Coordinates

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬1

I

3. ‫الفصل الثالث‬: :‫منشأ‬ ُ ‫إحداثيا‬ ُ ‫ت‬ ‫إسقاط ناظمي وإسقاط‬ :‫مواز‬ Structural Coordinates: Perpendicular and Parallel Projections: ‫الجمل الحداثية النشائية غير الكونية محكمة النواظم جمل غير ثابتة‬ .‫فهي تتغير مع الزمن‬ .‫الجملة الحداثية لمنشأ شعاعية لها أساسات ومركبات‬ ‫ والساس يخالف المركبة في‬،‫عدد المركبات بنفس عدد الساسات‬ .‫ الساس متحرك يميز بخط تحته‬،‫النوع‬ Time Dependent General Coordinates Represented By Letters: a, b. Time Dependent Orthogonal Coordinates Represented By Letters: r, s. Time Dependent Orthonormal Coordinates Represented By Letters: x, y. Single Fixed Time Independent Global Coordinates Represented By Letter: o. a = a i ai = a i a i = r i r i = r i r i = x i x i = x i x i = o i o i = o i o i

1‫ خوارزميات الميكانيك النشائي‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬2

3.1. :‫المبحث الول‬ :‫أسس إحداثيات المنشأ‬ Structure Coordinate Bases: :‫في المستوي‬ In Plane: In Plane SYSTEM : ‫الجملة الحداثية النشائية‬ ▼ PERPENDICULAR: ‫السقاط‬ PARALLEL: ‫السقاط الموازي‬ ‫العمودي‬ ▼ Vector Components Bases Bases Vector Components ▼

▲

2‫ خوارزميات الميكانيك النشائي‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬3

Vector Components

Bases

Bases

Vector Components

▲ PERPENDICULAR: ‫السقاط‬ ‫العمودي‬

PARALLEL: ‫السقاط الموازي‬

▲ In Plane CONJUGATE SYSTEM : ‫الجملة الحداثية النشائية‬ ‫المرافقة‬ Since a J is perpendicular to a I then a perpendicular line to a J is a I parallel Since a J is perpendicular to a I then a perpendicular line to a J is a I parallel In Plane a J ┴ a I In Plane a J ┴ a I

In Plane a J ┴ A In Plane a J ┴ A

a I // A a I // A

PARALLEL AND PERPENDICULAR PROJECTION: : ‫السقاط الموازي والسقاط العمودي‬

▼ ⊥

⊥

Consider PARALLEL Projecton:: ‫ُيعتمد السقاط الموازي‬ PARALLEL SYSTEM: ‫السقاط الموازي للجملة الحداثية النشائية‬ ▼ Bases Vector Components ▼

3‫ خوارزميات الميكانيك النشائي‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS

‫‪ 4‬الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬

‫▲‬ ‫‪Bases‬‬

‫‪Vector Components‬‬ ‫▲‬ ‫السقاط الموازي للجملة الحداثية ‪PARALLEL CONJUGATE SYSTEM:‬‬ ‫النشائية المرافقة‬

‫في الفراغ‪:‬‬ ‫‪Three Dimensional:‬‬ ‫‪a = a i ai = a i a i = r i r i = r i r i = x i x i = x i x i = o i o i = o i o i‬‬ ‫‪:‬‬ ‫السقاط الموازي للجملة الحداثية النشائية ‪PARALLEL SYSTEM:‬‬ ‫▼‬

‫▲‬ ‫السقاط الموازي للجملة الحداثية ‪PARALLEL CONJUGATE SYSTEM:‬‬ ‫النشائية المرافقة‬ ‫مرافق مخالف أساسين عمودي عليهما‪:‬‬

‫‪ Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS‬خوارزميات الميكانيك النشائي‪4‬‬

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬5

α

α

α

α

α

α

α

α

α α

α α

α α

α α

α α

α α

5‫ خوارزميات الميكانيك النشائي‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS

‫‪ 6‬الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬

‫‪α α‬‬

‫‪α α‬‬

‫مماس دائرة يساوي الواحد وسط تناسب هندسي للقاطعين‪.‬‬

‫‪α‬‬

‫‪α‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬

‫‪α‬‬

‫‪α‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬

‫‪α‬‬

‫‪α‬‬

‫‪α‬‬

‫‪α‬‬

‫‪ Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS‬خوارزميات الميكانيك النشائي‪6‬‬

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬7

α

α

α

α α

α

β α β

β α

α

β β

β

α

α

α β

α

β

α

β

α

β α

3.1.ab .Progressive Time General Coordinate System .‫جمل إحداثية عامة والزمن تقدمي‬ . ‫تنطبق نواظم جمل عامة على جمل إحداثية متعامدة‬ General System rules apply to Orthogonal System. :General Basis, I, J ,K are ordered :‫أساس عام والدلئل مرتبة‬ aK ┴ aI aK ┴ aJ

7‫ خوارزميات الميكانيك النشائي‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬8

aK ┴ aI

aK ┴ aJ

a K is perpendicular to a I and to a J : I, J ,K are ordered. a K is perpendicular to a I and to a J : I, J ,K are ordered. ‫س إما منخفض‬ ُ ‫ة العام‬ ُ ‫عرفت الجمل‬ َ ‫ة الكو‬ ُ ‫ والسا‬،‫ن على أساسات‬ :‫أومرتفع‬ Define Bases of General System (n) Conjugates: conjugate ‫مرتفع‬ system ‫منخفض‬ Unit Vector : A : ‫شعاع الواحدة‬ aK≡Α K α K aK≡ Α K α K Contravariant Covariant :‫ والساس مرتفع يرافقه منخفض‬،‫طويلة كل أساس عدد حقيقي موجب‬ :‫ولتقع السس في نفس المستوي‬ ‫أشعة أساس منخفض‬ ‫أشعة أساس مرتفع‬ Norms 0 < α n≡ || a n|| 0 < α m ≡ || am|| Non-coplanar a1,a2,a3 Non-coplanar a1,a2,a3 ai ≠ai ‫ن‬ َ ‫ُتعطى نقطتا‬ Define Two Points, p and q in terms of Global Coordinates o Such That: aoIJ ≡ aI. o J = qIJ- pIJ = oa JI = aoIJ ≡ aI. o J = q IJ - p IJ = oaJ I IJ I J IJ IJ JI ao ≡ a . o = q - p = oa = aoIJ ≡ aI. o J = qIJ- pIJ = oaJI a I = aoIJ o J = o J oaJI a I = aoIJ o J = o J oa J I Basis ‫أساس‬ First Point Second Point

a I = aoI J o J = o J oaJ I a I = aoIJ o J = o J oaJI

a1 (p11,p12,p13) (q11,q12,q13)

a2 a3 (p21,p22,p23) (p31,p32,p33) (q21,q22,q23) (q31,q32,q33) Such That: a1 a2 a3 1 1 1 1 1 1 1 ao1 = q1 - p1 ao2 = q2 - p2 ao3 = q31- p31 2 2 2 2 2 2 ao1 = q1 - p1 ao2 = q2 - p2 ao32 = q32- p32 ao13 = q13- p13 ao23 = q23- p23 ao33 = q33- p33 :Then Norms ‫طويلات‬ 1 2 2 2 α k≡||a k ||=√[(aok ) +(aok ) +(aok3)2] = α k≡||a k ||=√[(aok1)2+(aok 2)2+(aok3)2] α k≡||aK||=√[(aok1)2+(aok2)2+(aok3)2] = α k≡||aK||=√[(aok1)2+(aok2)2+(aok3)2] Α : Unit Vector: aK≡Α K α K ||Α K|| =1= ||Α K|| aK≡ Α K α K No Sum n n = Α Ο k = aok / α k Α Ο k n = aok n / α k kn kn k = ΑΟ = ao / α Α Ο k n = aok n / α k No Sum:‫بدون جمع‬ α k α k =1 aoIJ ≡ aI. o J = qIJ- pIJ = oa JI aoIJ ≡ aI. o J = qIJ- pIJ = oa J I

= =

aoIJ ≡ aI. o J = q IJ - p IJ = oaJ I aoIJ ≡ aI. o J = qIJ- pIJ = oaJI

3.1.rs

8‫ خوارزميات الميكانيك النشائي‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬9

.‫جمل إحداثية متعامدة والزمن تقدمي‬ Progressive Time Orthogonal Coordinate System. .‫تنطبق نواظم جمل متعامدة على جمل إحداثية متواحدة‬ .Orthogonal System rules apply to: Orthonormal system :Orthogonal Basis :‫أساس متعامد‬ r K and r K are Parallel rM ≡Ρ K ρ K Contravariant 0 < ρ n≡ ||r n|| Orthogonal r1,r2,r3

Ρ is a Symbol

rM≡ Ρ Covariant

I

ρ

I

0 < ρ m ≡ ||rm|| Orthogonal r1,r2,r3

Norms ri ≠ri

Define Two Points, p and q in terms of Global Coordinates o Such That: roIJ ≡ rI. o J = qIJ- pIJ = or JI = roIJ ≡ rI. o J = q IJ - p IJ = orJ I roIJ ≡ rI. o J = qIJ- pIJ = or J I = roIJ ≡ rI. o J = qIJ- pIJ = orJI r I = roIJ o J = o J orJI r I = roIJ o J = o J or J I Basis First Point Second Point

r I = roI J o J = o J orJ I r I = roIJ o J = o J orJI

r1 (p1 ,p12,p13) (q11,q12,q13)

r2 r3 2 3 1 (p2 ,p2 ,p2 ) (p3 ,p32,p33) 1 2 3 (q2 ,q2 ,q2 ) (q31,q32,q33) Such That: r1 r2 r3 ro11 = q11- p11 ro21 = q21- p21 ro31 = q31- p31 ro12 = q12- p12 ro22 = q22- p22 ro32 = q32- p32 ro13 = q13- p13 ro23 = q23- p23 ro33 = q33- p33 Then Norms: 1 2 2 2 3 2 ρ k≡||r k ||=√[(rok ) +(rok ) +(rok ) ] = ρ k≡||r k ||=√[(rok1)2+(rok 2)2+(rok3)2] = ρ k≡||rK||=√[(rok1)2+(rok2)2+(rok3)2] ρ k≡||rK||=√[(rok1)2+(rok2)2+(rok3)2] Ρ : Unit Vector: rK≡Ρ K ρ K ||Ρ K|| =1= ||Ρ K|| rK≡ Ρ K ρ K No Sum kn kn k kn = ΡΟ = ro / ρ = ro ρ k Ρ Ο k n = rok n / ρ k = rok n ρ k = Ρ Ο k n = rok n / ρ k = rok n ρ k Ρ Ο k n = rok n / ρ k = rok n ρ k No Sum ρ k ρ k =1 1

1

3.1.xy .‫جمل إحداثية واحدية والزمن تقدمي‬ Progressive Time Orthonormal Coordinate system, .‫تنطبق نواظم الجمل المتواحدة على الجملة الكونية‬ Timed Orthonormal System rules apply to The Global system. :Orthonormal Basis :‫أساس متواحد‬ || xK | | = 1 = || x K||

9‫ خوارزميات الميكانيك النشائي‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬10

xM x K = Ξ K ξ K == Ξ K 1 Contravariant

Ξ is a Symbol

xM x = Ξ I ξ Covariant I

I

= Ξ

I

1

Norms 0 < 1 = ξ n ≡ ||x n|| 0 < 1 = ξ m ≡ ||xm|| i Orthonornal x1,x2,x3 xi = x Orthonormal x1,x2,x3 Define Two Points, p and q in terms of Global Coordinates o Such That: xoIJ ≡ xI. o J = qIJ- pIJ = ox JI = xoIJ ≡ xI. o J = q IJ - p IJ = oxJ I xoIJ ≡ xI. o J = qIJ- pIJ = ox J I = xoIJ ≡ xI. o J = qIJ- pIJ = oxJI x I = xoIJ o J = o J oxJI x I = xoIJ o J = o J ox J I Basis First Point Second Point

x I = xoI J o J = o J oxJ I x I = xoIJ o J = o J oxJI

x1 (p1 ,p12,p13) (q11,q12,q13)

x2 (p2 ,p22,p23) (q21,q22,q23)

1

Such That: x2 1 xo2 = q21- p21 xo22 = q22- p22 xo23 = q23- p23

x1 xo1 = q11- p11 xo12 = q12- p12 xo13 = q13- p13 1

x3 (p3 ,p32,p33) (q31,q32,q33)

1

1

x3 xo3 = q31- p31 xo32 = q32- p32 xo33 = q33- p33 1

Then Norms: ξ k≡||x k ||=√[(xok ) +(xok ) +(xok ) ] = ξ k≡||x k ||=√[(xok1)2+(xok 2)2+(xok3)2] ξ k≡||xK||=√[(xok1)2+(xok2)2+(xok3)2] = ξ k≡||xK||=√[(xok1)2+(xok2)2+(xok3)2] Ξ : Unit Vector: K K K K x ≡ Ξ ξ ξ = ||Ξ K||=1=||Ξ K|| = ξ K xK≡Ξ K ξ K No Sum = Ξ Ο k n = xok n / ξ k= xok n Ξ Ο k n = xok n / ξ k = xok n = Ξ Ο k n = xok n / ξ k = xok n Ξ Ο k n = xok n / ξ k = xok n No Sum ξ k ξ k =1 1 2

2 2

xoIJ ≡ xI. o J = qIJ- pIJ = ox JI xoIJ ≡ xI. o J = qIJ- pIJ = ox J I

3 2

= =

xoIJ ≡ xI. o J = q IJ - p IJ = oxJ I xoIJ ≡ xI. o J = qIJ- pIJ = oxJI

3.1.1. :‫المادة الولى‬ :‫ قياسي‬:‫جداء داخلي لساسين‬ ‫ خوارزميات الميكانيك‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS 10‫النشائي‬

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬11

Bases Inner Product: Metric: Bases: a I = aoIm o m

= o m oamI

a J = aoJ n o n

= o n oa n J

‫الضرب الشعاعي الداخلي بالشعاع الحداثي الكوني‬: om.an=Cm n α n

n

an.om=α n Dnm

n

Cm =C(om, a ) oamn=Cm n α

Dn

n

m

am.on=α

m

Where Cnm =C(on,am) = C (an,o )

aonm=α n Dnm

oanm=Cnm α Dnm

Dnm

=

=

aonm=α n Dnm

aonm=α n Dnm

=

n

aomn=α

m

=

m

Dmn

Dmn = C(am,on)

m

Cmn

oamn=Cm n α

on.am=Cnm α

m

Dmn

Cmn

oamn=Cmn α

Inner Products: aaI J ≡ a I . a J = o m oamI . o n oanJ = δ m n oamI oa mJ aa J I ≡ a J . a I = o n oa n J . o m oamI = δ nm oa n J oamI = δ J I

aa IJ ≡ a I . a J = o m oamI . o n oa n J = δ mn oamI oa n J = δ IJ aaI J ≡ aI . a J = om oa mI . on oa nJ = δ m n oa mI oa mJ So: m m aa i j ≡ a i . a j= oa i oa j aa i j ≡ a i . a j= oa mi oa mj rr i j ≡ r i . r j= or mi or mj rr i j ≡ r i . r j= or mi or mj xx i j ≡ x i . x j= ox mi ox mj xx i j ≡ x i . x j= ox mi ox mj m m oo i j ≡ o i . o j= oo i oo j oo i j ≡ o i . o j= oo mi oo mj Algorithm: aa (-i,-j ) ≡ oa(+n, -i )oa(+n, -j ) aa(+i,+j ) ≡ oa(-m, +i )oa(-m,+j) rr (-i,-j ) ≡ or(+n, -i )or(+n, -j ) rr(+i,+j ) ≡ or(-m, +i )or(-m,+j) xx (-i,-j ) ≡ ox(+n, -i )ox(+n, -j ) xx(+i,+j ) ≡ ox(-m, +i )ox(-m,+j) oo (-i,-j ) ≡ oo(+n, -i )oo(+n, -j ) oo(+i,+j ) ≡ oo(-m, +i )oo(-m,+j) aa I K = Α

I

.Α

K

α

I

α

K

aa IK = Α

I

.Α

K

α

I

α

K

rr I K = Ρ

I

.Ρ

K

ρ

I

ρ

K

rr IK = Ρ

I

.Ρ

K

ρ

I

ρ

K

xx I K = Ξ

I

.Ξ

K

xx IK = Ξ

I

.Ξ

K

‫ خوارزميات الميكانيك‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS 11‫النشائي‬

n

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬12

oo I K = Ο

.Ο

I

oo IK = Ο

K

I

.Ο

K

Bases Inner Products are Metrics of Coordinate Bases: General: 0 ≤ | aaI K | = α I α K | Α Α ≤ α Iα K I I aa K = a . a K = α I α K = Α Α δ IK

aaIK = aI . aK : aaIK = aI. a K = α I K| I

aa I I = ( α I ) 2

= ΑΑ

K I

0 ≤ | aa IK| = α α K | Α Α α Iα K If: I = K aa I K = 1

IK

K

=

aa I K = 1

α

I K I I

K

=δ |

≤

aa I I = ( α I ) 2 If: I ≠ K

0 ≤ | aa I K|

≤ α Iα

aa I K = 0

K

aa I K = 0

0 ≤ | aa IK|

≤ α Iα

K

Since: aa I J = oa mI oa mJ IJ

aaI J aa

= oa

m I

aaI J = oa pI oa pJ oa

Then: oa pI oa pJ = oa pI oa mI oa mJ oa pJ

m J

But: oa

I p

oa

m I

= δ

oa mJ oa pJ = δ

m p

IJ

aaI J aa

So: = δ pm δ

m p

m p

= 3

Orthogonal Changes from General: rr IK = rI . rK : No Change from General Ρ Ρ IK = ρ I

rrIK = ρ I ρ K ρ K δ IK No Change from General

rr IK = ρ If: I = K

ρ KΡΡ ρ K δ

I

IK

= ρ

IK

No Change from General

No Change from General

No Change from General

No Change from General If: I ≠ K

rrIK = 0

No Change from General

No Change from General

rr IK = 0

xxIK

Orthonormal Changes from General: xxIK = xI . xK: No Change from General = δ IK

‫ خوارزميات الميكانيك‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS 12‫النشائي‬

I

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬13

No Change from General

xx IK

δ

=

IK

If: I = K xx I I = 1

No Change from General

No Change from General

xx I I = 1 If: I ≠ K

xxIK = 0

No Change from General

No Change from General

xxIK

xx IK

=0

Orthonormal Changes from Orthogonal: xxIK = xI . xK : No Change from Orthogonal = δ IK

No Change from Orthogonal

xx IK

δ

=

IK

If: I = K xx I I = 1

No Change from Orthogonal

No Change from Orthogonal

xx I I = 1 If: I ≠ K

No Change from Orthogonal

No Change from Orthogonal

No Change from Orthogonal

No Change from Orthogonal

xx I I aa I I = ( α I ) 2 aa I K = 1

So: If: I = K = 1 aa I K = 1 xx I I=1 aa I I = (α I) 2 If: I ≠ K

aaIK=Α I .Α Kα I α K 0 ≤ | aaI K| ≤ α I α J aa I K = 0

General a aa I I = ( α I ) 2 aa I I = ( α I ) 2 aaIK=Α I .Α Kα I α K 0 ≤ | aaI K | < α I α K

aa I K = 0

rr I K = 0

0 ≤ | aaIK| ≤ α α K

I

rrIK = 0

Orthogonal r Orthonormal x If: I = K rr I I = ( ρ I ) 2 xx II = 1 II I 2 rr = ( ρ ) xxII = 1 If: I ≠ K rr I K = ρ I xx I K = Ξ Ξ 0 ρ K0= 0

IK

=

Global o oo I I = 1 ooII = 1 oo I K = ο ο 0

IK

‫ خوارزميات الميكانيك‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS 13‫النشائي‬

=

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬14

aaIK=Α I.Α α Iα K 0≤| aaIK| < α K

rrIK = ρ Iρ 0

K

I

K

0=

xxIK = Ξ Ξ 0

IK

=

ooIK = ο ο 0

IK

=

α

3.1.2. :‫المادة الثانية‬ ‫الجداء المختلط لساسات والجداء‬ :‫الخارجي لساسين‬ BASES MIXED AND OUTER PRODUCTS: Outer Product a i ^ aj β = o oa α i ^ o oa β j α β k = oa α i oa β j e ok

a i ^ aj α β =o α oa i ^ o β oa j α β = oa i oa j e α β k ok

α

ba(-i )^ba(-j ) ba(+i ) ^ ba(+j )= =bo(-α )oa(+α ,-i )^bo(-β )oa(+β ,-j) =bo(+α )oa(-α ,+i)^bo(+β )oa(-β ,+j) =oa(+α , -i )oa(+β ,-j ) e(-α , -β ,=oa(-α , +i )oa(-β ,+j ) e(+α , +β , k)bo(+k ) +k)bo(-k ) And: a i^ aj . o m β = oa i oa j e α β k ok. o m α β = oa i oa j e α β m

a i ^ a j . om α β k = oa α i oa β j e o k. om α β m i j = oa α oa β e

ba(-i )^ba(-j ).bo(-m)= =oa(+α , -i )oa(+β ,-j )e(-α , -β ,-m)

ba(+i )^ba(+j ).bo(+m)= =oa(-α , +i )oa(-β ,+j )e(+α , +β ,+m) So: α β m a i ^ a j . om = oa α i oa β j e α β m r i ^ r j . om = or α i or β j e α β m x i ^ x j . om = ox α i ox β j e α β m o i ^ o j . om = oo α i oo β j e

α

α

a i ^ a j . o m = oa α r i ^ r j . o m = or α x i ^ x j . o m = ox α o i ^ o j . o m = oo

β

oa j β or i j β i ox j β i oo j i

eα eα eα eα

β

m

β

m

β

m

β

m

‫الضرب الشعاعي الداخلي بالشعاع الحداثي المرافق‬: Conjugates Inners ‫ خوارزميات الميكانيك‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS 14‫النشائي‬

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬15

am.am= ap^a q.am / |a| = |a|/ |a| = 1 a m .am= ap^aq.am/ |a| = |a| / |a| = 1 ‫ومن أجل‬: m≠p≠q≠m I K IK I K a . a ≡ aa ≤ α α a m . a m= ap^aq. a m/ || = || / || ≡ 1 a I . a K ≡ aa I K ≤ α I α K am. a m= a p^a q. a m / |.| = |.|/ |.| ≡ 1 ‫و‬: 0<||≡(a1^a2.a3 )≤ α 1 α 2 α 3 ||≡ || a m . am = || Α Α mm α m α m a I . a K = aa I K =Α Α I K α I α K 1 = a m . am = Α Α mm α m α m 0 < |.| ≡ (a1^a2.a3) ≤ α 1 α 2 α 3 |.| = |.| am. a m = |.| Α Α mm α m α m a I . a K = aa I K = Α Α I K α I α K m m m 1 = am. a = Α Α m α m α Notice: m 1

a1^a2 . a1 = a1^a2 . ( om oa ) = α β oa 1 oa 2 e α β m oa m1 = 0

a1^a2 . a1 = a1^a2 . ( o m oa m1 ) = α β m oa α 1 oa β 2 e oa1 m = 0

a1^a2 . a2 = a1^a2 . ( om oa m2 ) = α β oa 1 oa 2 e α β m oa m2 = 0

a1^a2 . a2 = a1^a2 . ( o m oa m2 ) = α β m oa α 1 oa β 2 e oa2 m = 0

In General: a I^aJ . a I = 0 = aI^aJ . a J

aI^aJ . a I = 0 = aI^aJ . a J

Define: Ordered Mixed Product: (Determinant): (Bases Volume): ‫ضرب شعاعي مختلط )حجم( لشعة أساس من جملة يساوي معينها وهو‬ :‫يساوي جداء الطويلت أو أصغر‬

0 <|a| ≡ a1^a2.a3 ≤ α

123

≡ α 1α 2α

0 < | a | ≡ a1^a2.a3 ≤ α

3

123

≡ α 1α 2α

Or: ba(-i )^ba(-j ).ba(-m) = oa(+α ,-i)oa(+β ,-j)oa(+γ ,-m) e(−α,− β ,-γ ) = | oa(+n,-m)| ≡ oa[+n,-m]

ba(+i )^ba(+j ).ba(+m) = oa(-α ,+i )oa(-β ,+j)oa(-γ ,+m) e(+α , + β ,+γ ) = | oa(-m,+n) ≡ oa[-m ,+n]

Covariant Bases: ‫ خوارزميات الميكانيك‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS 15‫النشائي‬

3

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬16

0 < |a| ≡ (a1^a2.a3) = | oa(+n,-m)| ≡ oa[+n,-m] ≤ α 1α 2α 3 ≡ α 0 < |r| ≡ (r1^r2.r3) = | or(+n,-m)| ≡ or[+n,-m] = ρ 1ρ 2ρ 3 ≡ ρ 0 < |x| ≡ (x1^x2.x3) = | ox(+n,-m)| ≡ ox[+n,-m] = 1 0 < |o| ≡ (o1^o2.o3) = | oo(+n,-m)| ≡ oo[+n,-m] = 1

aM rM xM oM

123 123

Contravariant Bases: a 0 < | | ≡ (a ^a .a ) = | oa(-m,+n) | ≡ oa[-m ,+n] ≤ α 1 α 2 α 3 ≡ α 123 rM 0 < |r| ≡ (r1^r2.r3) = | or(-m,+n) | ≡ or[-m ,+n] = ρ 1 ρ 2 ρ 3 ≡ ρ 123 xM 0 < |x| ≡ (x1^x2.x3) = | ox(-m,+n) | ≡ ox[-m ,+n] = 1 oM 0 < |o| ≡ (o1^o2.o3) = | oo(-m,+n) | ≡ oo[-m ,+n] = 1 In General: 0 <|a| ≡ a1^a2.a3 ≤ α 123 ≡ α 1α 2α 3 0 < | a | ≡ a1^a2.a3 ≤ α 123 ≡ α 1α 2α 3 M

a

1

2

3

‫الضرب الشعاعي الخارجي‬ Outers n p q n . am ^ a n = ( ap^aq)^ a n / || am^ a = (a ^a )^ a / | | a m ^ a n= (ap^aq)^ a n/ || am^ a n = ( a p^a q)^a n / |.| ‫الضرب الشعاعي الخارجي بالشعاع الحداثي الكوني‬: |om^a |=Sm n α n |an^om|=α n Tnm |on^am|=Snm α m |am^on|=α n

n

n

Sm =S(om, a ) o^amn =Sm n α

T n

m n

Where Snm =S(on,am) = S (an,o ) m

a^onm=α n Tnm

o^anm=Snm α

m

m

Tmn

Tmn = S(am,on) a^omn=α

m

‫ خوارزميات الميكانيك‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS 16‫النشائي‬

Tmn

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬17

- Sm n

Sm n α

n

=

Tnm

Tnm

=

=

α n Tnm

α n Tnm

=

- Smn

Smn α

n

‫والطويلت‬: α M=|a M |=√{(oa1 M)2+(oa2 M)2+(oa3 M)2} α N=|aN|=√{(aoN 1 )2+(aoN2 )2+(aoN 3)2}

α N=|aN|=√{(oa1N)2+(oa2 N)2+(oa3 N)2} α

=|aM|=√{(aoM1)2+(aoM2)2+(aoM3)2}

M

:‫أي الطويلت‬ :‫بل جمع على الدلئل‬ M M M 2 M α =√{[C1 α ] +[C2 α M]2+ α N=√{[C1Nα N]2+[C2Nα N]2+[C3Nα N]2} M M 2 [C3 α ] } α N=√{[α NDN1]2+[α NDN2]2+[α NDN3]2}

α

M

=√{[α MDM1]2+[α [α MDM1]2}

M

DM2]2+

:‫مرافق مخالف أساسين عمودي عليهما‬ ‫الجداء الخارجي لساسين من نفس الجملة يساوي جداء معينها بمرافق‬ :‫مخالفهما‬ ‫الجداء الخارجي لساسين من نفس الجملة أصغر أو يساوي جداء‬ :‫الطويلت بمرافق مخالفهما‬ r≠p≠q≠r Ordered with no sum a p^ a q = | a | ar ≤ α 123 ar = α p q Α ap^aq = | a | a r ≤ α 123 a r = α p q r Α r

α

α

‫ خوارزميات الميكانيك‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS 17‫النشائي‬

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬18

oi aip^oj ajq. ok akr =oi^oj.ok aip ajq akr

oi aip^oj ajq. ok akr = oi^oj.ok aip ajq akr

|a|=ap^aq.ar=(1/6)eijkepqraipajqakr

|a|=ap^aq.ar=(1/6)eijkepqraipajqakr So:

|a| ≤ α 1/α

|a| ≤ α

123

And:

1/ α

≤ 1/ |a|

123

123

123

≤ 1/ |a|

:‫مرافق مخالف الساسين‬ r≠p≠q≠r Ordered with no sum o p ^ o q = e pqr o r o p ^ o q = e pqr o r ap^aq =o i aip ^ o j ajp = e ijr aip ajp o r ap^aq / α aK≡Α

K

α

123

≤ ap^aq / |a| = a r

K

aa I K ≡ aI . aK = Α

I

.Α

K

ap^aq=oi aip^oj ajq = e i j r ai p aj q o r a p^ a q / α

123

≤ a p^a q/ |a| = ar

But: Α : Unit Vector: ||Α K|| =1= ||Α K|| And: α Iα K

aK≡ Α

aa IK ≡ aI . aK = Α

I

.Α

K

α

K

α

I

K

α

K

-1 ≤ Α Α

IK

≡Α

I

.Α

K

Direction cosines: : :‫تجيب الزاوية‬ ≤ 1 -1 ≤ Α Α

IK

≡ Α

I

.Α

K

≤ 1

So: :‫جداء داخلي لساسين يساوي جداء الطويلتين بتجيب الزاوية‬ - α I α K ≤ aa I K = Α Α I K α I α K ≤ aa I K ≡ a I . a K = δ I K α Iα K K aa I ≡ a I . a K = δ IK - α I α K ≤ aa IK = Α Α I K α I α α Iα K :‫ضرب داخلي لساسين من نفس الجملة‬ aa I K = Α Α I K α I α K ≤ α I α K aa IK = Α Α

IK

α

I

α

K

≤ α Iα

:‫والضرب الشعاعي الداخلي بالشعاع الحداثي المرافق‬ aa I K = δ I K aa I K = δ

K

K I

That is: p≠q=r Ordered with no sum aarq = ap^aq. a q/ |a| = 0 / |a| = 0 aarq = a p^a q. a q / |a| = 0/ |a| = 0 And: r≠p≠q≠r Ordered with no sum aarr = ap^aq. a r/ |a| = |a| / |a| ≡ 1 ‫ خوارزميات الميكانيك‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS 18‫النشائي‬

≤

K

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬19

aarr = a p^a q. a r / |a| = |a|/ |a| ≡ 1

aa 1 1

‫أي جداء طويلتيهما يساوي واحد‬. General Metric: aa 1 2 aa 1 3 aa 11 aa 12

aa 2 1

aa 2 2

aa 2 3

aa 21

aa 22

aa 23

aa 3 1

aa 3 2

aa 3 3

aa 31

aa 32

aa 33

aa 13

General Metric Determinants: |aa|= eIJK aaI L aaJ M aaK N = |aa|= eIJK aa I L aa J M aa K N = eIJK oauIoauL oavJoavM oawKoawN eIJK oauIoauL oavJoavM oawKoawN Or: IJK LMN |aa|= (1/6) e e aaI L aaJ M aaK N = |aa|= (1/6) eIJK eLMN aa I L aa J M aa K N = IJK LMN u u v v w w (1/6)e e oa Ioa Loa Joa Moa Koa N (1/6)eIJKeLMNoauIoauLoavJoavMoawKoawN

But: aa I K ≡ aI . aK = Α

I

.Α

K

α

I

α

K

aa IK ≡ aI . aK = Α

I

.Α

α

K

I

α

K

So: :General Metric :‫القياسي العام‬ α 1α 1 Α 1.Α 2 α Α 1.Α 3 α α 1α 1 Α 1.Α 2α 1 Α 1.Α 3α 1 α 2 α 3 1α 2 1α 3 Α 2.Α 1 α 2α 2 Α 2.Α 3 α Α 2.Α 1α 2 α 2α 2 Α 2.Α 3α 2 1 α 2α 1 α α 3 2α 3 Α 3.Α 1 α Α 3.Α 2 α α 3α 3 Α 3.Α 1α 3 Α 3.Α 2α 3 α 3α 3 α 1 α 2 3α 1 3α 2 :General Metric Determinant :‫معين القياسي العام‬ |aa|= α 1α 1 α 2α 2 α 3α 3 + |aa|= α 1α 1 α 2α 2 α 3α 3 + Α 1.Α 2 α 1α 2 Α 2.Α 3 α 2α 3 Α 1.Α 2α 1α 2 Α 2.Α 3α 2α 3 Α 3.Α 1 α 3α 1 + Α 3.Α 1α 3α 1 + 1 Α 1.Α 3 α 1α 3 Α 2.Α 1 α 2α 1 Α .Α 3α 1α 3 Α 2.Α 1α 2α 1 Α 3.Α 2 α 3α 2 + Α 3.Α 2α 3α 2 + -Α 1.Α 2 α 1α 2 Α 2.Α 1 α 2α 1 α 3α 3 -Α 1.Α 2α 1α 2 Α 2.Α 1α 2α 1 α 3α 3 -Α 1.Α 3 α 1α 3 α 2α 2 Α 3.Α 1 α 3α 1 -Α 1.Α 3α 1α 3 α 2α 2 Α 3.Α 1α 3α 1 -α 1α 1 Α 2.Α 3 α 2α 3 Α 3.Α 2 α 3α 2 -α 1α 1 Α 2.Α 3α 2α 3 Α 3.Α 2α 3α 2 Where: |aa| |aa|= 1

ρ

1

ρ 0 0

:Orthogonal Metric :‫القياسي المتعامد‬ 0 0 0 ρ 1 ρ 1

1

ρ

2

ρ 0

0

2

ρ

3

ρ

0 3

0

ρ

2

ρ 0

0 0

2

ρ

3

ρ

Where: ‫ خوارزميات الميكانيك‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS 19‫النشائي‬

3

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬20

|rr| |rr|= (ρ

ρ

1

1

ρ

2

ρ

2

ρ

ρ

3

3

)( ρ

1

ρ

1

ρ

2

ρ

2

ρ

3

ρ

3

)=1

α

α

α

α

α

α α

α

α

α

α

α

α

β

γ

ai^aj.am=eα β κ oa ioa jok.oγ oa α β γ eα β γ oa ioa joa m

ai^aj.am=e α β e

=

m

α β m γ

γ

oaα ioaβ jok.o oaγ m= oa α i oa β j oaγ m

Algorithm: ba(-i )^ba(-j ).ba(-m) = oa(+α ,-i)oa(+β ,-j)oa(+γ ,-m) e(−α,− β ,-γ ) = | oa(+n,-m)| ≡ oa[+n,-m] |a| ≡ a 1 ^ a 2 . a 3 ≤ α α 3 a I^ a J = |a| a

K

123

≡ α

1

α

ba(+i )^ba(+j ).ba(+m) = oa(-α ,+i )oa(-β ,+j)oa(-γ ,+m) e(+α , + β ,+γ ) = | oa(-m,+n) ≡ oa[-m ,+n] |a| ≡ a1 ^ a2 . a 3 ≤ α α 3

2

≡ α

123

Ordered i ≠ j ≠ K ≠ i ≤ α 123 a K a I^ a J = |a| a K ≤ α

123

1

α

2

aK

Algorithm: ba(+i)= ba(-j)^ba(-k)/oa[+n,-m] i,j,k cyclic ba(-i)= ba(+j)^ba(+k)/oa[-m,+n] Inner Product By K Basis with No Sum: a I^ aJ . a K = |a| a K . a K ≤ α 123 a K . aK [a I^ a J]. aK=[|a|aK].aK ≤ [α

123

a K] . a K

But: aa I K ≡ a I . a K = δ aa I K ≡ a I . a K = δ

I

K

K I

So: 0 < a1^a2.a3 ≡ |a| ≤ α

123

0 < a I^ a J . aK ≡ |a| ≤ α

123

‫ خوارزميات الميكانيك‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS 20‫النشائي‬

‫ الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬21

|| ai ^ aj || = |a| || a || = |a| α α K K

K

Norms: ≤ α 123 || ai ^ aj || = |a| || aK || =|a| α α K

K

≤α

123

Multiply Conjugates By Squared Mixed Product: (|.| a I ) ^ (|.| a J ) = |a| |a| |a| aK (|a| a I) ^ (|a| a J) = |a| |a| |a| a K Or: ( a J^ a K ) ^ ( a K^ a I ) = |a| |a| |a| aK ( a I^ a J ) ^ (aJ^ a K ) = |a| |a| |a| a K But: (A ^ B)^ C = (A .C ) B - ( C . B ) A So: a |a| |a| | | aK = (a J^ a K ) ^ (aK ^ a I ) = |a| |a| |a| a K = (a J^ a K ) ^ (a K^ a I ) = (a J . aK^a I ) aK - ( aK^a I . a K )aJ = (aK^a I.aJ)aK- ( aK.aK^a I)aJ = |a| aK- (0) aJ = |a| aK |a| aK - (0)aJ =|a| aK Or: 1 2 3 a (a 1 ^ a 2 . a 3) ( a ^ a . a ) ≡ |a| | | = 1 ( a1 ^ a2 . a 3 ) (a 1 ^ a 2 . a 3) ≡ |a| |a| = 1 Since: ∇ ^ ( B C ) = ( ∇ B) ^ C - B ( ∇ ^ C ) Then: ∇ ^(aJ∇ aK)=∇ aJ^∇ aK- aJ(∇ ^∇ aK) = ∇ ^(aJ∇ aK)=∇ aJ^∇ aK- aJ(∇ ^∇ aK) = ∇ aJ^∇ aK- aJ(0) = ∇ aJ^∇ aK ∇ aJ^∇ aK- aJ(0) = ∇ aJ^∇ aK Because: ∇ ^ ( ∇ B ) = 0 So: i ≠ j ≠ K ≠ i Ordered with no sum ∇ ^(aJ a K) = a J^ a K = |a| a L ∇ ^(aJ a K) = a J ^ a K = |a| a L And Since: ∇ . ( ∇ ^ C ) = 0 Then: J K a ∇ . ( ∇ ^(a a )) = ∇ . (| | a L) = 0 ∇ . ( ∇ ^(aJ a K)) = ∇ . ( |a| a L) = 0

3.1.2rs ‫ضرب شعاعي مختلط )حجم( لشعة أساس من جملة يساوي معينها وهو‬ :‫يساوي جداء الطويلت‬ Mixed Products: (Determinant): (Bases Volume): 0< |r|≡ (r1^r2.r3) = ρ 1 ρ 2 ρ 3 ≡ 0<|r|≡(r1^r2.r3 ) = ρ 1 ρ 2 ρ 3 ≡ 123 ρ ρ 123

‫ خوارزميات الميكانيك‬Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS 21‫النشائي‬

‫‪ 22‬الستاذ الدكتور فيصل عبدالحميد الخليل‬

‫مرافق مخالف أساسين عمودي عليهما أي الساسان المترافقان‬ ‫‪:‬متوازيان‬ ‫فالساس‪:‬‬ ‫‪rm‬‬ ‫‪//‬‬ ‫‪rm‬‬ ‫يوازي المرافق‪:‬‬ ‫‪m≠p≠q≠m‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪//‬‬ ‫‪r ^r /ρ‬‬ ‫| | ‪= r m = r ^r /‬‬ ‫|‪rp^rq / ρ 123 = r m = rp^rq / |r‬‬ ‫الجداء الخارجي لساسين من نفس الجملة يساوي جداء معينها بمرافق‬ ‫مخالفهما‪:‬‬ ‫الجداء الخارجي لساسين من نفس الجملة يساوي جداء الطويلت‬ ‫بمرافق مخالفهما‪:‬‬ ‫‪r≠p≠q≠r‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪r ^ r = | | rr = ρ‬‬ ‫‪rr‬‬ ‫‪rp^rq = |r| r r = ρ 123 r r‬‬ ‫جداء داخلي لساسين يساوي جداء الطويلتين بتجيب الزاوية هو قياسيﱞ‬ ‫الساسين‪:‬‬ ‫‪IK‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪rr ≡ r . r = ρ ρ‬‬ ‫‪rr I K ≡ r I . r K = δ I K‬‬ ‫‪K‬‬

‫‪ρ‬‬

‫‪I‬‬

‫‪rr I K ≡ rI . rK = ρ‬‬

‫‪K‬‬ ‫‪I‬‬

‫‪rr I K ≡ r I . r K = δ‬‬

‫‪3.1.2xy‬‬ ‫ضرب شعاعي مختلط )حجم( لشعة أساس من جملة يساوي معينها وهو‬ ‫يساوي جداء الطويلت‪:‬‬ ‫‪Mixed Products: (Determinant): (Bases Volume):‬‬ ‫‪0< |x| ≡ (x1^x2.x3) = 1‬‬ ‫‪0< |x| ≡(x1^x2.x3 ) = 1‬‬ ‫‪x≠p≠q≠x‬‬ ‫‪x p^ x q = |x| xx = 1 xx‬‬ ‫‪xp^xq = |x| x r = 1 x r‬‬ ‫‪.‬أي الساسان المترافقان متطابقان‬ ‫جداء داخلي لساسين يساوي جداء الطويلتين بتجيب الزاوية هو قياسيﱞ‬ ‫الساسين‪:‬‬ ‫‪IK‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪IK‬‬ ‫‪xx ≡ x . x = δ‬‬ ‫‪xx I K ≡ x I . x K = δ I K‬‬ ‫‪IK‬‬

‫‪xx I K ≡ xI . xK = δ‬‬

‫‪K‬‬ ‫‪I‬‬

‫‪xx I K ≡ x I . x K = δ‬‬

‫‪ Professor Faysal Alkhalil STRUCTURAL MECHANIC ALGORITHMS‬خوارزميات الميكانيك‬ ‫النشائي‪22‬‬