Correction Bac Maths S Fonctions Et Suites

Exercice : Fonction et suite

sujet

I - L'ANALYSE DU SUJET Dans une première partie, on étudie une fonction simple, avec logarithme, il s'agit de trouver son sens de variation, et de résoudre l'équation: f(x) = x Dans la seconde partie, on utilise les variations de f pour étudier la convergence d'une suite définie par la relation de récurrence:

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME ● Fonction logarithme népérien ; ● Suites définies par récurrence ; ● Démonstration par récurrence ; ● Théorèmes de convergence d'une suite.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET Comprendre le lien entre l'étude de la fonction N et le sens de variation de f (question A,2). Maîtriser la démonstration par récurrence. Faire judicieusement le bilan des résultats obtenus (à la dernière question).

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE ● Dérivation des fonctions usuelles, et applications ; ● Fonction logarithme népérien ; ● Démonstration par récurrence (mise en œuvre et utilisation) ; ● Exploiter le sens de variation d'une fonction ; ● Suites monotones bornées.

V - LES RESULTATS Partie A 1. 2. N est strictement croissante sur ]-1 ; +∞[ N(o) = 0 N(x)  0 sur ]-1 ; 0] ; N(x)  0 sur [0 ; +[ f'(x) a le signe de N(x) f est (strictement) décroissante sur ]-1 ; 0] f est (strictement) croissante sur [0 ; +[ 3. C et D se coupent en O (0 ; 0). Partie B 1. si n

[0 ; 4], alors f (x)

2. a) voir annexe 2

[0 ; 4]

b) pour tout n

N, un

[0 ; 4]

c) (un) est décroissante d) (un) converge e) l = f(l) ; (un) converge vers 0

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES

Partie A :

1.

soit

pour tout x de ]-1 ; +∞[

2. N(x) = (1 + x)² - 1 + ln(1 + x) La fonction N est continue et dérivable sur ]-1 ; +∞[ (comme somme, produit et composée de fonctions dérivables).

Or pour tout x de ]-1 ; +∞[ : 1 + x > 0 et 2 (1 + x)² + 1 > 0 ; donc : N'(x) > 0 sur ]-1 ; +∞[. On en déduit que : N est strictement croissante sur ]-1 ; +∞[ N(0) = 1 - 1 + ln(1) donc N(0) = 0 Ainsi N est strictement croissante sur ]-1 ; +∞[ et N(0) = 0 ; on en déduit le signe de N(x) :

Or, d'après le 1. :

, et pour tout x de ]-1 ; + ∞[ : (1 + x)² > 0.

Donc f'(x) a le signe et le zéro de N(x). On en déduit que :

3. Le point d'intersection de C et D a une abscisse solution de l'équation : f(x) = x. Cette équation équivaut successivement à :

Soit : x = 0

Or : Donc C et D se coupent au seul point 0 (0 ; 0). Partie B

1. Or f est strictement croissante sur R+, donc :

2. a) Voir graphique annexe 2. b) Soit Pn la propriété : (où n désigne un entier naturel quelconque). Initialisation : u0 = 4, donc : u0  [0 ; 4] P0 est vraie. Hérédité : supposons Pn vraie pour un certain n. Alors : un  [0 ; 4] Donc : f(un)  [0 ; 4] (d'après le B, 1). Soit : un + 1  [0 ; 4] Ainsi : si Pn est vraie, alors Pn+1 est vraie; la propriété Pn est héréditaire. Conclusion : On a démontré par récurrence que :

c) On va démontrer par récurrence que la suite (un) est décroissante. Soit Qn la propriété : un+1  un (pour n  ).

Initialisation : u0 = 4 et u1 = f(4)  3,7 Donc : u1  u0 Q0 est vraie. Hérédité : supposons Qn vraie pour un certain entier n. Alors : un+1  un Or f est croissante sur R+ et pour tout n  N, un  [0 ; 4] (d'après les questions A,2 et B,2,b). Donc : f(un+1)  f(un), Soit : un+2  un+1. Ainsi : si Qn est vraie, alors Qn+1 est vraie ; la propriété Qn est héréditaire. Conclusion : on a démontré par récurrence que pour tout n  : un+1 un La suite (un) est décroissante. d) D'après la question précédente, (un) est décroissante ; et d'après le B,2,b, tous les termes de cette suite sont des réels de [0 ; 4]. Donc (un) est décroissante et minorée par 0. On en déduit que : (un) converge. e) D'après les questions précédentes, f est continue sur ]-1 ; +[ et pour tout n  N : un+1 = f(un). Or (un) converge vers un réel l. Donc : l = f(l) D'après la question A,3, l'unique solution de l'équation f(x) = x, est 0. D'où : (un) converge vers 0.