Contoh Soal Integral Dan Jawabannya - Mtk Iii.docx

Nama : Andre Sianturi NIM : 41117320089 Fakultas : Teknik Sipil

1. Determinan Ordo dua Pengertian : Untuk setiap matriks persegi A dengan elemen-elemen bilangan real, terdapat tepat satu nilai yang berhubungan dengan matriks tersebut.

Satu nilai real ini disebut determinan. Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|. 1) Determinan orde dua. Misalkan A adalah matriks yang masing-masing berukuran 2 x 2

 a11 a12   , maka determinan matriks A adalah a a 22   21

A= 

Det(A) =

a11

a12

a 21 a 22

= a11a22 - a12a21.

Contoh :

 3 4    2  2

Tentukan determinan matriks A =  Jawab :

det(A) = |A| = (-3)(-2) – 4.2 =6–8 = -2 2) Determinan Orde tiga Misalkan A adalah matriks yang masing-masing berukuran 3 x 3 Cara menghitung determinan berukuran 3 x 3 adalah : a. Cara I (metode sarrus) -

a11 det (A) = a 21 a31

a12 a 22 a32

-

a13 a11 a 23 a 21 a33 a31 +

+

-

a12 a 22 a32 +

Nama : Andre Sianturi NIM : 41117320089 Fakultas : Teknik Sipil = (a11a22a33) + (a12a23a31) + (a13a21a32) – (a31a22a13) – (a32a23a11) – (a33a21a12)

b. Cara II (metode cramer)

a11 det (A) = a 21 a31

a12 a 22 a32

a13 a a 23 = a11 22 a32 a33

a 23 a33

- a12

a 21 a 23 a31

a33

+ a13

a 21 a 22 a31

a32

= a11(a22a33-a32a23) – a12(a21a33-a31a23) + a13(a21a32-a31a22) 2.

Sifat – sifat Determinan 1) Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; |AT| = |A| 2) Matriks persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, determinannya nol (0). 3) Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A 4) Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatip determinan semula. 5) Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan 0 (nol). 6) Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya) merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol). 7) Determinan dari matriks persegi A = (aij) berdimensi n yang baris ke -i (kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua. 8) Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain 9) Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemenelemen diagonalnya

3. Minor dan Kofaktor a) Matriks bagian ( sub matriks) Matriks yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris dan/atau beberapa kolom dari suatu matriks

Nama : Andre Sianturi NIM : 41117320089 Fakultas : Teknik Sipil

 3 1 2 5     6 0 2 1  3 7 8  5  

A=

Menghilangkan baris pertama diperoleh submatriks :

 6 0 2 1    3 7 8  5 Menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga diperoleh submatriks :

 3 1 5     3 7  5 Definisi : Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar berorde n x n, maka minor elemen aij yang dinotasikan dengan Mij, didefinisikan sebagai determinan dari sub matriks A berorde

(n-1) x (n-1) setelah baris ke-i dan kolom ke-j

dihilangkan..Misalkan A matriks berorde 3 x 3

 a11 a12  A = a 21 a 22  a31 a32

a13  a 23  a33 

 a11 a12  minor elemen a11 adalah a 21 a 22  a31 a32

a13  a a 23  sehingga M11 = 22 a32 a33 

Sedangkan kofaktor elemen a11 = Cij = (-1)i + j Mij. Maka kofaktor dari elemen a11 pada matriks diatas adalah C11 = (-1)1 +1 M11 = (-1)2

a 22

a 23

a32

a33

a 23 a33

Nama : Andre Sianturi NIM : 41117320089 Fakultas : Teknik Sipil

Definisi : matriks kofaktor dan adjoint Jika A adalah matriks berukuran n x n dan Cij adalah kofaktor dari elemen aij, maka

 c11 c12 c  21 c 22 matriks       c n1 c n 2

  c1n    c 2 n      dinamakan matriks kofaktor A       c nn 

dan transpose dari matriks kofaktor A dinamakan adjoint A = adj(A). 4. Menghitung Determinan

Dengan ekspansi kofaktor

 a11 a12  Misalkan matriks A = a 21 a 22  a31 a32

a13  a 23  a33 

Ekspansi melalui baris pertama : Det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 Atau ekspansi melalui baris ketiga : Det(A) = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33 Atau ekspansi melalui kolom ke dua : Det(A) = a12C12 + a22C22 + a32C32 Dan sebagainya