Copy (2) Of Duongthang

CHUYEÂN ÑEÀ 3 ÑÖÔØNG THAÚNG I. PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy, muoán vieát phöông trình moät ñöôøng thaúng ( Δ ) ta caàn phaûi bieát: 1)

(Δ)

G qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù vectô chæ phöông a = (a1, a2) seõ coù:

⎧ x = x0 + ta1 . Phöông trình tham soá : ⎨ ⎩ y = y 0 + ta 2 . Phöông trình chính taéc :

(t ∈ R)

x − x0 y − y0 = (a1, a2 ≠ 0) a1 a2

Töø phöông trình chính taéc ta coù theå ñoåi thaønh daïng phöông trình toång quaùt : (A2 + B2 > 0)

Ax + By + C = 0 2)

(Δ)

qua ñieåm M0(x0, y0) vaø coù 1 phaùp veùctô laø (a,b) coù phöông trình :

a(x –

x0) + b(y – y0) = 0 3) i) Phöông trình ñöôøng thaúng trong maët phaúng coù daïng Ax + By + C = 0

vôùi A2 + B2 > 0 (1)

ii) Phöông trình ñöôøng thaúng trong maët phaúng coù daïng x = x0 hoaëc y = kx + m (2). Ta deã daøng thaáy (1) vaø (2) laø töông ñöông. + (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thoûa (1) vôùi A = k, B = - 1 , C = m. + Neáu B = 0 ⇒ x = − daïng y = kx + m.

C A

, coù daïng x = x0 vôùi x0 = −

C A C . Neáu B ≠ 0 ⇒ y = − x − , coù A B B

3) ( Δ ) qua hai ñieåm A(xA, yA), B(xB, yB) coù phöông trình : x − xA y − yA = neáu ( xB − xA ) ( yB − yA ) ≠ 0 xB − x A yB − yA

1

Neáu ( Δ ) qua A(a, 0) ∈ Ox vaø B(0, b) ∈ Oy vôùi a.b ≠ 0; ta noùi ( Δ ) coù ñoaïn chaén a, b vôùi phöông trình: x y + =1 a b

* Ghi chuù: Neáu ñeà baøi toaùn yeâu caàu ta vieát phöông trình cuûa ñöôøng thaúng, thoâng thöôøng ta neân vieát phöông trình ôû daïng toång quaùt vaø löu yù :

(Δ)

: Ax + By + C = 0 thì ( Δ ) coù :

G . moät phaùp vectô n = (A, B) G . moät vectô chæ phöông a = (–B, A)

JJJG A . heä soá goùc k = tg( Ox , Δ ) = − B . ( Δ′ ) // ( Δ )

⇒ ( Δ′ ) : Ax + By + C0 = 0

. ( Δ′ ) ⊥ ( Δ )

⇒ ( Δ′ ) : Bx – Ay + C0 = 0

Ta tìm ñöôïc C0 neáu bieát theâm moät ñieåm naèm treân ( Δ′ ) . Ngoaøi ra khi vieát phöông trình cuûa moät ñöôøng thaúng ( Δ ) theo heä soá goùc k, baøi toaùn coù theå bò thieáu nghieäm do tröôøng hôïp ( Δ ) ⊥ x′ x (heä soá goùc k khoâng toàn taïi), do ñoù ta phaûi xeùt theâm tröôøng hôïp ( Δ ) coù phöông trình x = C ñeå xem ñöôøng thaúng ( Δ ) naøy coù thoûa maõn ñieàu kieän cuûa ñaàu baøi khoâng. G Ghi chuù - Neáu n = (A, B) laø 1 phaùp veùc tô cuûa ñöôøng thaúng ( Δ ) thì G k. n = (kA, kB) cuõng laø phaùp veùc tô cuûa ( Δ ) vôùi moïi soá thöïc k ≠ 0. JG - Neáu a = ( a1 ,a2 ) laø 1 veùc tô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng JG k. a = ( ka1 ,ka2 ) cuõng laø veùc tô chæ phöông cuûa ( Δ ) vôùi moïi soá thöïc k khaùc 0.

II. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG Ñeå xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng ta caàn nhôù Cho

(d1) : A1x + B1y + C1 = 0

vaø

(d2) : A2x + B2y + C2 = 0

Ñaët :

2

( Δ ) thì

D=

A1

B1

A2

B2

;

Dx =

B1

C1

B2 C2

;

Dy =

C1

A1

C2

A2

thì :

Dx ⎧ ⎪⎪ x I = D D ≠ 0 ⇔ (d1) caét (d2) taïi I ⎨ ⎪ y = Dy ⎪⎩ 1 D D = 0 vaø Dx ≠ 0 hoaëc Dy ≠ 0 D = Dx = Dy = 0

⇔ (d1) // (d2)

⇔ (d1) ≡ (d2)

hoaëc vôùi A2, B2, C2 ≠ 0 ta coù :

Ghi chuù

B1

C1

B2 C2

A1 B ≠ 1 B2 A2

⇔ (d1) caét (d2)

A1 B C = 1 ≠ 1 B2 C2 A2

⇔ (d1) // (d2)

A1 B C = 1 = 1 B2 C2 A2

⇔ (d1) ≡ (d2)

= −

C1

B1

C2

B2

;

C1

A1

C2

A2

= −

A1

C1

A2

C2

III. GOÙC GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG Ñeå tìm goùc giöõa hai ñöôøng thaúng, ta goïi α laø goùc nhoïn taïo bôûi hai ñöôøng thaúng (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 thì

cos α =

(d2) : A2x + B2y + C2 = 0

A1A 2 + B1B2 A12 + B12 . A 2 2 +B2 2

IV. KHOAÛNG CAÙCH TÖØ MOÄT ÑIEÅM ÑEÁN MOÄT ÑÖÔØNG THAÚNG Ñeå tìm khoaûng caùch töø ñieåm M(xM, yM) ñeán ñöôøng thaúng

(Δ)

: Ax + By + C = 0 ta aùp duïng coâng thöùc :

3

d(M, Δ ) =

Ax M + By M + C A 2 + B2

Khoaûng caùch ñaïi soá töø ñöôøng thaúng ( Δ ) ñeán ñieåm M(xM, yM) laø : t=

Ax M + By M + C A 2 + B2

G Ñaët phaùp vectô n = (A, B) coù goác leân ( Δ ) thì : G . t > 0 neáu ñieåm M vaø n naèm cuøng moät beân ñoái vôùi ( Δ )

G . t < 0 neáu ñieåm M vaø n naèm khaùc beân ñoái vôùi ( Δ )

Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc hôïp bôûi 2 ñöôøng thaúng (d1) : A1x + B1y + C1 = 0 vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = 0 laø : A1x + B1y + C1 A + B1 2 1

2

= ±

A 2 x + B2 y + C2 A 2 2 + B2 2

Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC vôùi A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3) a) Tìm phöông trình tham soá vaø toång quaùt caïnh BC. b) Tìm phöông trình ñöôøng cao AH. c) Tìm phöông trình ñöôøng thaúng qua A(–2, 1) vaø song song vôùi BC. Giaûi JJJG a) Ñöôøng thaúng qua caïnh BC nhaän BC = (–2, –6) hay (1,3) laøm vectô chæ phöông vaø qua B(4, 3) neân coù phöông trình tham soá : ⎧x = 4 + t ⎨ ⎩ y = 3 + 3t ⇔

(t ∈ R)

x−4 y−3 = (phöông trình chính taéc) 1 3

⇔ 3x – y – 9 = 0 laø phöông trình toång quaùt cuûa BC. b) Δ ABC coù ñöôøng cao AH ⊥ BC : 3x – y – 9 = 0 ⇒

pt AH : x + 3y + C1 = 0

4

A(–2, 1) ∈ AH Vaäy

⇔ –2 + 3(1) + C1 = 0

⇔ C1 = –1

pt AH : x + 3y – 1 = 0

c) Ñöôøng thaúng Au // BC ⇒ pt Au : 3x – y + C2 = 0 A(–2, 1) ∈ Au ⇔ 3(–2) – 1 + C2 = 0 Vaäy

⇔ C2 = 7

pt Au : 3x – y + 7 = 0

Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC vôùi A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5). a) Vieát phöông trình ñöôøng vuoâng goùc AH keû töø A ñeán trung tuyeán BK cuûa tam giaùc ABC. b) Tính dieän tích tam giaùc ABK. Giaûi

a) K laø trung ñieåm cuûa AC

⇔

x A + xC ⎧ =2 ⎪⎪ x K = 2 ⎨ ⎪y = y A + yC = 2 ⎪⎩ K 2

hay K(2, 2) Phöông trình caïnh BK :

x−2 y−2 = −2 − 2 1− 2

⇔ x – 4y + 6 = 0

AH ⊥ BK

⇒ pt AH : 4x + y + C0 = 0

A(1, - 1) ∈ AH

⇔ 4(1) + (–1) + C0 = 0 ⇔ C0 = –3 hay AH : 4x + y – 3 = 0

b) Dieän tích tam giaùc ABK laø S = AH = d A (BK ) = ⇒

S=

11 1 . . 2 17

1 AH.BK vôùi 2

1+ 4 + 6 17 42 + 12 =

Ví duï 3:

11 ( ñvdt ). 2

( Ñeà döï tröõ khoái A naêm 2005) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho tam giaùc 4 1 ABC caân taïi ñænh A coù troïng taâm G ( ; ) , phöông trình ñöôøng thaúng BC laø x − 2 y − 4 = 0 vaø 3 3 phöông trình ñöôøng thaúng BG laø 7 x − 4 y − 8 = 0 .Tìm toïa ñoä caùc ñænh A, B, C.

5

Baøi giaûi

⎧x − 2y − 4 = 0 Toïa ñoä ñænh B laø nghieäm cuûa heä pt ⎨ ⇒ B ( 0, −2 ) ⎩7x − 4y − 8 = 0 Vì ΔABC caân taïi A neân AG laø ñöôøng cao cuûa ΔABC 4 1 Vì GA ⊥ BC ⇒ pt GA: 2(x − ) + 1(y − ) = 0 ⇔ 2x + y − 3 = 0 ⇔ 2x + y − 3 = 0 3 3 ⎧2x + y − 3 = 0 ⇒ GA ∩ BC = H ⎨ ⇒ H ( 2, −1) ⎩x − 2y − 4 = 0

⎧x B + x C = 2x H ⎧x C = 2x H − x B = 2(2) − 0 = 4 ⇒⎨ Ta coù H laø trung ñieåm BC ⇒ ⎨ ⎩y B + y C = 2y H ⎩y C = 2y H − y B = 2(−1) − (−2) = 0 x + xB + xC y + y B + yC ⇒ C ( 4,0 ) . Ta coù : x G = A ⇒ A ( 0,3) vaø y G = A 3 3 Vaäy A ( 0,3) ,C ( 4, 0 ) ,B ( 0, −2 ) Ví duï 4 ( ÑH KHOÁI A -2002) 1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxy cho hình chöõ nhaät ABCD coù taâm I ⎛⎜ ;0 ⎞⎟ ,phöông trình ñöôøng thaúng AB laø 2 1

⎝

⎠

x – 2y + 2 = 0 vaø AB = 2AD .Tìm toïa ñoä caùc ñænh A,B,C,D bieát raèng ñænh A coù hoaønh ñoä aâm . BAØI GIAÛI: A ∈ ñöôøng thaúng x – 2y + 2 = 0 ⇒ A (2a – 2, a) (a < 1) I laø trung ñieåm AC ⇒ C (3 – 2a, −a) BC qua C vaø BC ⊥ AB ⇒ pt BC : 2x + y + 5a – 6 = 0 AB ∩ BC = B ⇒ B (2 – 2a, 2 – a) Ta coù : AB = 2AD ⇔ (1 – a)2 = 1 ⇔ a = 0 hay a = 2 (loaïi) Vaäy A (−2, 0). B (2, 2), C (3, 0), D (−1, −2) Ví duï 5 ( ÑH KHOÁI D -2004) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho tam giaùc ABC coù caùc ñænh A (−1; 0); B (4; 0); C (0; m) vôùi m ≠ 0. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC theo m. Xaùc ñònh m ñeå tam giaùc GAB vuoâng taïi G. ⎛ m ⎞ JJJG

m

JJJG

m

BAØI GIAÛI: G ⎜ 1; ⎟ ; GA = (−2; − ) ; GB = (3; − ) 3 3 ⎝ 3⎠ JJJG JJJG Tam giaùc GAB vuoâng taïi G ⇔ GA.GB = 0 ⇔ −6 +

m2 = 0 ⇔ m = ±3 6 . 9

Ví duï6 ( ÑH KHOÁI B -2004) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñieåm A(1; 1), B(4; -3). Tìm ñieåm C thuoäc ñöôøng thaúng x − 2 y − 1 = 0 sao cho khoaûng caùch töø C ñeán ñöôøng thaúng AB baèng 6. BAØI GIAÛI:

A (1; 1); B (4; −3) ⇒ phöông trình AB:

x −1 y −1 = 4 −3

⇔ 4x + 3y – 7 = 0 C ∈ ñt : x – 2y – 1 = 0 ⇒ C (2t + 1; t)

6

Ta coù: d (C, AB) = 6 ⇔

8t + 4 + 3t − 7 5

=6

⎡t = 3 ⎡11t − 3 = 30 ⇔ 11t − 3 = 30 ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ t = − 27 11t − 3 = − 30 ⎣ ⎢⎣ 11 ⎛ 43 27 ⎞ Vaäy C (7; 3) hay C ⎜ − ; − ⎟ ⎝ 11 11 ⎠

Ví duï7 ( Ñeà DÖÏ TRÖÕ KHOÁI D -2003) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy cho tam giaùc ABC coù ñænh A (1; 0) vaø hai ñöôøng thaúng laàn löôït chöùa caùc ñöôøng cao veõ töø B vaø C coù phöông trình töông öùng laø : x – 2y + 1 = 0 vaø 3x + y – 1 = 0.Tính dieän tích cuûa tam giaùc ABC. BAØI GIAÛI: Vì AC ⊥ BB' ⇒ phöông trình AC : 2x + y + m = 0 A(1; 0) ∈ AC ⇒ 2 + m = 0 ⇒ m = −2 Phöông trình AC : 2x + y – 2 = 0 ⎧ 2x + y − 2 = 0 Vaäy t ñ C laø nghieäm cuûa ⎨ ⇒ C(−1; 4) ⎩ 3x + y − 1 = 0

Vì AB ⊥ CC' ⇒ phöông trình AB : x – 3y + n = 0 A(1; 0) ∈ AB ⇒ 1 + n = 0 ⇒ n = −1 Phöông trình AB : x – 3y – 1 = 0 ⎯→ ⎯→ ⎧ x − 3y − 1 = 0 Vaäy B ⎨ ⇒ B(−5; −2).⇒ AB = (−6; −2); AC = (−2; 4) ⎩ x − 2y + 1 = 0 SΔABC =

1 ⎡ −6 ⎢ 2 ⎣ −2

− 2⎤ = 14 (ñvdt). 4 ⎦⎥

Ví duï8 ( ÑEÀDÖÏ TRÖÕ KHOÁI B -2004) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñieåm I (–2; 0) vaø hai ñöôøng thaúng d1 : 2x – y + 5 = 0, d2 : x + y – 3 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm I vaø →

→

caét hai ñöôøng thaúng d1, d2 laàn löôït taïi A, B sao cho : IA = 2 IB BAØI GIAÛI: P.trình ñöôøng thaúng d qua I (–2, 0), heä soá goùc k : y = k(x + 2)

⎧ 2x − y + 5 = 0 ⎛ 2k − 5 − k ⎞ A⎨ ⇒ A⎜ , ⎟ ⎝ 2−k 2−k⎠ ⎩ kx − y + 2k = 0 ⎧ x + y−3 = 0 ⎛ 3 − 2 k 5k ⎞ B⎨ ⇒ B⎜ , ⎟ ⎝ 1+ k 1+ k ⎠ ⎩ kx − y + 2 k = 0

JJG ⎛ −1 − k ⎞ 5k ⎞ ⎛ 5 ⎛ 10 10 k ⎞ IA = ⎜ ; ; ; ⎟ ⇒ 2IB = ⎜ ⎟ ⎟ ; IB = ⎜ ⎝2−k 2−k⎠ ⎝1+ k 1+ k ⎠ ⎝1+ k 1+ k ⎠

10 7 ⎧ −1 ⎪ 2 − k = 1+ k ⇒ k = 3 IA = 2IB ⇔ ⎨ −k 10 k 7 ⎪ = ⇒ k = 0, k = ⎩ 2 − k 1+ k 3 7 Do ñoù phöông trình ñöôøng thaúng d laø y = (x + 2) 3

7

⇔ 7x – 3y + 14 = 0

***

8