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Vicente Efraín Gavidia

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CONJUNTOS Reseña Histórica La teoría de los Conjuntos viene ser más adentrada ya por los siglos XX como una rama de las Matemáticas. La noción de Conjuntos era tan transparente que la frase “…se entiende por conjunto a la agrupación de un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o de nuestra mente” (Cantor) no despertaba tan interés por lo cual no necesitaron de una definición más formal. La idea de la creación de conjuntos viene a aparecer cuando soñaban en agrupar todo el conocimiento matemático en una sola raíz. Desde el Álgebra y el Análisis habían usado números como fundamentos y nunca habían sido formalizados, Hamilton tampoco se había preocupado por hacer aquel trabajo de formalizar sus bases. Esta fundamentación se viene a dar por la mitad del siglo XIX con la necesidad de sustentar algunos problemas específicos del Análisis, pero para este proceso se necesitaba de la formalización de los números irracionales, cuya existencia dependía de los números racionales. Stolz decía que los números irracionales tenían una representación decimal y n periódica dándole una definición contrata con esas características. “Dios creó los naturales, el resto es obra del hombre.” (Kronecker), fue el resultado de aritmetización del Análisis, se completó con tres trabajos importantes en la historia dando los siguientes conceptos: los racionales positivos son pares de los números naturales, los enteros negativos como otro tipo de pares naturales y los racionales negativos como pares de enteros negativos y naturales. Georg Cantor trabajando desde series trigonométricas llega a una clasificación de conjuntos “excepcionales” percibiendo el tema como generador de nuevos desarrollos significativos. La teoría de los Conjuntos había despertado más interés por los matemáticos ya que les ofrecía una nueva teoría para sus trabajos en álgebra y análisis, pero no con un significado en concreto. Las Paradojas “Los ordinales, que es una colección bien ordenada, no podía ser tratada como un conjunto, pues sería de hecho un ordinal y por tanto debería ser isomorfa con un segmento propio, lo cual es contradictorio” (Cantor). Otra interrogante de Cantor era que, si los números cardinales eran realmente un conjunto, su cardinal sería mayor que cualquier otro, generando nueva contradicción conocida como la Paradoja de Cantor. Cantor decidió que debería haber dos clases de conjuntos: los consistentes que no generaban problemas y los inconsistentes donde estarían todas las contradicciones La Paradoja del Conjunto Universal aparece cuando Cantor planteó la imposibilidad de un conjunto universal sabiendo que es aquel que contiene a todos los demás, estaría forzado a contener dentro de sí a su conjunto de partes lo cual resultaba imposible. Las Respuestas La comunidad científica de aquel tiempo no podía darse el lujo de apariciones de paradojas al trabajo de depuración sobre la base de la teoría de los Conjuntos, pero tampoco podían ocultar esas contradicciones ya que se exigía una respuesta pronta, contundente y consistente. Tres escuelas de pensamiento enfrentaron el desafío en la lucha intelectual que enfrentó a mentes brillantes de todo el planeta por muchos años y todos esos debates siguen siendo objeto de trabajo cien años más tarde. El Logicismo La Escuela Logiscista había intentado reconstruir la lógica y dentro de ella, toda la matemática. Esta escuela también creó la Teoría de los Tipos con base en algunos conceptos indefinidos como proposición, función proposicional, afirmación de la verdad en una proposición, negación de una proposición y disyunción de dos proposiciones, clasifica a los conjuntos de la siguiente manera: los objetos individuales no tienen elementos y son de nivel 0, una colección de objetos de nivel 0 es un conjunto de nivel 1 y en general una colección de objetos de nivel n será un conjunto de nivel n + 1 (Escuela Logiscista). La expresión x ∈ solo tiene sentido entre objetos de niveles consecutivos, esto se si x es de nivel n y z es de nivel n +1. Esta restricción impide la aparición de expresiones como x ∉ x y la paradoja de Russell ni siquiera puede plantearse. El Intuicionismo Poincare siempre ridiculizó el intento de basar la Matemática en la Lógica argumentando que la matemática se convertiría en tautología. Brouwer definía que la matemática no está obligada a respetar las leyes de la lógica ya que en su opinión la lógica se apoyaba de la matemática y o lo contrario. El intuicionismo no se limitó a criticar, al contrario, intentó reconstruir la Matemática desde su visión finististica y construccionista.

Vicente Efraín Gavidia

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El Formalismo El formalismo incluye diversos aspectos como que cualquier fundamento de las matemáticas debe contar con lógica. Para los formalistas la Lógica es una lengua simbólica que permite expresar las proposiciones matemáticas mediante fórmulas reduciendo el razonamiento a un proceso deductivo formal. Nociones de Teoría de Conjuntos Se entiende por "conjunto" la reunión, agrupación, colección de objetos o entidades de cualquier naturaleza, pero claramente diferenciados entre sí, a los que se denomina "elementos". Simbología y Terminología Simbología a∈A a∉A ∅ A=B A≠B B⊂A B⊆A B⊄A A⊃B A∪B A∩B / ~ U A∆B AxB ∀x

Se Lee a “pertenece” a A a “no pertenece” a A Conjunto Vacío A es “igual” a B A es “diferente” de B B “incluido” en A B “estric. Incluido” en A B no “incluido” en A A “incluye” a B A “unión” B A “intersección” B “Tal que” “Es Coordinable” Conjunto Universo Diferencia Simétrica Producto Cartesiano “Para todo x”

Simbología ∃𝒙 ∃ 𝒙! ∃, ∄ n (A) → ↔ P (A) P (A) A⊼B ∧ ˅ ∆ A’, C A < << > >>

Se Lee Existe x Existe x y solo un x Existe, No Existe Número de elementos de Conj. Implica que Sí y solo si Partes del Conjunto A Potencia del Conjunto A A es “coordinable” que B Y O Disyunción Exclusiva Complemento del Conjunto A Es menor que Es mucho menor que Es mayor que Es mucho mayor que

Conjuntos Numéricos N: Conjuntos de Números Naturales = {0,1,2,3,4…} Z: Conjunto de Números Enteros = {-3,-2,-1,0,1,2,3…} Q: Conjunto de Números Racionales = { x / x a/b; a ∈ Z ∧ b ∈ Z } I: Conjunto de Números Irracionales = {0.5 , 0.7} R: Conjunto de Números Reales = {5/7, 2/3} Diagrama de Venn Se usa diagramas planos para representar conjuntos. Los diagramas son una poderosa herramienta para resolver problemas. Se les llama Diagramas de Venn en honor a su creador. El conjunto Universo es representado por un rectángulo, y contiene los conjuntos, representados a su Vez por círculos o elipses. Opcionalmente, puede indicarse o representarse los elementos del conjunto. Ejemplos (A ∪ B) A = {a, b, x, q} B = {m, n, x, q}

Referencias (Cantor XIX) (Kronecker XIX) (Escuela Logiscista XX)

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