Copia De Formulario-1-grupo-campos-y-espacios-vectoriales.docx

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Grupo/Abeliano: cerradura: a*b ϵ A Asociativa: a*(b*c) = (a*b)*c Conmutación: a*b = b*a Elemento neutro: a*e = a Elemento inverso: a*a* = e Campo: Sea el sist. (k, *, °) que define dos op. bin. (k,*) es grupo Abeliano con elemento neutro e (k,°) es cerrada, asociativa, conmutativa (k,°) tiene neutro f, y posee inversos excepto para e Hay distribución a°(b*c) = (a°b)*(a°c) (primero la segunda op, luego la primera) Cero del campo = E. neutro de la 1era op. bin. Unidad del campo = E. neutro de la 2da op. bin. Espacio vectorial: Dado un conjunto V y un campo K, V es un espacio vectorial sobre K si al definir las operaciones: Suma de vectores: 𝑢 ⃗ + 𝑣; 𝑢 ⃗ ,𝑣 ∈ 𝑉 Multiplicación por un escalar: 𝛼𝑢 ⃗ ; 𝛼 ∈ 𝐾, 𝑢 ⃗ ∈𝑉 Estas cumplen que (10 propiedades en total): (V,+) es un grupo Abeliano (5 propiedades) 𝛼𝑢 ⃗ ∈𝑉 (𝛼𝛽)𝑢 ⃗ = 𝛼(𝛽𝑢 ⃗) 𝛼(𝑢 ⃗ + 𝑣 ) = 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛼𝑣 (𝛼 + 𝛽)𝑢 ⃗ = 𝛼𝑢 ⃗ + 𝛽𝑢 ⃗ (1)𝑢 ⃗ = 𝑢 ⃗ Subespacio vect:

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Sea un esp. Vect. Sobre un campo k y H un subconjunto de V. El subconjunto de H es un subesp. Vect. De V. Si por sí mismo cumple con la definición de esp. Vect. Propiedades del subespacio vect (Las 2 cerraduras): - 𝑢 ⃗ +𝑣 ∈𝐻 - 𝛼𝑢 ⃗ ∈𝐻

Conjunto generador: -

Dependencia lineal: -

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Dado un conjunto de vectores 𝐺 = ⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗ {𝑉 𝑉2 , ⃗⃗⃗ 𝑉3 , ⃗⃗⃗ 𝑉𝑛 , } y uno de escalares 𝐴 = {𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 , 𝛼𝑛 , } una combinación lineal es una expresión de la forma 𝛼1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , 𝛼2⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , 𝛼3 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣3 … 𝛼𝑛 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 = 𝑥 Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL): SI HAY COMB. LINEAL: Compatible determinado, compatible indeterminado NO HAY COMB. LINEAL: Incompatible

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente, si uno de sus elementos es combinación lineal de otros vectores. Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL): LINEALMENTE INDEPENDIENTE: Compatible determinado → |𝐴| ≠ 0 LINEALMENTE DEPENDIENTE: Compatible indeterminado (múltiples soluciones) → |𝐴| = 0 Si al termino del escalonamiento se cumple que: #𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 = #𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑁𝑂 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑠 , y NO hay ecuaciones degeneradas → 𝐻𝐴𝑌 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑃𝐸𝑁𝐷𝐸𝑁𝐶𝐼𝐴 𝐿𝐼𝑁𝐸𝐴𝐿 Si al escalonar una matriz NO cuadrada, da una ecuación degenerada es 𝐿𝐼𝑁𝐸𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑇𝐸 𝐷𝐸𝑃𝐸𝑁𝐷𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸 Base y dimensión del esp. vect:

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Base: Un conjunto de vectores es una base del espacio vectorial V si: Es un conjunto generador de V Es 𝐿𝐼𝑁𝐸𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑇𝐸 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑃𝐸𝑁𝐷𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸 Dimensión: Es el número de vectores que contienen las bases, y se calcula como: #𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 − #𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 𝑑𝑖𝑚 𝑉 Matriz de transición:

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Combinación lineal: -

⃗⃗⃗1 , 𝑉 ⃗⃗⃗2 , 𝑉 ⃗⃗⃗3 , 𝑉 ⃗⃗⃗𝑛 , } es generador del El conjunto 𝑉 = {𝑉 espacio vectorial V si para toda combinación lineal 𝛼1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , 𝛼2⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 , 𝛼3 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣3 … 𝛼𝑛 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑛 = 𝑥 Existen escalares suficientes 𝛼𝑖 que satisfacen ∀𝑥 ∈𝑉

Sean A y B dos bases del espacio vectorial V. La matriz de transición de la base A a la base B se define como: 𝑀𝐵𝐴 [𝑋]𝐴 = [𝑋]𝐵 [𝑋]𝐴 = (𝑀𝐵𝐴 )−1 [𝑋]𝐵 [𝑋]𝐴 = 𝑀𝐴𝐵 [𝑋]𝐵 Espacios renglón y columna:

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