Construccion De Proyectividades - Clase 28-08-2018

GEOMETRIA III – APUNTES DE CATEDRA – PROF. EDUC. SEC. EN MATEMATICA - 2018

DEFINICION DE PROYECTIVIDAD Dos formas de 1º especie de denominan proyectivas cuando se puede pasar de una a otra mediante un numero finito de operaciones proyectivas. OTRA DEFINICION EQUIVALENTE: dos formas de 1º especie son proyectivas cuando a cada elemento de una de ellas le corresponde un solo elemento en la otra con la condición que la relación anarmónica de cuatro elementos cualesquiera de una de ellas sea igual a la relación anarmónica de los elementos correspondientes en la otra.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROYECTIVIDAD Entre dos formas de 1º especie existe una proyectividad en la cual a tres elementos de una de las formas le corresponden 3 elementos en la otra. Esta proyectividad es única y puede construirse mediante un número finito de proyecciones y secciones. Nota: asegura que dos formas de 1º especie son proyectivas. En base a este teorema, una proyectividad entre puntuales 𝑢 𝑦 𝑢´ quedara dterminada cuando se den tres pares de puntos correspondientes y se escribirá 𝜋 ≡

𝐴𝐵𝐶 𝐴´𝐵´𝐶´

que se lee “proyectividad 𝜋 de elementos 𝐴, 𝐵, 𝐶 pertenecientes a la

primera forma que le corresponden los elementos 𝐴´, 𝐵´, 𝐶´ respectivamente en la segunda forma”.

FORMAS PERSPECTIVAS La perspectividad en una caso particular de la proyectividad y se clasifican en:  Perspectividad entre formas de 1º especie de distinto nombre. Ejemplo puntual y haz de planos  Perspectividad entre formas de 1º especie del mismo nombre. Ejemplo puntual y puntual.

DEFINICION 1: dos formas de 1º especie de distinto nombre son perspectivas cuando una de ellas es proyección o sección de la otra. Ejemplo “puntual y haz de planos” o “haz de planos y haz de rectas”.

DEFINICION 2: Se toman dos formas de 1º especie del mismo nombre. Dos formas de 1º especie del mismo nombre son perspectivas cuando son ambas proyecciones o secciones de una misma forma de 1º especie. En la definición podemos considerar las siguientes situaciones.  Formas de 1º especie del mismo nombre no pertenecientes a una misma forma de 2º especie. Ejemplo dos puntuales (formas de 1º especie) que no pertenecen al mismo plano puntual (forma de 2º especie)

TEOREMA: dos formas de 1º especie del mismo nombre no pertenecientes a una misma forma de 2º especie son siempre perspectivas.

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Continuación formas perspectivas: FORMAS PERSPECTIVAS DE 1º ESPECIE PERTENECIENTES A UNA MISMA FORMA DE 2º ESPECIE. EJEMPLO: Dos puntuales que están en el misma plano puntual. TEOREMA 1: Es condición necesaria y suficiente para que dos puntuales distintas, proyectivas y pertenecientes a un mismo plano sean perspectivas, que tengan un punto común o punto unido.

TEOREMA 2: Es condición necesaria y suficiente para que dos haces de rectas distintos, proyectivos y pertenecientes a un mismo plano sean perspectivas, que tengan la recta común sea unida. En el espacio, los duales de los teoremas 1 y 2 son (recordemos que debemos cambiar la palabra punto por plano, permaneciendo invariable la palabra recta):

TEOREMA 3: Es condición necesaria y suficiente para que dos haces de planos distintos, proyectivos y pertenecientes a una misma radiación sean perspectivos, que tengan un plano común sea unido. Observamos que la puntual se cambia por haz de planos ya que como la puntual es un conjunto de puntos que tiene por sostén una recta, le deber corresponder en la dualidad en el espacio, un conjunto de planos que tengan por sostén una recta, que es un haz de planos.

TEOREMA 4: Es condición necesaria y suficiente para que dos haces de rectas distintas, proyectivas y pertenecientes a una misma radiación sean perspectivas, que la recta común sea unida.

NOTA: EN VERDE CONCEPTOS NECESARIOS DE CLASES ANTERIORES EN AMARILLO A TRABAJAR EN CLASE DEL 28-08-2018.

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CONSTRUCCION DE PROYECTIVIDADES ENTRE PUNTUALES Nos proponemos construir la proyectividad entre dos puntuales coplanares 𝑢 𝑦 𝑢´ dadas por dos ternas de elementos correspondientes 𝐴𝐵𝐶 𝑦 𝐴´𝐵´𝐶´. Para realizar su construcción unimos 𝐴 con 𝐴´ y sobre esa recta fijamos dos puntos 𝑆 𝑦 𝑆´, desde los cuales se proyectan 𝐵, 𝐶 𝑦 𝐵´, 𝐶´, respectivamente. La recta 𝑆𝐵 y su homologa 𝑆´𝐵´ se cortan en 𝐵𝑜 , de la misma manera 𝑆𝐶 𝑦 𝑆´𝐶´ determinan 𝐶𝑜 . Uniendo 𝐵𝑜 𝑦 𝐶𝑜 obtenemos la recta 𝑢𝑜 que corta 𝑆𝑆´ en el punto 𝐴𝑜 . Se observa que entre las puntuales 𝑢 𝑦 𝑢𝑜 existe una perspectividad de centro 𝑆 y entre 𝑢´ 𝑦 𝑢𝑜 otra de centro 𝑆´. El producto de ambas perspectividades nos da la proyectividad deseada. Para completar el problema, dado un punto 𝑃 perteneciente a 𝑢, determinamos su homologo sobre 𝑢´. Unimos 𝑃 con 𝑆 hasta cortar en 𝑃𝑜 a 𝑢𝑜 . Proyectamos 𝑃𝑜 desde 𝑆´ y seccionamos con 𝑢´ obteniendo el punto 𝑃´ homologo de 𝑃. La recta se llama eje de perspectividad. Realizar grafico: Pág. 38.

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Analicemos ahora el problema cuando los centros 𝑆 𝑦 𝑆´ se hacen coincidir con un par de elementos correspondientes 𝐴𝐴´, 𝐵𝐵´𝑜 𝐶𝐶´ . Hagamos coincidir 𝑆 𝑐𝑜𝑛 𝐴´ 𝑦 𝑆´ 𝑐𝑜𝑛 𝐴 y encontramos así la recta 𝑢𝑜 por el procedimiento anterior. Determinamos la recta 𝑢𝑜 que se denomina eje de colineación y los pares de rectas 𝐴𝐵´𝑦 𝐴´𝐵, 𝐵𝐶´𝑦 𝐵´𝐶 etc, que se obtienen al unir dos puntos de 𝑢 𝑦 𝑢´ no correspondientes con sus respectivos correspondientes, se las denomina rectas asociadas respecto de la proyectividad. Encontremos ahora para un cuarto elemento P perteneciente a 𝑢, su homologo P´ en 𝑢´ mediante el empleo del eje de colineación. Se une 𝑃 de 𝑢 con otro punto de 𝑢´, por ejemplo 𝐵´, cuyo homologo se conoce. La recta 𝑃𝐵´ corta a 𝑢𝑜 en el punto 𝑃𝑜 qué unido con 𝐵 y seccionando con 𝑢´ da P´. Realizar grafico: pag. 40.

Es posible enunciar el siguiente teorema: TEOREMA 5: en toda proyectividad entre puntuales coplanares, los pares de rectas asociadas se cortan en puntos de una misma recta llamada eje de colineación. Prof. Ferreyra Víctor Hugo

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PUNTOS LÍMITES Dada una proyectividad entre dos formas de primera especie, se denomina punto límite de una de las formas al correspondiente elemento impropio de la otra. Para encontrar el punto límite emplearemos el método de colineación es decir dada dos puntuales 𝐴𝐵𝐶 𝑦 𝐴´𝐵´𝐶´ unimos 𝐴𝐵´ 𝑦 𝐵𝐴´ determinamos 𝑃; 𝐴𝐶´ 𝑦 𝐶𝐴´ obteniendo 𝑄, 𝑃 𝑦 𝑄 determinan el eje de colineación 𝑢𝑜 ; el punto límite sobre la recta 𝑢 que llamaremos 𝐽 será homologo del punto impropio 𝐽´∞ de la recta 𝑢´. Para determinarlo elegimos un par de rectas asociadas 𝐵𝐽´∞ 𝑦 𝐵´𝐽 que se cortan en el eje de colineación 𝑢𝑜 . Para obtener 𝐵𝐽´∞ trazamos por 𝐵 una paralela a la puntual 𝑢´, que corta a 𝑢𝑜 en 𝑆. Por dicho punto pasara la recta asociada B´J que se obtiene uniendo 𝑆 con 𝐵´. Donde 𝑆𝐵´ corta a 𝑢 obtenemos el punto límite 𝐽 buscado. En forma análoga, eligiendo el par de rectas asociadas 𝐴´𝐼∞ 𝑦 𝐴𝐼´ encontramos el punto límite 𝐼´ de la recta 𝑢´, que es el conjugado del punto impropio de 𝑢. Realizar grafico: Pág. 40.

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CONSTRUCCION DE PROYECTIVIDADES ENTRE HACES DE RECTAS Consideremos dos haces coplanares 𝑈 ≡ 𝑎𝑏𝑐 y 𝑈´ ≡ 𝑎´𝑏´𝑐´ tal que definan una proyectividad. Aplicaremos aquí el procedimiento dual de rectas asociadas, que será de puntos asociados y encontraremos el centro de colineación. El teorema anterior (TEOREMA 5) se enuncia de la siguiente manera: En una proyectividad de haces de rectas coplanares, los pares de puntos asociados determinan rectas que pasan por un mismo punto (antes era por una misma recta) denominado centro de colineación. Sean 𝑈 ≡ 𝑎𝑏𝑐 y 𝑈´ ≡ 𝑎´𝑏´𝑐´ proyectivos. Elegimos el punto A de intersección de a y a´ para hacer pasar dos rectas u y u´ que seccionan a los haces determinando las puntuales 𝑢 ≡ 𝐴𝐵𝐶 𝑦 𝑢´ ≡ 𝐴´𝐵´𝐶´ Encontramos el eje de colineación 𝒖𝒐 uniendo B con C´ y C con B´, y la intersección determina el centro de colineación 𝑺𝒐 . Damos ahora la recta 𝑑 y buscamos su homóloga. Para ello cortamos a 𝑑 con 𝑢, determinando el punto 𝐷. Seguimos con el método de rectas asociadas, determinando sobre 𝑢´ el punto 𝐷´ que proyectando desde 𝑈´ nos da la recta 𝑑´, homologa de 𝑑. El centro de colineación obtenido es el 𝑺𝟏 . Realizar grafico: Pág. 42.

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FORMAS SUPERPUESTAS Dadas dos puntuales 𝑢 ≡ 𝐴𝐵𝐶 𝑦 𝑢´ ≡ 𝐴´𝐵´𝐶´ tal que 𝑢 coincide con 𝑢´ (pero no coinciden los elementos correspondientes) decimos que las puntuales 𝑢 𝑦 𝑢´ son superpuestas. Hacer un grafico:

Análogamente, dos haces de rectas pertenecientes a un mismo plano 𝑆 ≡ 𝑎𝑏𝑐 𝑦 𝑆´ ≡ 𝑎´𝑏´𝑐´ que tengan sus centros 𝑆 𝑦 𝑆´ coincidentes, son haces superpuestos. Hacer un grafico:

De la misma manera dos haces de planos serán superpuestos si tienen ejes 𝑠 𝑦 𝑠´ coincidentes. Hacer un grafico:

Partiendo del Teorema Fundamental de la Proyectividad, sabemos que dos formas de primera especie que tienen tres pares de elementos unidos representan una identidad. Hacer un grafico: 𝑢 ≡ 𝑢´ representa la identidad (tres pares de elementos unidos)

En consecuencia, dos formas de primera especie superpuestas que no representan una identidad tendrán a lo sumo dos elementos unidos. Podemos dar la siguiente clasificación: a) Se denomina proyectividad elíptica entre dos formas superpuestas de primera especie a aquella que no posee elementos unidos. b) La proyectividad es parabólica si tiene un elemento unido. c) La proyectividad es hiperbólica si tiene dos elementos unidos. Recordando que la proyectividad es una correspondencia ordenada se presentan dos posibilidades según que los movimientos de los puntos homólogos sean concordantes o en sentidos opuestos. Decimos entonces que toda proyectividad en sentido opuesto es hiperbolica, y toda proyectividad parabolica o elíptica es siempre en sentido concordante. Prof. Ferreyra Víctor Hugo

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CONSTRUCCION DE PROYECTIVIDADES EN FORMAS SUPERPUESTAS Para construir una proyectividad entre formas superpuestas, puede seguirse un procedimiento que reduce el problema de formas superpuestas a formas no superpuestas. Sean dos puntuales superpuestas 𝑢 𝑦 𝑢´ y la proyectividad 𝜋 ≡

𝐴𝐵𝐶 𝐴´𝐵´𝐶´

. Tomemos dos puntos 𝑆 𝑦 𝑆´y proyectamos

desde 𝑆 la puntual 𝑢, obteniendo el haz 𝑎𝑏𝑐 y desde 𝑆´ la puntual 𝑢´ obteniendo el haz 𝑎´𝑏´𝑐´. Buscamos el centro de colineación empleando el método de rectas asociadas. Es decir, tomamos las rectas asociadas 𝑎𝑏´ 𝑦 𝑎´𝑏, 𝑏𝑐´ 𝑦 𝑏´𝑐 y determinamos el centro de colineación 𝑆𝑜 . Para hallar el punto homologo de 𝐷, proyectamos desde 𝑆 obteniendo la recta 𝑑. Elegimos un par de rectas asociadas 𝑑𝑐´ que determinan el punto 𝑘, unimos 𝑘 con 𝑆𝑜 hasta cortar a 𝑐 en 𝑘´ que unimos con 𝑆´ determinan la recta 𝑑´ que corta a 𝑢´ en el punto 𝐷´ buscado. Realizar grafico: Pág. 44

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Procedimiento de Steiner Si sobre una circunferencia se proyecta desde dos centros S y S´ pertenecientes a ella, dos puntos A y B, se obtienen dos ángulos 𝑎𝑏 𝑦 𝑎´𝑏´ , que son iguales por tratarse de ángulos inscriptos en el mismo arco de circunferencia AB. Si extendemos esto a varios puntos, considerando la tangente en el caso que el punto coincida con el centro de proyección. Tendremos dos haces de rectas 𝑎𝑏𝑐 𝑦 𝑎´𝑏´𝑐´ que serán iguales y por lo tanto proyectivos pues la igualdad es un caso particular de la proyectividad.

Además es posible que entre el haz de centro en la circunferencia (por ejemplo S) y los puntos de ella, obtenidos como sección de la circunferencia con el haz (por ejemplo A, B , C puntos) ; se ha establecido una correspondencia biunívoca que nos permite hablar de proyectividad de una puntual sobre la circunferencia y un haz que se obtiene como proyección de la misma puntual desde un punto cualquiera de la circunferencia sostén. Utilizando esta propiedad Steiner soluciona el caso de haces de rectas superpuestas. Seccionando con una circunferencia que pasa por el centro de los haces, obteniéndose dos puntuales sobre la circunferencia: ABC y A´B´C´ que por provenir de haces proyectivos son proyectivos. Prof. Ferreyra Víctor Hugo

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Proyectando cada una de estas puntuales desde dos centros pertenecientes a la circunferencia, se obtendrán dos nuevos haces proyectivos que se trasforman en perspectivos, si elegimos como centro dos puntos conjugados por ejemplo B y B´; observamos que los haces 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑦 𝑎1 ´𝑏1 ´𝑐1 ´ son perspectivos por tener las rectas 𝑏1 ≡ 𝑏1 ´ (coincidentes) es decir, es unida. El eje de perspectividad es la recta de 𝒆 ≡ 𝑨𝒐 𝑩𝒐, siendo 𝐶𝑜 la intersección de BC´ con B´C y 𝐴𝑜 la intersección de BA´ con B´A, a la recta 𝒆 se la denomina recta de Steiner y corta a la circunferencia en dos puntos unidos M y N que permitirán obtener las rectas unidas m y n del haz de centro S, en consecuencia; la proyectividad será hiperbólica, parabólica o elíptica según la recta de Steiner sea secante, tangente o exterior a la circunferencia.

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Teorema de Pascal Construiremos proyectividades entre puntuales sobre una circunferencia. Sean las puntuales ABC y A´B´C´ proyectivas sobre una circunferencia. Si proyectamos los puntos A´,B´,C, C´ desde A y B obtenemos dos haces proyectivos cortando dichos haces con las rectas CA´ y CB´ respectivamente, obtenemos los puntos A´, C, E, N y B´, C, F, P que tienen el elemento C unido. Observamos que la recta A´F y B´E y NP pasan por el mismo punto M, es decir, los ptos P, N, M están alineados.

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COMO ACTIVIDAD FINAL SE PROPONEN:



Dados en un plano dos puntuales no superpuestas 𝑢 ≡ 𝐴𝐵𝐶 𝑦 𝑢´ ≡ 𝐴´𝐵´𝐶´, construir la proyectividad 𝜋≡

𝐴𝐵𝐶 𝐴´𝐵´𝐶´

Empleando como centro de proyección dos puntos de la recta 𝐵𝐵´. Dado un punto 𝐷 hallar el

elemento correspondiente sobre 𝑢´. Tomar luego, para la construir la proyectividad, dos puntos de la recta 𝐶𝐶´ y observar que obtenemos 𝑢 nuevo eje de proyectividad mediante el cual, dado 𝐷, pasamos al mismo punto 𝐷´ hallado anteriormente. Considere la ubicación de los puntos de acuerdo a los siguientes gráficos: dar gráficos



Consideremos una proyectividad entre dos puntuales superpuestas definidas por 𝜋 ≡

𝐴𝐵𝐶 𝐴´𝐵´𝐶´

. Determinar por

dos procedimientos distintos, el elemento correspondiente al D sobre una recta en la que se han ordenado los puntos de la siguiente manera: 𝐴 < 𝐴´ < 𝐶 < 𝐵 < 𝐵´ < 𝐶´y sobre una circunferencia en la que se han ordenado en un sentido anti horario los puntos citados anteriormente.



Dada una proyectividad entre dos haces superpuestos, determinar, por el procedimiento de Steiner, los elementos

unidos, considerando que los haces son : dar grafico



En los datos del ejercicio 2, determinar los puntos límites.

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