Cotas En R

Problemas y Ejercicios (Conjunto Acotados) Conjuntos Acotados Definición: Sea A ⊂ R, A ≠ φ . Se dice que α ∈ R es una cota superior (respectivamente inferior) de A, si α ≥ x ( α ≤ x respectivamente), ∀x ∈ A . Definición: a) Se dice que un conjunto A es acotado superiormente (mayorado), si el conjunto de las cotas superiores de A es no vacío. b) Se dice que un conjunto A es acotado inferiormente (minorado), si el conjunto de las cotas inferiores de A es no vacío. Definición: Se dice que A es acotado si es acotado superior e inferiormente. Definición: Sea A ⊂ R, A ≠ φ . Se denomina extremo superior (respectivamente extremo inferior) de Ay se nota supA (respectivamente infA) a la menor de las cotas superiores (respectivamente inferiores) de A. Caracterización del extremo superior y del extremo inferior Sea A ⊂ R, A ≠ φ . Un número real b es el extremo superior de A si verifica: i. ii.

b es una cota superior. c es otra cota superior y c ≥ b .

Sea A ⊂ R, A ≠ φ . Un número real c es el extremo inferior de A si verifica: i. ii.

c es una cota superior. d es otra cota superior y c ≤ d .

Teorema 1: El extremo inferior (respectivamente superior) si existe, es único. Demostración: Sea c un extremo inferior, supondremos que existe otro extremo inferior d, de A, siendo d ≠ c , entonces d ≤ c . Por otro lado, como c es extremo inferior, c ≤ d . Luego se sigue que c = d , lo que es una contradicción con la hipótesis. Por lo tanto el extremo inferior es único. Teorema 2: Sea A ⊂ R, A ≠ φ un conjunto acotado superiormente y sea b = sup A . Entonces, para todo ε > 0, ∃x ∈ A , tal que x > b − ε . Demostración: Supondremos que ∃ε 0 > 0 tal que ∀x ∈ A , x ≤ b − ε , con lo que obtenemos que b − ε es una cota superior de A pero como además b − ε < b , se tienen una contradicción, pues ninguna cota superior puede ser menor que el extremo superior.

Por lo tanto lo que supusimos es incorrecto y entonces podemos concluir que para todo ε > 0, ∃x ∈ A , tal que x > b − ε . Axioma de Completez: Sea A ⊂ R, A ≠ φ . Si A es acotado superiormente, entonces existe un extremo superior. Teorema 3: Sea A ⊂ R, A ≠ φ . Si b es una cota superior de A, tal que ∀ε > 0, ∃x ∈ A , tal que x > b − ε , entonces b = sup A Demostración: Si c es una cota superior de A, debemos demostrar que c ≥ b . Supongamos entonces que c < b , esto implica que b − c > 0 . Como se cumple para todo ε , podemos tomar uno en particular. Sea ε = b − c > 0 , por hipótesis existe un x ∈ A , tal que x > b − b + c , es decir x > c , lo que es una contradicción pues ningún elemento del conjunto puede ser mayor que una cota superior. Por lo tanto b es el supA. Teorema 4: (Propiedad Arquimediana): Sean x, y ∈ R , x > 0 . Entonces existe n ∈ Z + tal que nx > y . Demostración: Como x ≠ 0, x y ∈ R, y dado que Z + no es acotado superiormente, existe un n ∈ Z + , tal que n > y x , de donde se sigue que nx > y . Ejercicios:  n  ; n ∈ N  es acotado inferiormente: 1. Demostrar que A =  n +1  Solución: n ≥ 0 y existe entonces una cota inferior Tenemos que n ≥ 0 y n + 1 ≥ 0 . Luego n +1 que es 0. Por lo tanto A es acotado.

{

}

2. Si A = x ∈ R + : x 2 ≤ 2 , probar que existe el supA. Solución: i. Debemos primero demostrar que A ≠ φ . En efecto, como 1 ≤ 2 , A es no vacío. ii.

Debemos probar ahora que A es acotado superiormente.

Sea x ∈ A , si x < 1 , entonces x 2 < x < 1 , y por lo tanto 1 es una cota superior. Si x > 1 , entonces x < x 2 < 2 , es decir x < 2 , por lo tanto 2 es una cota superior. Finalmente, como A ≠ φ es acotado superiormente, por el axioma de completez, existe es supA=b. 3. Si A = [ 2;3[ , probar que sup A = 3 . Solución: Vamos a suponer que 3 no es sup A . Tomamos b como cota superior b ≠ 3 , entonces se presentan dos opciones. a) sup A = b > 3 Este caso es una contradicción, puesto que como 3 es una cota superior, si existiese otra cota b, mayor que 3, esta debería cumplir con b < 3 . b) sup A = b < 3 Si b < 3 , entre b y 3 existe al menos un z, que sería: b<

b+3 <3 2

b+3 ∈ [ 2,3[ . Lo que es una contradicción pues ningún z ∈ A puede ser 2 mayor al sup A . Por lo tanto sup A = 3 . Con

4. Probar que Z+ no es acotado superiormente. Solución: Supongamos que Z+ es acotado superiormente. Como Z+ ≠ φ , por el axioma de completez, existe sup Z+=b. Es decir: b = sup Z + ⇒ ∀ε > 0, ∃n ∈ Z + : n > b − ε Según este resultado, esto se cumple para cualquier ε y en particular para ε = 1 , tal + que n0 > b − 1 , de donde se sigue que n0 + 1 > b y como n0 + 1 ∈ Z se tiene una contradicción, pues ningún elemento puede ser mayor que el supremo de A. Por lo tanto lo que supusimos es incorrecto y entonces podemos decir que Z+ no es acotado superiormente. 5. Probar que ∀ε > 0, ∃n ∈ Z + tal que n = 1 ε Solución:

Tomando E como x y y=1 en la propiedad Arquimediana, se tiene el resultado.  n  , n ∈ N  Probar que sup A = 1 . 6. Sea A =  n +1  Solución: Desarrollando este conjunto tenemos,  1 2 3  A = 0, , , ,4.....  2 3 4  Por teoremas 2 tenemos que: sup A = 1 ⇒ ∀ε > 0, ∃x ∈ A, x > 1 − ε Luego, 1− ε <

n n ⇒1− <ε n +1 n +1 n +1− n <ε n +1 1 ⇒ <ε n +1 ⇒

Por la propiedad arquimediana, tenemos que ε es mayor para cualquier 1 n , por lo tanto es cierto que 1− ε <

n n +1

Finalmente, siendo

n = x , concluimos que sup A = 1. n +1