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Convertidor Flyback

Fig. 1 Convertidor Flyback

El convertidor Flyback está basado en el convertidor Buck-Boost, y que, a diferencia de este, aísla la entrada de la salida mediante el transformador. La energía se almacena en Lm cuando el interruptor esta cerrado y se traspasa a la carga cuando esta abierto. Para el análisis del circuito se tomarán en cuenta las siguientes suposiciones: Condensador grande en la salida, lo que produce voltaje constante en la salida. Circuito en régimen permanente Ciclo de trabajo del conmutador es D, cerrado en DT y abierto en (1-D)T Interruptor y diodo son ideales 𝑁

Considerar a 𝑛 = 𝑁2 1

Subintervalo I

Fig. 2 Subintervalo 1

En el subintervalo 1, el transistor Q1 conduce, lo que hace cargar a Lm y a su vez el Diodo D1 esta en modo abierto lo que hace reducir el circuito al presentado en la Fig. 2, tener en cuenta que estamos analizando el primer intervalo DT El Voltaje en el inductor: 𝑣𝐿 = 𝑉𝑔 = 𝐿𝑚

𝑑𝑖 𝑑𝑡

𝑉𝑔 𝑑𝑖 Δ𝑖 Δ𝑖 = = = 𝑑𝑡 Δ𝑡 𝐷𝑇 𝐿𝑚 Variación de corriente en el inductor: 𝑖𝑔 = 𝑖 (Δ𝑖) 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 =

𝑉𝑔 𝐷𝑇 𝐿𝑚

Corriente en el condensador: 𝑖𝑐 = −

𝑣 𝑅

Subintervalo II

Fig. 3 Subintervalo 2

En el subintervalo 2, el transistor esta en abierto, por lo que la corriente no varia en la inductancia, esto lleva a que la conducción de la corriente almacenada en esta se transfiera por el devanado primario del trasformador hacia el devanado secundario, es posible por la disposición del diodo. Las ecuaciones que rigen este comportamiento serán las que siguen. Voltaje en el inductor: 𝑣 𝑑𝑖 = 𝐿𝑚 𝑛 𝑑𝑡 𝑑𝑖 Δ𝑖 Δ𝑖 −𝑉0 = = = 𝑑𝑡 Δ𝑡 (1 − 𝐷)𝑇 𝐿𝑚 ⋅ 𝑛 𝑣𝐿 = −

Variación de corriente en el inductor: (Δ𝑖)𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 = −

𝑣(1 − 𝐷)𝑇 𝐿𝑚 ⋅ 𝑛

Corriente en el condensador: 𝑖𝑐 =

𝑖 𝑣 − 𝑛 𝑅

Balance energético Tener en consideración que, para ambos intervalos, el convertidor opera en CCM, por lo tanto, los efectos de rizado de voltaje en el condensador y de corriente en la inductancia se pueden asumir que son demasiado pequeños o inexistentes, por lo que la corriente magnetizante 𝑖 y el voltaje de salida del condensador 𝑣 se pueden aproximar a I y V respectivamente. También tener en cuenta que: 𝐷 = 𝐷𝑇 y 𝐷 ′ = (1 − 𝐷)𝑇 Como la variación de corriente en la bobina tiene que ser cero en un lapsus de tiempo o periodo cuando se opera en régimen permanente, se obtiene el balance energético: (Δ𝑖) 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 + (Δ𝑖)𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 = 0 𝑉𝑔 𝐷 𝑉𝐷 ′ − = 0 = 𝑣𝐿 𝐿𝑚 𝐿𝑚 ⋅ 𝑛 𝑉 〈𝑣𝐿 〉 = 𝐷𝑉𝑔 + 𝐷 ′ (− ) = 0 𝑛 𝐷 𝑉 = 𝑉𝑔 𝑛 ′ 𝐷 lo que nos lleva a que la razón de transformación del convertidor quede de la siguiente forma: 𝑀(𝐷) =

𝑉 𝐷 =𝑛 ′ 𝑉𝑔 𝐷

Como se observa, la relación de transformación es similar a la del convertidor Buck-Boost, pero con la salvedad de la relación de conversión del transformador. El balance de carga en la salida del capacitor queda de la siguiente forma: 𝑉 𝐼 𝑉 〈 𝑖𝑐 〉 = 𝐷 (− ) + 𝐷 ′ ( − ) = 0 𝑅 𝑛 𝑅 Despejando I, la componente DC de la corriente magnetizante es: 𝐼=

𝑛𝑉 𝐷′𝑅

La componente DC de la corriente de entrada queda: 𝐼𝑔 = 〈𝑖𝑔 〉 = 𝐷(𝐼) + 𝐷 ′ (0)

Formas de onda correspondiente:

𝑉 〈𝑣𝐿 〉 = 𝐷𝑉𝑔 + 𝐷 ′ (− ) = 0 𝑛

𝑉 𝐼 𝑉 〈 𝑖𝑐 〉 = 𝐷 (− ) + 𝐷 ′ ( − ) = 0 𝑅 𝑛 𝑅

𝐼𝑔 = 〈𝑖𝑔 〉 = 𝐷(𝐼) + 𝐷 ′ (0)

Fig. 4 Formas de onda CCM

Circuito equivalente en CCM:

Fig. 5 Cto. Equivalente en CCM

Aproximación de pequeña señal para obtener modelo equivalente AC Consideraciones a tener en cuanta en el circuito: El transformador es magnetizado por el inductor L referido al devanado primario El Mosfet Q1 tiene una resistencia Ron cuando está conduciendo. Otras perdidas, como fugas del inductor, o de switches son despreciables.

Fig. 6 Flyback para análisis en pequeña señal

Subintervalo I

Fig. 7 Subintervalo 1, pequeña señal

Durante el subintervalo 1, Mosfet está en estado ON y el diodo en estado OFF, Ron es la resistencia del Mosfet cuando está en estado ON. Las ecuaciones de la Fig. 7 que describen este intervalo están dadas por el voltaje en el inductor, la corriente en el capacitor y la corriente de entrada: 𝑣𝐿 (𝑡) = 𝑣𝑔 − 𝑖(𝑡)𝑅𝑜𝑛 𝑖𝑐 (𝑡) = −

𝑣(𝑡) 𝑅

𝐼𝑔 (𝑡) = 𝑖(𝑡)

Se procede a realizar la aproximación de pequeña señal, remplazando voltajes y corrientes por los valores promediados por la ecuación: ⟨𝑥(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 =

1 𝑡+𝑇𝑠 ∫ 𝑥(𝜏)dτ 𝑇𝑠 𝑡

Por lo tanto, los voltajes y corrientes quedan definidos de la siguiente forma: 𝑣𝐿 = ⟨𝑣𝑔 (𝑡)⟩ − ⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑅𝑜𝑛 𝑇𝑠

𝑖𝑐 (𝑡) = −

⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑅

𝐼𝑔 (𝑡) = ⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠

Subintervalo II

Fig. 8 Subintervalo 2, pequeña señal

En el segundo intervalo, es diodo está en estado ON(conduciendo) y el Mosfet en estado OFF. Para el circuito de la Fig. 8 las ecuaciones que describe son el voltaje del inductor, la corriente del capacitor y la corriente de entrada: 𝑣𝐿 (𝑡) = − 𝑖𝑐 (𝑡) =

𝑣(𝑡) 𝑛

𝑖(𝑡) 𝑣(𝑡) − 𝑛 𝑅

𝑖𝑔 = 0 Del mismo modo que el subintervalo 1 se encuentra el valor promedio para pequeña señal: 𝑣𝐿 (𝑡) = −

⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑛

𝑖𝑐 (𝑡) =

⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑛

−

⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑅

𝑖𝑔 (𝑡) = 0 Ecuación del inductor promediada

Fig. 9 Formas de Onda del inductor

Para realizar el promedio del inductor se tienen que tomar los dos subintervalos, sumarlos y promediarlos, por lo tanto, el voltaje en el inductor en un periodo es: ⟨𝑣𝐿 (𝑡)⟩ 𝑇𝑠 = 𝑑(𝑡) (⟨𝑣𝑔 (𝑡)⟩ − ⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑅𝑜𝑛 ) + 𝑑′ (𝑡) ( 𝑇𝑠

−⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 ) 𝑛

Para obtener el resultado del promediado del inductor, reemplazaremos en la siguiente formula: 𝐿 𝐿

𝑑⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 = ⟨𝑣𝐿 (𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑑𝑡

𝑑⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 −⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 = 𝑑(𝑡) (⟨𝑣𝑔 (𝑡)⟩ − ⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑅𝑜𝑛 ) + 𝑑′ (𝑡) ( ) 𝑇𝑠 𝑑𝑡 𝑛

Reordenando términos:

𝐿

⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑑⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 = 𝑑(𝑡)⟨𝑣𝑔 (𝑡)⟩ − 𝑑(𝑡)⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑅𝑜𝑛 − 𝑑′ (𝑡) 𝑇𝑠 𝑑𝑡 𝑛

Ecuación del capacitor promediada

Fig. 10 Forma de Onda del Capacitor

Al igual que el inductor, se suman las corrientes promedios de los subintervalos, es decir en un periodo: ⟨𝑖𝑐 (𝑡)⟩ 𝑇𝑠 = 𝑑(𝑡) (

⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 ⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 −⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 − ) + 𝑑 ′ (𝑡) ( ) 𝑅 𝑛 𝑅

Para el caso del capacitor tenemos: 𝐶 𝐶

𝑑⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 = ⟨𝑖𝑐 (𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑑𝑡

⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 ⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑑⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 −⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 = 𝑑(𝑡) ( − ) + 𝑑′ (𝑡) ( ) 𝑑𝑡 𝑅 𝑛 𝑅 𝐶

⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 ⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑑⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 = 𝑑′ (𝑡) − 𝑑𝑡 𝑛 𝑅

Corriente de entrada promediada:

Fig. 11 Forma de onda de la corriente de entrada

Se suman las corrientes de los subintervalos, y en este caso, como la corriente del subintervalo 2 es cero, el promedio quedara de la siguiente forma: ⟨𝑖𝑔 (𝑡)⟩

𝑇𝑠

= 𝑑(𝑡)⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠

Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales no lineales quedan definidas por: 𝐿

⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑑⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 = 𝑑(𝑡)⟨𝑣𝑔 (𝑡)⟩ − 𝑑(𝑡)⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑅𝑜𝑛 − 𝑑′ (𝑡) 𝑇𝑠 𝑑𝑡 𝑛 𝐶

⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 ⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑑⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 = 𝑑′ (𝑡) − 𝑑𝑡 𝑛 𝑅 ⟨𝑖𝑔 (𝑡)⟩

𝑇𝑠

= 𝑑(𝑡)⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠

Ahora asumiendo que el voltaje de entrada mas el ciclo de trabajo pueden ser expresados con valores de inactividad mas pequeñas variaciones AC quedando de la siguiente forma: ⟨𝑣𝑔 (𝑡)⟩

𝑇𝑠

= 𝑉𝑔 + 𝑣̂𝑔 (𝑡)

𝑑(𝑡) = 𝐷 + 𝑑̂(𝑡) Adicionalmente, en respuesta a este impulso y posterior a que el efecto transitorio haya decaído, el promedio de las formas de onda del conversor puede ser expresadas también con valores de inactividad con pequeñas variaciones AC, por lo que tenemos: ⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 = 𝐼 + 𝑖̂(𝑡) ⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 = 𝑉 + 𝑣̂(𝑡) ⟨𝑖𝑔 (𝑡)⟩

𝑇𝑠

= 𝐼𝑔 + 𝑖̂𝑔 (𝑡)

Ahora reemplazando en las ecuaciones promediadas del conversor obtendremos el promedio de gran señal en el inductor: 𝐿

𝑑⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 (𝑉 + 𝑣̂(𝑡)) = (𝐷 + 𝑑̂(𝑡)) (𝑉𝑔 + 𝑣̂𝑔 (𝑡)) − (𝐷 ′ − 𝑑̂(𝑡)) − (𝐷 + 𝑑̂(𝑡)) (𝐼 + 𝑖̂(𝑡))𝑅𝑜𝑛 𝑑𝑡 𝑛

𝐿

𝑑⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑉 𝑣̂(𝑡) 𝑉 𝑣̂(𝑡) = 𝐷𝑉𝑔 + 𝐷𝑣̂𝑔 (𝑡) + 𝑑̂(𝑡)𝑉𝑔 + 𝑑̂(𝑡)𝑣̂𝑔 (𝑡) − 𝐷 ′ − 𝐷 ′ − 𝑑̂(𝑡) − 𝑑̂(𝑡) 𝑑𝑡 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 − 𝐷𝐼𝑅𝑜𝑛 − 𝐷𝑖̂(𝑡)𝑅𝑜𝑛 − 𝑑̂(𝑡)𝐼𝑅𝑜𝑛 − 𝑑̂(𝑡)𝑖̂(𝑡)𝑅𝑜𝑛

Juntando términos obtendremos: 𝐿

𝑑⟨𝑖(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝑉 𝑣̂(𝑡) 𝑉 = (𝐷𝑉𝑔 − 𝐷 ′ − 𝐷𝑅𝑜𝑚 𝐼) + (𝐷𝑣̂𝑔 (𝑡) − 𝐷 ′ + (𝑉𝑔 + − 𝐼𝑅𝑜𝑛 ) 𝑑̂ (𝑡) − 𝐷𝑅𝑜𝑛 𝑖̂(𝑡)) ⏟ 𝑑𝑡 𝑛 𝑛 𝑛 ⏟ 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐷𝐶

𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐴𝐶 1° 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

𝑣̂(𝑡) + (𝑑̂(𝑡)𝑣̂(𝑡) + 𝑑̂(𝑡) − 𝑑̂(𝑡)𝑖̂(𝑡)𝑅𝑜𝑛 ⏟ 𝑛 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐴𝐶 𝑑𝑒 2° 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

Los termino presentados corresponden al total de la ecuación del inductor, tenemos los términos DC que no tienen componentes en el tiempo, por lo tanto, no varían en este, las componentes AC

de segundo orden, que son muy pequeñas, por lo tanto, se puede prescindir de ellas y las componentes AC de primer orden, que son las que describen el comportamiento AC del circuito. Términos DC: 0 = 𝐷𝑉𝑔 − 𝐷 ′

𝑉 − 𝐷𝑅𝑜𝑚 𝐼 𝑛

Términos AC primer orden, corresponden a la ecuación linealizada del inductor: 𝐿

𝑑𝑖̂(𝑡) 𝑣̂(𝑡) 𝑉 = 𝐷𝑣̂𝑔 (𝑡) − 𝐷 ′ + (𝑉𝑔 + − 𝐼𝑅𝑜𝑛 ) 𝑑̂(𝑡) − 𝐷𝑅𝑜𝑛 𝑖̂(𝑡) 𝑑𝑡 𝑛 𝑛

Ahora para la ecuación promediada se hará el mismo procedimiento para obtener la ecuación linealizada de este, por lo tanto, se comenzará por remplazar en la ecuación promediada: 𝐶 𝐶

𝑑⟨𝑣(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝐼 + 𝑖̂(𝑡) 𝑉 + 𝑣̂(𝑡) = (𝐷 ′ − 𝑑̂(𝑡)) ( )− 𝑑𝑡 𝑛 𝑅

𝑑⟨𝑉 + 𝑣̂(𝑡)⟩ 𝑇𝑠 𝐼 𝑖̂(𝑡) 𝐼 𝑖̂(𝑡) 𝑉 𝑣̂(𝑡) = (𝐷 ′ ) + (𝐷 ′ ) − (𝑑̂(𝑡) ) − (𝑑̂(𝑡) )− + 𝑑𝑡 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑅 𝑅

Agrupando términos: 𝐶(

𝑑𝑉 𝑑𝑣̂(𝑡) 𝐷′ 𝐼 𝑉 𝐷 ′ 𝑖̂(𝑡) 𝑣̂(𝑡) 𝐼𝑑̂(𝑡) + − )+( − − )=( )− 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑅 𝑅 𝑛 ⏟𝑛 ⏟ 𝑛 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐷𝐶

𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐴𝐶 1° 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

𝑑̂(𝑡)𝑖̂(𝑡) ⏟ 𝑛 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝐴𝐶2° 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

Igual que el caso del inductor, los términos DC son iguales a cero ya que no tienen componentes temporales y los términos AC de segundo orden son demasiado pequeños, por lo que se puede prescindir de ellos. Términos DC: 0=(

𝐷′𝐼 𝑉 − ) 𝑛 𝑅

Términos AC de primer orden, corresponden a la ecuación linealizada del capacitor: 𝐶(

𝑑𝑣̂(𝑡) 𝐷 ′ 𝑖̂(𝑡) 𝑣̂(𝑡) 𝐼𝑑̂(𝑡) − − )= 𝑑𝑡 𝑛 𝑅 𝑛

Ahora se pasará a la ecuación de la corriente de entrada, la cual queda: 𝐼𝑔 + 𝑖̂𝑔 (𝑡) = (𝐷 + 𝑑̂(𝑡)) (𝐼 + 𝑖̂(𝑡)) Agrupando términos: 𝐼⏟𝑔 + 𝐷𝐶

𝑖̂⏟ 𝑔 (𝑡) 1° 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝐴𝐶

Se cumple que los términos DC:

̂ ̂ (𝑡)𝑖̂(𝑡) = (𝐷𝐼) ⏟ ⏟ + (𝐷𝑖̂ ⏟ (𝑡) + 𝐼𝑑(𝑡)) + 𝑑 𝐷𝐶

1° 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝐴𝐶

2° 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝐴𝐶

𝐼𝑔 = 𝐷𝐼 Por lo tanto, la ecuación linealizada de la corriente corresponde a los términos de primer orden, ya que los términos de 2 orden no demasiado pequeños y se prescinde de ellos: 𝑖̂𝑔 (𝑡) = 𝐷𝑖̂(𝑡) + 𝐼𝑑̂(𝑡) Como se tienen las ecuaciones en términos DC:

0 = 𝐷𝑉𝑔 − 𝐷 ′ 0=(

𝑉 − 𝐷𝑅𝑜𝑚 𝐼 𝑛

𝐷′𝐼 𝑉 − ) 𝑛 𝑅

𝐼𝑔 = 𝐷𝐼 Y las ecuaciones linealizadas: 𝐿

𝑑𝑖̂(𝑡) 𝑣̂(𝑡) 𝑉 = 𝐷𝑣̂𝑔 (𝑡) − 𝐷 ′ + (𝑉𝑔 + − 𝐼𝑅𝑜𝑛 ) 𝑑̂(𝑡) − 𝐷𝑅𝑜𝑛 𝑖̂(𝑡) 𝑑𝑡 𝑛 𝑛 𝐶(

𝑑𝑣̂(𝑡) 𝐷 ′ 𝑖̂(𝑡) 𝑣̂(𝑡) 𝐼𝑑̂(𝑡) − − )= 𝑑𝑡 𝑛 𝑅 𝑛 𝑖̂𝑔 (𝑡) = 𝐷𝑖̂(𝑡) + 𝐼𝑑̂(𝑡)

Se pasa a construir el circuito equivalente que describen estas ecuaciones, se comenzara por el circuito del inductor, describiendo cada una de las componentes: 𝑖̂(𝑡) es la corriente en el inductor 𝐿

𝑑𝑖̂(𝑡) es 𝑑𝑡

el voltaje a través del inductor en baja frecuencia

𝐷𝑣̂𝑔 (𝑡); −𝐷′

𝑣̂(𝑡) 𝑛

son fuentes dependientes

𝑉 (𝑉𝑔 + 𝑛 − 𝐼𝑅𝑜𝑛 ) 𝑑̂(𝑡) es manejado por el ciclo de conversión, y representado como fuente

independiente −𝐷𝑅𝑜𝑛 𝑖̂(𝑡) es un voltaje proporcional a la corriente 𝑖̂(𝑡)

Fig. 12 Circuito equivalente del inductor

Para el caso del capacitor tenemos: 𝑑𝑣̂(𝑡) ) corresponde a 𝑑𝑡

𝐶(

𝐷 ′ 𝑖̂(𝑡) 𝑛

−

las 3 ecuaciones de correintes:

fuente de corriente dependiente

𝑣̂(𝑡) 𝑅

es la componente ac de la corriente de carga, que es representada por un R en paralelo al

capacitor −

𝐼𝑑̂ (𝑡) 𝑛

corresponde a una fuente independiente, y es controlado por el ciclo de trabajo

Fig. 13 Circuito equivalente del capacitor

Finalmente, tenemos la ecuación corriente de entrada: 𝑖̂𝑔 (𝑡) describe la corriente de pequeña señal AC, la cual proviene del voltaje de entrada 𝐷𝑖̂(𝑡) depende de las variaciones de corriente en el inductor, representado a través de una fuente dependiente 𝐼𝑑̂(𝑡) corresponde a una fuente independiente

Fig. 14 Circuito equivalente de la corriente de entrada

Al ser combinados los tres circuitos resulta el circuito equivalente representado con fuentes dependientes:

Fig. 15 Circuito equivalente

Las fuentes dependientes se pueden remplazar por transformadores ideales, lo que nos da el resultado deseado para el modelado del circuito, en pequeña señal:

Fig. 16 Circuito equivalente para pequeña señal

Variables de estado del conversor. Para realizar el análisis de variables de estado del conversor, se tomarán los análisis del circuito tanto en el subintervalo I y II, lo que corresponde a las siguientes ecuaciones: Los Vectores están definidos por: Vector de entrada: 𝑢(𝑡) = [𝑣𝑔 (𝑡)] Vector de salida: 𝑦(𝑡) = [𝑖𝑔 (𝑡)] Variables de interés: 𝑥(𝑡) = [

𝑖(𝑡) ] 𝑣(𝑡)

Subintervalo I 𝐿

𝑑𝑖(𝑡) = 𝑣𝑔 − 𝑖(𝑡)𝑅𝑜𝑛 𝑑𝑡 𝐶

𝑑𝑣(𝑡) 𝑣(𝑡) =− 𝑑𝑡 𝑅 𝐼𝑔 (𝑡) = 𝑖(𝑡)

−𝑅𝑜𝑛 𝐿 0 𝑑 𝑖(𝑡) [ ] [ ]=[ ⏟0 𝐶 𝑑𝑡 ⏟ 𝑣(𝑡) 0 ⏟ 𝐾 𝑥(𝑡)

0 𝑖(𝑡) 1 1] + [ (𝑡)] ] + [ ] [𝑣 ⏟ 𝑣(𝑡) 0 ⏟𝑔 ⏟ − 𝑢(𝑡) 𝑅 𝐵1 𝑥(𝑡)

𝐴1

𝑖(𝑡) [𝑖⏟𝑔 (𝑡)] = [⏟ ] + [0] [𝑣𝑔 (𝑡)] 1 0] [ ⏟⏟ 𝑣(𝑡) ⏟ 𝐶 𝐸 𝑦(𝑡)

1

𝑥(𝑡)

1

𝑢(𝑡)

Subintervalo II 𝐿 𝐶

𝑑𝑖(𝑡) 𝑣(𝑡) =− 𝑑𝑡 𝑛

𝑑𝑣(𝑡) 𝑖(𝑡) 𝑣(𝑡) = − 𝑑𝑡 𝑛 𝑅 𝑖𝑔 (𝑡) = 0

0 𝐿 0 𝑑 𝑖(𝑡) [ ] [ ]=[ ⏟0 𝐶 𝑑𝑡 ⏟ 1 𝑣(𝑡) 𝐾 𝑥(𝑡) ⏟𝑛

1 𝑛 ] + [ 𝑖(𝑡) ] + [0] [𝑣 (𝑡)] ⏟ 1 𝑣(𝑡) 0 ⏟𝑔 ⏟ − 𝑢(𝑡) 𝐵2 𝑥(𝑡) 𝑅 −

𝐴2

𝑖(𝑡) [𝑖⏟𝑔 (𝑡)] = [⏟ ] + [0] 0 0] [ ⏟ [𝑣 ⏟𝑔 (𝑡)] 𝑣(𝑡) ⏟ 𝐶 𝐸 𝑦(𝑡)

2

𝑥(𝑡)

2

𝑢(𝑡)

Ahora se tiene que evaluar las ecuaciones de equilibrio promediadas en los espacios de estado:

𝐴 = 𝐷𝐴1 + 𝐷 ′ 𝐴2 = 𝐷 [

−𝑅𝑜𝑛 0

0 0 1 ] + 𝐷′ [ 1 − 𝑅 𝑛

1 −𝐷𝑅𝑜𝑛 𝑛] = [ 1 𝐷′ − 𝑅 𝑛 −

𝐷′ 𝑛 ] 𝐷 + 𝐷′ 𝑅 −

𝐷 1 0 𝐵 = 𝐷𝐵1 + 𝐷′𝐵2 = 𝐷 [ ] + 𝐷 ′ [ ] = [ ] 0 0 0 𝐶 = 𝐷𝐶1 + 𝐷 ′𝐶2 = 𝐷[1 0] + 𝐷′[0 0] = [𝐷

0]

𝐸 = 𝐷𝐸1 +𝐷 ′ 𝐸2 = 𝐷[0] + 𝐷 ′ [0] = [0] Evaluando el equilibrio en estado permanente, las ecuaciones de promediadas para DC:

0 = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑈 = [

−𝐷𝑅𝑜𝑛 𝐷′ 𝑛

𝐷′ − 𝑛 ] [ 𝐼 ] + [𝐷 + 𝐷 ′ ] [𝑉 ] 𝑔 𝐷 + 𝐷′ 𝑉 0 𝑅

𝑌 = 𝐶𝑋 + 𝐸𝑈 = [𝐷

𝐼 0] [ ] + [0][𝑉𝑔 ] 𝑉

Evaluando en la ecuación de equilibrio de estado para hallar el valor de los vectores de salida: 𝑋 = −𝐴−1 𝐵𝑈 𝑌 = (−𝐶𝐴−1 𝐵 + 𝐸)𝑈 Hallando la matriz inversa de A:

𝐴−1

𝐷 + 𝐷′ 1 = [ 𝑅′ 𝐷 + 𝐷′ 𝐷′ 𝐷′ 𝐷 (−𝐷𝑅𝑜𝑛 ⋅ 𝑅 ) − (− 𝑛 ⋅ 𝑛 ) 𝑛 − 𝐴−1 =

1 𝐷𝑅𝑜𝑛 +

𝐷 ′2 𝑅 𝑛2

𝐷′ 𝐷𝑅𝑜𝑛 𝑛 𝐷 ′2 + [ 𝑅 𝑛 −

𝐷′ 𝐷𝑅𝑜𝑛 𝑛 𝐷 ′2 𝑅 + 𝑛 𝐷𝑅𝑜𝑛 − 𝐷𝑅𝑜𝑛 𝐷 ′2 + 2] 𝑅 𝑛

1 𝑅𝑛 =( ) [ 𝑅′ 𝐷 𝐷𝑅𝑜𝑛 𝑛2 + 𝐷 ′2 𝑅 − 𝑛 2

𝐴−1

𝐷′ 𝑛 ] −𝐷𝑅𝑜𝑛 −

𝐷′ 𝑛

−

]

−𝐷𝑅𝑜𝑛

Por lo tanto, 𝑋 = −𝐴−1 𝐵𝑈 queda de la siguiente forma: 1 2 − 𝑅𝑛 𝐼 [ ]=( ) [ 𝑅′ 𝐷 𝑉 𝐷𝑅𝑜𝑛 𝑛2 + 𝐷 ′2 𝑅 − 𝑛

𝐷′ 𝑛 −𝐷𝑅𝑜𝑛

𝐷 ] [ ] [𝑉𝑔 ] 0

𝐷 𝑅𝑛 𝐼 [ ]=( ) [ 𝑅′ ] [𝑉𝑔 ] 2 ′2 𝐷𝐷 𝑉 𝐷𝑅𝑜𝑛 𝑛 + 𝐷 𝑅 − 𝑛 −

2

Ahora resolviendo para 𝑌 = (−𝐶𝐴−1 𝐵 + 𝐸)𝑈 : 1 𝑅𝑛 ) [ 𝑅′ 0] ( 𝐷 𝐷𝑅𝑜𝑛 𝑛2 + 𝐷 ′2 𝑅 − 𝑛 2

[𝐼𝑔 ] = (−[𝐷

−

𝐷′ 𝑛 −𝐷𝑅𝑜𝑛

𝐷 ] [ ] + [0]) [𝑉𝑔 ] 0