Correction Bac Maths S Exo Equa. Complexes

Exercice : Equation complexe

I - L'ANALYSE DU SUJET On résout une équation complexe et l'on étudie des propriétés géométriques des images des solutions.

II - LES NOTIONS DU PROGRAMME ● Équation complexe ; ● Rotation ; ● Homothétie.

III - LES DIFFICULTES DU SUJET Peu de difficulté, on utilise simplement des formules à connaître.

IV - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE Définition complexe d'une rotation et d'une homothétie.

V - LES RESULTATS Partie A : 1. i est une solution de (E). 2. a = 1 ; b = —4 ; c = 13. 3. i ; 2 + 3i ; 2 — 3i. Partie B : 1. 2. A', B, C alignés et

.

VI - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES Partie A : 1. Soit l'équation (E) : z3 — (4 + i)z2 + (13 + 4i)z — 13i = 0 Remplaçons z par i dans (E), on obtient : i3 — (4 + i)i2 + (13 + 4i)i — 13i = 0 —i + 4 + i + 13i — 4 — 13i = 0 Cette égalité est vraie donc i est solution de (E). 2. Pour tout z  C, on a : (z — i)(az2 + bz + c) = az3 + z2(b — ai) + z(c — ib) — ic

sujet

Et donc : az3 + z2(b — ai) + z(c — ib) — ic = z3 — (4 + i)z2 + (13 + 4i)z — 13i Pour tout z  C, si et seulement si :

donc a = 1, b = —4 et c = 13 donc l'équation (E) équivaut à : (z — i)(z2 — 4z + 13) = 0 3. (z — i)(z2 — 4z + 13) = 0 si et seulement si z = i ou z2 — 4z + 13 = 0. On a :  = 16 — 52 = —36 = 36 d'où les solutions Les solutions de l'équation (E) sont : i ; 2 + 3i ; 2 — 3i. Partie B :

1. Soit r la rotation de centre B et d'angle

.

A' est l'image de A, on a donc :

d'où :

2. Les affixes des trois points A', B et C ont la même partie réelle 2 ; ces trois points sont alignés, on a : et donc le rapport de l'homothétie qui transforme C en A' est tel que :

d'où : L'écriture complexe de l'homothétie de centre B et de rapport k est de la forme :

soit :