Correction Bac Maths S Plans Et Intersection

Exercice : Intersection de plans

sujet

I - L'ANALYSE DU SUJET On détermine la distance d'un point à une droite qui est définie comme l'intersection de deux plans perpendiculaires.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME ● Equations cartésiennes de plans dans l'espace. ● Equations paramétriques de droites dans l'espace. ● Calculs de distances d'un point à un plan.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET Les trois premières questions sont des applications directes du cours. La question 4. nécessite un dessin et un peu de réflexion.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE Savoir la formule de la distance d'un point à un plan.

V - LES RESULTATS 1. (P) et (P') sont perpendiculaires.

2. Une représentation paramétrique de (d) est

3. 4.

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES 1. Soit

vecteur normal de (P)

Soit

vecteur normal de (P')

On a Donc

et

sont orthogonaux.

Donc (P) et (P') sont perpendiculaires.

2. Posons z = t, on a :

Donc (P) et (P') se coupent selon la droite (d).

4. Soit H le projeté orthogonal de A sur (P), on a

Soit H' le projeté orthogonal de A sur (P'), on a Soit K le projeté orthogonal de A sur (d), on a Le triangle AHP est rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore : AP² = AH² + HP² or HP = AH'

Donc D'où