Contruccion De Reales

Materia Matemáticas Título del objeto de aprendizaje

Grado 9

Unidad de aprendizaje Un conjunto numérico especial: los complejos.

Identificación de los conjuntos de números racionales e irracionales.

Objetivos de aprendizaje

Describir los números enteros y racionales por medio de sus características.

Habilidad/ conocimiento

SCO 1: Describe el conjunto de números enteros 1.1 Identifica los elementos del conjunto de números enteros 1.2 Clasifica los números naturales como la extensión positiva del conjunto de los números enteros. 1.3 Reconoce las propiedades de los números enteros. 1.4 Establece las operaciones usuales del conjunto de números enteros. 1.5 Interpreta las propiedades de las operaciones en el conjunto de los números enteros.

Identificar las características del conjunto de números enteros. Identificar las características del conjunto de números racionales. Identificar las características del conjunto de números irracionales. Identificar las características del conjunto de números reales

SCO: 2 Describe el conjunto de números racionales. 2.1 Señala los elementos del conjunto de los números racionales. 2.2 Reconoce las diferentes representaciones de los números racionales. 2.3 Interpreta cada una de las representaciones de los números racionales. 2.4 Determina las operaciones usuales en el conjunto de números racionales. 2.5 Caracteriza las propiedades de las operaciones en el conjunto de números racionales. SCO 3: Reconoce el conjunto de números irracionales. 3.1 Caracteriza los números irracionales como aquellos que tienen representación decimal infinita no periódica. 3.2 Establece las características de los números irracionales. 3.3 Reconoce los números irracionales más representativos. 3.4 Ubica en la recta numérica números irracionales asociados a raíces cuadradas. SCO 4: Reconoce el conjunto de números reales. 4.1 Identifica el conjunto de los números reales como la unión de los conjuntos de números racionales y de números irracionales. 4.2 Determina a qué conjuntos numéricos pertenece un determinado número real. 4.3 Ubica en la recta numérica números reales. 4.4 Reconoce las propiedades de los números reales con respecto a las operaciones de suma y multiplicación. 4.5 Realiza operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números reales.

Materia

Grado 9

Título del objeto de aprendizaje Flujo de aprendizaje

Identificación de los conjuntos de números racionales e irracionales. Introducción → Desarrollo → Actividades de comprensión → Resumen → Evaluación • Introducción • Objetivos Actividades principales Actividad 1: Números enteros. Actividad 2: Números racionales. Actividad 3: Números Irracionales. Actividad 4: Números Reales. • Resumen • Tarea

Guía de valoración

Unidad de aprendizaje Un conjunto numérico especial: los complejos.

Etapa

Introducción

Flujo de aprendizaje

Enseñanza/Actividades de aprendizaje

Introducción El docente presenta una animación en la cual aparece las

letras N, Z, Q. I y la R. las cuales representan los conjuntos numéricos respectivamente: Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y los Reales. La intención es que discutan respecto de quien contiene a quien, al final mostrar que los racionales y los irracionales son disyuntos y que al unirlos se forma el conjunto de los números reales.

Recursos recomendados

Recurso 1 Animación

Luego aparece la R y comenta los siguiente como dato histórico: Es relativamente reciente la diferenciación que hacemos entre un número y su representación en algún sistema: sea en un lenguaje ordinario, con palabras como uno, menos tres, tres cuartos, un millón, raíz cuadrada de dos, etc., o sea en un lenguaje simbólico. Llamamos número a una entidad abstracta y numeral a su representación en algún sistema. Los numerales 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 2/3, 4/5, 7/8, -3/4, -9/26, √ 2, √3, π,√-1, √-5, 2 + 3i, ‫ﬡ‬o, π, √-1, φ, i, e, son ejemplos de la representación más usual hoy en día, en el lenguaje simbólico de la matemática, de los diferentes tipos de números que aceptamos actualmente En el material del estudiante, aparece la información de la animación y se pide a los estudiantes que indiquen la contenencia que existe entre los conjuntos numéricos nombrados en la animación. El docente socializa los objetivos con los estudiantes y luego los presenta en el recurso interactivo. Desarrollo

El docente presenta el tema

Recurso Interactivo

ACTIVIDAD 1 Números enteros. Skill: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 El docente presenta un recurso interactivo el cual le permite realizar un repaso del conjunto de los números enteros, muestra un diagrama de contenencia donde se evidencia que los números naturales están contenidos en los enteros.de los números enteros, muestra un diagrama de contenencia donde se evidencia que los números naturales están contenidos en los enteros.

Z N

Etapa

Desarrollo

Flujo de aprendizaje

El docente presenta el tema

Enseñanza/Actividades de aprendizaje

El docente al lado izquierdo da un grupo de números enteros positivos, enteros negativos, el cero, fracciones, raíces inexactas y pide que arrastre los que correspondan al diagrama, la intención es que reconozcan que todo número natural es un entero. Luego el recurso muestra que los números enteros son la unión de los enteros negativos, del cero y de los enteros positivos, y pregunta a los estudiantes qué diferencia hay entre los enteros positivos y los naturales, la intención es que indiquen que los naturales contienen el cero, mientras que los enteros positivos no. Luego muestra la recta numérica con la ubicación de los números enteros, la intención es que se vayan ubicando uno a uno los números, comenzando por el cero, luego el 1 y se hace énfasis en la distancia, luego, se indica que al otro la de la recta con la misma distancia de la unidad se ubica el -1 y que este es el opuesto del 1, o también que el -1 es el opuesto del 1, y se menciona que este procedimiento también es válido para 5 y -5 respectivamente y se indica que así continua sucesivamente. El docente pregunta a los estudiantes que indiquen en qué situaciones de la vida cotidiana han utilizado los números enteros, luego muestra unas situaciones y el estudiante debe escribir el número entero que representa dicha situación. Parquee su carro en el sótano 2 del centro comercial. Rta. -2 Si se considera, 0 el nivel del mar, Bogotá se encuentra a 2625 metros al nivel del mar. Rta. 2625 Hoy la temperatura del polo norte se encuentra a 80 grados bajo cero Rta. > -80 Luego el docente por medio del recurso propone varios ejercicios que involucren suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación de números enteros, si es posible el recurso valida, sino el docente lo hace, además de socializar las respuestas de los estudiantes y la manera en que los resolvieron, la intenciones establezcan las operaciones entre números enteros. Luego el docente muestra ejercicios donde se resalten las propiedades de la suma de enteros y de la multiplicación, luego el recurso propone ejercicios indiquen la propiedad que cumplen.

Recursos recomendados

Etapa

Desarrollo

Flujo de aprendizaje

El docente presenta el tema

Enseñanza/Actividades de aprendizaje

Recursos recomendados

SUMA Clausurativa: (-8) + (-19) = -27 (+47) + (-18) = +29 la suma obtenida al adicionar números enteros es un número entero. Conmutativa: (-67) + (+89) = +22 (+89) + (-67) = +22 En toda adición el orden de los sumandos no altera la suma. (-14) + (+24) + (-5) = (-14 + 24) -5 = -14 + (+24 -5) (+10) -5 = -14 + (+19) +5 = +5 Al asociar dos o más sumandos de una adición, en distinto orden, la suma no se altera. Asociativa:

Recurso Interactivo

0 + (-41) = (-41) (+27) + 0 = (+27) La adición de un número entero con cero da como resultado el mismo número entero. Modulativa:

Propiedad del Opuesto aditivo: (+6) + (-6) = 0 (+104) + (-104) = 0 Todo número entero adicionado con su opuesto aditivo da como resultado cero. De la misma manera, el recurso presenta las propiedades de la multiplicación una a una con ejemplos, el docente realiza preguntas y socializa con los estudiantes. En el material del estudiante trabajan lo presentado en el recurso. ACTIVIDAD 2: Números Racionales El docente presenta un recurso, en el cual aparece la siguiente definición para identificar los elementos del conjunto de los números racionales, el cual se simboliza con la letra Q: Familia de números de la forma a/b, con a y b que pertenecen a los enteros y b diferente de cero. Socializa con los estudiantes la definición, luego pide que en el recurso encierre los que cumplan con la definición dada, aparecen números como:

Material del estudiante Recurso Interactivo

Etapa

Desarrollo

Flujo de aprendizaje

Enseñanza/Actividades de aprendizaje

El docente 2/3, √2/5, 9, -3√4/5, -12/3, 0, 9/4, -5/3 presenta el tema La idea es que identifiquen que tanto el numerador como el

denominador deben ser números enteros.

Luego el docente pide a los estudiantes, que luego de escoger los que son racionales, realicen el cociente, y pregunta: ¿Cómo son los números que obtuvieron? ¿Los números enteros también son racionales? ¿Por qué? La intención es que en el recurso se registren las respuestas, que el docente socialice, teniendo en cuenta que se busca que observen que al realizar los cocientes se obtienen decimales finitos o decimales periódicos, además que un número natural es racional, porque en su representación como fracción, basta con tener el 1 como denominador, o por ser una familia representarlo de distintas maneras, por ejemplo (y esto lo muestra el recurso) El -9, puede ser -9/1, -18/2, -27/3,… Y como decimal, los naturales se pueden representar colocando una coma y un cero a la derecha -9 = -9,0 Finalmente el docente presenta en el recurso la recta numérica y la explicación para ubicar los números racionales, en cualquiera de sus representaciones, por ejemplo, al ubicarlas en forma de fracción indica que se guíe por las familias, es decir que tenga en cuenta el denominador, para 9/4, se sabe que 4/4 =1, 8/4 =2 y 12/4 =3. Es decir que 9/4 está entre 2 y 3 y que esa unidad se divide en cuatro partes iguales y tomaría 1. Luego el recurso permite que los estudiantes ubiquen en la recta los que el docente indique y este evalúa, además que hace preguntas respecto al orden y a si es o no mayor que la unidad. El recurso presenta ejercicios de suma, resta, multiplicación y división con números racionales, permite que los estudiantes luego de resolverlos en el material del estudiante, coloquen la respuesta en el recurso y socialicen los procedimientos que utilizaron. De la misma manera el recurso recuerda las propiedades que se cumplen en la multiplicación y en la división a partir de ejemplos y luego propone ejercicios de unir la columna de la derecha con la de la izquierda, de tal manera que en una columna aparezca el nombre de la propiedad y en la otra aparezca el ejercicio que la cumple, aclarando al final que en todas se cumple la propiedad clausurativa, tanto para los de suma como para los de multiplicación.

Recursos recomendados

Etapa

Desarrollo

Flujo de aprendizaje

Enseñanza/Actividades de aprendizaje

El docente En el material del estudiante trabajan lo presentado en el presenta el recurso. tema

Recursos recomendados

Material del estudiante

Actividad 3: Números irracionales Skill 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 El docente muestra a través de un recurso varios ejemplos de números irracionales, escribiendo la representación decimal y dejando los puntos suspensivos, para raíz cuadrada de 2, raíz cuadrada de 3, raíz cubica de 5, pi, … Luego pregunta a los estudiantes ¿qué observan en los números que se muestran? ¿Qué pasa con las cifras decimales?, la intención es que reconozcan que son decimales infinitos no periódicos. Luego se presenta un video, en el cual se explica cómo se realiza la ubicación en la recta numérica de raíces cuadradas como √2 y √3, la idea es que se utilice inicialmente un triángulo rectángulo cuyos catetos miden la unidad, se aplica teorema de Pitágoras y se obtiene que la hipotenusa mide raíz cuadrada de 2, luego se toma con el compás la medida de la hipotenusa y se traslada desde el origen, ahora se hace un procedimiento similar para raíz cuadrad de 3, pero uno de los catetos mide 1 y el otro √2, Finalmente en un recurso interactivo expositivo se le muestra a los estudiantes los números irracionales más representativos.

π e

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y siguen sin repetirse. Es la proporción entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Los priemeros son estos: 3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...) El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. e = lim (1+1/ n) n n→∞ Los primeros decimales son: 2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

Recurso Interactivo

Etapa

Desarrollo

Flujo de aprendizaje

El docente presenta el tema

Recursos recomendados

Enseñanza/Actividades de aprendizaje

φ √

La razón de oro es un número irracional: Sus primeros dígitos son: 1.61803398874989484820... (y mas...) Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos: √3 = 1.7320508075688772935274463415059 (etc) √99 = 9.9498743710661995473447982100121 (etc)

En el material del estudiante se presenta lo trabajado durante el recurso.

Material del estudiante

ACTIVIDAD 4: Números reales El docente presenta la siguiente representación por medio de un recurso:

R

Q

I

Z N

Y un listado de varios números para que los arrastren al lugar correspondiente, luego realice lo siguiente: Observa y coloca verdadero o falso según corresponda: Q U I = R ____ Los Naturales están contenidos en los irracionales ___ Los enteros están contenidos en los racionales ____ Los racionales están contenidos en los enteros ____ En el recurso se deja espacio, para que el docente proponga más proposiciones.

Recurso Interactivo

Flujo de aprendizaje

Etapa

Desarrollo

Recursos recomendados

Enseñanza/Actividades de aprendizaje

El docente Luego de ubicar los números el recurso muestra que si un presenta el número pertenece a los naturales, a su vez pertenece a los enteros, a los racionales y a los reales. tema

Que si un número pertenece a los irracionales, a su vez también pertenece a los reales. Luego el recurso presenta una recta numérica y los estudiantes con apoyo del docente ubican los números reales que se vayan indicando, la actividad la evalúa el docente. Luego en un recurso expositivo se presentan las propiedades que se cumplen en la adición y multiplicación de números reales con ejemplos para cada una. Finalmente se presentan ejercicios que involucren suma, resta, multiplicación y división de números reales, la intención es que los estudiantes los resuelvan en su material del estudiante y que en el recurso coloquen las respuestas para ser validadas y socializadas con apoyo del docente. En el material del estudiante se presenta los trabajado durante el recurso. Resumen

Resumen

En el recurso se presenta un mapa conceptual similar al siguiente:

EL CONJUNTO DE LOS REALES

Se puede expresar como

Se puede expresar como

SON LOS

DECIMAL INFINITO NO PERIÓDICO

DECIMAL INFINITO PERIÓDICO EJEMPLO

Material del estudiante

ESTOS SON LOS

ESTOS SON LOS

RACIONALES

45,161616161

UNIDOS CON

IRRACIONALES

EJEMPLO

12,28435298765409801246.....

QUE ES EL CONJUNTO UNIÓN DE

FRACCIONES

CON

ENTEROS Z

Recurso Interactivo

SON

ES LA UNIÓN DE

COCIENTES DE NUMEROS ENTEROS

NATURALES NATURALES NEGATIVOS ES EL CONJUNTO

ES EL CONJUNTO

CERO {1,2,3,4,.....}

{-1,-2,-3,.....}

Material del estudiante

Etapa

Flujo de aprendizaje

Tarea

Tarea

Recursos recomendados

Enseñanza/Actividades de aprendizaje

En un recurso interactivo se presentan los ejercicios que deben ser desarrollados en el material del estudiante. 1. El premio de un sorteo se reparte entre 12 personas. ¿Qué parte del premio recibirá cada uno de ellos? ¿Qué fracción corresponde a lo que reciben 5 personas? Representa el resultado en la recta real. 2. Representa en la recta real los siguientes números: -15/10

-0,333333...

0,75

1/9

3. Sin realizar las siguientes operaciones, indica si su resultado es un número racional o irracional y por qué. a) 0,01100011100001111… + 1,313131… b) 0,33333…. + 0,333333… c) √3 . √9 d) 0,31323132… + √9 4. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 1/2

2/3

1/4

5/2

3/5

4/3

y

5/8

Ejercicios para resolver.