Correction Dm Exercice 7 Feuille 2

ITII 1ère Année – Correction DM  Exercice 7 feuille n°2   

Exercice 7    1. On pose    

Pout tout 

 ,

 et   sin  1

Pour tout 

 

0 ,   0 , , on a  

a. Prouver que pour tout 

1

 

    Ecrivons :   

  Posons 

,  

            

            

 

  b. En déduire que 

  ,

Il suffit de poser dans    

 

 

  

ITII 1ère Année – Correction DM  Exercice 7 feuille n°2   

2. Pour tout 

, on pose 

a. Calculer 

  

 

sin

 

   

 

 

      b. Montrer que pour tout 

 

 

2, on a  

1

1

2

 

Il suffit d’intégrer deux fois par parties :   

 

 

 

    3.    a. Montrer que pour tout 

1, on a   sin 1

 

  Remarquons que  ²

 

 

  D’où  b. Montrer que pour tout 

  0, , on a  sin  1

2  

ITII 1ère Année – Correction DM  Exercice 7 feuille n°2   

,

pour tout 

,

 

 donc 

 

     

 

    

  c. En déduire que   lim

   

De l’inégalité 

 

nous pouvons écrire : 

  D’où    

Or 

, pour tout n

On en déduit bien  que