r dx2

du2 = r dx. - p dx., du3 = p dx2 » q dx±

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dx ~—^ dx2

PQ

dx,

r

ou ru±i

i www.almohandiss.com -S38 -! r°-»" q, ,- -,

i r ~q °^ M P Q

soit en notation matricielle ou tensorielle

{^J^ L^J [^ 1 du. = w., dx.

v /

a). . étant un tenseur antisymétrique.

"^-J" '**ï

-o "
w

H- _u^

"H*~-f t5 _-*>*!, -VA)I!) O J \ Inversement, chaque fois qu'un déplacement infiniment petit se mettra sous cette forme5 ce sera une rotation —^ <*> (p3q3r). On voit donc que dans le cas d'une rotation, le tenseur e.. n'est -*-J pas nul mais est antisymétrique. D'après la définition de e..s le déplacement du point Q voisin de P, ^ peut s'écrire :

ù±(Q) = ui(P) + e±. dx. = Ui(P) + dUi = u

i(P)

= U (P)

i

en posant

+

I

+ e

(e

ij

e.. = /»

W

+ e

ij dx

1 ?

j

+ w

(e..

t

'.- _ (&

n î ~

ij

2

ji>

^ T1 T

J

ij

+

dx

j

dx

j

+

e..) =

- eo

^ -

(e

I

?

i j " e ij }

j

9u 1 8U1 i (_ * ^1)

11

-

(

au.1

î -1î ' ~ " ~ ^ a v

J

dx

2

au.

- ~ _jJL^

j

S v ' '

i

e . . ~ e '• '• + w . . ij 13 ij

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(7)

www.almohandiss.com &9 - j

ej. est un tenseur symétrique car £,. - e.. *J ^j g j. w.. est un tenseur antisymétrique car w.. = ""îi On distingue ici la contribution de 3 termes pour le déplacement du point Q : - u.(P) représente une simple translation de vecteur u = PP^ - u>., dx. représente une rotation de vecteur o) =

» 32 = - "23 = - m w w

ou encore

—> 1 —-» —> w = -^ rot u

21 = " W12

- e.. dx. représente la déformatioip proprement dite ou déformation pure. La partie symétrique e.. du tenseur gradient de déplacement exprime la déformation pure alors que sa partie antisymétrique o>.. repréij sente la rotation (tout tenseur peut être décomposé en deux parties : une partie symétrique et une partie antisymétrique). IV.2.3- ~ Déformations pures Dans le cas de déformations infinitésimales, lfexpression (IV.4) se simplifie : on peut en effet négliger les doubles produits e, . e, . devant e.. et e... Kl KJ Ij J1

On a ainsi

A..

=

1(^^s _

(8)

La signification des composantes du tenseur e.. apparait simplement si on considère la relation (5) ; en effet, on a : dX.d? - dxîdx^ = 2 e.. i j dx.dx». i j

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(9)

www.almohandiss.com t£ 10 -1 iy,2,3«l« Dilatation linéaire unitaire dans une direction quelconque Appliquons la relation (9) dans le cas où dx = dx 1 dX = dX« (fig. 5) On a donc dS2 - ds2 = 2e.. dx^x. (10) dS2 = dX.2

ds2 . dx2

~*/Ltâ

Considérons le vecteur unitaire n porté par "dx : on a donc ——£ —J> dx = ds n soit dx. = ds n. et posons dS = U+enn) ds enn = ^S^ds^ €

-l*\//^ *-~ / .Xfuvl * n // \A " •*" (11)

étant la dilatation linéaire danl la direction n

La relation (10) s'écrit donc : ds2

" f2 = ds2

2

... n.n. 1J

X J

soit 1 +enn = |/1 + Se^.n.^. £. 1 + e^-n-n.. E

nn

= E

ijninj]

(12)

Soit en développant : e

nn

= e

llni2+e22n22+e33n32+2E12n1n2+2eA3n2n3+2e13nln3

Cette relation est analogue à la relation( III.4) établie pour la contrainte normale a

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1*11 -

)

Notation matricielle : par analogie avec cr^C 111,1»')

«» = ["] H [•] Remarque : si ~^ n est parallèle à l'axe Ox., n^ = $^ et on a e

nn * ell De même pour les axes Qx2 et Ox». Les composantes diagonales de e.. représentent donc la dilatation linéaire unitaire selon les axes de coordonnées, ~5>_ -5> _ d'un _angle. _ IV.2.3«2. _ Distorsion quelconque (n,t)

Figure 5

«_jjj> ——5? Appliquons la relation (9) aux deux vecteurs dx et dxf et respectivement parallèles aux directions ~~> n et ""^ t faisant entre elles un angle e (fig. 5). ^ On a d? = ds r? dx*» = ds1 't

et n". t = cos e Soit y = e - iSe^ lfangle (d?, d?1), 60 étant la di^tgrsiojn de (rf,?) Il vient : dlf.dX1 = cR^.d?1 + 2 e.. d x - d x 1 .

ij -*• j soit en tenant compte de la relation (11) : jdXJ= dS = (1 +enn) ds )<5'|= dS» =(1 +entn,)ds'

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10-12 } www.almohandiss.com (1 +e nn ) (1+e n ,n ,) ds as' cos f i = (cos9 '•• +^ 2e..n.t.) 4,j «L, ^ ds ds' cos (8- $8) = cos6 cos$6

+ sln© sin§8

^ cose + sine x &e

>L '^9 ^V i*eVtV

soit en négligeant les termes du second ordre

cos e(enn+£.,) tt + 66 sin 0 = 2

e-.ij.n.t. ij

•-e>

—>

(13)

ir

Cas _particulier s Si n est perpendiculaire a t, 6 = ^

( g | * 2 eijn.t. = 2 ,nt Soit en développant :

2e

iini^j

=

(14)

^ril n l t l" h £ 22 n 2 t 2+e33n3t3 " f e 12^ n l t 2 + n 2 t l^ e 23^ n 2 t 3 + n 3 t 2^ + e ^^iS'VlO

^> -> Dans le cas où n est parallèle à l f axe Ox. et t parallèle à l'axe Ox2

?

1 1 0 0

j0 ? 1 0

^ijVj- =2e12 =66(1)2) 1_____«^^

(15)

II en est de même pour é et ^v Àins^ les composantes non diagonales de £. . représentent les demi-variations d'angles initiaij lement droits, de côtés parallèles aux axes de coordonnées soit .par définition |les demi-di^toj^io^is. On les appelle déformations transversales ou de cls_ajj.lejnent.

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www.almohandiss.com 1^13 -

IV. 2.3.3, ~ Dé format i on d f un cub e unit aire Considérons un cube dfarête unité dont les arêtes sont parallèles aux trois axes Ox^ Ox2 et Ox^ et son transformé (fig. 6)

Figure 6 On a

[du]

=

[e"J

jdx]

dui =e ±. dx.

[dul étant le déplacement dû à la déformation uniquement.

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un* i www.almohandiss.com Ainsi pour le point A. ;

fi 1 r^ " M- M ° - «12 loJ |.13^ point A2

~ £ 21

0 =

[>] = M * ^

'22

e [ 23

1

OJ

r°i p

point A3

|^A3J= £e] 0

=

^ e

jlj

L

33

point de coordonnées (1,1,0) subit un déplacement : £

11

W=

6

12

E

13

S

12

6

22

£

23

e

!3l

6

1

23

E

33

6

11 +612

^ -=

°

6

12 +E22 e

i3

+E

23

Rejiar£ue_l : 2§£2™§^î2ILJi2!BPjSêB£ Une déformation est dite homogène quand les e.• ij (donc e..) ij sont des constantes. Dans ces conditions9 on peut intégrer les relations (1) ; il vient :

u =

i
(u ). étant le déplacement du point situé à l'origine.

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www.almohandiss.com •0É-15-

)

Si on ne considère que la déformation pure : U

i " eijXj Une courbe f(x.) = 0 devient après déformation fCx'^) = 0 avec

x

'i = xi + ui = xi +e ij x j

= (s

±j + e ij )x j

G 1 est une transformation linéaire. Par conséquent, durant la transformation, une droite reste une droite, un plan reste un plan, des droites ou plans parallèles restent parallèles, toutes les droites ayant la même direction sont dilatées ou contractées dans le même rapport. Les courbes ne changent pas de degré. Remarque 2 : Sur la figure 6, seuls sont représentés les déplacements u. dus à la déformation pure. Les déplacements dfensemble (translation et rotation) ne sont pas représentés. a - Dilatation linéaire unitaire : / —"^ ô 2 PA Elle est égale à (fig. 6) : ' TPA1 J^ 1 + e ll> +E12 *£13 -d PA1

-

1+2 e

1

, -ell a/2

^ < ___JL£__ ll> A/

1 "^

<XX r

e

ll est ~La dilatatî°n linéaire unitaire dans la direction 1 c-£ n it 2p 22

p

e

îî

fî

33 On retrouve évidemment les résultats du § IV.2.3.1.

b » Dij^tpi^^ PAf , PA!2 =£A^ 5 PA2 - distorsion Pa^r^aJ = PA1, PA2 - (a+e)

^ Pal5 Pa2

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T

3

www.almohandiss.com ^ 16 - ' )

tgo £ a jb/"' —-^^^e12(1-eii>^^i2 lt£ ll ;

or

B o^ tg?^e12 Pa

is

Pa

2 -=

PA

1S

PA

2 ^ 2e12

Distorsion de lfangle droit ('1,2) = 2e12 î! De même (2,3) = 2e2-, (1,3) = 2e13

En résumé (fig. 7) :

Flgure__7 c - Dilatation cubique (ouvolumique) unitaire 9

V-V _^£^

=

VQ = 1

—> —^ —» V = (PA<13 PA'2, PA'3)

—> —> ~> V = produit mixte = PA 1 ^ (PA<2 ^PA f ) 1+e

ll

£

V « 12 £

13

£

12 I*e22 £

23

e

!3 c23

^I.eii+e22^33 = 1 +t±±

l+e33

si on se limite aux termes du premier ordre en e^..

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www.almohandiss.com -tîf- 17 soit

e n e1:L *e22 te __

!

=; e^ - trace e - , s ^ --___

(16)

I. étant lfinvariant linéaire = div u = -—1 3^ La dilatation cubique étant égale à la trace du tenseur des déformations (ou de celle du gradient du déplacement e.•), il est évident que ce résultat est indépendant de la forme de L'élément de volume considéré et du système d'axes choisis. Remar^ue^ : si on ne néglige pas les termes du second et troisième ordre en e. ., on a :

e = I, + I2 + i, I., Ip et I, étant respectivement les invariants linéaire, quadratique et cubique du tenseur£... ij Ces invariants sont naturellement analogues à ceux définis pour le tenseur cri. (cf. § III. 2.2. et § 1.7). IV.2.3.4. - Etat de déformation autour d f un point. Eléments prin£i£au2£ II y a analogie avec les contraintes (cf. § III.2). En un point P et dans la direction "n*, on porte un vecteur PQ de longueur r (fig. 8).

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www.almohandiss.com 'fit - 18 -

}

Le lieu géométrique de 1* extrémité du vecteur PQ est donné par :

r enn = + 1 soit dfaprès la relation (IV.12) £

llXl2^22x22+e33X32+2e12XlX2+2e23X2V2e13XlX3= -1

U7)

Le lieu géométrique de Q est la quadrique représentative du tenseur des déformations : c f est la £u§
,

1

(17)

Rapportée à ses axes principaux, l'équation de la quadrique prend la forme : 2 2 2 Vl + 2X2 + 3X3 = î 1 Les les des Par

1

1

1

demi-axes ont pour longueur —s —9 -—r ; els£2'e"3 dé format ions pr in c ip ale s Kel r 2 V e 2 déformations mutuellement orthogonales. rapport aux axes principaux, le tenseur s'écrit : ' e± 0 0 -\ e = l ij] o ^2 o 1

_ 0

0

son fc

'

s3 J

Dans ce système d f axes, les directions principales ne subissent pas d^_Jd^torsj.on (fig. 5^ * La signification des déformations principales est claire si on étudie un cube d'arête unité et dont les arêtes sont parallèles aux axes principaux.

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www.almohandiss.com -<£- 19 Pendant la déformation, les arêtes restent perpendiculaires (e.. s 0 i ^ j) et leurs longueurs deviennent l+ei>M+e2, 1+e-* e l* e2* e^ ^ant -!Les dilatations linéaires dans les directions principales. Rejnaj^ue^ : si on tient compte des déplacements d*ensemble (rotation et translation) , les axes principaux de la déformation ne gardent pas leurs directions initiales pendant le déplacement (sauf siMJ-. = 0) mais ils restent perpendiculaires durant la déformation. •3-J

Remarque 2 : la direction du vecteur déplacement "3 (dû à la déformation pure) est donnée par la construction du rayon normal à la quadrique de Cauchy (fig. 8).

u =e

i ij nj

Ainsi une sphère unité se transforme en ellipsoïde par application de e f i j j d e demi-axes 1+e., l + e-, 1 + e, (fig. 10). En e f f e t , l f équation de la sphère est

xa

p

+ x2

o

+ x

p

= 1

Après déformation, on a : xf

l

= x

l(1 °fel)

XÎ

2

= X

xf

2(1 +£2} = x (1 +e )

Soit

x' 2 x^ 2 x^ 2 !^L_» + _Li_ + 3 (l+e1)2

(l+£2)2

Figure__10

^g^g^j-gg_dgA!_^jjj^££Jj^^

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= a

(I^e3)2

i

www.almohandiss.com «$,- 20 -

)

Remarque 3 : par rapport aux axes principaux, les équations (IV.12) et (IV.14) se simplifient : E

nn = elnl2 + E2n22 * ^

e

nt

= e n fc

l l l

+e

2n2*2

+e

3n3*3

(18)

(19)

Remarque 4 : si l'on connaît une direction principale X^, la recherche des éléments principaux du plan X.X2 se fait comme pour les contraintes (§ III.2.4.) soit : - par la méthode algébrique - par la méthode graphique : cercles de Mohr enn est équivalent à ann _^ ^ ^ Tni/, est équivalent à TTLLi, (n _L à t) Dans le plan (%<\.3^), X-, étant direction principale3 on a : e

nn ~ ellcos =

e

nt

=

2

6 + e

22sin

ÎH!!22_ 2 ""^nsin0

+

2

e + 2 e

i2COS

fll^22 CQS26 2

cose

6 Sln 6

+

in 2 e

^

^e22sinec°se

+ £

12^COS e " sin e ^ 11 " £1? i 2e + e. cos 20 - _iL™±^_ s n 9 -^ 2 £

=

Les directions principales sont données par : 2e l? tg 2$r = —~~i£-—» e ll"" £ 22

e >, e , f X sp'

signe de

(voir § I I I . 2 , 4 )

€ll

-e 2 2

VS> T

est

tel

que cos 2V5

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est

du

www.almohandiss.com &- 21 £

ll H ' e 22

^

e

e

ll" £ 22

2

=

2

e

llH"e22

_1 cos2^

e

ll~e22

f/ —

]

1

(20)

7~~ ~^~

^ • ^p- i J 1/^^T7^? Remar^ue 3 : ^H^ËHL^JJ?^^^De manière analogue au tenseur des contraintes (§ III,296)3 on peut décomposer le tenseur de formation e.. en la somme de deux tenseurs

/ em S e ij =

0

/ . ° \°

e

m °

c.. ij

0 ,-> ° e m

et

e.. ij

&v*-C

\

e.. e „ = m

= déformation moyenne

3

I

qui représente un état de déformation sphérique

correspondant uni-

quement à un changement de volume sans distorsions et conservant l'isotropie du milieu. / f!lîl!222f33

e12

e13

\

3 et

a e*. ij

2e e 22"eia ll"?2 ?2 — ——

£

=

12

(21)

23e

£

3

\

£

13

e

23

2£

33~gH~£22

' /

qui correspond au contraire à une déformation sans dilatation volumique mais avec distorsion ou cisaillement : e.. est appelé tenseur déviâteur : (sa trace est nulle).

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}

Par rapport aux axes principaux, on a :

, 0

o

M

E2

0

=

, o

,\

0

0

%

/î*p +

o

o

'W^

0

\

o

3 00

\

E3

|

°

°

^

\

\ /

°

°

2

V

E

\

l" *2

3

Une déformation quelconque peut être considérée comme la somme d f un état de déformation sphérique et d f un état de déformation sans changement de volume. IV«3 » Formes particulières prises par le tenseur des déformations

a

) Ë£££™§J^^

Le solide est dit en état de déformation plane si l f une des dilatations principales est nulj_e. Un cas particulier important est le cisaillement pur. Dans le cas d'un cisaillement pur autour de Ox,, e.. prend la forme j

0 e

I i11

e

0

-e

e

0

^ 0

^ 0

0

0

0

F

0

0

0

0

ij

^u^" ra PP° r t^ ^ ses axes principaux p a r u n e rotation d e 45° dov\v\e ;

La déformation de cisaillement pur correspond à la contrainte de cisaillement pur vue au chapitre précédent.

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/

www.almohandiss.com '$•- 23 1 La construction du cercle de Mohr est identique. Dans ce type de déformâtion, la dilatation est nulle. b) C i s ai 1lement_ simple On appelle cisaillement simple la somme d'un cisaillement pur et d f une rotation.

Simple

=

Déformation de cisaillement pur d f une sphère rayon unité.

pur + rotation

Remarque 1 : Déformation non homogène Les résultats précédents peuvent être généralisés aux déformations non homogènes. On considérera alors une petite région où la contrainte est sensiblement homogène. On définit ainsi en chaque point les trois directions de déformations principales, variant en général d'un point à un autre. De même pour le quadrique de déformation dont la grandeur, la forme et l'orientation varient d'un point à un autre. Remar£ue__2 : La déformation d'un cristal ne forme pas l'une de ses propriétés physiques uniquement liée au cristal lui-même et en particulier à sa symétrie : elle constitue la réponse du cristal à une sollicitation mécanique (élasticité) ou électrique (piézoélectricité) . La déformation produite par une contrainte mécanique ou un champ électrique n'a pas nécessairement la symétrie du cristal, à moins que la contrainte mécanique ou le champ ne possèdent eux-mêmes cette sy- métrie. La déformation résultant d'une variation de température (dilatation thermique) doit par contre être conforme à la symétrie cristalline. © [M.BOIVIN G.FANTOZZI], [2000], INSA de Lyon, tous droits réservés.

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www.almohandiss.com /$£— 24 ] IV.4 - Dilatation thermique

La déformation associée à une variation de température peut être représentée par le tenseur des déformationsJe.71 . Pour une petite variation uniforme AT de la température, la déformation est homogène et les composantes de Je..[sont :

i3 = "y

e

(11)

ÛT

a - . = constantes = coefficients de dilatation thermique S- -1 est un tenseur symétrique doncf^.riest aussi un tenseur symétrique9 Si ce tenseur est rapporté à ses axes principaux3 les équations (11)

r

se simplifient : e± = a ± AT

e2 = a2 AT

e^ =a ^A T

a

«sa0»% étant les coefficients principaux de dilatation. La dilatation thermique d f un cristal doit présenter la symétrie du cristal (principe de Neumann : les éléments de symétrie des propriétés physiques contiennent au moins ceux du groupe à centre du cristal). La dilatation thermique ne peut donc détruire aucun de ses éléments de symétrie (sauf dans le cas d'un changement de phase) : aussi la classe d f un cristal ne dépend pas de la température. Le coefficient volumique de dilatation thermique est a.. ; c'est un invariant :

A=

^o = e ii = a ii AT

(12)

Remarque : Au cours de ce chapitre, nous avons donné les composantes du tenseur déformations dans le système d f axes de coordonnées rectangulaires (système cartésien). Dans lfannexe I, on trouvera la démonstration des expressions des composantes du tenseur déformation en coordonnées sphériques et cylindriques (ces deux systèmes étant très souvent utilisés pour résoudre les problèmes pratiques).

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