Correction Du Ds 1 De Terminale Es

Correction du DS 1 de Terminale ES Exercice 1 : BCBC Exercice 2 : 1)

−2 𝑥−1

lim𝑥→1+ (𝑥 − 1) = 0+ 𝑒𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 lim+ 𝑥→1

= −∞

lim𝑥→1+ (𝑥) = 1

par théorème sur la limite d’une somme de fonctions, il

vient : 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏+ 𝒇(𝒙) = −∞ . La droite d’équation x=1 est asymptote verticale à . 2) a)

−2 𝑥→+∞ 𝑥−1

lim𝑥→+∞ 𝑥 − 1 = +∞ 𝑒𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 lim

=0

lim𝑥→+∞ (𝑥) = + ∞ il vient : 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞ 𝒇(𝒙) = +∞

par théorème sur la limite d’une somme de fonctions,

b) Etudions 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞ 𝒇 𝒙 − 𝒙 lim𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 − 𝑥 =

lim 𝑥 −

𝑥→+∞

2 𝑥−1

−2 𝑥→+∞ 𝑥−1

− 𝑥 = lim

= 0 ainsi la droite (D) d’équation y=x est

asymptote à  en +∞. 2

3) a) Pour tout 𝑥 ∈ 1; +∞ 𝑓 ′ (𝑥) = 1 + (𝑥−1)2 . 2

b) 1>0 et (𝑥−1)2 > 0. La somme de deux expressions strictement positives est strictement positive. Ainsi Pour tout 𝑥 ∈ 1; +∞ 𝑓 ′ 𝑥 > 0 et 𝑓 est strictement croissante sur cet intervalle. c) Tableau de variations

x

+∞

1

f'(x)

+ +∞

f(x) –∞ 4) (𝑻) : 𝒚 = 𝒇’(𝒂)(𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂) avec 𝑎 = 2 𝑓(2) = 0 et 𝑓’(2) = 3 ainsi (𝑇) : 𝑦 = 3(𝑥 − 2) + 0 et donc (𝑇) : 𝑦 = 3𝑥 − 6 5)

Exercice 3 1) a) 𝑓(1) = 2 et 𝑓(2) = 3 b) 𝑓’(1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe . Ainsi 𝑓’(1) = 3. 2) En remplaçant dans l’expression de 𝑓 et de 𝑓’ avec 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 et 𝑓′ 𝑥 = 2𝑎𝑥 + 𝑏𝑥, on obtient le système suivant à trois équations trois inconnues : 𝑎+𝑏+𝑐 =2 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 3 2𝑎 + 𝑏 = 3 La résolution du système est ICI et donne a=-2, b=7 et c=-3. Comme on peut le constater, l’algorithme de résolution n’est pas très efficace puisque l’on peut remmarque facilement en multipliant la troisième ligne par 2 𝑞𝑢𝑒 4𝑎 + 2𝑏 = 6 et en substituant cette expression dans la deuxième ligne on obtient de suite la valeur de 𝑐 qui est -3. Il ne reste plus qu’à résoudre un système 2x2 ultra simple en utilisant la ligne 1 et 3. En faisant la différence des deux lignes on obtient facilement la valeur de 𝑎. Exercice 4 FVFFFF