HIPÉRBOLA Y SUS PROPIEDADES 3.- ℋ es una hipérbola con centro 𝐹0 , eje focal 𝐿𝐸 = {(7,0) + 𝑡(1, 𝑚)}, 𝑚 < 0 asíntotas 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴1 = {(1,4) + 𝑡(18,1)}, 𝐿𝑇 = {𝑇 + 𝑡(22,7)} es una recta tangente a ℋ en T, 𝐿 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {𝐹0 + 𝑡(6, −1)} es una recta que contiene a T, 𝑐𝑜𝑚𝑝⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑇 > 0,𝐿𝑇 ∩ 𝐴1 = {𝑄}, |𝐹 0𝑄| = 𝐹1 𝐹2
10√13. Halle la ecuación vectorial de ℋ. RESOLUCIÓN:
Del enunciado se tiene el siguiente gráfico:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Sea 𝑢 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑄 un vector unitario con la misma dirección y sentido que 𝐹0 𝑄 . 18,1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ → ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑄 = |𝐹 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0 𝑄 |. 𝑢 𝐹0 𝑄 = 10√3. ( 5√3 ) = (36,2)………
𝐿 = {𝐹0 + 𝑡(6, −1)} contiene a T …(dato)
→ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑇 = 𝑡. (6, −1)
…… (1)
En el ∆𝐹0 𝑄𝑇: ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝑇 𝑄𝐹0 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑇 Reemplazando valores se tiene: ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−36, −2) + 𝑡(6, −1) 𝑄𝑇 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (6𝑡 − 36, −𝑡 − 2)……… 𝑄𝑇
...… (2)
Sea 𝑚𝐿𝑇 la pendiente de la recta 𝐿𝑇 . −𝑡−2
𝑚𝐿𝑇 = 6𝑡−36 ……… 7
Pero: 𝑚𝐿𝑇 = 22………
...… (3) ...… (4)
De (3) y (4): −𝑡−2 6𝑡−36
7
= 22 → 𝑡 =
13 4
Reemplazando el valor de 𝑡 en (2): ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−33 , −21)……… 𝑄𝑇 2 4
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Como sabemos que 𝐹 0 𝑇 = 𝑡. (6, −1) → ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑇 =
13 (6, −1) 4
13 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐹 0 𝑇 | = 4 √37
Sea {𝐺} = 𝐿𝑇 ∩ 𝐴2
Por propiedad de la recta tangente a una hipérbola: ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝑇 𝑇𝐺
…… (5)
…… (6)
…… (7)
Reemplazando (5) en (7): −33 −21 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 𝑇𝐺 , ) 2 4
En el ∆𝐹0 𝑄𝐺: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑄 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑄𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝑄 + 2𝑄𝑇
…… (8)
Reemplazando (1) y (5) en (8): −33 −21 −21 −17 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝐺 = (36,2) + 2 ( 2 , 4 ) = (36,2) + (−33, 2 ) = (3, 2 ) // (6, −17)
Sea: 𝑢 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝐺 + 𝑢 𝐹0 𝑄 = 𝑣 Donde 𝑢 ⃗ 𝐹0 𝐺 es un vector unitario en la dirección y sentido de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹0 𝐺 . (6,−17)
→𝑢 ⃗ 𝐹0 𝐺 = |(6,−17)| =
(6,−17) √325
(18,1)
,𝑢 ⃗ 𝐹0 𝑄 = |(18,1)| =
(18,1) √325
Reemplazando: (6,−17) √325
+
(18,1) √325
=𝑣→
(24,−16) √325
=𝑣
Por teoría se sabe que 𝑣 es un vector en la dirección y sentido de la bisectriz del ∠𝑄𝐹0 𝐺 y además por propiedad de hipérbola, en el grafico se cumple que la recta bisectriz de este ángulo también contiene a los focos de la hipérbola, por lo tanto: (24, −16) (3, −2) −2 𝑣= = → 𝑚𝐿𝐸 = 3 √13 √(24)2 + (16)2 Donde: 𝑚𝐿𝐸 es la pendiente de la recta del eje focal. Como (7,0) 𝜖 𝐿𝐸 y 𝑚𝐿𝐸 =
−2 3
se determina la ecuación de la recta del eje focal de ℋ:
𝐿𝐸 = {(7,0) + 𝑧(3, −2)}
Por teoría 𝐴1 ∩ 𝐿𝐸 = {𝐹0 } → 𝐹0 = (7,0) + 𝑧(3, −2) = (1,4) + 𝑡(18,1) 7 + 3𝑧 = 1 + 18𝑡 0 − 2𝑧 = 4 + 𝑡
𝑧 = −2 𝑡=0
Luego: 𝐹0 = (1,4)
Sea 𝜃 = 𝑚∠𝑄𝐹0 𝑉2, donde 𝑉2 es el vértice de ℋ más cerca a T. 1 −2 (18) − ( 3 ) 𝑚𝐴1 − 𝑚𝐿𝐸 → tan 𝜃 = = 1 + 𝑚𝐴1 . 𝑚𝐿𝐸 1 + ( 1 ) (−2) 18 3 tan 𝜃 =
3 4 𝑏
Pero por teoría en el grafico se cumple que tan 𝜃 = 𝑎, por lo tanto: 𝑏 = 3𝑘 ˄ 𝑎 = 4𝑘
….. (9)
Sea 𝛼 = 𝑚∠𝑇𝐹0 𝑉2 −1 −2 ( 6 )−( 3 ) 𝑚𝐹0 𝑇 − 𝑚𝐿𝐸 9 → tan 𝛼 = = = 1 + 𝑚𝐹0 𝑇 . 𝑚𝐿𝐸 1 + (−1) (−2) 20 6 3 Como ya se conoce el valor de tan 𝛼, podemos obtener cos 𝛼 y sen 𝛼: cos 𝛼 =
20
9
sen 𝛼 =
..… (10)
√481
..… (11)
√481
Se traza ̅̅̅̅̅ 𝑇𝑀 ⊥ 𝐿𝐸 (𝑀 𝜖 𝐿𝐸 ). En el ⊿𝐹0 𝑇𝑀: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐹 0 𝑀| = |𝐹0 𝑇 | cos 𝛼
….. (12)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑇𝑀 0 𝑇 | sen 𝛼
..… (13)
Reemplazando (6) y (10) en (12) y además (6) y (11) en (13) se tiene: 13 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐹 0 𝑀 | = ( 4 √37) . (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = (13 √37) . ( |𝑇𝑀 4
20
..… (14)
) = 5√13
√481 9
9
..… (15)
) = 4 √13
√481
Sea X ′ Y ′ un sistema con origen en 𝐹0 , se tiene: (𝑥 ′ )
2
(𝑦 ′ )
2
=1
….. (16)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Pero del gráfico T ′ = (|𝐹 0 𝑀 |, |𝑇𝑀|)
….. (17)
ℋ:
𝑎2
−
𝑏2
9
(14) y (15) en (17): T ′ = (5√13, 4 √13)
𝑇 𝜖 ℋ y además se sabe por (9) que: 𝑏 = 3𝑘 ˄ 𝑎 = 4𝑘, entonces en (16): 2 9 ( √13) (5√13) 4 − = 1 → 𝑘 = √13 (4𝑘)2 (3𝑘)2 → 𝑎 = 4√13 ˄ 𝑏 = 3√13 2
Luego la ecuación vectorial de ℋ es: 𝓗 = {(𝟏, 𝟒) + 𝒙′
(𝟑, −𝟐) √𝟏𝟑
+ 𝒚′
(𝟐, 𝟑) √𝟏𝟑
/
(𝒙′ )𝟐
(𝒚′ )𝟐 − =𝟏} 𝟐 𝟐 (𝟒√𝟏𝟑) (𝟑√𝟏𝟑)
HIPÉRBOLA Y SUS PROPIEDADES 3.- En una hipérbola ℋ de centro F0 en el tercer cuadrante, las asíntotas A1 y A2 contienen a los puntos 𝐵 = (−9,6) y 𝐶 = (26,0) respectivamente. Si el eje focal es 𝐿𝐸 = {𝑡(2,3)} y 35 −6
𝑃 = (4 ,
4
) es un punto de ℋ, halle la ecuación vectorial de ℋ.
RESOLUCIÓN:
Del enunciado se obtiene el siguiente gráfico:
𝐿𝐸 = {𝑡(2,3)} (dato), entonces la recta LE contiene al origen de coordenadas de XY.
Por propiedad de hipérbola: En el grafico se cumple que LE es bisectriz del ángulo determinado por las asíntotas. →𝛼=𝛽 Además, el simétrico de B respecto a LE, al cual llamaremos B', debe ser un punto de A2.
Hallando B': ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵 𝐵 ′ = 𝐵 − 2𝑃𝑟𝑜𝑦(2,3) ⊥ (−9,6)
𝐵 ′ = (−9,6) − 2𝑃𝑟𝑜𝑦(−3,2) 𝐵 ′ = (−9,6) − 2 (
(−9,6).(−3,2) |(−3,2)|2
) (−3,2) , resolviendo
𝐵 ′ = (9, −6)…………………………………………..………………
…(3)
Hallando A2: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ′ 𝐶 = 𝐶 − 𝐵 ′ = (26,0) − (9, −6) = (17,6) ∴ 𝐴2 = {(26,0) + 𝑘(17,6)} …………………………………………………………………………..….. (4)
𝐴2 ∩ 𝐿𝐸 = {𝐹0 }, entonces 𝐹0 = (26,0) + 𝑘(17,6) = 𝑡(2,3) 26 + 17𝑘 = 2𝑡 0 + 6𝑘 = 3𝑡 ∴ 𝑘 = −2, 𝑡 = −4 ∴ 𝐹0 = (−8, −12)………………………………………………… … ….. (5)
Sea X'Y' un nuevo sistema con origen en F0, vector rotación 𝑢 ⃗ =
Sea 𝛼 = 𝑚∠𝑂𝐹0 𝐶
𝐹0 : tan 𝛼 = 1+𝑚𝐸
(2,3) √13
𝑚𝐿 −𝑚𝐴2 𝐿𝐸 .𝑚𝐴2
3
Pero 𝑚𝐿𝐸 = 2 (pendiente de LE) 6
𝑚𝐴2 = 17 (pendiente de A2) Reemplazando se tiene: 3
tan 𝛼 = 4……………………………………………………………………...….. (6)
𝑏
𝑏
3
Por propiedad de hipérbola: tan 𝛼 = 𝑎, entonces 𝑎 = 4 ∴ 𝑎 = 4𝑘, 𝑏 = 3𝑘 …………………………………………………
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 …………………………………………………
…..… (7) … ….….. (8)
(7) en (8) 𝑐 = 5𝑘 35 −6
67 42
𝑃 − 𝐹0 = ( 4 ,
Sea 𝑃′ = (𝑥 ′ 𝑝 , 𝑦 ′ 𝑝 ) las coordenadas de 𝑃 = ( 4 ,
4
) − (−8, −12) = ( 4 , 4 ) 35 −6
67 42
𝑥 ′ 𝑝 = (𝑃 − 𝐹0 ). 𝑢 ⃗ = (4 , 4).
(2,3) √13
4
) en el sistema X'Y', entonces:
= 5√13 ……………………………..….. (9)
67 42 (−3,2) −9 𝑦′𝑝 = (𝑃 − 𝐹0 ). ⃗⃗⃗⃗ 𝑢⊥ = ( 4 , 4 ) . = 4 √13 …………………………..… (10) √13
La ecuación de 𝐻 en el sistema X'Y' es: 𝑥′
2
𝑎2
−
𝑦′
2
𝑏2
= 1 …………………………………………………… ………….. (11)
(7), (9) y (10) en (11) (5√13) (4𝑘)2
2
−
(
2 −9 √13) 4 (3𝑘)2
= 1, resolviendo se obtiene :
𝑘 = √13 𝑎 = 4√13 𝑏 = 3√13 𝑐 = 5√13
Luego la ecuación vectorial de 𝐻: 𝑯 = {(−𝟖, −𝟏𝟐) + 𝒙′
(𝟐, 𝟑) √𝟏𝟑
+ 𝒚′
(−𝟑, 𝟐) √𝟏𝟑
𝒙′𝟐
⁄
(𝟒√𝟏𝟑)
− 𝟐
𝒚′𝟐 (𝟑√𝟏𝟑)
𝟐
= 𝟏}