Copie De Copie De Sami-ams

1. Question Démontrer que ∀n ∈ N , ∃(p, q) ∈ N2 tel que n = 2p(2q + 1) a) 1ère méthode :Par récurrence forte : Pour n=1 : 1 = 20 × (2 × 0 + 1) donc il sut de prendre p=q=0. c'est vrai au rang n. Soit n ∈ N supposons que la relation est vraie pour tout k ≤ n démontrons qu'elle l'est aussi pour n+1. Si n+1 est impair alors alors il n y a pas de problème,il sut de prendre p=0. Si n+1 est2 pair,alors n + 1 = 2k avec 1 ≤ k < n donc selon la supposition ∃(p, q) ∈ N : k = 2p (2q + 1) alors : n + 1 = 2 × 2p (2q + 1) = 2p+1 × (2q + 1) Récurrence terminée. ?

2ème méthode : On posem E = {mm ∈ N2mdivisen} On a 2 /n ⇒ 2 ≤ n alors l'ensemble E admet un plus grand élément,notons le α. alors on a ∃k ∈ N : n = 2α × k il nous reste à démontrer que k est impair. On a α + 1 ∈/ E alors 2 ne divise pas α (c'est simple si on suppose l'inverse on va se retrouver avec un élément plus grand ce qui est contradictoire avec le fait que α est supposé être le plus grand. donc comme 2 ne divise pas α alors α est impair. Fin El Kelaa Des Sraghna

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