Construcciones En Origami

Construcciones con regla y comp´ as Problemas griegos Construcciones con origami N´ umeros origami construibles Algunos resultad

Construcciones en origami Tatiana Valentina Zuluaga Gandolfo Universidad de los Andes

November 22, 2018

Construcciones con regla y comp´ as Problemas griegos Construcciones con origami N´ umeros origami construibles Algunos resultad

Contenido

Construcciones con regla y comp´as Problemas griegos Construcciones con origami N´ umeros origami construibles Algunos resultados

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Construcciones con regla y comp´as Pasos permitidos

Todos las construcciones con regla y comp´as se crean a partir de dos puntos constru´ıdos, los cuales determinan el segmento unitario. (i) Dibujar una l´ınea que conecta dos puntos ya constru´ıdos.

a

b

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(ii) El punto de intersecci´ on de dos l´ıneas ya constru´ıdas es un punto construido.

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(iii) Construir el bisector perpendicular de un segmento de recta.

a 0

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(iv) Bisectar un ´angulo

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(v) Dada una l´ınea l y dos puntos P y Q, contruir una l´ınea que pase a trav´es de Q y refleje a P sobre l.

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Problemas griegos duplicaci´ on del cubo

Construir el lado de un cubo tal que su volumen sea el doble del volumen de otro cubo de lado dado.

a

√ 3

2a

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Trisecci´on del ´angulo Construir un ´angulo θ cuya medida sea un tercio de otro ´angulo dado. cos(3θ) = 4 cos(θ)3 − 3 cos(θ)

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Cuadratura del c´ırculo

Dado un c´ırculo, construir un cuadrado con igual ´area.

r A = πr 2

√ b=r π A = b 2 = πr 2

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Construcciones en origami Pasos permitidos

La hoja tiene como puntos constru´ıdos las cuatro esquinas y los lados son lneas contrudas. (i) Dados dos puntos contru´ıdos se puede realizar un doblez que contenga ambos puntos.

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(ii) El punto de intersecci´ on de dos pliegues ya constru´ıdos es un punto constru´ıdo.

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(iii) Dado un doblez l1 y un punto P1 , se puede construir un pliegue perpendicular al doblez l1 que pase por el punto P1 .

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(iv) Identificar dos lneas contruidas (bisectar un ´angulo).

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(v) Dado un pliegue l1 y dos puntos P1 y P2 , se puede contruir un pliegue que pasa por P2 y refleja P1 sobre l1 .

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(vi) Dados dos dobleces l1 y l2 y dos puntos P1 y P2 , se puede construir un pliegue que refleja simult´aneamente P1 sobre l1 u P2 sobre l2 .

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N´umeros construibles con origami

Definition x ∈ R y x > 0 se dice que es construible con origami si, comenzando con un segmento unitario y usando las operaciones (i), ..., (vi), es posible contruir un segmento de longitud x. Si x < 0, entonces x es contruible con origami si y solo si −x es contruible con origami.

Definition O = {x ∈ R : x es construible con origami}.

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Algunos resultados

Teorema O una extensi´on de campo de Q

Teorema Si a ∈ O entonces

√

a∈Oy

√ 3

a∈O

Teorema Si a ∈ O entonces [Q(a) : Q] = 2r 3s para r , s ∈ N