Correction Ds Btsma

Correction BTS MA – DS calcul différentiel - 10/05/2007 -

EX 1 Tangente à la parabole et aire minimum Le plan est muni d'un repère orthonormé (O; , ) d'unité graphique 2cm. a. Soit g a fonction définie sur ]-1, 1[ par g(x) = 1 - x2. Tracer la courbe (C) représentative de g. G est une parabole, c’est l’opposée de la fonction classique « carrée » translatée de

Correction BTS MA – DS calcul différentiel - 10/05/2007 -

b. Soit x un nombre réel non nul élément de l'intervalle ]0 ; 1]. On appelle M le point de (C) d'abscisse x. On appelle (T) la tangente en M à la courbe (C). (T) coupe l'axe des abscisses en I et l'axe des ordonnées en J. Pour quelle valeur de x l'aire du triangle OIJ est-elle minimum ? Soit

0 ;1

1

²

²

2

Alors (T) : :

2

1

Cherchons les coordonnées des points I et J : En I, y=0 donc 2 En J, x=0 donc

²

²

0

1

²

0

1

L’aire du triangle (OIJ) est

² ²

²

1

Correction BTS MA – DS calcul différentiel - 10/05/2007 ² ²

Etudions la fonction : ²

Dérivée de A :

² ²

Le signe de A’ ne dépend que de la parabole Pour

0,

Donc pour

0 √

3 ²

√

, l’aire du triangle OIJ sera minimum.

1

Correctiion BTS MA A – DS calccul différenntiel - 10/05//2007 Problèm me d’Optim misation Situatio on  On déciide de metttre en placee un systèm me de colleccte des eau ux de pluie sur un murr aveuglee, à l'arrièree de la façaade d’une maison. m Sur ce mur, m de forrme rectanggulaire, deu ux tuyaux obliques o do oivent récupérer les eaux de pluies pour p les déverser dan ns un tuyau vertical ab boutissant à un réservvoir.

La figuure ci-dessoous est un schéma s On le sch hématise paar la figure suivante, où o les d’un syystème d’éccoulement des eaux : distances sont exprimées en m mètres :

Sur ce plan, p (MH) est la médiatrice dee [DC]. Il s’agitt de trouveer, sur le mur m de cettee maison, laa position du d point M qui minim mise la longueuur totale dees tuyaux. On notee Q la projection de M sur (BC)) et on pren nd comme variable laa mesure en n radian de d l'angle aigu a BMQ = θ.

Correction BTS MA – DS calcul différentiel - 10/05/2007 -

On définira la fonction g : θ → g(θ) = 2MA + MH 1. Expliciter la fonction g 5

On a ;

Soit

5 5

Donc

2. Etudier les variations de g 10

5 ²

² Le signe de g’ dépend du signe de : 10 0;

2

;2

5 1

Donc g est décroissante sur 0 ;

5 2

0

1 1 2

et croissante sur

3. Répondre au problème Le minimum de la fonction g est donc atteint en

; 6 2 ;

Correction BTS MA – DS calcul différentiel - 10/05/2007 -

Ex 2 « Le cornet maximal » On fabrique un cornet de forme conique en rejoignant les bords rectilignes d’un secteur circulaire de rayon r =10 cm. Quel est le volume du cornet de capacité maximale ? où B est la surface du disque et H la hauteur (rappel : le volume du cône est du cône) Le volume d’un cône est ² ² Donc Dérivons V : 2 3 2 ² 3 ² 3

²

où

²

²

²

3 √

²

Le signe de V’ dépend de la parabole 2 ² d’où le volume maximal est obtenu pour R =

3 ², celle-ci est positive si R ; ce qui donne un volume de

0;

√

Correction BTS MA – DS calcul différentiel - 10/05/2007 -

Ex 3 « Le gardien du phare » Le gardien d’un phare (point A) doit rejoindre le plus rapidement possible sa maison côtière (point B). Il se déplace en canot à la vitesse de 4 km/h et à pied à la vitesse de 5 km/h. Où doit-il accoster (point P) pour que le temps de parcours soit minimal ? La côte est supposée rectiligne. 15 km B

P 9 km

9 km 9 km

A La distance d qu’il doit parcourir en canot est Le temps qu’il va passer en canot est

9² ²

²

²

Le temps qu’il va passer à marcher jusqu’au point B est ²

Le temps total est

²

Etude de T en fonction de x :

0 9

√

16.9 soit x

²

12

4√9 9² ²

1 5

Correction BTS MA – DS calcul différentiel - 10/05/2007 -

Ex 4 Une fenêtre romane est formée d’un rectangle surmonté d’un demi-disque. Supposons que le périmètre p de la fenêtre soit donné. Quelles sont les dimensions de la fenêtre romane laissant passer le maximum de lumière ? Le périmètre est du rectangle.

2

On a donc

0

Calculons la surface :

2 où R est le rayon du demi disque et L la longueur

ù 0 ²

2

Etude des variations de S : 2

2

0

4

4 0

4

Donc S est croissante sur l’intervalle 0 ; ;

et décroissante sur l’intervalle pour ces valeurs

² ²

, le maximum sera atteint en 2

et