Copia De Exercicis De Selectivitat Geometria1

GEOMETRIA AL’ESPAI. EXERCICIS DE SELECTIVITAT(continuació) 10.

Considereu la recta: y−5 z −7 x −1 = = −3 −4 Calculeu la distància de la recta al punt A=(1,0,1). 26 Sol: unitats de distància. 5 11. Donats els punts A i B i el pla π : A=(4,0,0), B=(0,2,2) i π : x-3y+5z=2 a) Comprova que la recta r que passa pels punts A i B és paral.lela al pla π . b) Calcula la distància entre la recta r i el pla π . 2 35 Sol: a) AB.(1,−3,5) = 0 i A i B no són del pla.. b) . 35 12. Considereu els punts següents: A=(0,-2a-1,4a-2), B=(1,-3,4) i C=(3,-5,3) a) Comproveu que el triangle de vèrtexs A, B i C és rectangle en B per a tot valor de a. b) Calculeu els valors de a que fan que el triangle sigui isòsceles. Sol: a) BA.BC = 0 . b) a=2 i a=4/5. 13. Els punts : A=(k-3,2,4), B=(0,k+2,2) i C=(-2,6,k+1) són tres dels vèrtexs d’un rombe ABCD. a) Calculeu el valor de k. b) Demostreu que el rombe és un quadrat per el valor obtingut enl’apartat anterior. Sol: a) k=2. b) AB.BC = 0 . 14. Donats el següent pla π i la següent recta r: x − 3 y −1 z + 2 π :3x+4y+7=0 = = i r: 4 −3 3 Calcula la distància entre la recta r i el pla π . Sol: 4 unitats de distància.

15. Donats el següent pla π i la següent recta r: x − 3 y −1 z + 2 π :2x-3y+3z+5=0 i = = r: 2 −3 3 π Calcula la distància entre la recta r i el pla . Sol: 0 unitats de distància.

16. Donats els punts A i B i la recta r: x = 1  A=(1,0,0), B=(0,0,1) i r :  y = 1 + λ z = 1 + λ  a) Trobeu un punt C sobre la recta r que faci que el triangle ABC sigui rectangle en C. b) Trobeu l’àrea del triangle ABC.  1 1 Sol: a) C= 1, ,  .  2 2

b)

3 2 u . 4

17. Donats el següent pla π :x+2y+3z-1=0 x = 2z − 3 la següent recta r :  y = z + 4 i el punt: P=(2,1,1) a) Calculeu les equacions de la recta que passa per P i és perpendicular a π . b) Calculeu les equacions del pla que passa per P i és perpendicular a r. c) Calculeu les equacions de la recta que passa per P i talla perpendicularment a r. 2 x − y − 3 = 0  7 13 1  Sol: a) r :  b) 2x+y+z-6=0 c) ( x, y, z ) = ( 2,1,1) + k  − , ,  .  3 3 3 3x − z − 5 = 0 18. Considereu: 2 x − 5 y − z − 3 = 0 la recta: r :   y − 3y − z − 2 = 0 a) Per a quins valors de a la recta i el pla són paral.lels? Quina serà aleshores la distància entre el punt P=(1,0,-1) de la recta i el pla π ? b) Hi ha algun valor de a per el qual la recta i el pla són perpendiculars? c) Determina a perquè la recta i el pla formin un angle de 30º. 14 − 12 ± 156 Sol: a) a=3 i d= b) No hi ha cap valor. c) . ud 14 2 el pla: π : 2x-y+az+2=0

i

19. Donats els punts de l’espai: A=(0,0,0), B=(0,0,2), C=(0,2,0) i D=(2,0,0) a) Representa els punts gràficament. b) Calculeu el volum del tetraedre (piràmide de base triangular) ABCD. c) Trobeu l’equació del pla que passa per B, C i D. d) Calculeu la distància de l’origen al pla de l’apartat anterior. 4 3 2 3 Sol: b) u c) x+y+z-2=0 d) u. d . 3 3 20. Considereu la recta r d’equació: x=-3+2t y=5-2t z=3+t i el punt M=(2,3,7). a) Trobeu en funció de t la distància de M a un punt qualsevol de la recta. b) Trobeu les coordenades dels punts A i B de la recta situats a distància 3 2 del punt M. c) El triangle de vèrtex AMB és rectangle en M? d) Els punts A i B formen part d’un paral·lelogram de vèrtex ABCD el qual té el centre en el punt M. Calculeu les coordenades de C i D. Sol: a) d ( P∈r , M ) = 3 t 2 − 4t + 5 b) A=(3,-1,6) i B=(-1,3,4) c) MA.MB = 0 , per tant el triangle és rectangle en M. d) C=(1,7,8) i D=(5,3,10). 21. Una piràmide de base quadrada té el vèrtex en el pla d’equació z=3. Tres dels vèrtex de la base són els punts del pla OYX: A=(1,0,0), B=(1,1,0), C=(0,1,0). Es demana: a) Feu un gràfic dels elements del problema. Quines són les coordenades del quart vèrtex de la base, D? b) Quin és el volum de la piràmide? àrea base. altura volum = 3 c) Si el vèrtex de la piràmide és el punt V=(a,b,3), quina és l’equació de la recta que conté l’altura sobre la base? Sol: a) D=(0,0,0)

b) 1 u 3

c)

x−a y −b z −3 = = 0 0 1