Conversao_unidades_2009
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- Words: 1,548
- Pages: 5
23/1/2009
COLÉGIO PROGRESSO CENTRO
CONVERSÃO DE UNIDADES
Notas de aula | Prof. Ubirajara Neves
23/1/2009
CONVERSÃO DE UNIDADES Notas de aula
U
ma das habilidades mais importantes quando se resolvem problemas de física é a conversão de unidades, procedimento frequentemente considerado um “terror” entre os vestibulandos.
Nome
Símbolo
Yotta
Y
1024
heptilhão
Zetta
Z
1021
sextilhão
Muitas vezes os problemas propostos em vestibulares trazem informações numéricas expressas em múltiplos e submúltiplos das unidades que devem ser de fato empregadas, ou em unidades completamente diversas, até mesmo pertencentes a outros sistemas.
Exa
E
1018
quintilhão
Peta
P
1015
quatrilhão
Tera
T
1012
trilhão
Giga
G
10
9
bilhão
Mega
M
106
milhão
Quilo
k
103
mil
Hecto
h
10
2
Deca
da
101
O objetivo deste texto é desmistificar o processo de conversão de unidades, mostrando técnicas que tornam essa atividade fácil e automática. É importante ressaltar que tais técnicas devem ser aperfeiçoadas pela prática constante, principalmente através da resolução de exercícios.
Valor
Nome comum
cem dez
Unidade Deci
d
10−1
décimo
OS PREFIXOS DO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Centi
c
10−2
centésimo
Mili
m
10−3
milésimo
Um dos recursos que facilitam sobremaneira a conversão de valores entre unidades ditas “oficiais”, ou seja, pertencentes ao Sistema Internacional de Unidades (SI), é o emprego dos prefixos recomendados por tal entidade (Tabela 1).
Micro
µ
10−6
milionésimo
Nano
n
10
−9
Pico
p
10−12
trilionésimo
Femto
f
10−15
quadrilionésimo
Atto
a
10
−18
Zepto
z
10−21
sextilionésimo
Yocto
y
10−24
heptilionésimo
Observe que é fundamental saber trabalhar com números expressos através de potências de base 10, em especial sob a forma de notação científica padrão.
bilionésimo
quintilionésimo
Tabela 1
1
Para a indicação de múltiplos e submúltiplos das unidades, o SI recomenda o uso de prefixos, que devem ser antepostos à unidade. Um exemplo: no valor de distância igual a 5 quilômetros, 5 km, está empregado o prefixo quilo, associado à unidade SI metro. Cada prefixo tem um nome, um símbolo e um valor, conforme mostrado na Tabela 1.
23/1/2009 Por questão de clareza matemática, podemos escrever o valor acima como 47 (mm)2. Assim, podemos perceber que o expoente 2 refere-se não só à unidade, mas também ao prefixo. Consultando a tabela, m é o símbolo de mili, cujo valor é 10−3 . Então, 47 (mm)2 = 47 × 10−3
2
m2 = 47 × 10−6 m2.
CONVERSÃO DE UNIDADES
Exemplo 5
Para facilitar o entendimento dos processos de conversão de unidades, vamos separá-los em diferentes casos.
O símbolo k refere-se ao prefixo quilo, que vale 103 . Logo,
Caso 1: valor com prefixo para valor sem prefixo Este é, talvez, o caso mais simples de todos. Quando você precisar converter um valor com prefixo para um valor sem prefixo, bastará substituir o prefixo pelo valor correspondente mostrado na Tabela 1.
Exemplo 1 Converta 7,4 µm (micrometros) para metro. Consultando a tabela, vemos que µ é o símbolo do prefixo SI chamado micro, cujo valor é 10−6 . Assim, 7,4 µm = 7,4 × 10−6 m. Simples, não é verdade?
Exemplo 2
Quanto vale, em metro cúbico, 2,3 km3?
2,3 (km)3 = 2,3 × 103
34,8 pg = 34,8 × 10−12 g. Procedemos da mesma maneira quando temos um prefixo de múltiplo.
Exemplo 3 Faça a conversão de 253 GV (gigavolts) para volts. Procurando na tabela, G, giga, vale 109 . Então, 253 GV = 253 × 109 V. É um pouquinho mais complicado quando temos valores de área e volume, por exemplo, em que as unidades referem-se a duas ou três dimensões.
Exemplo 4 Converta 47 mm2 (milímetros quadrados) para metro quadrado.
m3 = 2,3 × 109 m3.
Como digo em sala de aula: “simples assim”!
Caso 2: valor sem prefixo para valor com prefixo. Para este grupo de conversões existem diferentes formas de raciocínio. Explicarei aqui a que mais me agrada, mas que fique claro que é questão de gosto pessoal. Como o elemento neutro da multiplicação é o valor 1, qualquer outro valor que multipliquemos por 1 permanecerá inalterado. Podemos escrever 1 como potência de 10, o que nos leva a 100 . Ou seja, qualquer valor multiplicado por 100 não se altera. E 100 pode ser escrito como o produto de quaisquer duas potências de base 10 com expoentes opostos, isto é,
Quanto vale, em gramas, 34,8 pg (picogramas)? Novamente consultamos a tabela e vemos que p é o símbolo do prefixo pico, que vale 10−12 . Então,
3
100 = 10𝑚 ∙ 10−𝑚 . Muito bem, esse é o raciocínio que gosto de usar quando faço esse tipo de conversão.
Exemplo 6 Quanto vale, em quilograma, 22,7 g? Ora, como já vimos, quilo (k) vale 103 . Então, 22,7 g = 22,7 × 1 g = 22,7 × 100 g = = 22,7 × 10−3 ∙ 103 g = 22,7 × 10−3 kg. Não se assuste e nem pense que é confuso! Observe que multiplicar 22,7 por 10−3 ∙ 103 é a mesma coisa que multiplicar por 100 , ou seja, 1.
Exemplo 7 Quantos micrometros existem em 2 m? Bem, micro (µ) vale 10−6 . Então, 2 m = 2 × 106 ∙ 10−6 m = 2 × 106 µm. 1
Pratique bastante e tal procedimento acabará tornandose automático, permitindo que você pule mentalmente o passo intermediário (com os expoentes opostos).
23/1/2009 10−12 g 1 kg 10−12 1,7 pg ∙ ∙ = 1,7 × kg= 1 pg 103 g 103 = 1,7 × 10−15 kg
Caso 3: valor com prefixo para valor com prefixo
Caso 4: conversão entre unidades de sistemas diferentes
Neste grupo estão os casos um pouco mais chatos de se lidar. Perceba que estou afirmando que são chatos, não difíceis!
Quando a tarefa consiste em converter valores entre unidades de dois sistemas diferentes, podemos novamente lançar mão dos fatores de conversão.
Para lidar com este tipo de conversão, vamos introduzir o conceito de fator de conversão, extremamente útil para conversões mais complexas.
Exemplo 10 Converter 39 pol (polegadas) em centímetro.
Um fator de conversão é um número, normalmente expresso sob a forma de fração, que você usa para multiplicar pelo valor a ser convertido.
Aqui devemos converter uma unidade do sistema inglês (polegada) para uma unidade do sistema CGS (centímetro). Uma breve pesquisa, que pode ser feita num bom dicionário, leva-nos à seguinte equivalência:
Cada equivalência entre unidades gera sempre dois fatores de conversão. Veja: a equivalência
1 pol = 2,54 cm.
1 km = 103 m
39 pol ∙
permite-nos escrever dois fatores, 1 km 10 3 m
e
10 3 m 1 km
Então, usando um fator de conversão, chegamos a
Aqui devemos converter uma unidade comercial decimal (litro) para uma unidade inglesa (galão). Pesquisando, achamos a seguinte equivalência: 1 gal = 3,79 L.
Converta 5 µm e nm (nanômetro).
Então, através de um fator de conversão, obtemos
Através da Tabela 1, sei que 1 µm = 10−6 m e 1 nm = 10−9 m. Então, através de fatores de conversão podemos escrever 1 μm
∙
1 nm 10 −9 m
= 5×
10 −6 10 −9
nm = 5 × 103 nm.
Observe como o objetivo é cancelar a unidade original, fazendo sobrar apenas a unidade na qual estou interessado.
Exemplo 9 Converte 1,7 pg em quilograma. As equivalências são 1 pg = 10−12 g e 1 kg = 103 g. Assim,
= 99,06 cm ≅ 99 cm.
O volume igual a 25 L equivale a quantos galões?
Exemplo 8
10 −6 m
1 pol
Exemplo 11
.
Daí, basta multiplicar o valor a converter por um ou mais fatores que permitam cancelar a unidade original, mantendo a unidade desejada.
5 μm ∙
2,54 cm
25 L ∙
1 gal 3,79 L
≅ 6,596 gal ≅ 6,6 gal.
Para concluir, que tal fazermos uma conversão bem complexa?
Exemplo 12 A constante gravitacional universal, em unidades SI, vale G = 6,67 × 10−11 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝑘𝑔2 . Expresse o valor dessa constante em unidades do sistema inglês. Para executarmos tal conversão, devemos trocar o newton por libra-força, o metro por pé, e o quilograma por libra. Uma rápida pesquisa revelou as seguintes equivalências: 1 N = 0,22 lb-f, 1 m = 3,28 ft, e 2
1 kg = 2,20 lb. Então, 6,67 × 10−11
N∙m2 0,22 lb-f 3,28 2 ft 2 1 kg 2 ∙ ∙ ∙ = 2 2 kg 1N 1m 2,20 2 lb 2 = 3,3 × 10−11 lb-f ∙ ft 2 /lb2 .
Enfim, essas são as técnicas que você deve dominar para não ter problemas com conversões de unidades. Lembre-se: quanto mais você praticar, mais facilidade terá na execução dos procedimentos propostos. Agora é com você!
EXERCÍCIOS Efetue as conversões indicadas.
(a) 34,5 µg → g (b) 4,74 pg → kg (c) 2,890 MV → V (d) 0,78 mV → kV (e) 30 A → mA (f) 720 min → h (g) 48 km/h → mi/h (milhas por hora) (h) 15 pol/s → km/h (i) 3,67 Ω·m → Ω·µm (j) 720 kg·m/s2 → lb·ft/min2 (k) 3,78 pol → nm (l) 22,4 L → gal (m) 4 km → yd (jardas) (n) 48 000 m → mi (milhas) (o) 9,78 m/s2 → ft/min2 (p) 600 m2 → ft2 (q) 5,8 gal → µm3 (r) 0,49 cm3 → m3 (s) 75 gal → m3
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3
COLÉGIO PROGRESSO CENTRO
CONVERSÃO DE UNIDADES
Notas de aula | Prof. Ubirajara Neves
23/1/2009
CONVERSÃO DE UNIDADES Notas de aula
U
ma das habilidades mais importantes quando se resolvem problemas de física é a conversão de unidades, procedimento frequentemente considerado um “terror” entre os vestibulandos.
Nome
Símbolo
Yotta
Y
1024
heptilhão
Zetta
Z
1021
sextilhão
Muitas vezes os problemas propostos em vestibulares trazem informações numéricas expressas em múltiplos e submúltiplos das unidades que devem ser de fato empregadas, ou em unidades completamente diversas, até mesmo pertencentes a outros sistemas.
Exa
E
1018
quintilhão
Peta
P
1015
quatrilhão
Tera
T
1012
trilhão
Giga
G
10
9
bilhão
Mega
M
106
milhão
Quilo
k
103
mil
Hecto
h
10
2
Deca
da
101
O objetivo deste texto é desmistificar o processo de conversão de unidades, mostrando técnicas que tornam essa atividade fácil e automática. É importante ressaltar que tais técnicas devem ser aperfeiçoadas pela prática constante, principalmente através da resolução de exercícios.
Valor
Nome comum
cem dez
Unidade Deci
d
10−1
décimo
OS PREFIXOS DO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Centi
c
10−2
centésimo
Mili
m
10−3
milésimo
Um dos recursos que facilitam sobremaneira a conversão de valores entre unidades ditas “oficiais”, ou seja, pertencentes ao Sistema Internacional de Unidades (SI), é o emprego dos prefixos recomendados por tal entidade (Tabela 1).
Micro
µ
10−6
milionésimo
Nano
n
10
−9
Pico
p
10−12
trilionésimo
Femto
f
10−15
quadrilionésimo
Atto
a
10
−18
Zepto
z
10−21
sextilionésimo
Yocto
y
10−24
heptilionésimo
Observe que é fundamental saber trabalhar com números expressos através de potências de base 10, em especial sob a forma de notação científica padrão.
bilionésimo
quintilionésimo
Tabela 1
1
Para a indicação de múltiplos e submúltiplos das unidades, o SI recomenda o uso de prefixos, que devem ser antepostos à unidade. Um exemplo: no valor de distância igual a 5 quilômetros, 5 km, está empregado o prefixo quilo, associado à unidade SI metro. Cada prefixo tem um nome, um símbolo e um valor, conforme mostrado na Tabela 1.
23/1/2009 Por questão de clareza matemática, podemos escrever o valor acima como 47 (mm)2. Assim, podemos perceber que o expoente 2 refere-se não só à unidade, mas também ao prefixo. Consultando a tabela, m é o símbolo de mili, cujo valor é 10−3 . Então, 47 (mm)2 = 47 × 10−3
2
m2 = 47 × 10−6 m2.
CONVERSÃO DE UNIDADES
Exemplo 5
Para facilitar o entendimento dos processos de conversão de unidades, vamos separá-los em diferentes casos.
O símbolo k refere-se ao prefixo quilo, que vale 103 . Logo,
Caso 1: valor com prefixo para valor sem prefixo Este é, talvez, o caso mais simples de todos. Quando você precisar converter um valor com prefixo para um valor sem prefixo, bastará substituir o prefixo pelo valor correspondente mostrado na Tabela 1.
Exemplo 1 Converta 7,4 µm (micrometros) para metro. Consultando a tabela, vemos que µ é o símbolo do prefixo SI chamado micro, cujo valor é 10−6 . Assim, 7,4 µm = 7,4 × 10−6 m. Simples, não é verdade?
Exemplo 2
Quanto vale, em metro cúbico, 2,3 km3?
2,3 (km)3 = 2,3 × 103
34,8 pg = 34,8 × 10−12 g. Procedemos da mesma maneira quando temos um prefixo de múltiplo.
Exemplo 3 Faça a conversão de 253 GV (gigavolts) para volts. Procurando na tabela, G, giga, vale 109 . Então, 253 GV = 253 × 109 V. É um pouquinho mais complicado quando temos valores de área e volume, por exemplo, em que as unidades referem-se a duas ou três dimensões.
Exemplo 4 Converta 47 mm2 (milímetros quadrados) para metro quadrado.
m3 = 2,3 × 109 m3.
Como digo em sala de aula: “simples assim”!
Caso 2: valor sem prefixo para valor com prefixo. Para este grupo de conversões existem diferentes formas de raciocínio. Explicarei aqui a que mais me agrada, mas que fique claro que é questão de gosto pessoal. Como o elemento neutro da multiplicação é o valor 1, qualquer outro valor que multipliquemos por 1 permanecerá inalterado. Podemos escrever 1 como potência de 10, o que nos leva a 100 . Ou seja, qualquer valor multiplicado por 100 não se altera. E 100 pode ser escrito como o produto de quaisquer duas potências de base 10 com expoentes opostos, isto é,
Quanto vale, em gramas, 34,8 pg (picogramas)? Novamente consultamos a tabela e vemos que p é o símbolo do prefixo pico, que vale 10−12 . Então,
3
100 = 10𝑚 ∙ 10−𝑚 . Muito bem, esse é o raciocínio que gosto de usar quando faço esse tipo de conversão.
Exemplo 6 Quanto vale, em quilograma, 22,7 g? Ora, como já vimos, quilo (k) vale 103 . Então, 22,7 g = 22,7 × 1 g = 22,7 × 100 g = = 22,7 × 10−3 ∙ 103 g = 22,7 × 10−3 kg. Não se assuste e nem pense que é confuso! Observe que multiplicar 22,7 por 10−3 ∙ 103 é a mesma coisa que multiplicar por 100 , ou seja, 1.
Exemplo 7 Quantos micrometros existem em 2 m? Bem, micro (µ) vale 10−6 . Então, 2 m = 2 × 106 ∙ 10−6 m = 2 × 106 µm. 1
Pratique bastante e tal procedimento acabará tornandose automático, permitindo que você pule mentalmente o passo intermediário (com os expoentes opostos).
23/1/2009 10−12 g 1 kg 10−12 1,7 pg ∙ ∙ = 1,7 × kg= 1 pg 103 g 103 = 1,7 × 10−15 kg
Caso 3: valor com prefixo para valor com prefixo
Caso 4: conversão entre unidades de sistemas diferentes
Neste grupo estão os casos um pouco mais chatos de se lidar. Perceba que estou afirmando que são chatos, não difíceis!
Quando a tarefa consiste em converter valores entre unidades de dois sistemas diferentes, podemos novamente lançar mão dos fatores de conversão.
Para lidar com este tipo de conversão, vamos introduzir o conceito de fator de conversão, extremamente útil para conversões mais complexas.
Exemplo 10 Converter 39 pol (polegadas) em centímetro.
Um fator de conversão é um número, normalmente expresso sob a forma de fração, que você usa para multiplicar pelo valor a ser convertido.
Aqui devemos converter uma unidade do sistema inglês (polegada) para uma unidade do sistema CGS (centímetro). Uma breve pesquisa, que pode ser feita num bom dicionário, leva-nos à seguinte equivalência:
Cada equivalência entre unidades gera sempre dois fatores de conversão. Veja: a equivalência
1 pol = 2,54 cm.
1 km = 103 m
39 pol ∙
permite-nos escrever dois fatores, 1 km 10 3 m
e
10 3 m 1 km
Então, usando um fator de conversão, chegamos a
Aqui devemos converter uma unidade comercial decimal (litro) para uma unidade inglesa (galão). Pesquisando, achamos a seguinte equivalência: 1 gal = 3,79 L.
Converta 5 µm e nm (nanômetro).
Então, através de um fator de conversão, obtemos
Através da Tabela 1, sei que 1 µm = 10−6 m e 1 nm = 10−9 m. Então, através de fatores de conversão podemos escrever 1 μm
∙
1 nm 10 −9 m
= 5×
10 −6 10 −9
nm = 5 × 103 nm.
Observe como o objetivo é cancelar a unidade original, fazendo sobrar apenas a unidade na qual estou interessado.
Exemplo 9 Converte 1,7 pg em quilograma. As equivalências são 1 pg = 10−12 g e 1 kg = 103 g. Assim,
= 99,06 cm ≅ 99 cm.
O volume igual a 25 L equivale a quantos galões?
Exemplo 8
10 −6 m
1 pol
Exemplo 11
.
Daí, basta multiplicar o valor a converter por um ou mais fatores que permitam cancelar a unidade original, mantendo a unidade desejada.
5 μm ∙
2,54 cm
25 L ∙
1 gal 3,79 L
≅ 6,596 gal ≅ 6,6 gal.
Para concluir, que tal fazermos uma conversão bem complexa?
Exemplo 12 A constante gravitacional universal, em unidades SI, vale G = 6,67 × 10−11 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝑘𝑔2 . Expresse o valor dessa constante em unidades do sistema inglês. Para executarmos tal conversão, devemos trocar o newton por libra-força, o metro por pé, e o quilograma por libra. Uma rápida pesquisa revelou as seguintes equivalências: 1 N = 0,22 lb-f, 1 m = 3,28 ft, e 2
1 kg = 2,20 lb. Então, 6,67 × 10−11
N∙m2 0,22 lb-f 3,28 2 ft 2 1 kg 2 ∙ ∙ ∙ = 2 2 kg 1N 1m 2,20 2 lb 2 = 3,3 × 10−11 lb-f ∙ ft 2 /lb2 .
Enfim, essas são as técnicas que você deve dominar para não ter problemas com conversões de unidades. Lembre-se: quanto mais você praticar, mais facilidade terá na execução dos procedimentos propostos. Agora é com você!
EXERCÍCIOS Efetue as conversões indicadas.
(a) 34,5 µg → g (b) 4,74 pg → kg (c) 2,890 MV → V (d) 0,78 mV → kV (e) 30 A → mA (f) 720 min → h (g) 48 km/h → mi/h (milhas por hora) (h) 15 pol/s → km/h (i) 3,67 Ω·m → Ω·µm (j) 720 kg·m/s2 → lb·ft/min2 (k) 3,78 pol → nm (l) 22,4 L → gal (m) 4 km → yd (jardas) (n) 48 000 m → mi (milhas) (o) 9,78 m/s2 → ft/min2 (p) 600 m2 → ft2 (q) 5,8 gal → µm3 (r) 0,49 cm3 → m3 (s) 75 gal → m3
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