COSINUS d'un angle aigu dans un triangle rectangle I- Vocabulaire et définition :: Dans un triangle rectangle, les deux côtés d'un angle aigu sont l'hypoténuse et le côté adjacent à l'angle. Définition : - Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à l'angle par la longueur de l'hypoténuse. Exemple :
Remarque :
- Dans le triangle ABC, rectangle en A, on a : ˆ ˆ C = côté adjacent à l'angle ABC = BA . cos AB BC hypoténuse - Le cosinus d'un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1.
ˆC AB
II- Cosinus et cercle trigonométrique : Définition :
- Un cercle de rayon 1 unité est un cercle trigonométrique.
Remarque : - Sur la figure ci-contre, M appartient au cercle de centre O et de rayon 1. ˆ ˆ M = côté adjacent à l'angle POM = OP = OP = OP ≈ 0,77. cos PO OM 1 hypoténuse Le cosinus de l'angle PÔM est l'abscisse du point M. cos 40° ≈ 0,77. III- La touche COS de la calculatrice : La touche cos sert à trouver la valeur du cosinus d'un angle dont on connaît la mesure. Exemple :
- Déterminer l'arrondi au millième de cos 55°. Selon les modèles de calculatrice, on tape 5 5 cos ou cos 5 5. La calculatrice affiche : D'où cos 55° ≈ 0,574.
Remarque :
- En général, la calculatrice ne donne qu'une valeur approchée du cosinus d'un angle.
Remarque : - Lorsqu'on connaît le cosinus d'un angle, on peut connaître la longueur du côté adjacent à l'angle ou celle de l'hypoténuse. Exemple 1 : - D'après les indications de la figure ci-contre, calculer SR à 1 mm près. Dans le triangle RST rectangle en R, on a : SR cos RSˆT = SR ST , soit cos 47° = 5 , d'où SR = 5 × cos 47° ≈ 3,4. SR vaut environ 3,4 cm. Exemple 2 : - D'après les indications de la figure ci-contre, calculer FA à 1 mm près. Dans le triangle FLA rectangle en L, on a : cos LFˆA = FL , soit cos 34° = 3 , d'où FA×cos 34°=3, donc FA= cos334° ≈ 3,6. FA FA FA vaut environ 3,6 cm.
IV- La touche COS -1 de la calculatrice : La touche cos –1 (ou 2nd cos) sert à trouver la mesure d'un angle lorsqu'on connaît son cosinus. Exemple :
- Grâce aux indications données par la figure ci-contre, on peut écrire : AB = 1,5 ≈ 0,3846... cos BÂC = AC 3,9 Selon les modèles de calculatrice, on tape cos –1 ANS ou ANS cos –1. La calculatrice affiche : D'où BÂC ≈ 67°.
Remarque :
- En général, la calculatrice ne donne qu'une valeur approchée de la mesure d'un angle.