Controle

1-Introdução ao Controle de Processos

Plantas químicas não operam em estado estacionário. O estado estacionário, apesar de ser uma condição de operação desejável, nem sempre é atingido ou mantido por muito tempo. Isso quer dizer que numa planta química, as condições de operação estão sujeitas a mudanças ao longo do tempo. O nível de líquido em um equipamento, a pressão em um vaso, a vazão de um reagente ou sua composição; todas estas condições podem (e costumam) variar. Assim, existe a necessidade de se monitorar a operação destas plantas e intervir para garantir a satisfação dos objetivos operacionais. 1.1-Porque controlar? Plantas químicas devem operar sob condições conhecidas e pré-determinadas. Existem várias razões para isso: 

Segurança: restrições de segurança e ambientais não podem ser violadas.



"Operabilidade": certas condições são requeridas para que as reações desejadas ou outras

operações ocorram. 

Economia: plantas químicas são caras e devem gerar lucros. Produtos finais devem

atender aos requerimentos de pureza do mercado ou não serão vendidos. Uma planta química deve ser pensada como uma coleção de tanques nos quais materiais são aquecidos, resfriados e reagem, e de tubulações através das quais estes materiais escoam. Tais sistemas em geral não se mantêm em tal estado que a temperatura requerida para uma reação se mantenha, que a pressão além dos limites de segurança em todos os tanques seja evitada ou que a vazão exata para atingir a composição ótima do produto seja atingida. Controlar um processo significa atuar sobre ele, ou sobre as condições a que o processo está sujeito, de modo a atingir algum objetivo - por exemplo, podemos achar necessário ou desejável manter o processo sempre próximo de um determinado estado estacionário, mesmo que efeitos externos tentem desviá-lo desta condição. Este estado estacionário pode ter sido escolhido por atender melhor aos requisitos de qualidade e segurança do processo. Exemplo 1.1: considere o tanque de aquecimento da Figura 1.1: Um líquido entra no tanque com uma vazão Fi (l/h) e uma temperatura T (ºC) onde é aquecido com vapor (que tem uma taxa de alimentação Fst (kg/h)). O tanque é perfeitamente agitado, o que significa que a temperatura da corrente de saída é igual à temperatura do

1

líquido no tanque. A corrente de saída tem vazão F e temperatura T. Os objetivos operacionais do tanque são: 1-Manter a temperatura de saída T num valor desejado Ts 2-Manter o volume de líquido no tanque num valor desejado Vs

Figura 1.1-Tanque aquecedor. Se o processo operasse em estado estacionário, ou seja, se nada mudasse, não seria necessário controlar o processo. Uma vez que a temperatura da corrente de saída fosse igual a Ts e o volume de líquido igual a Vs o sistema poderia funcionar sem supervisão ou controle. No entanto, a operação de equipamentos é afetada por fatores externos. Por exemplo, podem ocorrer mudanças na vazão e temperatura de entrada (Fi e Ti). Assim, é necessário um esquema de controle que mantenha T e V nos valores desejados Ts e Vs. Uma outra situação que pode ocorrer é a mudança dos valores desejados. Por algum motivo deseja-se que o tanque deixe de operar na temperatura Ts e no volume Vs e opere em Ts1 e Vs1. Também neste caso um esquema de controle é necessário para levar o sistema às novas condições de operação. Na Figura 1.2 está mostrado um esquema de controle para manter T=Ts quando Ti e/ou Fi sofrem perturbações. Um termopar (sensor de temperatura) mede a temperatura T do líquido dentro do tanque. T é comparada com o valor desejado Ts gerando um desvio =Ts-T. O valor do desvio é enviado para um mecanismo de controle que decide o que deve ser feito para que a temperatura T volte ao valor desejado Ts. Se >0, o que implica em Ts>T, o controlador abre a válvula de vapor de forma que mais calor seja fornecido ao sistema. Ao contrário, se <0, e logo Ts
Figura 1.2- Esquema de controle feedback de um tanque aquecedor. Uma configuração similar pode ser usada de desejamos manter o volume V, ou de forma equivalente, o nível de líquido h, no seu set point (hs) quando Fi muda. Neste caso medimos o nível do líquido no tanque e abrimos ou fechamos a válvula que afeta a vazão de saída F, ou a vazão de entrada (Fi). Este também é um esquema de controle feedback já que age depois do fato, ou seja, depois que o efeito da perturbação foi sentido pelo processo (mudança da variável controlada T). Pode-se usar um arranjo diferente para manter a temperatura T=Ts quando Ti muda. Mede-se a temperatura da corrente de entrada Ti e abre-se ou fecha-se a válvula de vapor para fornecer mais ou menos calor. Se Ti aumenta, a temperatura do tanque T tende a subir, logo a válvula de vapor deve ser fechada para fornecer menos calor e manter a temperatura em Ts. Ao contrário, se Ti diminui, deve-se abrir a válvula de vapor. Este esquema de controle é chamado de feedforward e é mostrado na Figura 1.3. Pode-se notar que o controle feedforward não espera até que a perturbação seja sentida pelo sistema, mas age antecipadamente, prevendo qual será o efeito seta perturbação.

Figura 1.3-Esquema de controle feedforward de um tanque aquecedor. 3

1.2-Classificação das variáveis de um processo químico As variáveis (vazões, temperaturas, pressões, concentrações etc.) associadas a um processo químico são divididas em dois grupos  variáveis de entrada, que estão relacionadas com o efeito do meio externo no processo.  variáveis de saída, que estão relacionadas com o efeito do processo no meio externo. Exemplo 1.2: Considere o CSTR (Continuous Stirred Tank Reactor) abaixo:

Figura 1.4- CSTR. Para este reator temos:  variáveis de entrada: Cai, Ti, Fi, Tci, Fc, (F)  variáveis de saída: Ca, T, F, Tco, V A vazão de efluente, F, pode ser considerada uma variável de entrada ou saída. Se há uma válvula na corrente de efluente, de forma que a sua vazão possa ser manipulada por um controlador, F é uma variável de entrada, desde que a abertura da válvula é ajustada externamente; senão F é uma variável de saída.

As variáveis de entrada podem ainda ser classificadas da seguinte maneira  variáveis manipuladas (ou ajustáveis), cujos valores podem ser ajustados por um operador humano ou por um mecanismo de controle.  perturbações, cujos valores não são resultantes de ajuste por um operador ou sistema de controle As variáveis de saída podem ser classificadas em:  variáveis medidas, cujos valores são conhecidos por medida direta.  variáveis não medidas, cujos valores não podem ser medidos diretamente. Exemplo 1.3: Suponha que a corrente de entrada do CSTR do exemplo 1.2 (Figura 1.4) vem de uma unidade sobre a qual não temos nenhum controle. Então Cai, Fi e Ti são perturbações. Se a vazão de refrigerante é controlada através de uma válvula de controle, Fc é uma variável manipulada, enquanto Tci é uma perturbação. Além disso, se a vazão de efluente é controlada por uma válvula, F é uma variável manipulada, de outra forma é uma variável de saída. 4

Com respeito às variáveis de saída, temos o seguinte: T, F, Tco e V são saídas medidas, desde que seus valores podem ser facilmente conhecidos usando-se termopares (T, Tco), um tubo Venturi (F) e uma célula de diferencial de pressão (V). A concentração Ca pode ser uma variável medida se um analisador (cromatógrafo gasoso, espectofotômetro de infravermelho, etc.) está ligado à corrente de efluente. Em muitas plantas estes analisadores não estão presentes porque são caros e/ou pouco confiáveis. Em tais casos, Ca é uma variável de saída não medida. As perturbações também podem ser classificadas como medidas ou não medidas. Como veremos mais tarde, perturbações não medidas geram problemas de controle mais difíceis. 1.3-Elementos de projeto de um sistema de controle 

Definir o objetivo do controle: O elemento central de qualquer configuração de controle é o processo a ser controlado.

A primeira pergunta que deve ser respondida é qual o objetivo operacional do sistema de controle. Que variáveis se deseja controlar? 

Selecionar as medidas: Quaisquer que sejam os nossos objetivos de controle, precisamos de meios de

monitorar o desempenho do processo químico. Isto é feito medindo-se os valores de certas variáveis de processo (temperaturas, pressões, concentrações, vazões, etc.). Logo a segunda questão é: que variáveis devem ser medidas para monitorar o desempenho da planta? É fácil concluir que gostaríamos de medir diretamente as variáveis que representam os nossos objetivos de controle e isso é o que é feito sempre que possível. Estas medidas são chamadas de medidas primárias. Exemplo 1.4: Para o tanque aquecedor do exemplo 1.1 (Figura 1.1) os nossos objetivos de controle eram manter o volume e a temperatura do líquido no tanque em níveis desejados, ou seja, manter T=Ts e V=Vs. Consequentemente a primeira tentativa é instalar medidores para monitorar T e V diretamente. Para este caso, isso é bastante simples. Algumas vezes acontece que os nossos objetivos de controle não são quantidades mensuráveis, ou seja, pertencem à classe de saídas não medidas. Nestes casos, devem-se medir outras variáveis que possam ser medidas com facilidade e confiança. Estas medidas de suporte são chamadas de medidas secundárias. Então desenvolvemos relações matemáticas entre as saídas não medidas e as medidas secundárias, ou seja saída não medida = f (medidas secundárias) 5

que nos permitem determinar os valores das variáveis não medidas (sempre que os valores das medidas secundárias estejam disponíveis). Estas relações matemáticas podem resultar de considerações empíricas, experimentais ou teóricas. A terceira classe de medidas que podem ser feitas para monitorar o comportamento do processo inclui a medida direta de perturbações externas. Medir as perturbações antes que elas atinjam o processo pode ser muito vantajoso, porque nos permite saber com antecedência qual vai ser o comportamento do processo e tomar ações de controle para evitar qualquer consequência indesejada. 

Selecionar as variáveis manipuladas: Uma vez que os objetivos de controle foram especificados e as várias medidas

identificadas, a próxima questão é: que variáveis manipuladas vamos usar para controlar o sistema? Normalmente num processo temos algumas variáveis de entrada que podem ser ajustadas. Qual selecionar é uma questão importante, que afetará a qualidade das ações de controle tomadas. A variável a manipular tem que ter um efeito razoável sobre aquelas que definem o objetivo desejado. Muita ou pouca sensibilidade geram inconvenientes que devem ser evitados. Pouca sensibilidade significa que seriam necessárias mudanças muito grandes na variável manipulada para produzir um efeito na variável controlada. Neste caso, surgem problemas de saturação de instrumentos, problemas de ruídos etc. Muita sensibilidade também não é desejável, pois apenas uma pequena mudança na variável manipulada já produz um efeito exagerado na variável controlada. Surgem problemas com a resolução dos instrumentos e, novamente, com o efeito de ruídos. Exemplo 1.5: Para controlar o nível de líquido num tanque podemos ajustar (manipular) a vazão da corrente de entrada ou a vazão da corrente de saída. Qual a melhor é uma questão importante a ser respondida mais tarde. 

Selecionar a configuração de controle: Uma configuração (ou estrutura) de controle é a estrutura de informação que é usada

para conectar as medidas disponíveis às variáveis manipuladas disponíveis. 

Projetar o controlador: Em toda configuração de controle o controlador é o elemento ativo que recebe a

informação das medidas e toma ações de controle apropriadas para ajustar os valores das variáveis manipuladas. Para o projeto de um controlador devemos responder à seguinte pergunta: Como a informação tirada das medidas é usada para ajustar as variáveis 6

manipuladas? A resposta desta questão constitui a lei de controle, que é implementada automaticamente pelo controlador.

Bibliografia: 1-Stephanopoulos, George, Chemical Process Control: An Introduction to Theory and Practice, Prentice-Hall Inc., New Jersey, 1984. 2-Luyben, William L., Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers, 2nd edition, McGraw-Hill Inc., Singapore, 1990. 3-Seborg, Dale E., Thomas F. Edgar e Duncan A. Mellichamp, Process Dynamics and Control, J. Wiley, New York, 1989. 4-Curso

de

Controle

de

Processos,

PUC-Rio,

http://venus.rdc.puc-

rio.br/werneckr/index_cp.html. 5-Curso

de

Controle

de

Processos,

University

http://lorien.ncl.ac.uk/ming/Dept/Swot/notes.htm.

7

of

NewCastle

Upon

TY

NE,

2-Modelagem de processos para controle

2.1-Introdução Toda e qualquer técnica de controle, desde a mais elementar até a mais sofisticada, requer algum grau de conhecimento sobre o comportamento do sistema. Para investigar como o comportamento do sistema (suas saídas) muda com o tempo sob a influência de mudanças nas perturbações externas e variáveis manipuladas, e consequentemente projetar um controlador apropriado, pode-se usar duas abordagens diferentes:  abordagem experimental: neste caso o(s) equipamento(s) físico do processo está disponível. Logo, mudamos o valor das várias entradas (perturbações e variáveis manipuladas) e observamos como as saídas variam com o tempo. Este procedimento é demorado e normalmente caro, já que um grande número de experimentos deve ser realizado. Além disso, deve-se garantir que as medidas realizadas contêm informação suficiente para caracterizar completamente a dinâmica do processo, ou pode-se obter um quadro errado desta dinâmica, de forma que podem estar ocorrendo flutuações fortes dentro do sistema que não estão aparecendo nas saídas medidas.  abordagem teórica: modelos matemáticos são usados para determinar o comportamento dinâmico ou estático do processo. Como em alguns casos o equipamento físico do processo não está disponível para testes e, mesmo quando está, a abordagem experimental é demorada e cara, a abordagem teórica é a mais usada. Os modelos matemáticos podem ser classificados genericamente em duas categorias:  teóricos (fenomenológicos): desenvolvidos a partir de pressupostos teóricos que tentam descrever de forma mais fundamentada os vários aspectos envolvidos no problema.  empíricos: não estão baseados em quaisquer pressupostos teóricos, mas apenas são utilizados para descrever um certo conjunto de pontos experimentais conhecidos. A princípio, os modelos empíricos são tão bons quanto os modelos teóricos, embora os modelos teóricos possam ser utilizados de forma bem mais racional do que os modelos empíricos. Por exemplo, as extrapolações feitas com modelos empíricos não são recomendadas, já que nada garante que a realidade vá continuar se comportando daquela forma numa faixa diferente de condições. No entanto, a continuidade dos pressupostos teóricos (e, portanto, do modelo matemático a que dão origem) em condições diferentes é bem mais aceitável. 8

Os modelos podem ainda ser classificados como lineares ou não lineares. O uso de modelos lineares se baseia na hipótese de que os sistemas têm um comportamento que pode ser aproximado linearmente. O seu uso é difundido pois a teoria de controle linear está bastante bem desenvolvida e as equações lineares em geral têm solução analítica, o que permite a fácil obtenção de resultados. Em particular na área de controle de processos, como a principal forma de operação nas grandes indústrias é no estado estacionário, os pequenos desvios associados ao efeito de perturbações não chega a afastar o sistema de um comportamento aproximadamente linear. Entretanto, devemos ter em mente que a realidade é não linear. As crescentes exigências de qualidade e quantidade colocadas para a indústria a defrontam com situações de operação extremas, onde os efeitos não lineares são muito mais importantes. Ainda, existem inúmeros processos que são operados em batelada ou batelada alimentada (polímeros, produtos farmacêuticos, etc.). Neste tipo de operação, não há estado estacionário, e o comportamento do processo é fortemente não linear. Neste caso, são necessários modelos não lineares. Ao se modelar o sistema de interesse, deve-se ter em mente que um modelo muito complexo não tem utilidade em análise e projeto de sistemas de controle. Muitas leis de controle são obtidas a partir de versões simplificadas do comportamento do processo e/ou são ajustadas usando essas versões. Num processo iterativo de projeto, via tentativa e erro, o uso frequente do modelo matemático também requer que o mesmo seja uma versão simples da realidade, caso contrário o esforço computacional requerido seria muito grande. Ainda, muitas das leis de controle mais avançadas incluem um modelo do processo que, consequentemente, tem que ser resolvido em linha. Novamente não podemos nem imaginar o uso de modelos complexos. Neste curso a teoria de controle linear será abordada e, logo, trabalharemos na maioria das vezes com modelos lineares ou linearizados. 2.2- Linearização e variáveis desvio Linearização é o processo pelo qual nós aproximamos sistemas não lineares com sistemas lineares. Considere a seguinte equação diferencial não linear dx  f ( x) dt

(2.1)

Expanda a função não linear f(x) em série de Taylor em torno de um ponto x0

9

 d n f  (x  x0 )n x  x 0  d 2f  ( x  x 0 )2  df    f ( x)  f ( x 0 )      ..... ...  dx  x 1! 2! n!  dx 2  x  dx n  x 0 0

(2.2)

0

Se desprezarmos todos os termos de ordem 2 ou maior, temos a seguinte aproximação para o valor de f(x)  df  f ( x)  f ( x 0 )    ( x  x 0 )  dx  x

(2.3)

0

A aproximação linear somente é satisfatória quando x está próximo de x0. Na figura 2.1 está mostrada a função não linear f(x) e a sua aproximação linear em torno de x 0. Fica claro que a aproximação linear depende da localização do ponto x 0 em torno do qual fazemos a expansão em série de Taylor. Compare a aproximação linear de f(x) nos pontos x0 e x1. A aproximação somente é exata no ponto de linearização.

Figura 2.1- Linearização em torno de um ponto. Vamos introduzir agora o conceito de variáveis desvio, que é muito útil para controle de processos. Suponha que xs é o valor de estado estacionário de x que descreve o sistema dinâmico da eq. (2.1) inicialmente. Então dx s  0  f ( xs ) dt

(2.4)

Considere que xs é o ponto de linearização para a eq. (2.1). Então o modelo linearizado é dx  df   f (xs )    (x  xs )  dx  x dt s

(2.5)

Subtraia a eq. (2.4) da eq. (2.5) d( x  x s )  df     ( x  xs )  dx  x dt s

(2.6)

Definimos a variável desvio como x'  x  xs

(2.7) 10

Então a eq. (2.5) fica dx '  df     x' dt  dx  x s

(2.8)

Esta é a aproximação linearizada do sistema dinâmico não linear descrito pela eq. (2.1) expressa em termos de variáveis desvio. A noção de variáveis desvio é muito útil em controle de processos. Normalmente estamos tentando manter o valor de uma variável de processo em algum estado estacionário desejado (set-point). Consequentemente, o estado estacionário é um bom ponto em torno do qual se pode desenvolver o modelo linearizado. Nestes casos, a variável desvio descreve diretamente a magnitude do deslocamento do sistema do nível de operação desejado. Além disso, se o controlador de um dado processo foi bem projetado, não permitirá que a variável de processo se afaste muito do estado estacionário desejado. Desta forma o modelo linear aproximado expresso em termos de variáveis desvio descreverá bem o comportamento dinâmico do sistema. Para sistemas com mais de uma variável, a metodologia para linearização é a mesma. Considere o seguinte sistema dinâmico dx1  f1 ( x1 , x 2 ) dt

(2.9)

dx 2  f 2 ( x1 , x 2 ) dt

(2.10)

Expanda as funções não lineares f1(x1,x2) e f2(x1,x2) em série de Taylor em torno do ponto (x1,0,x2,0) e despreze os termos de ordem 2 e superiores  df  f1 ( x1 , x 2 )  f1 ( x1,0 , x 2,0 )   1   dx1  ( x

 df  ( x1  x1,0 )   1   dx 2  ( x )

 df  f 2 ( x1 , x 2 )  f 2 ( x1,0 , x 2,0 )   2   dx1  ( x

 df  ( x1  x1,0 )   2   dx 2  ( x )

1,0 , x 2,0

1,0 , x 2,0

( x 2  x 2,0 )

(2.11)

( x 2  x 2,0 )

(2.12)

1,0 , x 2,0 )

1,0 , x 2,0 )

Substituindo as aproximações acima nas equações dinâmicas (eq. (2.9) e (2.10))  df  dx1  f1 ( x1,0 , x 2,0 )   1  dt  dx1  ( x

 df  ( x1  x1,0 )   1   dx 2  ( x )

 df  dx 2  f 2 ( x1,0 , x 2,0 )   2  dt  dx1  ( x

 df  ( x1  x1,0 )   2   dx 2  ( x )

1,0 , x 2,0

1,0 , x 2,0

( x 2  x 2,0 )

(2.13)

( x 2  x 2,0 )

(2.14)

1,0 , x 2,0 )

1,0 , x 2,0 )

Estas duas últimas equações são lineares e constituem o modelo linearizado que aproxima o modelo não linear descrito pelas eqs. (2.9) e (2.10). 11

Para expressar o modelo linearizado em termos de variáveis desvio, selecione o estado estacionário (x1,s, x2,s) como o ponto em torno do qual a linearização vai ser feita. No estado estacionário as eqs. (2.9) e (2.10) levam a 0  f1 ( x1, s , x 2,s )

(2.15)

0  f2 ( x1, s , x 2,s )

(2.16)

Subtraia as eqs. (2.15) e (2.16) das eqs. (2.13) e (2.14) e obtenha d( x1  x1, s ) dt

 df   1  dx1  ( x

 df  ( x1  x1, s )   1   dx 2  ( x )

( x 2  x 2, s )

(2.17)

 df   2  dx1  ( x

 df  ( x1  x1, s )   2   dx 2  ( x )

( x 2  x 2, s )

(2.18)

1, s , x 2, s

d( x 2  x 2, s ) dt

1, s , x 2, s

1, s , x 2, s )

1, s , x 2, s )

Definindo as variáveis desvio x1'  x1  x1, s e dx '1

 df   1 dt  dx1  ( x

1, s , x 2, s

dx '2

 df   2 dt  dx1  ( x

1, s , x 2, s

x '2  x 2  x 2,s  df  x1'   1   dx 2  ( x )

x '2

(2.19)

 df  x1'   2   dx 2  ( x )

x '2

(2.20)

1, s , x 2, s )

1, s , x 2, s )

Exemplo 2.1- Linearize a seguinte expressão e a escreva em função de variáveis desvio em relação ao ponto x10 e x20:

dx1( t )  ax1( t )  bx1( t ) x 2( t )  cx 2( t ) 2 . Nesta expressão a, b e c são dt

parâmetros constantes e x1 e x2 variam com o tempo. Considere x10=1, x20=2, a=b=c=1. Da eq. (2.9) temos que f 1(x1, x 2)  ax1(t )  bx1(t )x 2(t )  cx2(t ) 2 . Pela eq. (2.11) podemos aproximar f1(x1,x2) por: f 1(x1, x 2)  ax10  bx10 x 2 0  cx2 0 2  (a  bx 2 0 )(x1  x10 )  (bx10  2cx2 0 )(x 2  x 2 0 )

Logo,

dx1  ax10  bx10 x 2 0  cx 2 0 2  (a  bx 2 0 )(x1  x10 )  (bx10  2cx 2 0 )(x 2  x 2 0 ) dt

No estado estacionário: dx10  0  ax10  bx10 x 2 0  cx 2 0 2 dt

Subtraindo as duas equações chegamos a: d( x1  x10 )  (a  bx 2 0 )(x1  x10 )  (bx10  2cx 2 0 )(x 2  x 2 0 ) dt 12

Mas (x1  x10 )  x1' e (x 2  x 20 )  x 2' , então a equação acima fica igual a: dx1'  (a  bx 2 0 ) x1'  (bx10  2cx 2 0 ) x 2 ' dt

Substituindo os valores de x10, x20, a, b e c, chegamos a: dx1'  3x1'  5x 2 ' dt

2.3-Alguns tipos de modelos matemáticos a)Modelos de equações diferenciais b)Modelos de diferenças finitas c)Modelos de entrada saída (exemplo: modelos de função de transferência) a)Modelos de equações diferenciais Estes são modelos teóricos, baseados nas hipóteses fundamentais que balizam a análise de problemas da engenharia química, que são normalmente os princípios de conservação de massa e energia. Os balanços de massa e/ou energia dão origem a equações diferenciais ordinárias e/ou parciais, geralmente combinadas com uma ou mais equações algébricas. As equações algébricas podem descrever relações termodinâmicas (relações que descrevem as situações de equilíbrio atingidas durante uma reação ou por uma ou mais fases), equações de estado (por exemplo a lei dos gases ideais ou a equação de Van der Waals), equações de taxa de transporte (taxas de transferência de massa, energia etc.), equações de taxas cinéticas (descrevem as taxas de reações químicas), etc. A aplicação dos princípios de conservação permite construir modelos para um grande número de sistemas. No entanto, informações adicionais que não podem ser obtidas das equações de balanço são freqüentemente necessárias. Por exemplo, saber como a densidade de um fluido depende da temperatura ou como a velocidade da reação depende das concentrações dos reagentes. Nestes casos, equações empíricas podem ser utilizadas para descrever a fração desconhecida do modelo ou uma modelagem mais detalhada do fenômeno pode ser utilizada. Por exemplo, pode-se dizer simplesmente que a velocidade de reação varia com uma potência da concentração e tentar determinar o expoente a partir de experimentos, introduzindo-se assim um certo grau de empirismo ao nosso modelo teórico, ou tentar descrever o mecanismo de reação de forma detalhada para tentar desvendar a forma com que a velocidade de reação depende da concentração do reagente. Para a maioria dos sistemas de interesse para um engenheiro químico existem somente três quantidades: massa, energia e momento. Frequentemente, no entanto, as variáveis 13

fundamentais não podem ser medidas diretamente. Nestes casos, selecionamos outras variáveis que podem ser medidas e que agrupadas apropriadamente determinam o valor das variáveis fundamentais. Então massa, energia e momento podem ser caracterizados por variáveis tais como densidade, concentração, temperatura, pressão e vazão. Estas são as chamadas variáveis de estado e os seus valores definem o estado de um sistema. As equações que relacionam as variáveis de estado (variáveis dependentes) às variáveis independentes são derivadas da aplicação de princípios de conservação nas quantidades fundamentais e são chamadas de equações de estado. O princípio da conservação de uma quantidade S diz que: [acúmulo S]/tempo = [entrada S]/tempo - [saída S]/tempo + [geração S]/tempo - [consumo S]/tempo S pode ser: 

massa total



massa dos componentes individuais



energia total



momento Deve-se lembrar sempre que para os processos químicos a massa total e a energia total

não podem ser gerados nem desaparecer. Revisando a forma mais usada das equações de balanço: 

Balanço de massa total:

d(V)    i Fi    j Fj dt i:entradas j:saídas



(2.21)

Balanço de massa para o componente A:

dn A d(CA V)    CAiFi   CAjFj  rV dt dt i:entradas j:saídas



(2.22)

Balanço total de energia:

dE d( U  K  P)     i Fi h i    j Fj h j  Q  Ws dt dt i:entradas j:saídas

As variáveis que aparecem acima são: :

densidade

V:

volume do sistema

F:

vazão volumétrica de alimentação

nA:

número de moles do componente A 14

(2.23)

CA:

concentração molar de A (moles/volume)

r:

taxa de reação por unidade de volume para o componente A

h:

entalpia específica

U, K, P: Q:

energias interna, cinética e potencial do sistema

quantidade de calor trocada pelo sistema com o meio ambiente por unidade de tempo (por condução, radiação ou reação)

Ws:

trabalho realizado por unidade de tempo Por convenção, uma quantidade é considerada positiva se entra no sistema e negativa

se sai. As equações de estado com as variáveis de estado associadas constituem o modelo matemático do processo, que simula o comportamento dinâmico do processo. A aplicação dos princípios de conservação levam a um conjunto de equações diferenciais com as quantidades fundamentais como variáveis dependentes e o tempo como a variável independente. A solução das equações diferenciais determinam como as quantidades fundamentais, ou equivalentemente, as variáveis de estado, mudam com o tempo, ou seja, o comportamento dinâmico do processo. Se as variáveis de estado não variam com o tempo, dizemos que o processo está em estado estacionário. Neste caso a taxa de acúmulo é zero e, logo, os balanços resultantes são um conjunto de equações algébricas. Exemplo 2.2- Considere o tanque aquecedor do exemplo 1.1 (Figura 1.1). As quantidades fundamentais cujos valores definem o estado do aquecedor são: 

a massa total de líquido no tanque



a energia total do material no tanque



o momento O momento permanece constante mesmo com as perturbações e não será considerado. As variáveis de estado, logo, são:



massa total no tanque= V  Ah

onde  é a densidade do líquido, V é o volume de líquido, A é a área tranversal do tanque e h é a altura do nível de líquido. 

energia total do líquido no tanque=E=U+K+P

Se a velocidade de escoamento da entrada e saída não forem muito altas, o termo de energia cinética é desprezível:dK/dt. Se a diferença de altura entre a entrada e saída não for alta a energia potencial também é desprezível:dP/dt=0. Assim, dE/dt=dU/dt. 15

As equações de balanço são dadas por: 

balanço de massa total:

d(Ah)  Fi  F dt

onde Fi e F são as vazões volumétricas de entrada e saída. Considerando-se que  não varia com a temperatura A

dh  Fi  F dt



(2.24)

balanço de energia total

d(VU )  Fi h i  Fh  Q dt

Mas a entalpia é definida como H  U  PV

Para líquidos o termo P V é desprezível e

dU dH  dt dt

Além disso H  Cp(T  Tref ) onde Cp é a capacidade calorífica do líquido no tanque e Tref é a temperatura de referência onde a entalpia específica do líquido é assumida igual a zero. A equação se transforma em: d[AhCp(T  Tref )]  Fi Cp (Ti  Tref )  FCp (T  Tref )  Q dt

onde Q é a quantidade de calor fornecida pelo vapor por unidade de tempo. Simplificando (assume-se que Tref=0): A

d(hT) Q  Fi Ti  FT  dt Cp

Mas, A Ah

d(hT) dT dh  Ah  AT . Substituindo então a equação 2.24 e simplificando chega-se a dt dt dt

dT Q  Fi (Ti  T)  dt Cp

(2.25)

As variáveis nas equações 2.4 e 2.5 podem ser classificadas como segue: 

variáveis de estado: h, T



variáveis de saída: h, T (medidas)



variáveis de entrada: 

perturbações: Ti, Fi



variáveis manipuladas: Q,F (para controle feedback) Fi (para controle feedforward)

Elementos adicionais dos modelos matemáticos 16

Além das equações de balanço, precisamos de outras relações para expressar equilíbrio termodinâmico, taxas de reação, taxas de transporte para calor, massa, momento, etc. Estas relações adicionais podem ser classificadas como: 

Equações de taxas de transporte São necessárias para descrever taxas de transferência de massa, energia e momento.

São estudadas em cursos de fenômenos de transporte. Por exemplo, o calor fornecido pelo vapor no exemplo anterior é dado pela seguinte equação de transferência de calor: Q  UA t (TV  T)

onde

U=coeficiente global de tranferência de calor At=área total de transferência de calor TV=temperatura do vapor



Equações de taxas cinéticas São necessárias para descrever as taxas de reação química que ocorrem no sistema.

São estudadas nos cursos de cinética. Por exemplo, a taxa de uma reação de primeira ordem ocorrendo num CSTR é dada por: r  k0

onde

E RT e C

A

k0=constante cinética E=energia de ativação da reação R=constante dos gases ideais T,CA=Temperatura e concentração de A no líquido reacional.



Relações de equilíbrio de fase e reação São necessárias para descrever as situações de equilíbrio alcançadas durante uma

reação química por duas ou mais fases. São estudadas em cursos de termodinâmica. 

Equações de estado São necessárias para descrever relações entre as variáveis que descrevem o estado

termodinâmico de um sistema. A equação dos gases ideais e a equação de van der Walls são dois exemplos de equação de estado para sistemas gasosos.

Tempo morto Nos exemplos anteriores assumimos que sempre que uma mudança ocorre numa das variáveis de entrada, seu efeito é instantaneamente observado nas variáveis de saída. Na verdade, normalmente quando uma variável de entrada sofre uma mudança existe um 17

intervalo de tempo (curto ou longo) durante o qual nenhum efeito é observado nas saídas do sistema. Este intervalo é chamado de tempo morto. Exemplo 2.3- Considere o escoamento de um líquido incompressível através de um tubo (Figura 2.1a). Se o tubo é termicamente isolado e o calor gerado pela fricção do fluido escoando é desprezível, é fácil concluir que no estado estacionário a temperatura de saída do tubo (Tout) é igual à de entrada (Tin). Se no tempo t=0 a temperatura de entrada muda como mostrado pela curva A mostrada na Figura 2.1b é claro que a temperatura na saída (Tout) vai permanecer a mesma até que a mudança chegue ao final do tubo. Então vamos observar a temperatura de saída mudando, como mostrado na curva B na Figura 2.1b. Notamos que a mudança na temperatura de saída segue a mesma forma da mudança na entrada com um atraso de td segundos. td é o tempo morto e a partir de considerações físicas é fácil ver que: td 

volume do tubo vazão volumétrica



AL L  AU av U av

onde Uav é a velocidade média do fluido através da área transversal do tubo, assumida constante. Podemos relacionar Tin e Tout como: Tout (t )  Tin (t  td)

Figura 2.2

Exemplos adicionais Exemplo 2.4: Modelo matemático de um CSTR

18

Considere o CSRT do exemplo 1.2 (Figura 1.4), onde uma reação simples exotérmica A  B acontece no reator, que é resfriado por um fluido refrigerante que escoa através de uma jaqueta em torno do reator. As quantidades fundamentais do reator são:  massa total de mistura reativa no reator  massa do componente A na mistura reativa  energia total da mistura reagente no tanque A massa do componente B pode ser calculada a partir dos balanços do componente A e global. Logo, este balanço não é independente. (massa total = massa A + massa B). A massa se conserva, mas não o número de moles dos componentes. Os balanços são: 

balanço global:

d(V)   i Fi  F dt

considerando =cte, temos: 

dV  Fi  F dt

balanço para o componente A:

dn A d(C A V)   C Ai Fi  C A F  rV dt dt

Substituindo a equação de balanço global (dV/dt) e simplificando: E

dC A Fi  (C Ai  C A )  k 0 e RT C A dt V



balanço de energia:

dH d[Vcp (T  Tref )]   Fi cp(Ti  Tref )  Fcp(T  Tref )  (Hr)rV  Q dt dt

onde Hr é o calor de reação, que por convenção é negativo para reação exotérmica e Q é o calor retirado pela jaqueta. Simplificando chega-se a: (Hr)r dT Fi Q  (Ti  T)   dt V Cp CpV

Exemplo 2.5- Considere o CSTR com duas fases mostrado na Figura 2.3. Correntes de líquido (F)e vapor (Fv) são retiradas do tanque. A pressão no tanque é P. Os volumes de líquido e vapor são V e Vv. A densidade e temperatura da fase vapor são v e Tv. A fração molar de A no vapor é y.

19

Figura 2.3 Se as fases estão em equilíbrio térmico, as temperaturas do vapor e líquido são iguais (T=Tv). Se existe equilíbrio de fases, as composições do líquido e do vapor estão relacionadas pela lei de Raoult, por uma relação de volatilidade relativa ou alguma outra relação de equilíbrio líquido-vapor. A entalpia da fase vapor (H) é uma função da composição y, da temperatura Tv e da pressão. Desprezando os termos de energia cinética, potencial e trabalho e substituindo as energias internas por entalpias, a equação de balanço global de energia se transforma em: d(vVv H  VL h )  F0  0 h 0  Fh  FvvH  Q  (Hr)Vr dt

Pode-se substituir a entalpia do líquido por h=CpT e a do vapor por H=CpT+v, onde v é o calor de vaporização da mistura. A equação se transforma em: d(vVv (CpT  v)  VLCpT)  F00CpT0  FCpT  Fvv(CpT  v)  Q  (Hr)Vr dt

b)Modelos de diferenças finitas Modelos com equações de diferenças finitas correspondem à discretização de modelos de equações diferenciais e são normalmente usados em sistemas de controle digital. Exemplo 2.6: discretização de um modelo de 1a ordem. Considere o processo dy  f ( x, y) dt

(2.26)

Discretizando, temos dy y n  y n 1  dt t

ou

(2.27)

dy y n 1  y n  dt t

(2.28)

Usando a eq. (2.27) temos a equação de diferenças finitas yn  yn 1  t. f ( yn 1, x n 1 )

(2.29) 20

Exemplo 2.7: discretização de um modelo de 2a ordem. d 2y dt

2

d2y dt

2

 a1 

dy  a0y  x dt

(2.30)

d  dy  d  y n  y n 1  1      2 ( y n  2 y n 1  y n  2 )  t dt  dt  dt  t

(2.31)

a1  a1  1  2  1  a 0  y n 1  2 y n  2  x n 1  2   yn   2   t  t  t  t t

(2.32)

Logo, yn  a1' yn 1  a '2 yn  2  b1' x n 1

(2.33)

Estes modelos podem ser não lineares ou lineares, dependendo se resultam da discretização de equações diferenciais não lineares ou linearizadas. c) Modelos de entrada-saída Todo processo químico e as suas variáveis associadas podem ser descritos pela Figura 2.4. Um modelo matemático conveniente para um projetista de sistemas de controle deve estar de acordo com esta figura, ou seja, deve ser tal que, dados os valores das entradas, ele calcula diretamente os valores das saídas. Em particular, o modelo deve ter a seguinte forma geral para cada saída saída = f(variáveis de entrada)

Figura 2.4 ou seja, usando-se a Figura 2.4: yi  f ( m1, m 2 ,..., m k ; d1, d 2 ... d L )

para i=1,2,…,m.

(2.34)

Estes modelos que descrevem diretamente a relação entre as variáveis de entrada e saída de um processo são chamados de modelos de entrada-saída. Existem diversos tipos de modelo de entrada-saída, entre eles os modelos de resposta ao degrau, os modelos de convolução, os modelos de funções de transferência e até mesmo as redes neuronais.

c.1)Modelos de função de transferência c.1.1) Transformada de Laplace 21

Os modelos de função de transferência usam transformadas de Laplace. Estas transformadas são muito usadas em controle de processos, já que permitem o desenvolvimento de representações dinâmicas bastante simples de processos químicos. Elas transformam equações diferenciais lineares ou linearizadas em equações algébricas, com as quais é muito mais fácil trabalhar, e permitem uma análise rápida da dinâmica do processo. Além disso, elas fornecem uma relação direta entre as entradas e saídas do processo. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida da seguinte forma: 

L [f(t)] f(s)   f(t)e-st dt

(2.35)

0

Nota-se que a transformada de Laplace é a transformação de uma função do domínio do tempo (onde t é a variável independente) para o domínio s (onde s é a variável independente). s é uma variável definida no plano complexo (s=a+jb). A transformada de Laplace é uma operação linear: L [a1f1(t )  a 2f 2 (t )]  a1L [f1(t )]  a 2L [f 2 (t )]

(2.36)

onde a1 e a2 são parâmetros constantes. Propriedades adicionais das transformadas de Laplace: Teorema do valor final: lim f ( t )  lim[sf (s)] t





s



(2.37)

0

Teorema do valor inicial: lim f ( t )  lim[sf (s)] t



0

s



(2.38)



c.1.2) Funções de transferência dos modelos entrada-saída Considere um sistema simples com uma entrada e uma saída (SISO-Single input Single Output), como descrito na Figura 2.5a. O seu comportamento dinâmico é descrito por uma equação diferencial linear ou linearizada de ordem n.

Figura 2.5 an

dny dt

n

 a n 1

d n 1y dt

n 1

..... a1

dy  a 0 y  bf ( t ) dt

(2.39)

22

onde f(t) e y(t) são as variáveis de entrada e saída do processo, respectivamente. As duas são descritas como variáveis desvio. Considere que o sistema inicialmente está no estado estacionário. Logo d2y  d n 1 y   dy  y( 0)      ........  0   n 1   dt  t  0  dt 2  t  0  dt  t  0

(2.40)

Sabemos que a transformada de Laplace da derivada é dada por  d n y( t )  n n 1 n 2 ' n 2 L  (0)  y n 1(0)   s y(s)  s y(0)  s y (0)  ....... sy n  dt 

(2.41)

Logo, pode-se calcular a transformada de Laplace da eq. (2.39) a n s n y(s)  a n 1s n 1y(s)......a1sy(s)  a 0 y(s)  bf (s)

(2.42)

Pode-se escrever a função de transferência, G(s), que relaciona a entrada diretamente com a saída numa forma algébrica simples y(s) b  n n  f (s) a n s  a n 1s 1 .......a1s  a 0

G(s ) 

(2.43)

A figura 2.5b descreve esta relação entrada-saída e é chamada de diagrama de blocos do sistema. Se o processo tem duas entradas, como mostrado na figura 2.6a, o modelo dinâmico é an

dny dt n

 a n 1

d n 1 y dt n 1

.....a1

dy  a 0 y  b1f1 ( t )  b 2f 2 ( t ) dt

(2.44)

Com as mesmas condições iniciais (eq. (2.38)), temos y(s) 

n

a n s  a n 1s

b1 n 1

......a1s  a 0

f1 (s ) 

n

a n s  a n 1s

b2 n 1

......a1s  a 0

f 2 (s )

(2.45)

Ou equivalentemente y(s)  G1(s)f1(s)  G 2 (s)f2 (s)

(2.46)

onde G1(s) e G2(s) são duas funções de transferência que relacionam a saída do processo a cada uma das entradas. Estas relações estão mostradas no diagrama de blocos da figura 2.6b. Um procedimento semelhante pode ser aplicado a qualquer sistema com uma saída e várias entradas, como mostrado na figura 2.7.

23

Figura 2.6

Figura 2.7 Resumindo, pode-se definir a função de transferência entre uma entrada e uma saída da seguinte forma G( s ) 

transformada de Laplace da saida, em variaveis desvio transformada de Laplace da entrada, em variaveis desvio

24

(2.47)

25

26

c.1.3) Inversão de transformadas de Laplace (Expansão por frações parciais ou expansão de Heaviside) O ponto crítico para se achar a solução de uma equação diferencial usando transformadas de Laplace é a inversão destas transformadas para voltar ao domínio do tempo. Vamos então estudar o método das frações parciais para inversão destas transformadas. Considere que a transformada de Laplace de uma função desconhecida x (t) é dada por: x (s) 

Q(s) P(s)



Caso 1- P(s) com raízes reais e distintas

Considere a seguinte função de transferência: x (s)  27

s2  s  6 3

2

s  2s  s  2



Q(s) P(s)

P(s) é de 3ª ordem e tem três raízes: p1=1, p2=-1 e p3=2 Então P(s) pode ser escrito como P(s)  (s  1)(s  1)(s  2) Então a equação de x(s) pode ser expandida em frações parciais como x (s) 

s2  s  6 C1 C2 C3    (s  1)(s  1)(s  2) (s  1) (s  1) (s  2)

(2.48)

A inversa desta função de transferência é igual a: -1  C  -1  C  C   x ( t )  L -1  1   L  2   L  3   (s  1)   (s  1)   (s  2) 

Usando a Tabela 2.1, temos: x(t )  C1et  C2e t  C3e2t

(2.49)

Para calcular C1 deve-se multiplicar os dois lados da equação acima por (s-1): x (s) 

(s 2  s  6) C (s  1) C3 (s  1)  C1  2  (s  1)(s  2) (s  1) (s  2)

Se assumirmos (s-1)=0 ou s=1, temos:  (s 2  s  6)  C1   3   (s  1)(s  2)  s 1

Para calcular C2 deve-se multiplicar ambos os lados da eq. (2.48) por (s+1): x (s) 

s2  s  6 C (s  1) C (s  1)  1  C2  3 (s  1)(s  2) (s  1) (s  2)

Assumimos s+1=0 ou s=-1, logo:  s2  s  6  C2    2 / 3   (s  1)(s  2)  s 1

Para calcular C3 deve-se multiplicar ambos os lados da eq. (2.48) por (s-2): x (s) 

s2  s  6 C (s  2) C2 (s  2)  1   C3 (s  1)(s  1) (s  1) (s  1)

Assumimos s-2=0, ou seja, s=2. Logo  s2  s  6  C3    4 / 3   (s  1)(s  1)  s 2

Da eq. (2.49) temos a resposta: x(t )  3et  2 / 3e t  4 / 3e2t



Caso 2- P(s) com raízes complexas e distintas

Considere a transformada: 28

x (s) 

s 1 2

s  2s  5

P(s) tem duas raízes distintas e complexas conjugadas: p1=1+2j

e

p2=1-2j

Então P(s)  s2  2s  5  [s  (1  2 j)][s  (1  2 j)] Expandindo em frações parciais: x (s) 

s 1 s 2  2s  5



s 1 C1 C2   [s  (1  2 j)][s  (1  2 j)] s  (1  2 j) s  (1  2 j)

Usando a Tabela 2.1: x(t )  C1e(1 2 j) t  C2e(12 j) t

Para calcular C1, multiplica-se ambos os lados da equação acima por [s-(1+2j)] C [s  (1  2 j)] s 1  C1  2 [s  (1  2 j)] s  (1  2 j)

Fazendo [s-(1+2j)]=0, ou seja s=1+2j, calcula-se C1 

1 j 2

Fazendo [s-(1-2j)]=0, ou seja s=1-2j, calcula-se C2 

1 j 2

Note que os coeficientes C1 e C2 são complexos conjugados. Substituindo a resposta é: x(t ) 

1  j (1 2 j) t 1  j (1 2 j) t e  e 2 2

ou

x(t ) 

et [(1  j)e2 jt  (1  j)e 2 jt 2

Relembrando a identidade de Euler: e ja  cos a  j sen a

Então e 2 jt  cos 2t  j sen 2t

e e 2 jt  cos(2t )  j sen(2t )  cos 2t  j sen 2t

Então x(t) 

et et [(1  j)e 2 jt  (1  j)e 2 jt  [(1  j)(cos2t  j sen 2t )  (1  j)(cos2t  j sen 2t )]  2 2

e t (cos2t  sen 2t ) 29

Relembrando a identidade trigonométrica: a1 cos b  a 2 sen b  a3 sen(b  )

onde a3  a12  a 2 2

e

 a1    tan 1    a2 

Então a resposta é x(t )  et 2 sen(2t  )

onde =tan-1(1/1)=45º Então, sempre que um polinômio P(s) tiver raízes complexas : -elas sempre serão pares complexos conjugados -os coeficientes dos termos correspondentes na expansão em frações parciais também serão complexos conjugados um do outro. -darão origem a um termo periódico (ex. onda senoidal). 

Caso 3- P(s) com raízes múltiplas Considere a transformada de Laplace:

x (s) 

1 3

(s  1) (s  2)

Este polinômio tem 3 raízes iguais e uma diferente: p1=p2=p3=-1

e

p4=-2

Expandindo em frações parciais: x (s) 

1 3

(s  1) (s  2)



C1 C2 C3 C    4 2 3 s  1 (s  1) s2 (s  1)

(2.50)

Pelas tabelas 2.1 e 2.2 temos que: C x ( t )  C1e t  C2 te t  3 t 2e t  C4e 2t 2

Cálculo de C4: este coeficiente é o correspondente à raiz distinta e pode ser calculado pelo procedimento já descrito, ou seja, multiplica-se ambos os lados da eq.(2.50) por (s+2) e faça s=-2. C4=-1. Cálculo de C3: multiplique ambos os lados da eq. (2.50) por (s+1)3: 1 C (s  1)3  C1(s  1)2  C2 (s  1)  C3  4 (s  2) s2

(2.51)

Faça s=-1 e obtenha C3=1. Cálculo de C2: o procedimento descrito acima não funciona. Se multiplicarmos ambos os lados da equação por (s+1)2 temos: 30

C3 C (s  1) 2 1  C1 (s  1)  C 2   4 (s  1)(s  2) (s  1) s2

Fazendo s=-1, tanto o lado esquerdo quanto o termo envolvendo C3 tendem a infinito. O mesmo problema acontece se tentarmos calcular C1. Então, um procedimento alternativo deve ser usado. Diferencie ambos os lados da eq. (2.51) com relação a s e obtenha: 

1 (s  2) 2

 2C1(s  1)  C2  C4

(s  1) 2 (2s  5)

(2.52)

(s  2) 2

Faça s=-1 e obtenha C2=-1. Cálculo de C1: para obter C1 diferencie a eq. (2.52) uma vez mais e obtenha: 2 (s  2)3

 2C1  C4 2(s  1)

s 2  5s  7 (s  2)3

Faça s=-1 e obtenha C1=1. c.1.4) Pólos e zeros de uma função de transferência De acordo com a definição de função de transferência, temos: G (s) 

y(s) f (s)

(2.53)

Em geral, a função de transferência G(s) será a razão de dois polinômios: G (s) 

Q(s) P(s)

(2.54)

Para sistemas fisicamente realizáveis, o polinômio Q(s) será sempre de ordem menor do que o P(s). As raízes do polinômio Q(s) são chamadas de zeros da função de transferência ou zeros do sistema cuja dinâmica é descrita pela função de transferência G(s). Quando a variável s assume os valores dos zeros de Q(s), a função de transferência é igual a zero. As raízes do polinômio P(s) são chamadas de pólos da função de transferência, ou equivalentemente de pólos do sistema. Nos pólos de um sistema a função de transferência tende ao infinito. Se sabemos onde os pólos de um sistema estão localizados, podemos determinar as características qualitativas da resposta do sistema a uma entrada em particular sem cálculos adicionais. Por exemplo, considere que a função de transferência de um sistema dada por: G(s) 

Q(s) (s  p1)(s  p2)(s  p3) m (s  p4)(s  p4*)(s  p5)

31

onde p1, p2, p3, p4, p4* e p5 são as raízes de P(s), ou seja, os pólos do sistema. As seguintes observações podem ser feitas sobre a localização dos pólos: 1- Pólos distintos e reais, tais como p1 e p2 na Figura 2.8, estão localizados no eixo real. Durante a inversão da transformada de Laplace, dão origem a termos exponenciais tais como C1e p1t e C2e p2t. Como p1<0, C1e p1t cai exponencialmente para zero para t  (Figura 2.9a). Como p2>0, C2e

p2t

aumenta exponencialmente conforme t (Figura 2.9b). Então, pólos

distintos no eixo real negativo produzem termos que caem para zero com o tempo, enquanto pólos positivos reais fazem com que a resposta tenda a infinito com o tempo. 2-Múltiplos pólos reais, tais como p3, que são repetidos m vezes, levam a termos como: C 32 C C   t  33 t 2  ...  3m t m1 e p3t C 31  1! 2! (m  1)!  

O termo entre colchetes tende à infinito com o tempo. O comportamento do termo exponencial depende do valor do pólo p3: Se p3>0 então ep3t quando t. Se p3<0 então ep3t0 quando t. Se p3=0 então ep3t=1 pata todo tempo t. Então pólos reais e múltiplos levam a termos que tendem ao infinito, se o pólo é positivo ou zero, ou decaem para zero, se o pólo é negativo.

Figura 2.8

32

Figura 2.9 3-Pólos conjugados e complexos, tais como p4 e p4*. Deve-se enfatizar que estas pólos sempre aparecem em pares conjugados e nunca sozinhos. Seja p4=a+jb e p4=a-jb. Na inversão estes levam a termos tais como e

at

sen(bt+). A função sen(bt+) é periódica e

oscilatória e o comportamento de e at depende do valor da parte real a. Então: Se a>0, então e at quando t, e e

at

sen(bt+) tende para infinito de forma oscilatória

at

sen(bt+) cai para zero de forma oscilatória com

(Figura 2.10a). Se a<0, então e at0 quando t, e e amplitude decrescente (Figura 2.10b). Se a=0, então e at=1 para todo t, e e

at

sen(bt+)=sen(bt+), que oscila continuamente com

amplitude constante (Figura 2.10c).

Figura 2.10 Então, um par de complexos conjugados como pólos levam a comportamento oscilatório, cuja amplitude pode crescer continuamente se a parte real do pólo complexo for positiva, decrescer para zero se a parte real do complexo for negativa ou permanecer constante se a parte real for zero. 33

Observações 1-O comportamento descrito acima é geral e descreve qualquer sistema. Assim, pode-se encontrar as características qualitativas da resposta do sistema se sabemos onde os pólos da sua função de transferência estão localizados. Para uma entrada particular f(t) devemos considerar as raízes adicionais introduzidas pelo denominador de f(s) antes de ter o quadro completo da resposta do sistema. 2-Pólos à direita do eixo imaginário levam a termos que crescem para o infinito com o tempo. Tais sistemas com comportamento não limitado são chamados de instáveis. Assim, um sistema será estável (ou seja, com resposta dentro de limites) se todos os pólos estão situados à esquerda do eixo imaginário (Figura 2.8).

34

3-Comportamento Dinâmico

3-1-Sistemas de primeira ordem Um sistema de primeira ordem é aquele cuja saída y(t) é modelada por uma equação diferencial de primeira ordem. Então no caso de um sistema linear ou linearizado, temos: a1

dy  a 0 y  bf ( t ) dt

(3.1)

onde f(t) é a entrada do sistema. Se a00, então a equação acima pode ser escrita como: a 1 dy b y f (t) a 0 dt a0

Definimos a1 b  p e  Kp a0 a0

Logo a equação se transforma em p

dy  y  K p f (t) dt

(3.2)

p é conhecida como a constante de tempo do sistema e Kp é chamado de ganho estático ou ganho estacionário do processo. Se y(t) e f(t) estão em termos de variáveis desvio em torno do estado estacionário inicial, as condições iniciais são: y(0)=0 e f(0)=0 Logo, a função de transferência de um processo de primeira ordem é: G (s) 

Kp y(s)  f (s)  p s  1

(3.3)

Um processo de primeira ordem com a função de transferência acima é também conhecido como atraso de primeira ordem (first-order lag) ou atraso linear (linear lag). Se a0=0, então da eq. (3.1) temos: dy b  f ( t )  K 'pf ( t ) dt a1

que leva a uma função de transferência: ' y(s) K p G (s)   f (s) s

(3.4)

Neste caso o processo é chamado de puramente capacitivo ou integrador puro.

35

Resposta dinâmica de um processo de primeira ordem Imagine um processo com função de transferência dada pela eq.(3.3). Vamos examinar como ele responde a um degrau unitário em f(t). Como f(s)=1/s, da eq. (3.3) temos: y(s) 

Kp s(ps  1)



Kp s



K p p  ps  1

Invertendo esta equação temos: y( t )  K p (1  e

 t / p

)

3.2-Sistemas de segunda ordem Um sistema de segunda ordem é descrito por equações diferenciais de segunda ordem. Por exemplo, a seguinte equação descreve um sistema linear de segunda ordem: a2

d2y dt

2

 a1

dy  a 0 y  bf ( t ) dt

(3.5)

Se a00, então: 2

d2y dt

2

 2

dy  y  K pf ( t ) dt

(3.6)

onde 2=a2/a0, 2=a1/a0 e Kp=b/a0. A equação (3.6) está na forma padrão de um sistema de segunda ordem, onde =período natural de oscilação do sistema =fator de amortecimento Kp=ganho de estado estacionário, ganho estático ou simplesmente ganho do sistema. Se a eq. (3.6) está escrita em termos de variáveis desvio, as condições iniciais são iguais a zero e a sua transformada de Laplace leva à seguinte função de transferência: G(s) 

Kp y(s)  2 2 f (s)  s  2s  1

(3.7)

Resposta dinâmica de um processo de segunda ordem Vamos examinar como um sistema descrito pela função de transferência dada pela eq. 3.7 responde a um degrau unitário na entrada. Para um degrau unitário a eq. 3.7 fica: y(s) 

Kp

(3.8)

2 2

s( s  2s  1)

Os dois pólos da função de transferência são dadas pelas duas raízes do polinômio característico 2s 2  2s  1  0 36

e são 2  1  p1     

e

2  1  p2     

Logo, a eq. 3.8 se transforma em: y(s) 

K p / 2

(3.9)

s(s  p1)(s  p2)

e a forma da resposta y(t) vai depender da localização dos dois pólos, p1 e p2, no plano complexo. Pode-se distinguir três casos distintos: Caso A: quando  > 1, temos dois pólos distintos e reais Caso B: quando  = 1, temos dois pólos iguais (pólos múltiplos) Caso C: quando  < 1, temos dois pólos complexos conjugados Caso A: Sistema super amortecido ( > 1) Neste caso a inversão da eq. 3.9 por expensão por frações parciais leva a:    t  t      y( t )  K p 1  e t /   cosh 2  1   senh 2  1           2  1   

(3.10)

onde cosh(.) e senh(.) são as funções trigonométricas definidas por: senh  

e  e  2

e

cosh  

e  e   2

A resposta está mostrada na Figura 3.1 para vários valores de  > 1. Ela é conhecida como resposta super amortecida e lembra a resposta de um sistema de 1ª ordem a uma perturbação degrau. No entanto, quando comparada a uma resposta de 1ª ordem notamos que o sistema inicialmente demora a responder e então a sua resposta é bem lenta. Ela se torna mais lenta conforme  aumenta. Finalmente, notamos que quando o tempo passa, a resposta se aproxima do seu valor final assintoticamente. Como no caso do sistema de 1ª ordem o ganho é dado por: Kp 

(estado estacionário da saída ) (estado estacionário da entrada)

Caso B: Sistema criticamente amortecido ( = 1). Neste caso, a inversão da eq. 3.9 resulta em:   y( t )  K p 1  1   

t  t /   e   

(3.11)

37

A resposta também está mostrada na Figura 3.1. Notamos que um sistema de segunda ordem com amortecimento crítico se aproxima do seu valor final mas rápido do que um sistema super amortecido.

Figura 3.1 Caso C: Resposta sub amortecida ( < 1) A inversão da eq. 3.9 neste caso leva a: t    1 y( t )  K p 1  e  sen(wt  )   1  2  

(3.12)

onde 1  2 

(3.13)

 1  2     tan1      

(3.14)

w

e

A reposta está mostrada na Figura 3.1 para vários valores do fator de amortecimento. Pode-se observar o seguinte: 1-A resposta sub amortecida é inicialmente mais rápida do que a criticamente amortecida ou super amortecida, que é caracterizada como lenta. 38

2-Embora a resposta sub amortecida seja inicialmente mais rápida e atinja o seu valor final rapidamente, não permanece lá, mas começa a oscilar com amplitude progressivamente decrescente. Este comportamento oscilatório faz a resposta sub amortecida completamente diferente das outras. 3-O comportamento oscilatório se torna mais pronunciado com valores menores do fator de amortecimento (). Deve ser enfatizado que quase todas as respostas sub amortecidas numa planta química são causadas pela interação de controladores com as unidades de processo que eles controlam. Assim, este é um tipo de resposta que vamos encontrar com bastante frequência e é importante nos familiarizarmos com as suas características.

Figura 3.2-Características de uma resposta sub amortecida. Vamos usar como referência a resposta sub amortecida mostrada na Figura 3.2, de forma a definir os termos empregados para descrever uma resposta sub amortecida. 1-Sobre elevação ou Overshoot: é a razão A/B, onde B é o valor final da resposta e A é o valor máximo em que a resposta excede o seu valor máximo. O overshoot é uma função de , e pode-se demonstrar que ele pode ser calculado por:       overshoot  exp   1 2   

A Figura 3.3 mostra o overshoot contra  dado pela eq. acima. Notamos que o overshoot aumenta conforme  diminui e que conforme  se aproxima de 1 o overshoot se aproxima de zero (resposta criticamente amortecida). 2- Razão de declínio: É a razão C/A, ou seja, a razão entre o valor acima da resposta final atingida por dois picos sucessivos. Ela é descrita por:

39

   2 razão de declínio  exp  1 2 

  )2   (overshoot  

Esta equação também foi traçada na Figura 3.3.

Figura 3.3- efeito do fator de amortecimento no overshoot e razão de declínio. 3-Período de oscilação: da eq. 3.13 temos a frequência das oscilações (rad/tempo) de um sistema sub amortecido. O período de oscilação T (ou seja, o tempo passado entre dois picos sucessivos), é calculado pela relação w  2f e f=1/T, onde f é a frequência cíclica. Então: T

2 1  2

4- Período natural de oscilação: um sistema de segunda ordem com =0 é um sistema sem amortecimento. Sua função de transferência é: G (s) 

Kp 2s  1



K p / 2 1 1 (s  j )(s  j )  

ou seja, tem dois pólos imaginários puros e vai oscilar continuamente com amplitude constante e frequência natural igual a: wn 

1 

O período cíclico correspondente Tn é dado por: Tn  2

5- Tempo de resposta: a resposta de um sistema sub amortecido atingirá o seu valor final de forma oscilatória quando t→. Para questões práticas considera-se que a resposta atingiu o valor final quando está dentro da faixa de  5% do valor final e permanece ai. O tempo 40

necessário para a resposta chegar neste ponto é conhecida como tempo de resposta e também está mostrado na Figura 3.2. 6-Tempo de ascensão: este termo é usado para caracterizar a velocidade com a qual o sistema responde. É definido como o tempo necessário para a resposta atingir o seu valor final pela primeira vez (ver Figura 3.2). Pela Figura 3.1b pode-se ver que quanto menor o valor de , menor o tempo de ascensão, ou seja, mais rápida é a resposta do sistema, mas ao mesmo tempo maior é o valor do overshoot.

41

4-Sistemas de Controle Feedback (Controle por Realimentação de Estados)

4.1-Introdução Considere o processo genérico mostrado na Figura 4.1a. Ele tem uma saída y, uma perturbação potencial d e uma variável manipulada m.

(a)

(b) Figura 4.1- (a) Processo; (b) Malha de controle correspondente. Existem duas situações nas quais um sistema de controle pode ser requerido. Na primeira, a perturbação d, também chamada de carga, muda de maneira imprevisível e o objetivo do controle é manter a saída y num valor desejado. Este é o chamado problema de controle regulatório. Na segunda, é feita uma mudança no valor do estado estacionário desejado (set point) e o objetivo do controle é levar a saída y ao novo estado estacionário. Este é o chamado problema de controle servo. Em ambos os casos a ação de controle feedback é a seguinte:  mede-se o valor da saída y usando um equipamento de medida adequado  compara-se o valor medido da saída ym ao valor de set point (ysp). O erro é calculado por =ysp-ym.

42

 o valor do erro é alimentado ao controlador. Este muda o valor da variável manipulada m de forma a reduzir o erro. O controlador geralmente não afeta a variável manipulada m diretamente, mas através de um elemento final de controle. A figura 4.1b mostra estes três passos. O sistema na figura 4.1a é dito estar em malha aberta, em contraste com o sistema controlado da figura 4.1b, que é dito estar em malha fechada. Vantagens do controle feedback: 

o sistema de controle não requer nenhum conhecimento da fonte ou natureza da

perturbação. 

para fazer um sistema feedback funcionar só é necessário saber se a variável manipulada

faz a variável controlada aumentar ou diminuir. Desvantagens: A principal desvantagem do controle feedback é que a perturbação atinge o processo e somente depois que a saída controlada se afasta do set point é que o sistema de controle toma alguma ação. Embora a maioria dos processos permitam alguma flutuação da variável controlada dentro de uma certa faixa, existem duas condições que fazem com que o controle feedback não funcione bem. Uma delas é a ocorrência de perturbações de grande magnitude que sejam fortes o suficiente para afetar seriamente ou mesmo danificar o processo. O outro caso é o de processos com grandes atrasos (lag). Os componentes de uma malha de controle feedback são  processo: equipamentos físicos do processo (tanques, trocadores de calor, reatores etc)  instrumentos de medida ou sensores: tais instrumentos são usados para medir a variável de saída e são as principais fontes de informação sobre o que acontece com o processo. Exemplos característicos são -termopares ou termômetros de resistência para medir a temperatura -tubos de venturi para medir vazões -cromatógrafos gasosos para medir a composição de uma corrente Um termômetro de mercúrio não é um instrumento de medida apropriado para ser usado num sistema de controle já que a sua medida não pode ser prontamente transmitida. Por outro lado, um termopar é aceitável, porque gera uma voltagem elétrica que pode ser prontamente transmitida. Logo, a transmissão é um fator crucial na seleção de equipamentos de medida.

43

 transdutores: muitas medidas não podem ser usadas para controle até que tenham sido convertidas em quantidades físicas (tais como voltagem elétrica ou corrente, ou um sinal pneumático, isto é, líquido ou ar comprimido) que possam ser transmitidas facilmente. Os transdutores são usados com o propósito de fazer esta conversão. Por exemplo, existem condutores metálicos cuja resistência elétrica muda quando eles são sujeitos a pressão mecânica. Logo, podem ser usados para converter um sinal de pressão para um elétrico.  linhas de transmissão: usadas para carregar o sinal medido do sensor ao controlador e do controlador ao elemento final de controle. Estas linhas podem ser pneumáticas (ar comprimido) ou elétricas. Muitas vezes o sinal vindo de um equipamento de medida é muito fraco e não pode ser transmitido por uma distância longa. Nestes casos, as linhas de transmissão são equipadas com amplificadores que elevam o nível do sinal. Por exemplo, a saída de um termopar é da ordem de milivolts. Antes de ser transmitida ao controlador, ela é amplificada ao nível de volts.  controlador: também inclui a função do comparador. esta é a unidade com lógica que decide quanto mudar o valor da variável manipulada. Requer a especificação do valor desejado (set point).  elemento final de controle: é o equipamento que recebe o sinal de controle e o implementa fisicamente ajustando o valor da variável manipulada. A válvula de controle é o elemento final de controle mais usado, mas não o único. Outros elementos finais de controle usados em processos químicos são: -interruptores de revezamento, para controle on-off -bombas de velocidade variável -compressores de velocidade variável Cada um destes elementos deve ser visto como um sistema físico com uma entrada e uma saída. Consequentemente, o seu comportamento pode ser descrito, por exemplo, por uma equação diferencial ou uma função de transferência. 4.2- Controladores feedback Entre o equipamento de medida e o elemento final de controle está o controlador. A sua função é receber o sinal da saída medida ym(t) e, após compará-lo com o set point ysp, produzir um sinal c(t) de forma a retornar a saída para o valor desejado ysp. Logo, a entrada para o controlador é o erro (t)=ysp-ym(t), enquanto a saída é c(t). Os vários tipos de controladores diferem na forma em que relacionam (t) e c(t). Há três tipos básicos de controladores feedback: 44

 proporcional  proporcional-integral  proporcional-integral-derivativo

4.2.1- Controlador proporcional (P) Seu sinal de saída é proporcional ao erro c( t )  K c ( t )  cs

(4.1)

onde Kc é o ganho proporcional do controlador e cs é o sinal de bias do controlador, ou seja, o seu sinal de saída quando =0. Um controlador proporcional é descrito pelo valor do seu ganho proporcional Kc ou pela sua banda proporcional (BP=100/Kc). Quanto maior o ganho Kc ou, equivalentemente, quanto menor a sua banda proporcional, maior a sensibilidade do sinal de atuação c(t) a desvios no erro (t). Num controle feedback proporcional pode-se  ajustar o ganho do controlador para fazê-lo tão sensível quanto desejado ao erro  ajustar o sinal de Kc de forma que a saída do controlador aumente ou diminua quando o desvio aumenta Exemplo: considere que queremos controlar a temperatura (T) no tanque aquecedor da Figura 1.2. A variável manipulada é taxa de calor introduzida pela passagem de vapor na serpentina (Q). Sabemos que  se T aumenta, Q deve baixar  se T diminui, Q deve aumentar Suponha que Tsp=40 C. -Situação 1: A temperatura aumenta: Tm=60C. Logo, c(t)=Kc(40-60)+cs=-20Kc+cs. Assim, se Kc > 0, a saída do controlador diminui e se Kc < 0, a saída do controlador aumenta. Queremos baixar Q e logo o sinal de Kc deve ser positivo. -Situação 2: A temperatura diminui: Tm=20 C. Logo, (t)=Kc(40-20)+cs=20Kc+cs. Assim, se Kc > 0, a saída do controlador aumenta e se Kc < 0, a saída do controlador diminui. Queremos aumentar Q e logo o sinal de Kc deve ser, novamente, positivo. O bias também pode ser ajustado. Como a saída do controlador é igual a cs quando o erro é zero, cs deve ser ajustado de forma que a saída do controlador e, consequentemente, a variável manipulada, estejam nos seus valores de estado estacionário. 45

O controlador proporcional ideal descrito pela eq. (4.1) e mostrado na Figura 4.2a não inclui limitações físicas na saída do controlador. Uma representação mais real é mostrada na Figura 4.2b. Diz-se que o controlador fica saturado quando a sua saída chega a um limite, cmin ou cmax.

Figura 4.2a

Figura 4.2b

Em variáveis desvio temos que a saída do controlador é dada por c ' ( t )  K c ( t )

(4.2)

Note que o erro já é uma variável desvio e que no estado estacionário =0. A função de transferência para o controlador proporcional é dada por: Gc (s) 

c(s)  Kc (s)

(4.3)

Uma desvantagem do controle proporcional é a sua inabilidade em eliminar os erros estacionários (off-set) que ocorrem após uma mudança de set point ou após uma perturbação sustentada. Logo, normalmente se usam controladores que contenham ação integral. Em alguns casos onde off-sets podem ser tolerados, o controlador somente proporcional é atrativo devido a sua simplicidade. Por exemplo, em alguns problemas de controle de nível, manter o nível do líquido no set point não é importante, desde que o tanque não transborde ou seque. 4.2.2- Controlador proporcional-integral (PI) Este controlador também é chamado de proporcional+reset. O seu sinal de saída está relacionado ao erro pela equação c( t )  K c  ( t ) 

Kc t  (t )dt  cs I 0

(4.4)

onde I é a constante de tempo integral ou tempo de reset (reajuste). Em variáveis desvio: 46

c ' ( t )  K c ( t ) 

Kc t  ( t )dt I 0

(4.5)

Podemos explicar a origem do termo reset (reajuste). Considere que o erro mude num degrau de magnitude . Pela equação 4.4 pode-se ver que no tempo t=0 a saída do controlador c'(t) é igual a Kc ( a contribuição do termo integral é zero). Depois de I minutos, a contribuição do termo integral é: K c I K ( t )dt  c  I  K c  I 0 I

(4.6)

Ou seja, a ação integral "repete" a resposta da ação proporcional. Esta repetição ocorre a cada I minutos. Tempo de reset, então, é o tempo necessário para o controlador repetir a ação proporcional inicial na saída. A ação integral faz com que a saída do controlador c(t) mude enquanto existir um erro na saída do processo. Logo, este controlador pode eliminar mesmo pequenos erros. Uma desvantagem da ação de controle integral está relacionada justamente a esta característica de que a saída muda enquanto houver erro. Frequentemente os erros não são eliminados rapidamente e, passado algum tempo, produzem valores cada vez maiores para o termo integral, que por sua vez continua aumentando a ação de controle até a saturação (por exemplo, a válvula completamente aberta ou fechada). Esta condição é chamada integral windup e ocorre quando um controlador PI ou PID encontra um erro sustentado, como, por exemplo, durante a partida de um processo em batelada ou depois de uma grande mudança de set point. Pode também ocorrer em consequência de uma grande perturbação de carga sustentada que está além da faixa da variável manipulada. Existem controladores comerciais que apresentam antireset windup, que retira a ação integral temporariamente sempre que a saída do controlador está saturada e depois a retorna. A partir da equação 4.5 pode-se calcular a função de transferência para o controlador PI: Gc (s) 

 c(s) 1    K c 1  (s)   Is 

(4.7)

obs.: A transformada de Laplace da integral é dada por:   t  1 L  f ( t )dt   f (s)   0  s

4.2.3- Controlador proporcional-integral-derivativo (PID) A saída deste controlador é dada por 47

c( t )  K c ( t ) 

Kc t d ( t )dt  K c  D  cs  I 0 dt

(4.8)

onde D é a constante de tempo derivativa. Com a presença do termo derivativo o controlador PID antecipa qual vai ser o erro no futuro imediato e aplica a ação de controle proporcional à taxa atual de mudança do erro. Devido a esta propriedade a ação derivativa também é chamada de controle antecipativo. Os maiores desafios proporcionados por esta ação de controle são os seguintes  para uma resposta com erro diferente de zero mas constante, não há ação de controle, já que d/dt=0.  para uma resposta com ruído e erro praticamente zero, derivadas grandes podem ser calculadas e logo a ação de controle será grande, embora não necessária. A função de transferência para o controlador PID é dada por: Gc (s) 

  c(s) 1  K c 1    Ds  (s)   Is 

(4.9)

Como no controlador proporcional, o sinal de Kc também pode ser escolhido para os controladores PI e PID. Quando Kc > 0, a saída do controlador c(t) aumenta quando a variável medida ym(t) diminui. Neste caso o controlador é de ação reversa. Quando Kc < 0, o controlador é de ação direta, já que a saída do controlador aumenta quando a variável medida aumenta.

48

5- Comportamento dinâmico de processos com controle feedback

5.1-Diagrama de blocos e a resposta em malha fechada Considere o sistema em malha fechada mostrado na Figura 4.1 b. Para cada um dos seus quatro componentes (processo, equipamentos de medida, controlador e elemento final de controle) podemos escrever a função de transferência correspondente, relacionando a saída com a entrada. Em particular, se desprezarmos a dinâmica das linhas de transmissão, temos: 

Processo:

y(s)  Gp (s)m(s)  Gd (s)d(s)



(5.1)

Equipamento de medida:

ym(s)  Gm (s) y(s)



(5.2)

Controlador:

(s)  ysp(s)  ym(s)

comparador

(5.3)

c(s)  Gc (s)(s)

ação de controle

(5.4)



Elemento final de controle:

m(s)  Gf (s)c(s)

(5.5)

onde Gp, Gd, Gm, Gc e Gf são as funções de transferência entre as saídas e entradas correspondentes. A Figura 5.1 mostra o diagrama de blocos para o sistema de controle em malha fechada.

Figura 5.1- Diagrama de blocos de um sistema em malha fechada.

49

A série de blocos entre o comparador e a saída controlada (Gc, Gf e Gp) constituem o caminho "para frente" (forward) e o bloco Gm está no caminho da realimentação (feedback) entre a saída controlada e o comparador. Substituindo-se a equação 5.2 na 5.3, a equação resultante na 5.4, a equação resultante na 5.5 obtém-se: m(s)  Gf (s)Gc (s)(ysp(s)  y(s)Gm (s))

(5.6)

E substituindo-se a equação 5.6 na 5.1, chega-se a: y(s) 

Gp (s)Gf (s)Gc (s) Gd (s) ysp(s)  d(s) 1  Gp (s)Gf (s)Gc (s)Gm (s) 1  Gp (s)Gf (s)Gc (s)Gm (s)

(5.7)

A equação 5.7 descreve a resposta do sistema em malha fechada. Pode-se notar que ela é composta de dois termos. O primeiro mostra o efeito de uma mudança no set point na saída, enquanto o segundo mostra o efeito de uma mudança na carga (perturbação). As funções de transferência são conhecidas como funções de transferência da malha fechada. Assim: GpGfGc  Gsp 1  GpGfGcGm

(5.8)

é a função de transferência da malha fechada para uma mudança no set point e Gd  Gc arg a 1  GpGfGcGm

(5.9)

é a função de transferência da malha fechada para mudanças na carga. Das equações 5.8 e 5.9 pode-se notar que as funções globais da malha fechada Gsp e Gcarga dependem não somente da dinâmica do processo, mas também das dinâmicas do equipamento de medida, do controlador e do elemento final de controle. Exemplo 5.1: Considere o tanque de aquecimento abaixo. Assuma que Fi=F, logo o volume do tanque, V, é constante. A variável a ser controlada é a temperatura no tanque, Ti é a variável que pode vir a sofrer perturbações e a variável manipulada é a temperatura do vapor, Tv. Clacule as funções de transferência m malha fechada.

Figura 5.2 50



Processo: Escrevendo o modelo do processo (vide exemplo 2.2):

V

dT Q  Fi (Ti  T)  dt Cp

Mas Q  UA t (TV  T) Então: V

UA t (TV  T) dT  Fi (Ti  T)  dt Cp

V

UA t UA t dT  (Fi  )T  Fi Ti  Tv dt Cp Cp

E escrevendo na forma padrão para sistemas de primeira ordem: p

dT  T  K d Ti  K pTv dt

(5.10)

UA t Fi V Cp onde  p  , Kd  e Kp  UA t UA t UA t (Fi  ) (Fi  ) (Fi  ) Cp  Cp Cp

No estado estacionário: 0  Ts  KdTis  K pTvs

(5.11)

Subtraindo 5.11 de 5.12: p

d(T  T s)  (T  T s)  K d (Ti  Tis)  K p (Tv  Tvs ) dt

Logo, em variáveis desvio: p

dT '  T '  K d Ti '  K pTv' dt

E em funções de transferência: T(s) 



Kp Kd Ti (s)  Tv (s)  ps  1  ps  1

(5.12)

Equipamento de medida (sensor de temperatura): Assuma que a resposta do termopar é muito rápida e a sua dinâmica pode ser

desprezada. Logo Tm(s)  KmT(s)



(5.13)

Controlador: Se Tsp é o set point , o erro é dado por

51

(s)  Tsp(s)  Tm(s)

(5.14)

e considerando um controlador proporcional a saída é dada por: c(s)  Kc(s)



(5.15)

Válvula de controle: Assumindo dinâmica de primeira ordem:

Tv (s) 

Kv c(s)  vs  1

(5.16)

A Figura 5.3 mostra o diagrama de blocos para o sistema em malha fechada com as funções de transferência para cada componente da malha. A resposta em malha fechada é facilmente encontrada: T(s)  Gsp (s)Tsp(s)  Gc arg aTi(s)

(5.17)

onde:  Kp   Kv   [kc]   ps  1   vs  1  Gsp   Kp   Kv  1  [Km][Kc]   ps  1   vs  1 

(5.18)

 Kd     ps  1 Gc arg a   Kp   Kv  1  [Km][Kc]   ps  1   vs  1 

(5.19)

Figura 5.3- Diagrama de blocos da malha de controle de temperatura. 52

Observação: Para montar a função de transferência global em malha fechada use as seguintes regras: 1-O denominador das funções de transferência globais para mudanças na carga ou no set point é o mesmo e é dado por: 1+produto das funções de transferência na malha ou 1 GpGfGcGm

2-O numerador da função global de transferência é o produto das funções de transferência no caminho forward entre o set point ou carga e a saída controlada. Então: (a) As funções de transferência no caminho forward entre o set point Tsp e a saída T são: Gc, Gf e Gp. Logo, o numerador é GcGfGp. (b) As funções de transferência no caminho forward entre a carga Ti e a saída é somente Gd. Assim, o numerador correspondente é Gd. Estas regras podem ser usadas para calcular a função de transferência global entre uma entrada em qualquer ponto da malha e uma saída.

53

5.2- Efeito do controle proporcional na resposta de um processo A resposta em malha fechada de um processo é dada pela equação 5.7. Para simplificar a análise vamos assumir que Gm(s)=1 e Gf(s)=1. Além disso, para o controlador proporcional Gc(s)=Kc e a equação 5.7 se transforma em: y(s) 

GpKc Gd ysp(s)  d(s) 1  GpKc 1  GpKc

(5.20)

5.2.1-Sistemas de primeira ordem: Para sistemas de primeira ordem p

dy  y  K pm  Kdd dt

(5.21)

com y(0)=m(0)=d(0)=0 Isto leva à seguinte função de transferência: y(s) 

Kp  ps  1

m(s) 

Kd d(s)  ps  1

(5.22)

Então, para o sistema sem controle temos: 

constante de tempo: p



Ganhos estáticos: Kp para a variável manipulada e Kd para a carga

Substitua: Gp (s) 

Kp  ps  1

Gd (s) 

e

Kd  ps  1

na equação 5.20 e obtenha a resposta em malha fechada: y(s) 

K pKc  ps  1  K p K c

ysp(s) 

Kd d(s)  ps  1  K p K c

(5.23)

que pode ser reescrita como: y(s) 

K 'p ' p s  1

ysp(s) 

K 'd ' p s  1

(5.24)

d(s)

onde 'p 

p 1 K p K c

K 'p 

KpKc 1 K p K c

e

54

K 'd 

Kd 1 K p K c

Os parâmetros K'p e K'd são conhecidos como ganhos estáticos em malha fechada. Pela equação 5.24 podemos concluir que a resposta em malha fechada de um sistema de primeira ordem tem as seguintes características: 1- Permanece de primeira ordem para perturbações de carga e set point. 2- A constante de tempo foi reduzida (ou seja, 'p<p), o que significa que a resposta em malha fechada se tornou mais rápida do que a resposta em malha aberta para mudanças no set point ou carga. 3- O ganho estático diminuiu. Para entender melhor o efeito do controlador proporcional, considere um degrau unitário no set point (problema servo) e na carga (prblema regulatório) e examine as respostas em malha fechada. Para o problema servo, ysp(s)=1/s e d(s)=0. então, a equação 5.24 leva a : y(s) 

K 'p

1  ps 1 s '

e a inversão y( t )  K 'p (1  e

 t / 'p

)

A figura 5.4a mostra a resposta do sistema em malha fechada para uma perturbação degrau unitário no set point. Notamos que a resposta final, pata t, nunca atinge o novo valor desejado ysp. Há sempre uma discrepância chamada de offset que é igual a offset = novo set point - valor final da resposta= 1  K 'p  1 

K pKc 1  K pKc



1 1  K pKc

Figura 5.4- Resposta de sistemas de primeira ordem com controle P, para (a) degrau unitário no set point; (b) degrau unitário na carga. 55

O offset é um efeito característico do controle proporcional. Ele diminui conforme Kc aumenta e teoricamente offset0 quando Kc. Para o problema regulatório, ysp(s)=0. Considere um degrau unitário na carga, ou seja, d(s)=1/s. Então a equação 5.24 leva a: y(s) 

K 'd 1 ' p s  1 s

e depois da inversão y( t )  K 'd (1  e

 t / 'p

)

A Figura 5.4b mostra esta resposta. Notamos novamente que o controlador proporcional não consegue manter a resposta no valor desejado, ao invés disso aparece um offset: offset = (valor desejado) - (valor final da resposta)= 0  K 'd  

Kd 1  K pKc

O benefício do controle proporcional na presença de perturbações de carga pode ser visto na Figura 5.4b. Embora ele não consiga manter a resposta no set point e introduza um offset, a resposta está muito mais próxima ao set point do que se não houvesse controle. Além disso, conforme aumentamos o ganho Kc, o offset diminui e teoricamente offset0 quando Kc. Observações: 1- Embora o offset tenda a zero quando Kc, nunca vamos usar valores muito altos de Kc para controle proporcional. a razão vai se tornar clara no próximo capítulo, onde estudaremos a estabilidade de sistemas em malha fechada. 2- Processos com o termo 1/s na sua função de transferência (puramente capacitivos) quando controlados por controlador proporcional não exibem offset para mudanças de setpoint, mas sim para perturbações sustentadas na carga (por exemplo, perturbação degrau). 5.2.2- Sistemas de segunda ordem (problema servo) Neste caso examinaremos somente o caso servo. Uma análise similar para o caso regulatório pode ser facilmente realizada. A função de transferência para um sistema de segunda ordem é Gp (s) 

y(s) Kp  m(s) 2s 2  2s  1

(5.25)

Substitua esta equação na equação 5.20 e, lembrando que para o problema servo d(s)=0, temos: 56

y(s) 

K 'p (' ) 2 s 2  2''s  1

(5.26)

ysp(s)

onde ' 

' 

K 'p 

p 1  K pKc  1  K pKc K pKc 1  K pKc

Da equação acima vemos que a resposta em malha fechada de um sistema de segunda ordem com controle proporcional tem as seguintes características: 

A resposta continua sendo de segunda ordem.



O ganho estático diminui.



Tanto o período natural quanto o fator de amortecimento diminuem. Isto significa que um

sistema super amortecido, com controle proporcional e valor apropriado de Kc, pode se tornar sub amortecido (oscilatório). Considere um degrau unitário no set point (ysp(s)=1/s). Então y(s) 

K 'p

1 ( ) s  2  s  1 s ' 2 2

' '

Dependendo do valor de  ', a inversa da expressão acima pode ser dada por: 

eq. 3.10 para o caso super amortecido ( ' > 1), ou



eq. 3.11 para o caso criticamente amortecido ( ' = 1), ou



eq. 3.12 para o caso sub amortecido ( ' < 1) Independentemente do valor particular de  ', o valor final da resposta pode ser

encontrado pelo teorema do valor final. Então y( t  )  lim [sy (s)]  K 'p  s 0

K pKc 1  K pKc

Consequentemente, novamente notamos a existência de offset: offset = novo set point - valor final da resposta= 1  Novamente, offset0 quando Kc. Observações: 57

K pKc 1  K pKc



1 1  K pKc

1- Se  ' >1, a resposta do sistema em malha fechada é super amortecida e muito lenta. Então preferimos aumentar o valor de Kc e fazer  ' < 1. Assim, a resposta em malha fechada reage mais rápido, mas se torna oscilatória. Além disso, aumentando Kc o offset diminui. 2- O aumento da velocidade da resposta do sistema e diminuição do offset, características desejáveis, levam a maiores overshoots (erros máximos) e respostas oscilatórias por mais tempo. Então, conforme Kc aumenta, fazendo com que  ' diminua: 

pela equação que define o overshoot (página 39) vemos que este aumenta



pela equação que define a razão de declínio (página 40) vemos que esta também aumenta



pela equação que define o período de oscilação, T (página 40), vemos que este diminui Todas as características descritas acima estão mostradas na Figura 5.5.

Figura 5.5- Efeito do ganho do controlador proporcional na resposta em malha fechada de um sistema de segunda ordem com controle proporcional. 5.3- Efeito da ação de controle integral Nesta seção vamos repetir a análise feita na seção passada, mas usando um controlador integral ao invés de um proporcional. Olharemos somente o problema servo para sistemas de primeira ordem; no caso regulatório e para sistemas de ordem maior a metodologia é a mesma. Para um sistema de primeira ordem temos: Gp (s) 

Kp  ps  1

E para controle integral puro temos: Gc (s)  Kc

1  Is

Substituindo Gp e Gc na equação 5.20, com d(s)=0, temos:

58

 K p    Kc 1   ps  1  Is   y(s)   ysp(s)  K p   1  Kc  1   ps  1  Is   

ou y(s) 

1 2 2

 s  2s  1

(5.27)

ysp(s)

onde: 



I p

(5.28)

K pKc 1 I 2 p K p K c

(5.29)

A equação 5.27 mostra um efeito importante da ação de controle integral: ela aumenta a ordem da resposta em malha fechada. Assim, para um sistema que é de primeira ordem sem controle, a resposta em malha fechada se torna de segunda ordem e consequentemente pode apresentar características dinâmicas completamente diferentes. Além disso, como vimos anteriormente, aumentando a ordem de um sistema tornamos a sua resposta mais lenta. Assim, a ação de controle integral pura deve fazer com que a resposta do sistema em malha fechada se torne mais lenta. vamos examinar o comportamento dinâmico de um sistema em malha fechada quando o set point muda por um degrau unitário. Da equação 5.27 temos: y(s) 

1

1  s  2s  1 s 2 2

A forma da resposta y(t) depende do valor de , mas o valor final da resposta pode ser encontrado usando o teorema do valor final: y(t  )  lim [sy(s)]  1 s 0

Logo, offset=1-1=0 Isto mostra o efeito mais característico da ação integral: A ação de controle integral elimina qualquer offset. Pode-se verificar facilmente que para o problema regulatório a ação de controle integral produz uma resposta em malha fechada também sem offset. Observações: 59



A equação 5.29 mostra que a forma da resposta em malha fechada (ou seja, super

amortecida, criticamente amortecida ou sub amortecida) depende do valor do ganho do controlador, Kc, e da constante de tempo integral, I. Assim, sintonizar estes parâmetros é uma questão importante que será discutida mais tarde. 

Da equação 5.29 vemos, ainda, que, conforme Kc aumenta, o fator de amortecimento 

diminui. As consequências da diminuição de  são: (a) A resposta em geral se transforma de lenta e super amortecida em rápida porém oscilatória e sub amortecida. (b) O overshoot e a razão de declínio da resposta em malha fechada aumentam. Assim, pode-se concluir que podemos melhorar a velocidade da resposta em malha fechada, mas aumentando os desvios e oscilações. A Figura 5.6 mostra estas características para mudanças de set point. 

Da equação 5.29 vemos também que conforme I diminui,  diminui também. Entretanto,

as consequ~encias de diminuir I na resposta em malha fechada são as mesmas descritas acima. A figura 5.7 mostra estes efeitos. 

As conclusões acima podem ser resumidas da seguinte forma: Aumentando a ação de controle integral (ou seja, aumentando Kc e diminuindo I) a resposta em malha fechada se torna mais sensível. Mais tarde veremos que isto pode levar à instabilidade do sistema.

Figura 5.6- Efeito do ganho proporcional na resposta em malha fechada de sistemas de primeira ordem com controle integral.

60

Figura 5.7- Efeito da constante de tempo integral na resposta em malha fechada de sistemas de primeira ordem com controle integral. 5.4- Efeito da ação de controle derivativa Para ação de controle derivativa somente, temos: Gc  KcDs

Assumindo para simplificação que Gm=Gf=1, a resposta em malha fechada de um sistema de primeira ordem com ação de controle derivativa é dada por:  Kp   Kc s  D   ps  1    y(s)  ysp(s)  Kp  Kc s  1  D   ps  1   

ou y(s) 

K p K c  Ds (p  K p K c D )s  1

(5.30)

ysp(s)

A equação 5.30 leva às seguintes observações sobre os efeitos da ação de controle derivativo na resposta em malha fechada de um sistema: 

A ação de controle derivativa não muda a ordem da resposta. No exemplo acima o sistema

permaneceu de primeira ordem. 

A equação 5.30 deixa claro que a constante de tempo efetiva da resposta em malha

fechada é p  K pKcD , ou seja, maior do que p. Isto significa que a resposta do processo controlado é mais lenta do que a do processo de primeira ordem original. Além disso, conforme Kc aumenta, a constante de tempo efetiva aumenta e a resposta se torna progressivamente mais lenta. 61

Outras observações: 1- É bastante interessante examinar o efeito da ação de controle derivativa na resposta de um sistema de segunda ordem. Assumindo novamente que Gm=Gf=1, a resposta em malha fechada para o problema servo é:   Kp  KcDs   2s 2  2s  1   y(s)   ysp(s)   Kp KcDs  1   2s 2  2s  1   

ou y(s) 

K p K c  Ds 2s 2  (2  K p K c D )s  1

ysp(s)

Da última equação observamos que: (a) O período natural de oscilação da resposta em malha fechada permanece o mesmo enquanto (b) O novo fator de amortecimento  ' é dado pela equação 2'  2  K p K cD

ou seja,  ' > . Logo, a resposta em malha fechada é mais amortecida e o amortecimento aumenta conforme Kc ou D aumentam. Esta característica leva a um comportamento mais robusto do sistema controlado. 5.5- Efeito de ações de controle compostas Embora o controle proporcional possa ser usado sozinho, este quase nunca é o caso para controle integral ou derivativo. Ao invés disso, os controladores proporcional integral (PI) e proporcional-integral-derivativo (PID) são os usualmente empregados. 5.5.1- Efeito do controle PI a combinação dos modos de controle proporcional e integral levam aos seguintes efeitos na resposta em malha fechada de um sistema: 1- A ordem da resposta aumenta (efeito do modo integral) 2- O offset é eliminado (efeito da ação de controle integral) 3- conforme Kc aumenta, a resposta se torna mais rápida (efeito dos modos proporcional e integral) e mais oscilatória para mudanças de set-point (ou seja, o overshoot e a razão de declínio aumentam como efeito do modo integral). Valores muito grandes de Kc levam a respostas muito sensíveis, o que pode levar à instabilidade. 62

4- Conforme I aumenta, para Kc constante, a resposta se torna mais rápida, mas também mais oscilatória, com maiores overshoots e taxas de declínio (efeito do modo integral). 5.5.2- Efeito do controle PID Combinação dos três modos de controle levam a resposta em malha fechada que tem em geral as mesmas características do controle PI. Vamos descrever então o maior benefício introduzido pela ação de controle derivativa. Já vimos que a presença do controle integral torna a resposta em malha fechada mais lenta. Para aumentar a velocidade da resposta em malha fechada podemos aumentar o valor do ganho Kc. Mas aumentando Kc o suficiente para obtermos velocidades aceitávis, a resposta se torna mais oscilatória e pode levar à instabilidade. a introdução do modo derivativo leva a um efeito estabilizante do sistema. Assim, podemos conseguir uma resposta aceitável selecionando um valor apropriado para o ganho Kc e ainda conseguindo manter overshoots e razões de declínio moderados. A Figura 5.8 mostra o efeito do controlador PID na resposta de processos em malha fechada. Note que, embora Kc aumente levando a respostas mais rápidas, o overshoot permanece quase o mesmo e o tempo de assentamento é menor. Ambos são resultados da ação de controle derivativa.

Figura 5.8- Efeito do ganho na resposta em malha fechada de um sistema de primeira ordem com controle PID.

63

6-Análise de estabilidade de sistemas feedback

6.1- Noções de estabilidade

Nos capítulos anteriores examinamos as características dinâmicas da resposta de sistemas em malha fechada e desenvolvemos a função de transferência em malha fechada que determina a dinâmica de tais sistemas. É importante enfatizar novamente que a presença de medidores, controladores e elementos finais de controle mudam as características dinâmicas de um processo. Assim, processos de primeira ordem não oscilatórios podem adquirir comportamento oscilatório com controle PI. Processos de segunda ordem oscilatórios podem se tornar instáveis com controle PI e uma má escolha dos parâmetros Kc e I. Quando projetamos um sistema de controle feedback (ou seja, selecionando os seus componentes e sintonizando o controlador), estamos seriamente preocupados com as suas características de estabilidade. Assim, antes de proceder com os detalhes particulares de projeto de uma malha de controle feedback, vamos estudar a noção de estabilidade de sistemas em malha fechada. Como se define um sistema estável ou instável? Existem diferentes formas, dependendo do rigor matemático da definição e da sua aplicação prática. Uma delas é a seguinte: Um sistema é considerado estável se para toda entrada limitada ele produz uma saída limitada, não importa qual seja o seu estado inicial. Todo sistema que não é estável de acordo com a definição acima será chamado de instável. Para completar a definição considere que: Limitada é uma entrada que sempre permanece entre limites inferior e superior (por exemplo, senoidal, degrau, mas não a rampa). Saídas ilimitadas existem somente em teoria e não na prática, já que todas as quantidades físicas são limitadas. Então, o termo "ilimitada" significa muito grande. De acordo com a definição acima, um sistema com resposta como a mostrada na Figura 6.1a é estável, enquanto a Figura 6.1b mostra a resposta de um sistema instável.

64

Figura 6- (a) Resposta estável e (b) instável. Vamos considerar um sistema dinâmico com uma entrada m e uma saída y. Seu comportamento dinâmico pode ser descrito por uma função de transferência G(s): y(s)  G(s)m(s)

Na seção c.1.4 concluímos que se G(s) tem um pólo com parte positiva real, ele dá origem a um termo C1ep1t que cresce continuamente com o tempo, levando a um sistema instável. A função de transferência G(s) pode corresponder a um processo sem controle ou pode ser a função de transferência em malha fechada de um sistema controlado (Gsp ou Gcarga). Assim, a análise de estabilidade de um sistema pode ser tratada de forma unificada, independentemente do sistema ser controlado ou não. A localização dos pólos da função de transferência nos dá o primeiro critério para checar a estabilidade de um sistema: Se a função de transferência de um sistema dinâmico tem mesmo um pólo com parte real positiva, o sistema é instável. Assim, todos os pólos de uma função de transferência devem estar no lado esquerdo do plano imaginário para o sistema ser estável. Exemplo 6.1- Estabilização de um processo instável com controle P Considere um processo com a seguinte função de transferência: y(s) 

10 5 m(s)  d(s) s 1 s 1

Claramente, este processo é instável porque a sua função de transferência possui um pólo em s=1>0. A Figura 6.2 (curva ) mostra a resposta do processo sem controle para uma perturbação degrau unitária na carga d, o que mostra o seu caráter instável.

65

Figura 6.2- Curva , resposta instável em malha aberta; curva , resposta estável em malha fechada com controle P. Vamos introduzir um sistema de controle feedback com controle proporcional. Assuma que para o medidor e para o elemento final de controle Gm=Gf=1 A Figura 6.3 mostra o diagrama de blocos do sistema em malha fechada.

Figura 6.3- Diagrama de blocos para o sistema do exemplo 6.1. A resposta em malha fechada é dada pela equação 5.7, que para este sistema é igual a y(s) 

10K c 5 ysp(s)  s  (1  10K c ) s  (1  10K c )

A partir da equação acima concluímos que a função de transferência em malha fechada tem pólos negativos se Kc>1/10. Logo, o sistema original pode ser estabilizado simplesmente com controle proporcional. A Figura 6.2 (curva ) mostra a resposta dinâmica do sistema controlado para uma perturbação degrau na entrada para Kc=1. Compare ao comportamento do sistema não controlado e compreenda o efeito do controlador.

66

Exemplo 6.2- Desestabilização de um processo estável com controle PI Considere um processo de segunda ordem com a seguinte função de transferência: Gp (s) 

1 2

s  2s  2

O sistema tem dois pólos complexos com parte real negativa: p1  1  j

p2  1  j

e

Assim, de acordo com o nosso critério o sistema é estável. Realmente, se fizermos uma perturbação degrau na entrada, a resposta do sistema é como mostrada na Figura 6.4 a. Introduza um controlador PI. Deixe que o medidor e o elemento final de controle tenham as seguintes funções de transferência: Gm(s)=Gf(s)=1 A resposta em malha fechada a mudanças no set point é dada por: y(s) 

GpGc ysp  Gsp (s) ysp(s) 1  GpGc

Figura 6.4- (a) Resposta estável em malha aberta. (b) Resposta desestabilizada com controle PI. Para examinar a estabilidade da resposta em malha fechada, temos que achar onde estão localizados os pólos da função acima.  s 1 Kc I GpGc Kc(Is  1) / I  Is Gsp   s  2s  2  1  s 1 Kc 1  GpGc 1  Kc I s3  2s 2  (2  Kc)s  2  Is I s  2s  2 1

2

Faça Kc=100 e I=0.1 Assim, os pólos de Gsp são determinados pelas raízes do polinômio s3  2s 2  (2  100)s 

100 0.1

e são dados por: p1=-7.185

p2=2.59+11.5j

e

p3=2.59-11.5j 67

Notamos que p2 e p3 têm partes reais positivas. Logo, de acordo com o nosso critério a resposta em malha fechada é instável. A Figura 15.4b mostra a resposta do sistema para um degrau unitário no set point. Compare esta à resposta do sistema sem controle e note o efeito desestabilizante do controlador PI. Para diferentes valores de Kc e I a resposta pode se tornar estável. Se baixarmos o ganho para Kc=10 e aumentarmos I=0.5, encontramos que todos os pólos de Gsp têm parte real negativa. 6.2- A equação característica Os exemplos 6.1 e 6.2 mostraram os efeitos que o controle feedback pode ter nas características de estabilidade de um processo. Nesta seção vamos organizar e sistematizar a nossa análise, introduzindo e definindo alguns termos apropriados. Considere o sistema de controle feedback mostrado na Figura 5.1. A resposta em malha fechada deste sistema é dada pela equação 5.7: y(s) 

Gp (s)Gf (s)Gc (s) Gd (s) ysp(s)  d(s) 1  Gp (s)Gf (s)Gc (s)Gm (s) 1  Gp (s)Gf (s)Gc (s)Gm (s)

ou, equivalentemente y(s)  Gsp (s) ysp(s)  Gc arg a(s)d(s)

As características de estabilidade da resposta em malha fechada serão determinadas pelos pólos das funções de transferência Gsp e Gcarga. Estes pólos são comuns para as duas funções de transferência (já que elas têm denominador comum) e são dados pela solução da equação 1  GpGfGcGm  0

(6.1)

A equação acima é chamada de equação característica do sistema feedback da Figura 5.1. Admita que p1, p2,....,pn são as raízes da equação característica. Logo 1  GpGfGcGm  (s  p1)(s  p2).....(s  pn)

Então podemos definir o seguinte critério para a estabilidade de um sistema em malha fechada: Um sistema de controle feedback é estável se todas as raízes da sua equação característica têm parte real negativa (ou seja, estão à esquerda do eixo imaginário). Se qualquer raiz da equação característica está à direita do eixo imaginário ou nele (ou seja, parte real zero ou positiva), o sistema feedback é instável. Observações: 1- O critério de estabilidade definido acima assegura a resposta estável de um sistema feedback independentemente se mudanças na entrada são no set point ou na carga. Isto porque 68

as raízes da equação características são os pólos comuns às duas funções de transferência, Gsp e Gcarga. 2- O produto G MA  GpGfGcGm

será chamado de função de transferência em malha aberta, porque ela relaciona a medida ym ao set point ysp se a malha feedback for interrompida antes do comparador: ym(s)  G MA (s) ysp(s)

Então, a equação característica pode ser escrita como segue: 1  G MA  0

e notamos que ela depende somente das funções de transferência dos elementos na malha, ou seja, não depende de Gd, que está fora da malha. 3- As raízes da equação característica são também os pólos das funções de transferência em malha fechada, Gsp e Gcarga. Por esta razão também são chamadas de pólos da malha fechada. 6.3- Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz O critério de estabilidade para sistemas em malha fechada não requer o cálculo dos valores das raízes do polinômio característico. Somente requer que saibamos se alguma raiz está à direita do eixo imaginário. O critério de Routh-Hurwitz nos permite testar se alguma raiz está à direita do eixo imaginário e, logo, chegar rapidamente a uma conclusão sobre a estabilidade do sistema em malha fechada sem computar os valores reais das raízes. Expanda a equação característica na seguinte forma polinomial: 1  GpGfGcGm  a 0sn  a1sn 1  ...  a n 1s  a n  0

a0 deve ser positivo. Se é negativo multiplique ambos os lados da equação acima por -1. 

Primeiro teste: Se qualquer dos coeficientes a1, a2, ..., an-1, an é negativo, existe pelo menos

uma raiz da equação característica que tem parte real positiva e o sistema correspondente é instável. 

Segundo teste: Se todos os coeficientes são positivos, então pelo primeiro teste não se

pode concluir nada sobre a localização das raízes. Monte a seguinte matriz (conhecida como matriz de Routh):

69

Linha

1 2 3 4 5 . n 1

a0 a2 a1 a 3 A1 A 2 B1 B2 C1 C 2 .. ... W1 W2

a 4 a 6 ... a 5 a 7 ... A3 .. ... B3 .. ... C3 .. ... ... ... ... . . ...

onde a a  a 0a 3 A1  1 2 a1 B1 

A1a 3  a1A 2 A1

B A  A1B2 C1  1 2 B1

a a 4  a 0a 5 A2  1 a1 B2 

a a  a 0a 7 ... A3  1 6 a1

A1a 5  a1A3 ... A1

B A  A1B3 ... C2  1 3 B1

etc. Examine os elementos da primeira coluna da matriz acima: a0

a1

A1

B1

C1

...

W1

(a) Se qualquer destes elementos é negativo, temos ao menos uma raiz à direita do eixo imaginário e o sistema é instável. (b) O número de mudanças de sinal nos elementos da primeira coluna é igual ao número de raízes à direita do eixo imaginário. Assim, um sistema é estável se todos os elementos na primeira coluna da matriz de Routh são positivos. Exemplo 6.3- Análise de estabilidade com o critério de Routh-Hurwitz Considere o sistema de controle feedback do exemplo 6.2. A equação característica é: s3  2s 2  (2  Kc)s 

Kc 0 I

A matriz de Routh correspondente é dada por Linha 1 2 3 4

1 2 2(2  Kc)  Kc /  I 2 Kc /  I

2  Kc Kc /  I 0

Os elementos da primeira coluna são   2(2  Kc)  Kc / I , Kc / I  1, 2, 2   70

Todos são sempre positivos com exceção do terceiro, que pode ser positivo ou negativo dependendo dos valores de Kc e I. 1- Se Kc=100 e I=0.1, o terceiro elemento é -398<0, o que significa que o sistema é instável. Temos duas mudanças de sinal nos elementos da primeira coluna. Logo, temos duas raízes com parte real positiva. 2- Se Kc=10 e I =0.5, o terceiro elemento é igual a +2 > 0, e o sistema é estável, já que todos os elementos da primeira coluna são positivos.] 3- O sistema é estável se Kc e I satisfazem a condição 2(2  Kc)  Kc / I

Exemplo 6.4- Condições de estabilidade críticas para uma malha feedback Retorne ao exemplo 6.3 e faça I=0.1. Então, o terceiro elemento da primeira coluna é igual a 2(2  Kc)  10Kc 2

O valor de Kc que faz com que o terceiro elemento seja zero é Kc=0.5. Esta é a condição crítica para a estabilidade do sistema de controle feedback PI. Logo, de acordo com o teste de Routh-Hurwitz, temos: 1- Se Kc < 0.5, todos os elementos da primeira coluna da matriz de Routh são positivos e o sistema é estável, ou seja, todas as raízes da equação característica estão localizadas à direita do eixo imaginário. 2- Se Kc > 0.5, o terceiro elemento da primeira coluna da matriz de Routh se torna negativo. Temos duas mudanças de sinal nos elementos da primeira coluna; logo temos duas raízes da equação característica localizadas à direita do eixo imaginário. Fica claro que conforme Kc aumenta, duas das raízes da equação característica se movem em direção ao eixo imaginário e quando Kc=0.5, temos duas raízes no eixo imaginário (imaginárias puras) que dão origem a um termo senoidal sustentado. Observação: As duas raízes imaginárias puras podem ser encontradas a partir da equação 2s 2 

Kc 0 I

ou seja 2s 2 

0.5 0 0.1

e são  1.58j 71

Os coeficientes 2 e Kc/I são os elementos da matriz de Routh na linha localizada antes da linha na qual o elemento da primeira coluna é zero (ou seja, neste caso os elementos da segunda linha). 6.4- Análise do lugar das raízes Os exemplos anteriores mostraram que as características de estabilidade de um sistema em malha fechada dependem do valor do ganho Kc. O lugar das raízes é simplesmente o gráfico, no plano complexo, das raízes da equação característica conforme o ganho Kc varia de zero a infinito. Desta forma ele é muito útil na determinação das características de estabilidade de um sistema em malha fechada conforme Kc varia. Vamos examinar a construção do gráfico do lugar das raízes usando um exemplo específico. Exemplo 6.5- Considere um processo descrito pela seguinte função de transferência: Gp (s) 

1 (s  1)(5s  1)

Considere Gm=Gf=1 e Gc=Kc (controle proporcional) Então a equação característica é 1

1 Kc  0 (s  1)(5s  1)

ou 5s 2  6s  1  Kc  0

As duas raízes podem ser calculadas por: s

 6  (6) 2  (4)(5)(1  Kc) (2)(5)

3 1   4  5Kc 5 5

(6.2)

1- Quando Kc=0 a equação característica tem raízes nos pólos do processo: p1=-1/5

e

p2=-1

O início do lugar das raízes é sempre neste ponto quando Kc=0 (pontos A e B na Figura 6.5). 2- Conforme Kc aumenta, as raízes da equação característica são distintas e reais enquanto Kc<4/5. Elas se localizam no eixo real negativo. Assim, o lugar das raízes é dado por duas curvas distintas que partem dos pontos A e B e permanecem no eixo real. Além disso, as duas curvas se movem uma em direção à outra e se encontram no ponto C (Figura 6.5). Neste ponto Kc=4/5 e temos duas raízes iguais (-3/5). 3- Para valores de Kc> 4/5 temos novamente duas curvas distintas no lugar das raízes, já que temos raízes distintas conjugadas. Como a parte real das raízes complexas é constante (veja

72

equação 6.2), as duas partes do gráfico do lugar das raízes são perpendiculares ao eixo real e tendem ao infinito quando Kc.

Figura 6.5- Diagrama de lugar das raízes do sistema no exemplo 6.5. Este exemplo mostra que o diagrama do lugar das raízes de um sistema não só nos dá informações sobre a estabilidade de um sistema em malha fechada mas também sobre as características da resposta dinâmica conforme Kc muda. Assim, a análise do lugar das raízes pode ser a base para o projeto de malhas de controle feedback, já que a movimentação dos pólos da malha fechada (ou seja, as raízes da equação característica) devido à mudança do ganho proporcional do controlador pode ser claramente entendida. A construção do diagrama do lugar das raízes para este sistema foi bastante simples. Para sistemas de ordem mais elevada isto se torna bem mais complicado. 6.5- Substituição direta para encontrar o limite de estabilidade O método da substituição direta é uma maneira rápida e prática de encontrar o valor dos parâmetros na equação característica que colocam o sistema no limite de estabilidade. Sabemos que o sistema é estável se todas as raízes estão do lado esquerdo do eixo imaginário e instável se estão do lado direito. Assim, o eixo imaginário representa a fronteira de estabilidade. No eixo imaginário s é igual a um número imaginário qualquer: s=w i. a técnica consiste em se substituir s por w i na equação característica e resolvê-la pa encontrar o valor de w e outros parâmetros (por exemplo, o ganho do controlador) que satisfazem as equações resultantes. O método é entendido melhor se olharmos o exemplo abaixo: Exemplo 6.6- Imagine um sistema controlado por um controlador proporcional. A sua equação característica é dada por: s 3  3s 2  3s  1 

Kc 0 8

Substituindo s= w i temos: 73

 iw 3  3w 2  3iw  1 

Kc 0 8

 Kc   3w 2   i(3w  w 3 )  0  0i 1  8  

Temos então duas equações: 1

Kc  3w 2  0 8

3w  w 3  0

Logo: w2  3  w   3

Kc  3w 2  1  3(3)  1  Kc  64 8

O valor do ganho no limite de estabilidade é 64.

74

7- Projeto de Controladores Feedback Neste capítulo vamos tentar responder às seguintes perguntas: Como selecionamos o tipo de controlador feedback (ou seja, P, PI ou PID) e como ajustamos os parâmetros do controlador selecionado (ou seja, Kc, I e D) de forma a obter uma resposta "ótima" para o processo controlado? 7.1- Introdução Considere o diagrama de blocos do sistema em malha fechada da Figura 5.1. Quando a carga ou o set point muda, a resposta do processo se desvia e o controlador tenta trazer a saída novamente para o set point desejado. A Figura 7.1 mostra a resposta do processo controlado para uma perturbação degrau unitária na carga quando diferentes tipos de controlador são usados. Notamos que diferentes controladores têm efeitos diferentes na resposta do processo controlado.

Figura 7.1- Resposta de um sistema para uma perturbação degrau na carga sem controle e com vários tipos de controle feedback. Assim, a primeira questão aparece: 

Que tipo de controlador feedback deve ser usado para controlar um dado processo?

Se decidirmos, por exemplo, usar o controle PI, ainda temos que selecionar o valor do ganho Kc e da constante de tempo integral I. Nos capítulos anteriores vimos que estes parâmetros apresentam um efeito forte na resposta do processo controlado. Assim a segunda pergunta que surge é: 

Como selecionamos os melhores valores para os parâmetros ajustáveis do controlador

feedback? Isto é conhecido como o problema de sintonização do controlador.

75

Para responder a estas duas questões de projeto necessitamos de uma medida quantitativa para comparar as alternativas e selecionar o melhor tipo de controlador e os melhores valores para os seus parâmetros. Então a terceira questão que surge é: 

Que critério de desempenho devemos usar para a seleção e sintonia do controlador?

Existe uma grande variedade de critérios de desempenho que poderíamos usar: -

Manter o desvio máximo (erro) tão pequeno quanto possível.

-

Conseguir que o sistema atinja o set point desejado e permaneça nele rapidamente

-

Minimizar a integral dos erros enquanto não se permanece no set point desejado, etc.

Diferentes critérios de desempenho levam a diferentes projetos do controlador. 7.2- Critérios de desempenho Simples Começamos com o critério de desempenho pois precisamos estabelecer uma base para comparação de alternativas de projetos de controlador e porque a sua seleção constitui a principal dificuldade durante o projeto de um sistema feedback.

Figura 7.2- Diferentes respostas em malha fechada. Considere dois diferentes sistemas de controle feedback que produzem as duas respostas em malha fechada mostradas na Figura 7.2. A resposta A atingiu o set point mais rápido do que a resposta B. Se o nosso critério para projeto do controlador fosse Voltar para o set point o mais rápido possível Então selecionaríamos o controlador que leva a uma resposta em malha fechada do tipo da curva A. Mas se o nosso critério fosse Manter o desvio máximo o menor possível ou Retornar ao set point desejado e permanecer próximo a ele no menor tempo possível Teríamos selecionado o outro controlador, que apresenta a resposta em malha fechada do tipo B. Dúvidas similares serão encontradas frequentemente durante o projeto de um controlador. 76

Para cada aplicação em controle de processos podemos distinguir Critérios de desempenho em estado estacionário Critérios de desempenho da resposta dinâmica O principal critério estacionário é erro zero no estado estacionário. Vimos que na maioria dos casos o controlador proporcional não consegue atingir erro zero no estado estacionário e que o controlador PI consegue. Também sabemos que para controle proporcional o erro no estado estacionário (offset) tende a zero quanto Kc. A

avaliação do desempenho dinâmico de um sistema em malha fechada pode ser

baseado em dois tipos de critérios: 1- Critérios que usam somente poucos pontos da resposta. Eles são simples, mas somente aproximados. 2- Critérios que usam toda a resposta em malha fechada, do tempo t=0 até um tempo t muito grande. São mais precisos, mas também mais trabalhosos. Os critérios mais simples são baseados em algumas características da resposta em malha fechada do sistema. As mais usadas são: -Overshoot -Tempo de ascensão (tempo necessário para a resposta atingir pela primeira vez o valor desejado) -Tempo de assentamento (tempo necessário para a resposta ficar dentro da faixa de 5% do valor desejado). -Razão de declínio -Frequência de oscilação da resposta transiente Cada uma das características acima poderia ser usada como o critério básico para selecionar o controlador e os valores dos parâmetros ajustáveis. Assim, poderíamos projetar o controlador para ter overshoot mínimo, ou tempo de assentamento mínimo, etc. Deve-se enfatizar, entretanto, que uma característica não é suficiente para descrever a resposta dinâmica e normalmente precisamos que mais de um objetivo seja satisfeito. Infelizmente projetos de controladores baseados em critérios múltiplos levam a características conflitantes da resposta. Por exemplo, na Figura 5.8 vemos que para um controlador PID, para diminuir o valor do overshoot (através da diminuição de Kc) aumentamos o tempo de assentamento. Estes conflitos vão sempre aparecer quando usarmos os critérios de projetos simples tais como os descritos acima.

77

De todos os critérios de desempenho citados, a razão de declínio tem sido o critério mais popular. A experiência tem mostrado que uma razão de declínio (C/A - Figura 3.2) igual a 1/4 é um meio termo razoável entre um tempo de ascensão rápido e um tempo de assentamento razoável. Este critério é usualmente chamado de critério da razão de declínio de um quarto . 7.3- Critério de desempenho da integral no tempo A forma da resposta em malha fechada, do tempo t=0 até que o estado estacionário tenha sido atingido, pode ser usada para a formulação de um critério de desempenho dinâmico. Diferentemente dos critérios simples que usam somente características isoladas da resposta dinâmica (razão de declínio, tempo de assentamento, etc.), os critérios desta categoria são baseados na resposta do processo como um todo. Os mais usados são: 1- Integral do erro ao quadrado (ISE-Integral of the Square Error), onde 

ISE    2 ( t )dt

(7.1)

0

2-Integral do valor absoluto do erro (IAE-Integral of the Absolute value of the Error), onde 

IAE   ( t ) dt

(7.2)

0

3- Integral do tempo vezes o erro absoluto (ITAE-Integral of the Time-weighted Absolute Error), onde 

IT AE   t ( t ) dt

(7.3)

0

(t)=ysp(t)-y(t) é o desvio (erro) da resposta do set point desejado. O problema de projeto do "melhor" controlador pode agora ser formulado como: Selecione o tipo de controlador e os valores dos seus parâmetros ajustáveisde forma a minimizar o ISE, IAE ou ITAE da resposta do sistema. Qual dos três critérios acima serão usados depende das características do sistema a ser controlado e de certas exigências que impomos à resposta do processo controlado. A seguir são mostradas algumas regras gerais: Se é importante evitar grandes erros, ISE é melhor do que IAE porque os erros estão elevados ao quadrado e assim contribuem mais para o valor da integral. Para evitar pequenos erros, IAE é melhor do que ISE porque quando elevamos números pequenos ao quadrado (menores que um) eles se tornam menores ainda.

78

Para evitar erros que persistem por longos tempos, o critério ITAE é o melhor porque grandes tempos amplificam o efeito de erros mesmo pequenos no valor da integral. Exemplo 7.1- Sintonia de controladores usando o critério da integral no tempo Considere o sistema em malha fechada mostrado na Figura 7.3 A resposta em malha fechada é: y(s) 

 Is  1 (I / 20Kc)s ysp(s)  d(s) I 2 1 I 2 1 s  I (1  )s  1 s  I (1  )s  1 20Kc 20Kc 20Kc 20Kc

ou y(s) 

 Is  1 2 2

 s  2s  1

ysp(s) 

(I / 20Kc)s 2 2

 s  2s  1

d(s)

(7.4)

onde 



I 20K c

(7.5)

1 I (1  20Kc) 2 20K c

(7.6)

Figura 7.3- Sistema em malha fechada do exemplo 7.1 Para selecionar os melhores valores de Kc e I, podemos usar um dos três diferentes critérios ISE, IAE ou ITAE. Além disso, podemos considerar mudanças no set point ou na carga. Finalmente, mesmo se selecionarmos mudanças no set point, ainda precisamos decidir que tipo de mudanças considerar (ou seja, degrau, senoidal, impulso, etc.). Vamos selecionar o critério ISE e a perturbação degrau unitário no set point. Da equação 7.4 temos y(s) 

 Is  1

1  s  2s  1 s 2 2

Invertendo esta equação encontramos (se <1) 79

y( t )  1 

 2 e   /   I   2 t  2 t 1 1   sen 1    sen 1    tan          1  2   

   

(7.7)

E então podemos resolver o seguinte problema de otimização: 

Minimize ISE   ysp  y( t )2 ( t )dt selecionando os valores de  e , onde y(t) é dado pela 0

equação 7.7. Os valores ótimos de  e  são dados pela solução das seguintes equações (condições para o ótimo): (ISE ) (ISE )  0  

Se * e * são os valores ótimos, podemos encontrar os valores ótimos correspondentes para os parâmetros do controlador (Kc e I) usando as equações 7.5 e 7.6. Devemos ter em mente que: 1- Diferentes critérios levam a diferentes projetos do controlador, ou seja, se tivéssemos escolhido IAE ou ITAE os valores ótimos encontrados para Kc e I seriam diferentes. 2- Para o mesmo critério integral, diferentes mudanças na entrada levam a diferentes projetos. Por exemplo, se a mudança degrau unitária fosse feita na carga ao invés de no set point, os valores ótimos encontrados para Kc e I também seriam diferentes. 7.4- Seleção do tipo de controlador feedback Qual dos três tipos de controlador feedback deve ser usado para controlar um dado processo? A pergunta pode ser respondida de maneira sistemática como segue: 1- Defina um critério de desempenho apropriado (ISE, IAE ou ITAE) 2- Calcule o valor do critério de desempenho usando um controlador P, PI ou PID com os melhores valores para os parâmetros ajustáveis (Kc,I e D). 3- Selecione o controlador que leva ao "melhor" valor do critério de desempenho. Este procedimento, embora matematicamente preciso, apresenta vários problemas práticos: É muito tedioso Depende de modelos (funções de transferência) para o processo, sensor e elemento final de controle, que podem não ser exatos. Apresenta certas ambiguidades na escolha do melhor critério e da mudança na entrada a considerar. Felizmente é possível selecionar o tipo mais apropriado de controlador feedback usando somente considerações qualitativas vindas das análises feitas nos capítulos passados 80

quando examinamos o efeito dos modos de controle proporcional, integral e derivativo na resposta de um sistema. Resumindo as conclusões são as seguintes: 1- Controle proporcional (a) Acelera a resposta do processo controlado (b) Produz offset (ou seja, erro estacionário diferente de zero) para todos os processo com exceção dos chamados integradores puros (equação 3.4 -pag. 35). 2- Controle integral (a) Elimina qualquer offset (b) A eliminação do offset normalmente leva a desvios máximos mais altos (c) Leva a respostas lentas e que oscilam por muito tempo (d) Se aumentamos o ganho Kc para obter respostas mais rápidas, o sistema se torna mais oscilatório e pode se tornar instável. 3- Controle derivativo (a) Antecipa erros futuros e introduz ações de controle apropriadas a estes erros (b) Introduz um efeito estabilizante na resposta em malha fechada. A Figura 7.1 mostra estas características. A partir das considerações acima fica claro que o controlador PID deve ser o melhor. Isto é verdade no sentido de que ele oferece a maior flexibilidade para atingirmos a resposta desejada, já que tem 3 parâmetros ajustáveis. Ao mesmo tempo, ele leva a um problema de sintonia mais difícil pelo mesmo motivo. Podemos adotar as seguintes regras para selecionar o controlador mais apropriado: 1- Se possível, use o controle proporcional simples. Controle proporcional simples pode ser usado se podemos atingir offset aceitável com valores moderados de Kc. É normalmente usado para controle de nível e de pressão de gás. 2- Se um controlador P simples não é aceitável, use um PI. Um controlador PI deve ser usado quando o controle proporcional não consegue offset pequeno. É normalmente usado para controle de vazão. A resposta de um sistema de controle de vazão é muito rápida. Consequentemente, a velocidade do sistema em malha fechada se mantém satisfatória apesar da diminuição de velocidade causada pelo modo integral 3- Use um controlador PID para aumentar a velocidade da resposta em malha fechada e para estabilizar o sistema. O PI elimina o offset mas reduz a velocidade da resposta. No caso de sistemas muito lentos, a adição de um PI torna a resposta ainda mais lenta. Nestes casos a adição da ação de controle derivativa com o seu efeito estabilizador permite o uso 81

de ganhos mais altos, que produzem respostas mais rápidas, sem oscilações excessivas. Este tipo de controle é muito usado, por exemplo, para controle de temperatura e composição. 7.5- Sintonia do controlador Depois que o tipo de controlador tiver sido selecionado, ainda temos que decidir que valores usar para os parâmetros ajustáveis. Este é conhecido como o problema de sintonia do controlador. Existem três diferentes abordagens que podem ser usadas: 1- Use critérios simples como a razão de declínio de um quarto, tempo de assentamento mínimo, desvio máximo mínimo, etc. Tal abordagem é facilmente implementada num processo real. Normalmente leva a várias soluções possíveis (diferentes combinações dos parâmetros levam ao mesmo resultado para razão de declínio ou outro critério). Especificações adicionais sobre o desempenho em malha fechada serão necessárias para selecionar um único conjunto de parâmetros. 2- Use critérios de integral no tempo como ISE, IAE ou ITAE. Esta abordagem é mais trabalhosa e depende fortemente do modelo matemático (função de transferência) do processo. Aplicada experimentalmente no processo real é bastante demorada. 3- Use regras semi empíricas que foram provadas na prática. 7.5.1-Método da Curva de Reação ou Método de Cohen e Coon Um dos métodos semi empíricos mais conhecidos é o método da curva de reação do processo e foi desenvolvido por Cohen e Coon. Considere o sistema de controle da figura 7.2, que foi "aberto" desconectando-se o controlador do elemento final de controle. Faça uma perturbação degrau de magnitude A na variável c, que atua no elemento final de controle. Guarde o valor da saída com o tempo. A curva ym(t) é chamada de curva de reação do processo. Entre ym e c temos as seguintes funções de transferência (veja figura 7.2): G CRP (s) 

ym(s)  Gf (s)Gp (s)Gm (s) c(s)

(7.8)

A equação acima mostra que a curva de reação do processo é afetada não somente pela dinâmica do processo mas também pela dinâmica do sensor (medidor) e do elemento final de controle.

82

Figura 7.2- Malha de controle "aberta". Cohen e Coon notaram que a resposta da maior parte dos processos a uma perturbação degrau tal como a descrita acima tem uma forma sigmoidal (veja figura 7.3a), que pode ser adequadamente aproximada pela resposta de um sistema de primeira ordem com tempo morto (veja a curva pontilhada na figura 7.3b): G CRP 

ym(s) Ke t d s  c(s) s  1

(7.9)

que tem três parâmetros: ganho estático K, tempo morto td e constante de tempo . Da resposta aproximada da Figura 7.3b é fácil estimar os valores destes parâmetros: K

saída (no estado estacionário) entrada (no estado estacionário)



B A

=B/S, onde S é a inclinação da resposta sigmoidal no ponto de inflexão td= tempo passado até que o sistema responda

Figura 7.3- (a) Curva de reação do processo; (b) sua aproximação por um sistema de primeira ordem mais tempo morto. Cohen e Coon usaram o modelo aproximado da equação 7.9 e estimaram os valores dos parâmetros K, td e  como indicado acima. Então eles derivaram expressões para os 83

"melhores" valores dos parâmetros empiricamente, de forma que se tenha resposta com razão de declínio de um quarto. Estas expressões são mostradas na tabela abaixo: Controlador

Parâmetros

Cohen e Coon

Equação

P

Kc

(7.10)

PI

Kc

t 1  [1  d ] K td 3 t 1  [0.9  d ] K td 12 t d [30  3t d / ] 9  20t d / 

1  16  3t d  K t d  12  t d [32  6t d / ] 13  8t d /  4t d 11  2t d / 

(7.13)

I PID

Kc I D

(7.11) (7.12)

(7.14) (7.15)

Observações: 1- Os valores dos parâmetros do controlador dados pelas equações acima são baseados no fato de que o sistema de primeira ordem mais tempo morto é uma boa aproximação para a resposta sigmoidal do processo em malha aberta. É possível, no entanto, que a aproximação seja ruim. Neste caso os valores dos parâmetros de Cohen e Coon devem ser usados somente como primeiras estimativas, necessitando de correções posteriores. 2- Por que a maior parte das malhas "abertas" apresentam uma resposta sigmiodal? Porque a maioria dos processos encontrados numa planta química são de primeira ordem ou processos multicapacitivos cuja resposta é super amortecida. O comportamento sub amortecido e oscilatório é quase sempre devido à presença de controladores feedback. Assim, quando "abrimos" a malha disconectando o controlador, a resposta assume a forma sigmoidal de um sistema super amortecido. 3- Das equações 7.10, 7.11 e 7.13 que dão os valores do ganho proporcional Kc para os três controladores, podemos observar que: (a) O ganho do controlador PI é menor do que o do controlador P. Isto é porque o modo de controle integral faz o sistema mais sensível (pode mesmo levar à instabilidade) e, logo, o valor do ganho precisa ser mais conservativo. (b) O efeito estabilizante do modo derivativo permite o uso de ganhos maiores no controlador PID (maiores do que os ganhos do P e PI).

84

Exemplo 7.2- Sintonia de controladores feedback através de curvas de reação do processo Neste exemplo examinamos como a dinâmica de alguns processos influencia os resultados recomendados por Cohen e Coon. 1- Processos com atraso muito pequeno (tempo morto): Quando td é muito pequeno (quase zero)a curva de reação do processo é bem próxima da resposta de um sistema simples de primeira ordem. As equações de Cohen e Coon levam a um valor muito grande para o ganho proporcional Kc (veja equações 7.10, 7.11 e 7.13). Na prática vamos usar o maior ganho possível para reduzir o offset se um controlador proporcional for empregado. Se um controlador PI é usado, o valor do ganho será determinado pelas características desejadas da resposta. 2- Processos multicapacitivos: Estes constituem a grande maioria dos processos reais. Considere dois sistemas de primeira ordem em série com Gp 

Kp (1s  1)(2s  1)

Assuma que o medidor e a válvula de controle (elemento final de controle) têm dinâmica de primeira ordem: Gm 

Km (ms  1)

e

Gf 

Kf (f s  1)

Então a função de transferência entre a variável de ação c e a medida da saída ym é dada por (equação 7.8): G CRP 

ym KfKpKm  GfGpGm  c (f s  1)(1s  1)(2s  1)(ms  1)

Esta equação mostra que a curva de reação do processo apresenta as mesmas características dinâmicas da resposta de um sistema composto de quatro sistemas de primeira ordem em série (ou seja, uma curva sigmoidal). Se damos uma perturbação degrau unitário em c, a figura 7.4 mostra a curva de reação do processo para os seguintes valores: Kp=1

Km=1

Kf=1

1=5

2=2

f=0

m=10

Trace a tangente no ponto de inflexão e encontre: S=inclinação no ponto de inflexão=0.05 B=resposta final=1 =constante de tempo=B/S=20 85

td=tempo morto=2.5 K=ganho=B/A=1/1=1 Então a curva de reação do processo pode ser aproximada pela resposta do seguinte sistema de primeira ordem com tempo morto: G CRP (s) 

ym(s) 1e2.5s  c(s) 20s  1

A resposta aproximada também está mostrada na figura 7.4. Usando os valores sugeridos por Cohen e Coon encontramos: Para o controlador proporcional: Kc=8.3 Para o controlador proporcional-integral: Kc=7.3 e I=6.6 Para o controlador proporcional-integral-derivativo: Kc=10.9, I=5.85 e D=0.89 A figura 7.5 mostra as respostas em malha fechada para um degrau unitário no set point (figura 7.5a) e na carga (figura 7.5b). Vemos que os parâmetros sintonizados pelo método de Cohen e Coon produzem comportamento sub amortecido com uma boa razão de declínio.

Figura 7.4- Curva de reação do processo real e aproximada para o sistema multicapacitivo do exemplo 7.2

86

Figura 7.5- Resposta em malha fechada para o processo multicapacitivo do exemplo 7.2 para perturbação degrau unitário (a) no set point (b) na carga. 7.5.2- Método de Ziegler e Nichols Este método é clássico e amplamente usado na indústria. Ele consiste em se encontrar o ganho limite (Ku), ou seja, o valor do ganho para o qual a malha de controle está no limite de estabilidade com controle feedback proporcional. O período da oscilação resultante é chamado de período limite, Pu. Os passos experimentais são os seguintes para um controlador PID: 1- Elimine as ações integral e derivativa, colocando D no seu valor mínimo e I no seu valor máximo. 2- Coloque Kc num valor pequeno (ex.: Kc=0.5). 3- Aumente o ganho do controlador (Kc) em pequenos incrementos e dê uma pequena perturbação degrau na carga ou set point até encontrar o valor de Kc que leva a uma oscilação com amplitude constante. O valor de Kc que produz esta oscilação sustentada é Ku e o período desta oscilação é Pu. Os valores dos parâmetros do controlador são então calculados usando as relações de Ziegler e Nichols, mostradas na tabela abaixo: Controlador

Parâmetros

Ziegler e Nichols

Equação

P

Kc

(7.16)

PI

Kc

Ku 2 Ku 2 .2 Pu 1 .2 Ku 1 .7 Pu 2

I PID

Kc I

87

(7.17) (7.18) (7.19) (7.20)

D

Pu 8

(7.21)

Observe que um ganho menor é usado quando usamos controle PI e que a adição do termo derivativo permite o uso de um ganho maior e I menor (maior ação integral). Os valores calculados pelo método de Ziegler e Nichols são boas estimativas. Existem algumas malhas onde estes valores podem não ser muito bons, já que eles normalmente levam a respostas muito sub amortecidas. Algum ajuste em linha pode melhorar o controle significativamente.

88

8- Funções de Transferência de Sistemas Multicapacitivos

Esta parte da apostila é uma parte do capítulo II, modelos de funções de transferência, apesar de estar sendo vista somente agora. Sistemas multicapacitivos são aqueles com duas ou mais capacidades de acúmulo de massa ou energia em série. Dois exemplos típicos de sistemas multicapacitivos são mostrados na Figura 8.1, cada um com capacidade de acumular massa (os dois tanques). Estes dois sistemas apresentam uma diferença qualitativa. No sistema 1 (Figura 8.1a), a vazão de saída do tanque 1 (F1) somente depende da altura do tanque 1 (h1). Quando ocorre uma mudança em h1, F1 vai mudar e logo a altura do tanque 2 (h2) também vai ser afetada. No entanto, se ocorrer uma mudança em h2, isto não vai influenciar a altura do tanque 1. Por isso, este sistema é chamado de multicapacitivo sem interação. Por outro lado, no sistema 2 (Figura 8.1b), a vazão de saída do tanque 1 (F1) depende da diferença de altura entre os dois tanques (h1-h2). Assim, uma mudança em h1 vai provocar uma mudança em h2 e também uma mudança em h2 vai modificar o valor de F1 e, logo, influenciar h1. Este sistema é chamado de multicapacitivo com interação. Processos multicapacitivos não precisam envolver mais do que uma unidade de processo. É possível que as várias capacidades estejam associadas com a mesma unidade de processamento. Por exemplo, um tanque aquecedor agitado é um processo multicapacitivo, com capacidade para armazenar massa e energia.

Figura 8.1- Tanques (a) sem interação e (b) com interação. Para se escrever as funções de transferência para estes dois sistemas é necessário fazer balanços de massa: 89



Balanço de massa para o sistema 1 (sem interação):

tanque 1: A1

dh1  Fi  F1 dt

(8.1)

dh 2  F1  F2 dt

(8.2)

tanque 2: A2

Assumindo resistência linear ao escoamento: F1 

h1 h2 e F2  , sendo R1e R2 as R1 R2

resistências ao escoamento. Então: Tanque 1: A1R1

dh1  h1  R1Fi dt

Tanque 2: A2R 2

(8.3)

dh 2 R2  h2  h1 dt R1

(8.4)

Vemos que o comportamento do 1º tanque afeta o comportamento do 2º (a equação 8.4 depende de h1), mas que o 2º não afeta o comportamento do 1º (a equação 8.3 não depende de h2). Assim, pode-se resolver primeiro a equação 8.3 e depois a equação 8.4. Esta solução sequencial das equações é característica de sistemas sem interação em série. Colocando em variável desvio e escrevendo a função de transferência: h1(s) R1 Kp1  G1(s)   Fi(s) A1R1s  1 p1s  1

(8.5)

h 2(s) R 2 / R1 Kp2  G 2(s)   h1(s) A 2R 2s  1 p 2s  1

(8.6)

Podemos desenhar o seguinte diagrama de blocos:

ou seja, Fi(s)G1(s)=h1(s) e h1(s)G2(s)=h2(s), logo: Fi(s)G1(s)G2(s)=h2(s), o que é o mesmo que: h 2(s) Kp1 Kp2  G1(s)G 2(s)  Fi(s) p1s  1 p 2s  1

(8.7)

Vemos que a resposta do primeiro tanque apresenta comportamento de 1ª ordem para perturbações em Fi (equação 8.5) e a resposta do segundo tanque apresenta comportamento de segunda ordem para a mesma perturbação (equação 8.7). O diagrama de blocos pode ser generalizados para N capacidades em série: 90

ou seja:

y N (s)  G1(s)G 2 (s)....G N (s) f1(s)

Os pólos da função de transferência da equação (8.7) são p1=-1/p1 e p2=-1/p2, que são reais e distintos. Se as constantes p1 e p2 são iguais, temos dois pólos idênticos. Assim, conforme já foi comentado, sistemas multicapacitivos sem interação apresentam resposta super amortecida (resultado de pólos reais distintos) ou criticamente amortecida (resultado de pólos reais repetidos) e nunca sub amortecida (resultado de pólos complexos). 

Balanço de massa para o sistema 2 (com interação)

Neste caso temos que F1 

(h1  h 2) h2 e F2  . Logo, as equações 8.1 e 8.2 se transformam R1 R2

em: Tanque 1: A1R1

dh1  h1  h 2  R1Fi dt

Tanque 2: A2R 2

(8.8)

dh 2  R 2  R2  1  h1 h 2  dt  R1  R1

(8.9)

Vemos que o comportamento dinâmico do 1º tanque afeta o do 2º tanque (a equação 8.9 depende de h1) e que o comportamento dinâmico do 2º também afeta o do 1º (a equação 8.8 depende de h2). Assim, não há como resolver primeiro a equação 8.8 e depois a 8.9, as duas equações devem ser resolvidas ao mesmo tempo. A solução deste sistema de equações é bem mais difícil do que no caso sem interação. Colocando em variáveis desvio e fazendo a transformada de Laplace: h1(s)A1R1s  1  h 2(s)Fi(s)  R 2  R 2  h 2(s)A2R 2s  1  h1   R1  R1  

Resolvendo estas duas equações algébricas com respeito a h1 e h2, após várias manipulações algébricas encontramos: h1(s) 

h 2(s) 

(p 2R1)s  (R1  R 2) p1p 2s 2  (p1  p 2  A1R 2)s  1

Fi(s)

(8.10)

Fi(s)

(8.11)

R2 2

p1p 2s  (p1  p 2  A1R 2)s  1

91

onde p1=A1R1 e p2=A2R2. As equações 8.10 e 8.11 indicam que as respostas de ambos os tanques para perturbações em Fi apresentam dinâmica de segunda ordem. Pode-se demonstrar facilmente que os pólos das equações 8.10 e 8.11 são reais e distintos. Consequentemente, a resposta de sistemas multicapacitivos com interação é sempre super amortecida.

9- Análise de Processos Lineares no Domínio da Frequência

Quando um sistema linear está sujeito a uma entrada senoidal, a sua resposta após um longo período de tempo (quando t) se torna também uma onda senoidal. Esta característica é a base da análise da resposta no domínio da frequência.

entrada: f(t)=Asen(wt)

A=amplitude w=frequência

T=período (unidade de tempo)=tempo para completar um ciclo Frequência=w=

w (hertz)=

1 T

w (radianos/tempo)=

2 T

A=amplitude= altura da onda

9.1- Resposta de um sistema de 1ª ordem a uma entrada senoidal Considere um sistema de 1ª ordem com a função de transferência: G (s) 

y(s) Kp  f (s) ps  1

(9.1)

sujeito a uma entrada senoidal com amplitude A e frequência w: f (t )  A sen(wt )

A transformada de Laplace desta função é: 92

f (s) 

Aw

(9.2)

2

s  w2

Substituindo (9.2) em (9.1): y(s) 

Kp Kp Aw f (s)  2  ps  1  ps  1 s  w 2

Expandindo em frações parciais: y(s) 

C1 C2 C3   s  1 / p s  wj s  jw

Calculando as constantes C1, C2 e C3 e invertendo a transformada de Laplace: y( t ) 

KpAwp  t /  p KpAwp KpA e  cos(wt )  sen(wt ) 2 2 2 2 2 2 p w  1 p w  1 p w  1

que é a resposta [y(t)] de um processo de 1ª ordem sujeito a uma entrada (perturbação) senoidal de amplitude A e frequência w. Vejamos o comportamento do processo no estado estacionário (quando t): quando t, e-t/p0, portanto: KpAwp KpA yEE ( t )   2 2 cos(wt )  2 2 sen(wt ) p w  1 p w  1

(9.3)

Usando a seguinte identidade trigonométrica: a1cosb  a 2 sen b  a3sen(b  )

onde: a3  a12  a 22

e

 a1    tg1   a2 

teremos: y EE ( t ) 

KpA 2 w 2  1

sen(wt  )

(9.4)

p

onde   tg1(wp ) ( é o arco cuja tangente é (-wp).)

(9.5)

Observações: 1- A resposta de um sistema de primeira ordem sujeito à uma entrada senoidal depois de um longo tempo (no estado estacionário) é também uma onda senoidal com a mesma frequência w. 2- A razão da amplitude de saída (resposta do sistema) em relação à amplitude da onda de entrada (perturbação) é chamada de razão de amplitude e é uma função da frequência:

93

RA 

amplitude da onda de saída amplitude da onda de entrada



Kp 2 w 2 p

1

(9.6)

3- A onda de saída tem um atraso (phase lag) em relação à onda de entrada por um ângulo  , o qual é função da frequência w (equação 9.5).



Notar que RA e  são calculados somente após a saída atingir o estado estacionário, ou

seja, oscilar com amplitude constante!!! As três observações acima são válidas não somente para sistemas de primeira ordem, mas também para sistemas lineares de qualquer ordem. Breve revisão de números complexos: 1- Considere um número complexo W definido por: W=a+jb onde

a=Re(W)=parte real de W b=Im(W)=parte imaginária de W

O módulo ou valor absoluto ou magnitude de W é representado por W e definido como: W 

Re( W)2  Im(W)2

(9.7)

O ângulo de fase ou argumento de W é representado arg(W) e definido por:  Im(W)  arg(W)  tan1    Re( W) 

(9.8)

94

Figura 9.1- Plano complexo. Da Figura 9.1 fica claro que: a  W cos

e

b  W sen 

e W  W cos  j W sen 

Lembre também que: cos  

e j  e j 2

então W  W

e

sen  

e j  e  j 2j

e j  e  j e j  e  j  jW  W e j 2 2j

(9.9)

2- Se Z=a-jb ( o complexo conjugado), pode-se demostrar facilmente que Z W

e

arg(Z)   arg(W)

3- Substituindo s=jw na equação 9.1, temos: G ( jw ) 

Kp Kp  p jw  1  p jw  1 p jw  1  p jw  1

(multiplicação pelo conjugado do denominador)

ou Kpwp Kp G ( jw )  2 2 j 2 2 p w  1 p w  1

Então G(jw) é um número complexo e o seu módulo é dado por (equação 9.7): G ( jw ) 

Kp 2p w 2  1

que é igual à razão de amplitude (equação 9.6). O seu argumento é dado por (equação 9.8): arg de G( jw )  tan1(wp )

que é igual ao atraso de fase () (equação 9.5). 95

Estas relações mostram que a razão de amplitude e o atraso de fase para a resposta no estado estacionário de um sistema de primeira ordem são iguais ao módulo e ao argumento, respectivamente, da sua função de transferência quando s=jw. Isto é válido para sistemas lineares de qualquer ordem. Para passar uma função de transferência do domínio de Laplace para o domínio da frequência basta substituir s por wi. L -1

s  jw

Domínio do tempo  Domínio de Laplace Domínio da frequência p

dy  y  Kpf ( t ) dt

 

y(s) Kp  f (s) ps  1

 

Kpwp y( jw ) Kp  2 2 j 2 2 f ( jw ) p w  1 p w  1

As três formas descrevem o mesmo processo: processo de 1ª ordem. São três linguagens diferentes para representar o mesmo objeto, cada uma com as suas particularidades, vantagens e limitações. Generalizando a análise acima para sistemas de ordem maior do que um: Considere um processo linear com a função de transferência: G (s) 

y(s) P(s)  f (s) Q(s)

onde Q(s) e P(s) são polinômios de ordem m e n, respectivamente, com m
3- A onda de saída é deslocada (defasada) com relação á onda de entrada por um ângulo , que é uma função da frequência w e dada pelo argumento de G(jw):   arg G( jw)

Exemplo 9.1- Resposta de frequência de um processo puramente capacitivo. Considere o tanque de nível abaixo:

96

A vazão de saída F0 é mantida constante pela bomba. Um balanço de massa leva a: dh  Fi  F0 dt

Balanço de massa:

A

No estado estacionário:

0  Fi, s  F0 , s

Variável desvio:

A

Transf. de Laplace:

G (s) 

dh '  Fi' dt

h (s) 1/ A  Fi(s) s

___________________________________________________________________________ ___ A resposta deste processo a um degrau unitário em Fi é: 1 s

Fi(s)= , portanto: h (s) 

1 L -1    h ' ( t )  t 2 A s

1/ A

ou seja, a altura h aumenta linearmente com o tempo, o que era de se esperar, já que a vazão de saída F0 é constante. Caso a vazão de saída F0 fosse função da altura do líquido no tanque, a resposta do sistema a uma perturbação em Fi seria uma resposta comum de 1ª ordem. ___________________________________________________________________________ ___

O que acontece com h(t) quando fazemos uma perturbação senoidal de frequência w em Fi(t)? Para responder a esta pergunta, basta substituir s=jw na função de transferência que relaciona h(s) e Fi(s). O módulo do número complexo resultante dá a razão de amplitude e o argumento do complexo resultante o atraso de fase. Chamando 1/A de Kp, temos: G (s)  Fazendo s=jw, temos: G( jw ) 

Kp s

Kp Kp  jw Kp   0 j jw jw  jw w

97

1- A razão de amplitude é: RA  G( jw ) 

Kp w

2- O angulo de defasagem  é:   tan1   90 Então, a altura do tanque depois de um tempo muito longo vai ser uma onda senoidal de mesma frequência (e, logo, mesmo período) que a onda senoidal de entrada (Fi), com amplitude kp/w*Amplitude da entrada e atrasada 90º em relação à onda de entrada. Exemplo 9.2- Resposta de frequência de N sistemas de 1ª ordem em série sem interação

h (s) Kp N Kp1 Kp2 G(s)  N  G1(s)G 2(s)....G N (s)  ..... F1(s) p1s  1 p 2s  1 pNs  1

Como é a resposta (altura do último tanque) quando a vazão do primeiro tanque (F1) sofre uma perturbação senoidal de frequência w? Fazendo s=jw G( jw)  G1( jw)G2( jw)....G N ( jw)

Mas, da equação 9.9: G1( jw )  G1( jw ) e j1 , G 2( jw )  G 2( jw ) e j2 , .....

Logo, G( jw )   G1( jw ) G 2( jw ) .... G N ( jw ) e j(1  2 ...   N )

Consequentemente a resposta tem as seguintes características: 1- Razão de amplitude: RA  G( jw)  G1( jw) G2( jw) .... G N ( jw)

ou RA 

Kp1Kp2...Kp N 2p1w 2  1 2p 2 w 2  1...... 2pNw 2  1

2-Ângulo de fase 98

  1  2  ....  N

ou   tan1(wp1)  tan1(wp2 )  ......  tan1(wpN )

A saída do último tanque no estado estacionário é uma onda senoidal. Como  < 0, a onda senoidal da resposta está atrasada com relação à onda senoidal da entrada. Exemplo 9.3- Resposta de frequência de um processo de 2ª ordem G (s) 

Kp 2 2

 s  2s  1

Fazendo s=jw, temos: G ( jw ) 

Kp (2 w 2  1)  j2w



(2 w 2  1)  j2w

Kp

(2 w 2  1)  j2w (2 w 2  1)  j2w

ou G ( jw ) 

Kp(1  2 w 2 ) (1  2 w 2 ) 2  (2w ) 2

j

Kp2w (1  2 w 2 ) 2  (2w ) 2

Assim, a resposta no estado estacionário tem as seguintes características: 1- Razão de amplitude: RA  G ( jw ) 

Kp (1  2 w 2 ) 2  (2w ) 2

2-Ângulo de fase:  2w     arg G ( jw )  tan1   1  2 w 2 

Como  < 0, a resposta está atrasada com relação à entrada. Exemplo 9.4- Resposta de frequência de um sistema tempo morto s  jw

 G(s)  e tds  G( jw )  e jtdw

RA  1

onda de saída possui a mesma amplitude da onda de entrada

  tdw

Como  < 0, a resposta está atrasada com relação à entrada. Exemplo 9.5- Resposta de frequência de controladores feedback 

Controlador P:

Gc (s)  Kc

RA  Kc

0

99



 1   Gc (s)  Kc1    Is 

Controlador PI

RA  Gc ( jw )  Kc 1 

1 ( wI ) 2

 1    0   arg Gc ( jw )  tan1 w   I



Controlador PD

Gc (s)  Kc(1  Ds)

RA  Gc ( jw )  Kc 1  D 2 w 2   arg Gc ( jw )  tan1 D w  0

A onda de saída se "antecipa" à entrada. Isto mostra a característica preditiva do modo de controle derivativo. 

  1 Gc (s)  Kc1   Ds    Is 

Controlador PID 2

 1    1 RA  Gc ( jw )  Kc  D w  w  I 

 1     arg Gc ( jw )  tan1 D w  wI  

 pode ser positivo ou negativo dependendo dos valors de D, I e w. A análise dos sistemas de controle no domínio da frequência é feita de forma gráfica, que mostra como a frequência de oscilação da entrada w influencia a razão de amplitude e o ângulo de fase.

10- Diagrama de Bode

O diagrama de Bode (homenagem a H.W. Bode) consiste em dois gráficos 1- log RA versus frequência w 2- ângulo de fase  versus frequência w Para cobrir uma ampla faixa de frequência, é usual utilizar logaritmo da frequência. 

Sistemas de primeira ordem

Vimos anteriormente que:

100

RA 

Kp

(10.1)

2 w 2  1 p

  tg1(wp )

(10.2)

 RA  1    log 2 w 2  1 2  p   Kp 

Temos que log

(10.3)

Figura 10.1- Diagrama de Bode de sistemas de 1ª ordem Para conveniência, como p é constante, vamos considerar wp como a variável independente ao invés de w. O gráfico de log (AR/Kp) contra log pw é mostrado na Figura 10.3 e pode ser plotado da equação 10.3 para vários valores da frequência w. Este gráfico é plotado no papel log-log. Ao invés do trabalho numérico para plotar este gráfico, podemos ter uma idéia aproximada considerando o seu comportamento assintótico quando w0 e w. Assim temos: 1- Quando w0, pw0 e da equação 10.3 log(RA/Kp)0 ou RA/Kp1. Esta é a assíntota de baixa frequência mostrada pela linha tracejada na Figura 10.1a. É uma linha horizontal passando pelo ponto AR/Kp=1. 2- Quando w, pw e da equação 10.3 log(RA/Kp)  -log(pw). Esta é a assíntota de alta frequência mostrada pela linha tracejada na Figura 10.1b. É uma linha com inclinação -1 que passa pelo ponto AR/Kp=1 para pw=1. A frequência w=1/p é a frequência de corte. Neste ponto, como pode ser visto na Figura 10.1a, o desvio do valor real de RA/Kp 101

das assíntotas é máximo. O valor real de RA/Kp é calculado pela equação 10.1 e é igual a 1 / 2 =0.707, diferente de 1(calculado pelas assíntotas).

O gráfico do ângulo de fase contra pw é mostrado na Figura 10.1b. Ele é plotado em papel semi-log. Ele pode ser plotado a partir da equação 10.2 e podemos facilmente verificar as seguintes características do gráfico: 1- Quando w0, 0 2- Quando w, -90º 3- Quando w=1/p (frequência de corte), =tan-1(-1)=-45º Alguns autores definem RA em decibéis: RAd=20log(RA) (O Luyben, por exemplo). 

Sistemas de 2ª ordem

G (s) 

Kp 2 2

 s  2s  1

Já vimos que: RA 

Kp

(10.4)

(1  2 w 2 ) 2  (2w ) 2

 2w     tan1   1  2 w 2 

(10.5)

Da equação 10.4 temos:



 RA  1    log (1  2 w 2 ) 2  (2w ) 2 log 2  Kp 



(10.6)

Figura 10.2- Diagrama de Bode de sistemas de 2ª ordem. 102

Os dois gráficos são mostrados na Figura 10.2 para vários valores de . As duas assíntotas para o gráfico de RA por w são determinadas como segue: 1-Quando w0, w0 e da equação 10.6 log(RA/Kp)0 ou RA/Kp1. Esta é a assíntota de baixa frequência mostrada pela linha tracejada na Figura 10.2a. É uma linha horizontal passando pelo ponto AR/Kp=1. 2-Quando

w,



w

e

a

equação

10.6

se

transforma

em



 RA  1 1    log (2 w 2 ) 2   log(w ) 4  2 log(w ) . Esta é a assíntota de alta frequência, log 2 2  Kp 

que é uma linha reta com inclinação -2 passando no ponto RA=1 quando w=1. Quando w é igual a 1, como pode ser visto no gráfico, a razão de amplitude assume o valor máximo. Quando w=1, da equação 10.4 vemos que RA/Kp=

1 . Assim, se   1, o 2

valor real de RA/Kp<1 e se <1 (sistema sub amortecido) o valor real pode ser maior que 1. Na verdade o valor real de RA/Kp vai ser maior do que 1 para <0.5. Na Figura 10.2 notamos que para sistemas sub amortecidos (<1) a razão de amplitude pode exceder significativamente o valor de 1. Já vimos que para <1 o sistema apresenta um comportamento oscilatório no domínio do tempo; no domínio de Laplace vimos que neste caso é resultante de raízes complexas da equação característica e no domínio da frequência este comportamento é denotado por uma saliência (corcova) no gráfico de AR em função da frequência. Diagrama de Bode no Matlab Pode-se usar o matlab para traçar o diagrama de Bode para diferentes funções de transferência. A diferença é que o Matlab, a exemplo de alguns autores como o Luyben, W.L. (1989), define a razão de amplitude em decibéis: AR d=20.log(AR). O diagrama de Bode então é plotado num gráfico semi-log. Por exemplo, para o sistema de 1ª ordem, a função de transferência é dada por: G (s) 

y(s) Kp  f (s) ps  1

Esta função de transferência deve ser definida no Matlab, o que é feito definindo-se o seu numerador e denominador da seguinte forma: Façamos Kp=1 e =1. A função de transferência, então é: G(s)  então definimos no matlab: 103

y(s) 1  f (s) s  1

num=[0 1]; den=[1 1]; bode(num,den) A Figura 10.3 mostra o gráfico resultante. Compare a Figura 10.3 com a Figura 10.1 e veja que a forma do diagrama de Bode é a mesma. A assíntota de baixa frequência, quando w0, na Figura 10.1 é uma reta passando por AR/Kp=1. No caso em que plotamos a razão de amplitude em decibéis, com Kp=1, AR=1 e logo 20log(AR)=0. Neste caso a assíntota de baixa frequência passa por zero.

Gain dB

0

-10

-20

-30 -1 10

0

10 Frequency (rad/sec)

10

1

Phase deg

0 -30

Figura 10.3- Diagrama -60 de Bode para o sistema de 1ª ordem traçado no matlab. Para o sistema de segunda ordem: G(s)  -90 10

-1

Fazendo Kp=1 e =1, temos: G (s) 

Kp 2 2

 s  2s  1 0

.

10 Frequency (rad/sec)

1 2

s  2s  1

10

1

. Podemos traçar o diagrama para diferentes

valores de . No matlab fazemos: num=[0 0 1]; den=[1 2* 1]; bode(num,den) Para traçar gráficos com vários valores de , usamos o comando "hold on", que guarda os gráficos anteriores. Então para =2, 1, 0.2 e 0.1 fazemos: num=[0 0 1]; den=[1 4 1];

(Para =2)

bode(num,den) 104

hold on den=[1 2 1];

(Para =1)

bode(num,den) den=[1 0.4 1];

(Para =0.2)

bode(num,den) den=[1 0.2 1];

(Para =0.1)

bode(num, den) Assim traçamos todos os gráficos juntos, resultando em:

Figura 10.4- Diagrama de Bode do sistema de 2ª ordem traçado pelo matlab. Compare a Figura 10.4 com a Figura 10.2 e veja que ambas têm a mesma forma.

11- Diagrama de Nyquist

O diagrama de Nyquist contém as mesmas informações do diagrama de Bode, porém utiliza apenas um gráfico para representar RA e . Neste gráfico, a ordenada é a parte imaginária de G(jw)=Im[G(jw]) e a abscissa é a parte real de G(jw)=Re[G(jw)]. Um valor específico da frequência w define um ponto no diagrama. Assim, no ponto 1 (Figura 11.1) a frequência tem um valor w1 e observamos o seguinte: 1- A distância do ponto 1 à origem (0,0) é a razão de amplitude na frequência w1. 105

distância  G( jw )  RA 

ReG( jw)2  ImG( jw)2

2- O ângulo  com o eixo real é o ângulo de fase na frequência w1.   arg G( jw )  tan1

Im[G( jw )] Re[G( jw )]

Assim, conforme w varia de 0 a , traçamos o diagrama de Nyquist e encontramos os valores correspondentes de razão de amplitude e ângulo de fase. A forma e localização do diagrama de Nyquist são particulares para um determinado sistema.

11.1- Diagrama de Nyquist. 

Processo de 1ª ordem

RA 

Kp 2 w 2  1 p

  tg1(wp )

-Quando w=0, para Kp=1, RA=1 e =0 -Quando w, RA0, =-90º

(ponto A)

(ponto C)

Para qualquer frequência intermediária: 0
3- Para w=1/, -90º e, para Kp=1, RA

1 4 2



1 . Assim, se   1, RA<1 e para 2

<0.5, RA>1. O diagrama de Nyquist está mostrado na Figura 11.2b.

Figura 11.2- Diagrama de Nyquist (a) processo de 1ª ordem (b) processo de 2ª ordem. Diagrama de Nyquist no matlab É possível traçar o diagrama de Nyquist de uma função de transferência no matlab. Entramos com a função de transferência da mesma forma que para traçar o diagrama de Bode. Por exemplo, para o sistema de 1ª ordem com Kp=1 e p=1: num=[0 1]; den=[1 1]; nyquist(num,den) O gráfico resultante é mostrado na Figura 11.3. Comparando este gráfico com a Figura 11.2a vemos que são id~enticos, somente o Matlab traça também o diagrama de Nyquist para -<w<0 (linha tracejada) além do diagrama para 0<w<+ (linha cheia).

107

0.6

0.4

Imag Axis

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 0.6 Real Axis

0.7

0.8

0.9

1

Figura 11.3- diagrama de Nyquist para processo de 1ª ordem traçado no matlab. Para o sistema de segunda ordem o diagrama de Nyquist está mostrado na Figura 11.4 para Kp=1, =1 e =4 e =0.4.

Figura 11.4- Diagrama de Nyquist para o sistema de 2ª ordem traçado pelo matlab. 12-Projeto de sistemas de controle feedback usando a resposta de frequência

A análise da resposta de frequência é uma ferramenta útil no projeto de controladores feedback, pois ela auxilia o projetista: (1) a estudar as características de estabilidade de um sistema em malha fechada usando os diagramas de Bode e Nyquist da função de transferência em malha aberta; 108

(2) a selecionar os mais apropriados valores para os parâmetros ajustáveis do controlador.

12.1-Critério de Estabilidade de Bode:

"Um sistema de controle feedback é instável se a resposta no domínio da frequência da função de transferência em malha aberta GMA=GcGfGpGm tiver uma razão de amplitude RA maior do que um no ponto de frequência crítica. Do contrário o sistema será estável. A frequência crítica wc é definida como sendo a frequência na qual o ângulo de fase é 180º." O estudo da estabilidade por este método é preferível ao estudo usando a equação característica (localização dos pólos- Laplace) em alguns casos, como por exemplo para sistemas com tempo morto. Quando um sistema em malha fechada está no limite da estabilidade (AR=1, w=wc, =180º), o sistema de controle feedback produz uma oscilação constante na variável controlada. Esta é a base do método de Ziegler Nichols visto anteriormente. Exemplo12.1- Critério de estabilidade de Bode Considere o sistema em malha fechada mostrado na Figura 12.1 Estude a estabilidade deste sistema de controle proporcional usando o critério de estabilidade de Bode. Para isso, teremos que plotar o diagrama de Bode do sistema em malha aberta para diferentes valores de Kc. A função de transferência em malha aberta é dada por: G MA 

ym(s) Kce0.1s  ysp(s) 0.5s  1

Estudar a resposta de frequência deste sistema em malha aberta corresponde a fazer uma perturbação senoidal na entrada (neste caso no set point-ysp) e ver, após o estado estacionário ser atingido, como a razão de amplitude e o ângulo de fase da onda senoidal de saída (ym) variam com a frequência da entrada.

109

Figura 12.1- Sistema em malha fechada. A razão de amplitude e ângulo de fase para esta função de transferência pode ser facilmente encontrada se dividirmos a função acima em duas: G1(s) 

Kc 0.5s  1

e

G 2(s)  e0.1s

Assim, G MA (s)  G1(s)G2(s) Se substituirmos s=jw em G1(s) e G2(s) e lembramos que estas funções podem ser escritas como: G1( jw )  G1( jw ) e j1 , G 2( jw )  G 2( jw ) e j2

Temos que GMA(jw) pode ser escrita como: G MA ( jw)  G1( jw) G2( jw ) e j(1 2)

Assim, RA  G1( jw) G2( jw) e   1  2 Mas G1(s) é similar à função de transferência de um processo de 1ª ordem com Kp=Kc e p=0.5. O módulo de G1(jw) já foi calculado: Kc

G1( jw ) 

(0.5) 2 w 2  1

E o argumento também: 1  tan1(0.5w )

G2(s) é a função de transferência de um sistema tempo morto. O módulo de G2(jw) e o seu argumento são dados por: G 2( jw )  1 2  tdw

Assim a razão de amplitude de GMA(s) é dada por RA 

Kc (0.5) 2 w 2  1

e o ângulo de fase é dado por: 110

MA  tan1(0.5w)  tdw

Vamos traçar o diagrama de Bode para este sistema usando o matlab. Para isso, vamos precisar aproximar o termo e-0.1s por um polinômio. Utilizamos a aproximação de Padé de 1ª ordem: td s 2 e  tds  td 1 s 2 1

Assim, G MA 

ym(s) Kce0.1s Kc (1  0.05s)  0.05Kcs  Kc    ysp(s) 0.5s  1 0.5s  1 (1  0.05s) 0.025s 2  0.55s  1

Figura 12.2- Diagrama de Bode para vários valores de Kc.

Para entrar com esta função de transferência no matlab fazemos: num=[0 -0.05Kc Kc]; den=[0.025 0.55 1]; Podemos traçar o gráfico para Kc=1, 5, 8 e 15. O diagrama está mostrado na Figura 12.2. 111

Para RA=1, RAd=20log(1)=0, então, no gráfico traçado em decibéis temos que ver se dB=RAd é maior do que zero na frequência na qual o ângulo de fase é 180º. Vemos que para Kc=1, 5 e 8 dB<0 e para Kc=15 dB>0, logo, para Kc=15 o sistema é instável em malha fechada. Vemos também que para Kc=8 dB é quase igual a 0, logo o sistema está bem próximo do limite de instabilidade. Para ilustrar melhor estas conclusões, podemos ver o comportamento do sistema em malha fechada para uma perturbação degrau no set point. Para isso, escrevemos a função de transferência em malha fechada: Kce0.1s GcGfGpGm y ysp  0.5s  1 ysp 1  GcGfGpGm Kce 0.1s 1 0.5s  1

Fazendo uma perturbação degrau unitário em ysp, temos: 2 Kc=1 Kc=5 Kc=8

1.5 1 0.5 0

4

0 x 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

4.5

5

8

Kc=15 2 0 -2 -4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Vemos que para Kc=1, 5 ou 8, o sistema em malha fechada é instável, e para Kc=15 o sistema em malha fechada é instável.

12-2- Critério de estabilidade de Nyquist

Este critério é mais genérico que o de Bode e afirma que:

112

"Se o diagrama de Nyquist em malha aberta de um sistema de controle feedback envolve o ponto (-1,0) quando a frequência w assume qualquer valor entre -<w<+, a resposta em malha fechada é instável.

Por exemplo, seja um sistema com função de transferência em malha aberta dada por: G MA 

Kc (s  1)(2s  1)(4s  1)

Verifique se o sistema se torna instável em malha fechada para Kc=1 e Kc=50. O diagrama de Nyquist para este sistema é:

Podemos ver que para Kc=1 (curva A), o diagrama de Nyquist não engloba o ponto (1,0), e, logo, o comportamento em malha fechada vai ser estável. Para Kc=50 (curva B), o diagrama engloba este ponto e logo o comportamento do sistema em malha fechada vai ser instável.

113

Para o exemplo 12.2, podemos traçar o diagrama de Nyquist para os vários valores de Kc. Para Kc=1, temos: 0.8 0.6

0.4

Imag Axis

0.2 0 -0.2

-0.4 -0.6 -0.8 -0.2

0

0.2

0.4 Real Axis

0.6

0.8

1

É fácil ver que este diagrama não engloba o ponto (-1,0) e o sistema em malha fechada é instável, como já tínhamos concluído usando o critério de Bode. Para Kc=5: 4 3

2

Imag Axis

1 0 -1

-2 -3 -4 -1

0

1

2 Real Axis

3

4

5

Também neste caso o sistema em malha fechada é estável, já que o diagrama não envolve o ponto (-1,0). Para Kc=8: 5 4 3 2

Imag Axis

1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -2

-1

0

1

2

3 Real Axis

114

4

5

6

7

8

O ponto (-1,0) não é englobado. Finalmente para Kc=15:

O ponto (-1,0) é englobado e o sistema em malha fechada é instável, como já tínhamos concluído usando o critério de estabilidade de Bode.

115

Técnicas de controle Avançado

13-Sistemas de controle feedforward

13.1- Introdução Como já foi discutido nos capítulos anteriores, o controle feedback é uma técnica importante, muito usada nas indústrias de processo. Suas principais vantagens são:  a ação corretiva é tomada assim que a variável controlada se desvia do setpoint, não importando o tipo de perturbação  requer um conhecimento mínimo do processo a ser controlado; em particular, um modelo matemático do processo não é requerido, embora seja útil para o projeto dos sistemas de controle  o controlador PID é versátil e robusto. Se as condições do processo mudam, o ajuste dos parâmetros normalmente levam a um controle satisfatório No entanto, o controle feedback tem algumas desvantagens:  nenhuma ação corretiva é tomada até que um desvio na variável controlada ocorra. Logo, o controle perfeito, no qual a variável controlada nunca se desvia do setpoint durante perturbações ou mudanças de setpoint, é teoricamente impossível  não apresenta ação de controle preditiva para compensar os efeitos de perturbações conhecidas ou que possam ser medidas  pode não ser satisfatório para processos com constantes de tempo grandes e/ou grandes atrasos. Se perturbações grandes e frequentes ocorrem, o processo acaba operando continuamente num estado transiente e nunca atinge o estado estacionário desejado  em algumas aplicações a variável controlada não pode ser medida on-line e, logo, o controle feedback não pode ser aplicado Para situações nas quais o controle feedback não é satisfatório, melhoras significativas no controle podem ser conseguidas pela adição do controle feedforward. No entanto, para usar o controle feedforward, as perturbações devem ser medidas ou estimadas on-line. A idéia básica do controle feedforward é medir as principais perturbações e tomar as ações corretivas antes que elas perturbem o processo.

Na figura 13.1a pode-se ver a forma geral de um sistema de controle feedforward. Ele mede a perturbação diretamente e então antecipa o efeito que ela terá na saída do processo. 116

Em seguida, muda a variável manipulada de forma a eliminar completamente o impacto da perturbação na saída do processo. A ação de controle tem início imediatamente depois que a perturbação foi detectada. A figura 13.1b mostra o esquema do controle feedback para que possamos contrastá-lo com o feedforward. Fica claro que o controle feedback age 'depois do fato', numa forma compensatória, enquanto o feedforward age 'antes do fato', numa forma antecipatória.

Figura 13.1- (a)Controle feedforward

(b)Controle feedback

13.2- Projeto de controladores feedforward

Considere o tanque aquecido da Figura 13.2. As equações de balanço de massa e energia que descrevem o processo são dadas por dV  Fi  F dt V

(13.1)

dT Q  Fi(T i  T)  dt Cp

(13.2)

Assuma que Fi é constante e que Fi=F. Sabemos que a temperatura de entrada Ti pode vir a sofrer perturbações e podemos manipular a quantidade de calor fornecida pelo vapor, Q, para manter a temperatura do líquido, T, no valor de setpoint desejado, Tsp.

Figura 13.2 117

13.2.1- Controlador feedforward estacionário

A forma mais simples de um controlador feedforward pode ser desenvolvida se considerarmos o balaço de energia no estado estacionário 0  Fi( Ti  T) 

Q Cp

(13.3)

Logo, encontramos que, para manter T=Tsp, a variável manipulada Q deve mudar de acordo com Q  FiCp(Tsp  Ti )

(13.4)

A equação 13.4 é a equação de projeto para o controlador feedforward estático. Ela mostra como Q deve mudar na presença de perturbações ou mudanças de setpoint. A Figura 13.3a mostra o sistema de controle resultante. Este controlador tem um bom desempenho estacionário, mas o desempenho pode não ser bom para o caso transiente.

Figura 13.3- (a) Controle feedforward estacionário (b) Controle feedforward dinâmico

13.2.2- Controlador feedforward dinâmico Para melhorar a qualidade do controle durante a resposta transiente pode-se projetar o controlador feedforward usando o balanço de energia dinâmico. A eq. (13.2) pode ser escrita como V dT Q  T  Ti  Fi dt FiCp

(13.5)

Esta equação é linear, já que V, Fi,  e Cp são constantes. Colocando em termos de variáveis desvio: 118

V dT' Q'  T'  Ti '  Fi dt FiCp

(13.6)

Fazendo a transformada de Laplace: T(s) 

T i(s) 1 1  Q(s) s  1 FiCp s  1

(13.7)

onde =V/Fi = tempo de retenção do líquido no tanque. O controlador feedforward deve manter T(s)=Tsp(s)=setpoint apesar de perturbações Ti ou mudanças de setpoint, Tsp. Logo, a partir da eq. (13.7), encontramos Q(s)  FiCp[(s  1)Tsp  Ti(s)]

(13.8)

A eq. (13.8) é a equação de projeto do controlador feedforward dinâmico e a Figura 13.3b mostra o mecanismo de controle resultante. Como pode ser visto nas Figuras 13.3a e 13.3b a única diferença entre os controladores dinâmico e estático para o tanque aquecedor é a função de transferência (s+1) multiplicando o setpoint. Logo esperamos que para perturbações de carga os dois controladores sejam equivalentes. Por outro lado o controlador dinâmico será melhor para mudanças de setpoint. As figuras 13.4a e b demonstram este ponto.

Figura 13.4 Com este exemplo notamos uma característica muito importante do controle feedforward:  o projeto do controlador feedforward é diretamente relacionado ao modelo que se tem do processo Logo, é óbvio que  quanto melhor o modelo representar o comportamento do processo, melhor será o controle feedforward resultante Para generalizar o procedimento de projeto, considere o diagrama de blocos de um processo sem controle (Figura 13.5a). A saída do processo é dada por 119

y(s)  Gp(s)m(s)  Gd(s)d(s)

(13.9)

onde Gp(s) representa a relação direta entre a saída do processo e a variável manipulada e, no exemplo mostrado acima é igual a Gp(s ) 

1 1 FiCp s  1

(13.10)

e Gd(s) representa a relação entre a saída e a variável de carga (perturbação), sendo, para o exemplo acima igual a Gd(s ) 

1 s  1

(13.11)

Se ysp(s) é o setpoint desejado, a eq. (13.9) fica igual a ysp(s)  Gp(s)m(s)  Gd(s)d(s)

(13.12)

Resolvendo a eq. (13.12) pode-se encontrar o valor que a variável manipulada deve ter para manter y(s)=ysp(s) na presença de perturbações ou mudanças de setpoint m( s )  [

1 Gd(s) ysp(s)  d(s )]  [Gsp(s ) ysp(s)  d(s)]Gc(s ) Gd(s) Gp(s)

(13.13)

Esta equação mostra a forma do controle feedforward, que está mostrada na figura 13.5b. Também determina as duas funções de transferência que completam o projeto do mecanismo de controle: Gc( s ) 

Gd( s ) =função de transferência do controlador feedforward principal Gp( s )

Gsp( s ) 

1 =função de transferência do elemento setpoint Gd( s )

120

(13.14) (13.15)

Figura 13.5 Na figura 13.5b notamos que a malha feedforward tem as características externas de uma malha feedback. Logo, tem uma medida primária que é comparada a um setpoint e o resultado da comparação é um sinal de atuação para o controlador principal. Pelas equações de projeto (13.14) e (13.15) fica claro que um controlador feedforward não pode ser um controlador feedback convencional (P, PI, PID). Ao invés disso, deve ser visto como uma máquina computadora com um propósito especial. Pelas equações de projeto (13.14 e 13.15) nota-se, novamente, que o controle feedforward depende fortemente do modelo do processo. Para um controle perfeito necessitase de um conhecimento perfeito de Gp(s) e Gd(s), o que é praticamente impossível. Este é o principal desafio no controle feedforward. No sistema de controle da figura 13.5b foram deixados de fora o sensor que mede as perturbações e o elemento final de controle. A inclusão destes elementos altera o projeto das funções de transferência Gc(s) e Gsp(s). Considere o sistema de controle feedforward mais geral mostrado na figura 13.5c, incluindo o sensor de medida e o elemento final de controle. Podemos determinar a equação que define y da seguinte forma 1  dGd 2  dGm 3  yspGsp 4  yspGsp  dGm 5  (  dGm  yspGsp )Gc 6  (  dGm  yspGsp )GcGf 7  (  dGm  yspGsp )GcGfGp 8  dGd  (  dGm  yspGsp )GcGfGp  y

Logo, y  GpGfGcGspysp  [Gd  GmGcGfGp]d

(13.16)

As equações de projeto Gc e Gsp podem agora ser identificadas para 121

 perturbação de carga: o controlador deve ser capaz de eliminar completamente o impacto da perturbação na saída do processo. Isso implica que o coeficiente de d na eq. (13.16) deve ser igual a zero Gd  GmGcGfGp  0

(13.17)

ou Gc 

Gd GmGfGp

(13.18)

 mudanças de setpoint: o mecanismo de controle deve ser capaz de fazer com que a saída do processo siga exatamente a mudança no setpoint, isto é, mantenha y=ysp. Assim, o coeficiente de ysp na eq. (13.16) deve ser igual a 1: GpGfGcGsp  1

(13.19)

ou GpGf (

Gd )Gsp  1 GmGfGp

(13.20)

e, finalmente, Gsp 

Gm Gd

(13.21)

As eqs. (13.20) e (13.21) são mais gerais do que as eqs. (13.14) e (13.15), sendo que estas resultam da substituição de Gm=Gf=1 naquelas.

13.3- Controle feedforward-feedback Apesar das vantagens citadas, o controle feedforward apresenta muitas desvantagens  requer identificação de todas as possíveis perturbações e da sua medida direta, algo que pode não ser possível para todos os sistemas  não lida com perturbações não medidas  qualquer mudança nos parâmetros de um processo (desativação do catalisador com o tempo, redução de coeficientes de transferência de calor devida a depósitos etc.) não pode ser compensada por um controlador feedforward pois o seu impacto não é detectado  requer um bom conhecimento do modelo do processo, o que não é possível para vários sistemas 122

Por outro lado, o controle feedback é bastante insensível a todas estas desvantagens, mas não tem um bom desempenho em alguns casos. Assim, é de se esperar que um sistema de controle feedforward-feedback funcione bem, já que vários desvios causados pelos pontos fracos do controle feedforward serão corrigidos pelo controle feedback. Isto é possível já que o controle feedback monitora diretamente o comportamento da variável controlada. A Figura 13.6 mostra a configuração de um sistema combinado feedback-feedforward.

Figura 13.6 Vamos desenvolver uma equação para a resposta em malha fechada do sistema feedforward-feedback. Da eq. (13.9) sabemos que y  G p m  Gd d

(13.22)

O valor da variável manipulada é m  G f c  G f ( c1  c2 )  G f Gc11  G f Gc2 2

(13.23)

ou m  G f Gc1( ysp  Gm1y)  G f Gc 2 ( ysp G sp  Gm 2 d )

(13.24)

Substitua m na equação 13.22 pela equação 13.24 e após algumas manipulações algébricas obtém-se: y

G p G f ( Gc1  Gc 2 G sp ) 1  G p G f Gc1Gm1

ysp 

G d  G p G f Gc 2 Gm 2 1  G p G f Gc1Gm1

d

(13.25)

Um exame da equação 13.25, que descreve a resposta em malha fechada com controle feedforward-feedback revela as seguintes características  a estabilidade da resposta em malha fechada é determinada pelas raízes da equação característica 1  G p G f Gc1Gm1  0

(13.26)

que dependem somente das funções de transferência da malha feedback. Logo 123

 as características de estabilidade do sistema feedback não mudam com a adição da malha feedforward  as funções de transferência da malha feedforward, Gc2 e Gsp, são dadas pelas equações de projeto (13.18 e 13.21): Gc 2 

Gd Gm 2 G f G p

G sp 

e

Gm 2 Gd

Se Gp, Gd, Gf e Gm2 são exatamente conhecidos, a malha feedforward compensa completamente perturbações e mudanças de setpoint e o controlador feedback permanece sem uso, já que 1 permanece continuamente em zero. Se qualquer das funções de transferencia Gp, Gd, Gf e Gm2 são conhecidas apenas aproximadamente, então G d  G p G f Gc 2 Gm 2  0

G p G f G c2 G sp  1

e/ou

Em tais casos a malha feedforward não consegue um controle perfeito. Logo, 10 e a malha feedback é ativada e oferece a compensação necessária. Exemplo 13.1: controle feedforward-feedback do tanque aquecedor Considere novamente o tanque aquecedor da Figura 13.1. Sob controle feedforward somente temos a configuração mostrada na Figura 13.3b. As funções de transferência de projeto são G c  FiCp

e

G sp  s  1

Imagine que a densidade  ou o calor específico não são conhecidos exatamente. Então a malha feedforward não resulta num controle perfeito. A Figura 13.7a mostra a temperatura no tanque após uma perturbação degrau na temperatura de entrada. Note que permanece um desvio (off-set). Introduza agora um sistema feedback com um controlador PI (Figura 13.7b). Na figura 13.7a plotamos novamente a temperatura do líquido no tanque, para a mesma perturbação degrau na temperatura de entrada. Note que o desvio desapareceu.

124

Figura 13.7 Exemplo 13.2- Controle de um refervedor Considere um refervedor, onde deseja-se controlar o nível. Imagine que a variável perturbação ou carga é a vazão de vapor de saída, que varia devido à variações na demanda de vapor por outras unidades do processo. Um esquema de controle feedback está mostrado na Figura 13.8a. Devido à quantidade de líquido no refervedor ser pequena, o sistema fica muito sensível a perturbações na vazão de vapor, o que torna a utilização do controle feedback inconveniente. Uma alternativa é o controle feedforward, mostrado na Figura 13.8b. Mede-se a vazão de vapor e, quando esta sofre perturbações, muda-se a vazão de água de alimentação antes que o nível do tanque seja atingido. Na verdade, o mais conveniente seria associar as duas estratégias de controle, tomando vantagem dos benefícios de ambas.

125

Figura 13.8 13.4- Controle de razão (Ratio control) O controle de razão é um tipo especial de controle feedforward cujo objetivo é manter a razão entre duas variáveis num valor específico. A variável Ra, que é a razão de duas variáveis de processo Ra 

m d

(13.27)

é controlada, ao invés de se controlar as duas variáveis individuais m e d. As variáveis de processo neste caso são normalmente vazões. O cálculo de Ra na equação 13.27 é feito em termos das variáveis originais, não de variáveis desvio. Aplicações típicas de controle de razão são: operações de mistura, manutenção de uma razão estequiométrica de reagentes para um reator, manutenção de uma razão de refluxo fixa para uma coluna de destilação, manutenção da razão ar/combustível para um forno no valor ótimo etc. O controle de razão pode ser implementado de duas formas. No método I, mostrado na Figura 13.9a, as vazões para as correntes de carga e manipulada são medidas e a razão calculada Ram=mm/dm é computada usando-se um elemento divisor. Elementos especiais tais como divisores e multiplicadores são disponíveis para sistemas controladores pneumáticos e eletrônicos. A saída do divisor é mandada para o controlador de razão (RC) que compara a razão calculada Ram com a razão desejada Rd e ajusta a vazão manipulada m de acordo. O controlador de razão é normalmente um PI com setpoint igual à razão desejada. No método II a vazão da corrente de carga é medida e transmitida para a estação de razão (RS), que multiplica este sinal por um ganho ajustável. O valor do ganho Kr é igual à razão desejada, Rd. O sinal de saída da estação de razão é então usado como setpoint para o

126

controlador de vazão, que ajusta a vazão da corrente manipulada. A vantagem do método II é que o ganho em malha aberta permanece constante já que o divisor não é usado. Note que a variável de carga (perturbação), d, é medida em ambos os esquemas. Logo, o controle de razão é, em essência, uma forma muito simples de controle feedforward.

Figura 13.9

127

14- Controle de sistemas com malhas múltiplas

A configuração de controle feedback envolve uma medida (saída) e uma variável manipulada numa única malha. Existem, entretanto, outras configurações de controle simples que podem usar  mais de uma medida e uma variável manipulada ou  uma medida e mais de uma variável manipulada Nestes casos surgem sistemas de controle com múltiplas malhas. Exemplos típicos destas configurações são  controle em cascata  vários tipos de controle seletivo  controle split-range Estes sistemas de controle envolvem malhas que não estão separadas, mas dividem ou a única variável manipulada ou a única medida.

14.1- Controle em cascata

A estrutura de controle feedback normalmente apresenta um bom desempenho, dependendo das características do processo, da instrumentação utilizada e do ajuste dos parâmetros envolvidos na lei de controle. Entretanto, como nesta estrutura a ação corretiva não começa até que a variável controlada se desvie do setpoint, sempre haverá um período de tempo em que o sistema opera fora do ponto ideal. Se o comportamento dinâmico do sistema é tal que o efeito de uma perturbação demora em ser percebido pelo sensor e a ação corretiva demora a se fazer sentir, a eficiência será bastante pobre. Uma alternativa que melhora a resposta dinâmica quando há perturbações de carga é usar um ponto de medida secundário e um segundo controlador feedback. O ponto de medida secundário é localizado de forma a reconhecer a perturbação antes que esta atinja a variável controlada. Numa configuração de controle em cascata temos uma variável manipulada e mais de uma medida. Está claro que com uma única manipulação podemos controlar apenas uma saída. Vamos explicar o controle em cascata através de exemplos.

Exemplo 14.1: Controle em cascata de um CSTR com jaqueta 128

Figura 14.1 Considere o CSTR mostrado na Figura 14.1. A reação é exotérmica e o calor gerado é removido por um refrigerante, que circula na jaqueta em torno do tanque. O objetivo de controle é manter a temperatura no reator, T, constante num valor desejado. Possíveis perturbações ao reator incluem a temperatura de alimentação Ti e a temperatura do refrigerante Tc. A única variável manipulada é a vazão de refrigerante, Fc.  Controle feedback: vamos ter a configuração mostrada na Figura 14.2a, isto é, mede-se a temperatura e manipula-se a vazão de refrigerante. Está claro que T vai responder muito mais rápido a mudanças em Ti do que a mudanças em Tc. Logo, a estrutura feedback mostrada vai ser bastante efetiva para compensar mudanças em Ti e menos efetiva para compensar mudanças em Tc.  Controle em cascata: podemos melhorar a resposta do controle feedback a mudanças na temperatura de refrigerante, Tc, medindo esta temperatura e tomando uma ação de controle antes que o seu efeito seja sentido pela mistura reacional. Então, se Tc aumenta, aumente a vazão de refrigerante, Fc, para remover a mesma quantidade de calor e diminua Fc quando Tc diminui. Então temos duas malhas de controle usando duas medidas, T e Tc, e uma única variável manipulada, Fc. A maneira com que estas malhas estão relacionadas está mostrada na Figura 14.2b. Pode-se notar que 

a malha que mede T (variável controlada) é a dominante, ou primária, ou malha de

controle mestre (master), e usa um setpoint especificado pelo operador. 

a malha que mede Tc usa a saída do controlador primário como setpoint e é chamada de

malha secundária ou malha escrava (slave).

129

Figura 14.2 - Controle do CSTR (a) feedback (b) cascata. Vamos generalizar a discussão acima. Considere um processo que consiste de duas partes, como mostrado na Figura 14.3a: processo I e processo II. O processo I (primário) tem como saída a variável que queremos controlar. O processo II (secundário) tem uma saída que não estamos interessados em controlar mas que afeta a saída a ser controlada. Para o exemplo acima, o processo I é a reação no tanque e a variável controlada a temperatura T. O processo II é a jaqueta e a sua saída Tc afeta o processo I (reator) e consequentemente T. A Figura 14.3b mostra um sistema de controle feedback simples e a Figura 14.3c indica a forma do controle em cascata. Esta última figura mostra claramente o benefício de se usar controle em cascata: perturbações na malha secundária são corrigidas pelo controlador secundário antes que afetem o valor da saída controlada

Figura 14.3- Representação esquemática de (a) processo em malha aberta (b) controle feedback convencional (c) controle em cascata. 130

Um outro exemplo de controle em cascata é aplicado a um trocador de calor. A configuração típica está mostrada na Figura 14.4. O objetivo do controle é manter a temperatura de saída da corrente 2 no valor desejado. A malha secundária é usada para compensar mudanças na vazão da corrente 1 (que é a variável manipulada). Pode-se analisar o benefício do controle em cascata imaginando-se um aumento na pressão de vapor. Se a posição da válvula é inicialmente constante, a vazão de vapor vai subir. O sensor de vazão de vapor detecta o aumento. Como o setpoint do controlador de vazão (saída do controlador primário) não terá mudado, este (o controlador secundário) responderá fechando a válvula para retornar a vazão ao valor desejado. Como o sensor e a válvula têm resposta muito rápida, o controlador de vazão pode rapidamente alcançar a vazão desejada de vapor. Respondendo rapidamente ao aumento de pressão e compensando com o fechamento da válvula, o controlador secundário corrige a perturbação antes que a saída controlada seja atingida.

Figura 14.4 O controle em cascata é particularmente útil quando as perturbações estão associadas à variável manipulada, como no caso do trocador de calor exemplificado acima. No exemplo acima, a malha secundária é usada para compensar mudanças de vazão, o que é muito comum em processos químicos. Nestes processos as malhas de controle de vazão estão quase sempre em cascata com outras malhas. Outros exemplos de controle em cascata são os seguintes: 1- Colunas de destilação: controle em cascata é geralmente usado para regular a temperatura (e consequentemente a concentração) no fundo ou topo da coluna de destilação. As Figuras 14.5 a e b mostram dois exemplos típicos do controle em cascata. Em ambos os casos a malha secundária é usada para compensar mudanças de vazão.

131

2- Fornalhas: o controle em cascata pode ser usado para regular a temperatura de uma corrente de processo (por exemplo, alimentação para um reator) saindo de uma fornalha. A Figura 14.5c mostra a configuração em cascata resultante. novamente, a malha secundária é usada para compensar mudanças de vazão (vazão de combustível).

Figura 14.5- exemplos de controle em cascata. Vamos estudar o comportamento em malha fechada de um sistema com controle em cascata. Considere o diagrama de blocos de um sistema em cascata, mostrado na Figura 14.6a. Para simplificar, assumimos que as funções de transferência dos medidores são iguais a um. A resposta em malha fechada da malha primária é influenciada pela dinâmica da malha secundária, cuja função de transferência em malha fechada é igual a: G sec undária 

Gc , II Gp , II 1  Gc , II Gp , II

A estabilidade da malha secundária é determinada pelas raízes da sua equação característica 1  Gc , II Gp , II  0

A Figura 14.6b mostra uma forma simplificada do diagrama de blocos geral (Figura 14.6a), onde a malha secundária foi considerada como um elemento dinâmico. Para a malha primária a função de transferência global em malha fechada é:  Gc , II Gp , II  Gp , I Gc , I   1  Gc , II Gp , II  Gprimária   Gc , II Gp , II  Gp , I 1  Gc , I  1  Gc , Gp , II II   132

e consequentemente a equação característica cujas raízes determinam a estabilidade da malha primária é:  Gc , II Gp , II 1  Gc , I   1  Gc , II Gp , II

 Gp , I 

Figura 14.6 Observações: 1- Os dois controladores de um sistema de controle em cascata são controladores feedback padrão (P, PI, PID). Geralmente um controlador proporcional é usado para a malha secundária, embora um controlador PI com ação integral pequena também possa ser usado. Um offset pequeno causado pelo controle P na malha secundária não é importante, já que não estamos interessados em controlar a saída do processo secundário. 2- Como a dinâmica da malha secundária é muito mais rápida do que a da malha primária, podem-se usar ganhos maiores no controlador secundário de forma a eliminar mais efetivamente o efeito de perturbações ocorrendo na malha secundária sem colocar em risco a estabilidade do sistema.

14.2- Sistemas de controle seletivo

São sistemas de controle que envolvem uma variável manipulada e várias saídas controladas. Como com uma variável manipulada podemos controlar somente uma saída, os

133

sistemas de controle seletivo transferem a ação de controle de uma saída para outra de acordo com a necessidade. Há vários tipos de controle seletivo, vamos discutir dois deles:  controle override para proteção de equipamentos  controle auctioneering

14.2.1- Controle override

Durante a operação normal de uma planta ou durante a sua partida ou parada é possível que surjam situações perigosas que possam levar à danos nos equipamentos e/ou operadores. Nestes casos é necessário mudar a ação normal de controle e tentar evitar que uma variável de processo exceda um limite permitido superior ou inferior. Isto pode ser conseguido usando tipos especiais de interruptores (switches). O high selector switch (HSS) é usado sempre que uma variável não pode exceder um limite superior e o low selector switch é empregado para evitar que uma variável de processo exceda um limite inferior. Exemplo 14.2- Exemplos de controle override  Proteção de uma caldeira

Figura 14.7 Normalmente a pressão de vapor numa caldeira é controlada através do uso de uma malha de controle de pressão na linha de descarga (malha 1 na Figura 14.7). Ao mesmo tempo o nível de água na caldeira não deve cair abaixo do limite inferior que é necessário para manter a serpentina de aquecimento imersa em água e logo prevenir danos. A Figura 14.7 mostra o sistema de controle override usando um low switch selector (LSS). De acordo com este sistema, sempre que o nível cai abaixo do limite permitido, o LSS troca a ação de controle de controle de pressão para controle de nível.  Proteção de um sistema compressor A descarga de um compressor é controlada com um sistema de controle de vazão (malha 1 na Figura 14.8). Para evitar que a pressão de descarga exceda um limite superior, um 134

sistema de controle overrride com um high switch selector (HSS) é introduzido. Ele transfere a ação de controle da malha de controle de vazão para a malha de controle de pressão (malha 2 na Figura 14.8) sempre que a pressão na descarga excede o valor limite. Note que o controle de vazão ou pressão estão na realidade em cascata com o controle da velocidade do motor do compressor.

Figura 14.8  Proteção de um sistema de distribuição de vapor

Figura 14.9 Em qualquer processo químico há uma rede distribuindo vapor, em diversos níveis de pressão, para as várias unidades de processamento. Vapor de alta pressão tem a sua pressão diminuída para níveis menores em algumas estações. A quantidade de vapor que tem a pressão diminuída em tais estações é controlada pela demanda na linha de vapor de baixa pressão (malha 1 na Figura 14.9). Para proteger a linha de alta pressão de pressões excessivas, podemos instalar um sistema de controle override com um HSS, que transfere a ação de

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controle da malha 1 para a malha 2 quando a pressão na linha de alta pressão excede um limite superior.

14.2.2- Sistema de controle auctioneering (leiloeiro)

Tais configurações de controle selecionam entre muitas medidas similares aquela com o maior valor e a alimenta ao controlador. Logo, este é um sistema de controle seletivo que possui muitas saídas medidas e uma variável manipulada. Exemplo 14.3: Exemplos de controle auctionnering  reator tubular catalítico com reações altamente exotérmicas Muitas reações altamente exotérmicas ocorrem em reatores tubulares preenchidos com um leito de catalisador. Um exemplo típico é a oxidação de o-xileno ou naftaleno para produzir anidrido ftálico. A Figura 14.10 mostra o perfil de temperatura ao longo do perfil do reator. A temperatura mais alta é chamada de hot spot (ponto quente). A localização do hot spot se move ao longo do comprimento do reator dependendo das condições de alimentação (temperatura, concentração, vazão) e da atividade do catalisador (Figura 14.11). O valor da temperatura hot spot também depende dos fatores citados acima e da temperatura e vazão do refrigerante. O controle de tais sistemas é um desafio para o engenheiro químico.

Figura 14.10

136

Figura 14.11 O objetivo principal do controle é manter a temperatura hot spot abaixo de um limite superior. Entretanto, precisamos de um sistema de controle que possa identificar a localização do hot spot e tomar a ação de controle apropriada. Isto pode ser conseguido por -colocação de vários termopares ao longo do comprimento do reator -uso de um sistema auctioneering para selecionar a temperatura mais alta, que será usada para manipular a vazão do refrigerante (Figura 14.11).  Regeneração de reatores catalíticos O catalisador em reatores catalíticos é desativado ao longo da reação devido aos depósitos carbonáceos sobre ele. O catalisador pode ser regenerado pela queima destes depósitos com ar ou oxigênio. Para evitar que o catalisador seja destruído devido à temperaturas excessivas durante a combustão dos depósitos, pode-se usar um sistema auctioneering que -mede a temperatura através de vários termopares ao longo do reator -seleciona a temperatura mais alta que corresponde à frente de combustão que se move através do leito -manipula apropriadamente a entrada de ar

14.3- Controle split-range

Ao contrário dos esquemas de controle em cascata e seletivo já discutidos, o controle split-range tem somente uma medida (variável controlada) e mais de uma variável manipulada. Como só há uma saída controlada, há somente um sinal de controle, que é dividido (split) em várias partes, cada uma afetando uma variável manipulada. Em outras

137

palavras, podemos controlar uma única saída coordenando as ações de várias manipulações, todas tendo o mesmo efeito na variável controlada. Exemplo 14.4: Exemplos de controle split-range  Controle de um reator químico Considere o reator mostrado na Figura 14.12a, onde ocorre uma reação em fase gasosa. Duas válvulas de controle manipulam as vazões de alimentação e saída de produto. Para controlar a pressão no reator, as duas válvulas não podem agir independentemente, mas devem ser coordenadas. A figura 14.12b mostra a coordenação da ação das duas válvulas como função da saída do controlador (veja também a tabela 1). Imagine que o sinal de saída correspondente à operação desejada do reator seja 6 psig. Na Figura 14.12b vemos que a válvula V2 está parcialmente aberta enquanto a válvula V1 está completamente aberta. Quando, por várias razões, a pressão no reator aumenta, o sinal de saída também aumenta. Ele é então dividido em duas partes e afeta as duas válvulas simultaneamente. As seguintes ações ocorrem: -conforme a saída do controlador aumenta de 6 para 9 psig, a válvula V2 abre continuamente enquanto V1 permanece completamente aberta. Assim, há uma redução na pressão. -para grandes aumentos na pressão do reator, a saída do controlador pode exceder 9 psig. Neste caso, como pode ser visto na Figura 14.12b, a válvula V2 está completamente aberta enquanto a válvula V1 começa a fechar. As duas ações levam a uma redução na pressão até que o reator tenha retornado a operação desejada.

Figura 14.11

Tabela 1 138

Saída do controlador

Válvula 1

Válvula 2

sinal

posição da haste

posição da haste

3 psig

aberta

fechada

9 psig

aberta

aberta

15 psig

fechada

aberta

 controle da pressão em um coletor de vapor Considere um sistema em que várias caldeiras paralelas descarregam vapor em um coletor e de lá para as unidades processadoras (Figura 14.13). O objetivo de controle é manter a pressão no coletor constante apesar da demanda de vapor em várias unidades mudar. Há várias manipulações (vazão de vapor de todas as caldeiras) que podem ser usadas simultaneamente. A Figura 14.13 mostra também a estrutura do sistema de controle resultante.

Figura 14.13

139

15-Processos com grande tempo morto

A presença de tempo morto, td, em processos químicos se deve principalmente a: 1- Transporte de fluidos em longas distâncias; 2- Tempos de medida longos, como os requeridos na cromatografia gasosa, por exemplo; 3- O elemento final de controle pode necessitar de algum tempo para realizar a atuação; 4- O operador necessita de certo tempo para tomar uma decisão. A presença de tempo morto em processos controlados é o principal fator de instabilidade destes, constituindo um dos maiores desafios aos projetistas de sistema de controle eficazes. Neste caso, um controlador feedback convencional pode levar a uma resposta em malha fechada insatisfatória, devido a: 1- Uma perturbação que atinge o processo não será detectada por um período significativo de tempo; 2- A ação de controle que será tomada com base na última medida será inadequada, porque tenta eliminar um erro que se originou há algum tempo; 3- A ação de controle também vai levar um tempo para ter seu efeito sentido pelo processo. Considere uma malha de controle feedback convencional com mudanças apenas no setpoint mostrada na Figura 15.1a. Já vimos que o atraso ou tempo morto é descrito matematicamente por e-tds no domínio de Laplace. Assumimos que todo o tempo morto é causado pelo processo: Gp (s)  G(s)e tds

e, para simplificar, Gm(s)=Gf(s)=1. A resposta em malha aberta para uma mudança no setpoint é igual a:





y(s)  Gc (s) G(s)e tds ysp(s)

ou seja, atrasada em td minutos. De forma a eliminar o efeito do tempo morto, deseja-se uma saída na forma: y* (s)  Gc (s)G(s) ysp(s)

Isto é possível se na resposta em malha aberta y(s) adicionarmos y'(s), onde:





y' (s)  1  e tds Gc (s)G(s) ysp(s)

pois: y' (s)  y(s)  y* (s)

140

Figura 15.1 A implicação de se adicionar y'(s) ao sinal y(s) é mostrada na Figura 15.1b. Notamos que o sinal y'(s) pode ser obtido por um simples loop em torno do controlador, que é chamado de compensador de tempo morto ou preditor de Smith (em homenagem a O.J.M. Smith, quem primeiro propôs tal artifício). A malha simplificada na Figura 15.1c é equivalente à da Figura 15.1b e indica o efeito real do compensador de tempo morto: ele coloca o efeito do tempo morto para fora da malha. A resposta em malha fechada para o sistema com preditor de Smith é: y(s) 

Gc (s)G(s)e tds ysp(s) 1  Gc (s)G (s)

A resposta da malha feedback convencional (Figura 15.1a) seria: y(s) 

Gc (s)G (s)e tds 1  Gc (s)G (s)e tds

ysp(s)

Pode-se notar que o preditor de Smith apresenta a vantagem de eliminar o tempo morto da equação característica. Observações: 141

1- No diagrama de blocos da Figura 15.1c não é correto pensar que medimos o sinal depois de G(s) porque tal medida não é possível num processo com tempo morto. Os únicos sinais possíveis de serem medidos são a saída do processo, y(s), e a variável manipulada m. Assim, o diagrama de blocos da Figura 15.1c somente dá uma representação esquemática do efeito do preditor de Smith, não representa a realidade física. 2- O compensador de tempo morto prediz o efeito retrasado que a variável manipulada vai ter na saída do processo. Esta predição somente é possível se temos um modelo da dinâmica do processo (função de transferência, tempo morto). 3- Na maioria dos problemas de controle o modelo do processo não é perfeitamente conhecido, ou seja, G(s) e td são conhecidos apenas aproximadamente. Considere que G(s) e td representam as características "verdadeiras" do processo e que G'(s) e td' representam as suas aproximações. Então, usando G'(s) e td' para projetar o preditor de Smith, temos o sistema mostrado na Figura 15.2. Neste caso: y* (s)  y(s)  y' (s)  [GcGe  tds  (1  etd's )GcG ' ]ysp(s)  Gc[G'(Ge tds  G' etd's )]ysp(s)

Figura 15.2 A equação acima mostra que: (a) Somente para processos perfeitamente conhecidos vamos ter compensação perfeita (ou seja, G=G' e td=td') (b) Quanto maior o erro de modelagem (maiores as diferenças (G-G') e (td-td')), menos efetiva é a compensação. (c) O erro na estimativa do tempo morto é mais prejudicial para uma efetiva compensação de tempo morto, por causa da função exponencial. 4- O tempo morto num processo químico é normalmente causado por escoamento de fluidos. Já que a vazão normalmente mostra variações durante a operação de uma planta, o valor do tempo morto muda. Assim, se o compensador de tempo morto for projetado para um certo valor de tempo morto, quando td mudar de valor a compensação não será efetiva. 142

16- Processos com resposta inversa

O comportamento dinâmico de certos processos se desvia drasticamente do que temos visto até agora. A Figura 16.2b mostra a resposta de tal sistema para uma perturbação degrau na entrada. Vemos que inicialmente a resposta é na direção oposta da qual ela finalmente vai terminar. Tal comportamento é chamado de resposta inversa. Exemplo 16.1- Resposta inversa do nível de líquido numa caldeira Considere a caldeira mostrada na Figura 16.1. Se a vazão de alimentação de água fria é aumentada por um degrau, o volume total da água fervente e consequentemente o nível de líquido diminuirá por um curto período de tempo e depois vai começar a aumentar, como mostrado pela resposta na Figura 16.2b. Tal comportamento é o resultado global de dois efeitos opostos e pode ser explicado como segue: 1- A água fria causa uma queda de temperatura que diminui o volume das bolhas de vapor. Isto leva ao decréscimo do nível de líquido da água fervente, seguindo comportamento de primeira ordem (curva 1 na Figura 16.2b), ou seja, -K1/(1s+1). 2- Com suprimento de calor constante, a produção de vapor permanece constante e consequentemente o nível da água fervente começará a crescer de forma integral (capacidade pura), levando a uma reposta puramente capacitiva, K2/s (curva 2 na Figura 16.2b). 3- O resultado dos dois efeitos opostos é dado por (veja a Figura 16.2a): K2 K1 (K 21  K1)s  K 2   s 1s  1 s(1s  1)

e para K210. Esta é uma característica de processos com resposta inversa: sua função de transferência tem um zero positivo! Sistemas com resposta inversa são particularmente difíceis de se controlar e requerem atenção especial.

143

Figura 16.1

Figura 16.2

16.1- Controle de Sistemas com resposta inversa

Existem dois modos de se controlar sistemas com resposta inversa: usando um controlador PID com ajuste por Ziegler-Nichols ou usando um compensador de resposta inversa.

Controle PID 144

De todos os tipos de controladores feedback somente o PID tem uma boa resposta, já que a ação de controle derivativa por natureza irá antecipar a "direção" errada do sistema e providenciar uma ação corretiva para limitar (nunca eliminar) a resposta inversa. Já foi demonstrado numericamente que o ajuste de Ziegler-Nichols leva a bons resultados para sistemas com resposta inversa.

Compensador de Resposta inversa O mesmo conceito usado para obter um preditor de Smith para compensar tempo morto pode ser usado para compensar a resposta inversa. Considere o sistema feedback da Figura 16.3a. O processo controlado apresenta resposta inversa quando -Inicialmente o processo 2, que reage mais rápido do que o processo 1 (ou seja, K2/2>K1/1), domina a resposta do sistema, mas -Finalmente o processo 1 atinge um valor maior de estado estacionário que o processo 2 (ou seja, K1>K2) e força a resposta do sistema global na posição oposta. A resposta em malha aberta do sistema é: y(s)  Gc (s)

(K12  K 21)s  (K1  K 2) ysp(s) (1s  1)(2s  1)

(16.1)

e tem um zero positivo em s

K1  K 2 0 K12  K 21

Para eliminar a resposta inversa basta eliminar o zero positivo da função de transferência em malha aberta acima. Isto é possível se adicionarmos y'(s) à resposta em malha aberta y(s): 1   1 y' (s)  Gc (s)k   ysp(s)  2 s  1  1 s  1 

(16.2)

Então y * (s)  y(s)  y' (s)  Gc (s)

[(K12  K 21)  k (1  2)]s  (K1  K 2) ysp(s) (1s  1)(2s  1)

(16.3)

e para k

K 21  K12 1  2

(16.4)

encontramos que o zero da função de transferência em malha aberta resultante não é positivo: s

K1  K 2 0 (K12  K 21)  k (1  2) 145

Figura 16.3 Adicionar o sinal y'(s) ao sinal principal feedback y(s) significa a criação de um loop local em torno do controlador como mostrado na Figura 16.3b. O sistema neste loop tem uma função de transferência dada por 1   1 Gcompensador  k    2s  1 1s  1 

(16.5)

onde k deve satisfazer a equação 16.4.

Observações: 1-O compensador de resposta inversa prediz a resposta inversa do processo e provê um sinal corretivo para eliminá-la. A predição é baseada num modelo do processo. A predição ideal acontece se a função de transferência do processo é completamente conhecida. Neste caso o compensador é dado por: Gcompensador 

K2 K1  2s  1 1s  1

Então o compensador dado pela equação 16.5 é somente uma aproximação da função de transferência do processo. 146

2- Erros de modelagem nos termos 1 e 2 vão deteriorar o desempenho de um compensador de resposta inversa, ou seja, causarão aumento da resposta inversa e respostas lentas. 3- Para o controlador, PI é a escolha mais comum.

147