Conjuntos De Funciones (2)

1.2. Conjuntos definidos mediante funciones 1.2

CONJUNTOS DEFINIDOS MEDIANTE FUNCIONES

A lo largo de este texto se verá la necesidad de diferenciar dos eventos: dada una función, encontrar los diferentes conjuntos que ella pueda definir y, dado un conjunto de puntos, encontrar, por lo menos, una función que lo defina. En esta sección se presentará la formalización conceptual de estos dos eventos. Para comenzar se introduce un caso ilustrativo con funciones reales de variable real que le ayudarán al lector a comprender los conceptos. La función

; -1 ≤ x ≤ 1} f ( x) = 1 − x 2 es una función ℝ → ℝ , cuyo dominio es { x ∈ ℝ

y cuyo rango es

{ y ∈ ℝ ; 0 ≤ y ≤ 1} . El gráfico de

f es media circunferencia, arriba del eje

x , con centro en el origen y radio 1. Como se puede ver, a partir de la función se han definido tres conjuntos distintos cada uno de los cuales tiene una representación pictórica diferente, esto es, el que está dado por el gráfico de la función, el que está dado por el dominio y el que está dado por el rango. Ahora, se puede seguir el camino inverso para obtener una función a partir de un conjunto de puntos, digamos por ejemplo, la media circunferencia descrita arriba. Existen tres diferentes funciones que lo pueden definir; estas son: •

ℝ → ℝ : f ( x) = 1 − x 2

•

ℝ → ℝ 2 : g (t ) = (cos t , sent ), 0 ≤ t ≤ π

•

ℝ 2 → ℝ : x 2 + y 2 = 1, y ≥ 0

A estas las llamaremos, en su orden, la función explícita, la función paramétrica y la función implícita. Estos conceptos se extienden a las funciones vectoriales en las cuales su manejo adecuado es de vital importancia en todo el cálculo vectorial.

Dada una función vectorial

F : ℝn → ℝm X → F ( x ) = ( f1 , f 2 ,..., f n ) ( X ) en donde

X = ( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) ∈ ℝ n y Y = F ( X ) = ( y1 , y2 , y3 ,..., ym ) ∈ ℝ m

En general, F puede definir tres clases de conjuntos de alguna de las siguientes formas:

Un conjunto está definido explícitamente mediante la función F como el conjunto SE dado por:

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Capítulo 1: Funciones Vectoriales SE = {(X,Y) ∈

ℝ n ×ℝ m

/ X ∈ Dom(F) ∧ Y = F(X) ∈ Rango(F)}

S E = {( x1 , x2 , x3 ,..., xn , y1 , y2 , y3 ,..., ym ) ∈ ℝ n + m / X ∈ Dom( F ) ∧ Y ∈ Rango( F )} El gráfico de la función F es SE, es decir, el conjunto de todos los pares ordenados (X,F(X)). El gráfico de la función está incluido en el espacio ℜ

n+m

. Cuando n + m ≤ 3 el gráfico de la

*

función se puede representar mediante un dibujo .

Un caso particular de especial importancia son los campos escalares del tipo

f : ℝ2 → ℝ ( x, y ) → z = f ( x, y ) 3

cuando f define explícitamente una superficie en ℝ , dada por: SE = {(x,y,z) ∈

ℝ3 / (x,y) ∈ Dom(f) ∧ z = f(x,y) ∈ Rango(f) }

Un conjunto está definido paramétricamente mediante la función F como el conjunto Sp dado por: SP = {F(X) = (f1, ... , fm)(X) ∈ ℝ SP es la imagen (conjunto imagen) en ℝ

m

m

/ F(X) ∈ Rango(F)}

de la función F, así el conjunto SP está incluido en

ℜ . m

Una función vectorial de variable real ilustra un caso especial de estos conjuntos:

F : [ a, b ] ⊂ ℝ → ℝ m

t → F (t ) = ( f1 , f 2 ,..., f m ) (t )

SP = { F(t) = (f1, ... , fm)(t) ∈ ℝ

SP determina una trayectoria (o camino) en parámetro o un grado de libertad:

m

/ F(t) ∈ Rango (F) ∧ m ≥ 2}

ℝ m y se dice que F está definida mediante un

t.

Si se considera una función del tipo:

F : ℝ2 → ℝm

(u, v) → F (u , v) = ( f1 , f 2 ,..., f m ) (u , v)

*

En el formalismo matemático el gráfico de F no se puede entender como el dibujo (representación pictórica) porque no es lo mismo un conjunto que el dibujo del conjunto.

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1.2. Conjuntos definidos mediante funciones

SP = { F(u,v) = (f1, ... , fm)(u,v) ∈ ℝ / F(u,v) ∈ Rango (F) ∧ m ≥ 3} m

SP determina una superficie en

ℝ m . En este caso, F está definida mediante dos

parámetros o grados de libertad: u, v.

Un conjunto está definido implícitamente mediante la función F como el conjunto SI dado por: SI = { X ∈ Dom(F) / F(X) = C, con C ∈ Rango(F)

∧n>m }

La función F define, para un parámetro C, el conjunto SI

El conjunto SI está incluido en

ℝ n . La ecuación F(X) = C define una familia de conjuntos de

nivel para F y cada valor particular de C determina un único conjunto de dicha familia. Un campo escalar

f : ℝ 2 → ℝ determina implícitamente una curva en ℝ 2 (curvas de

nivel) definida por: SI = { (x,y) ∈ Dom(f) / f(x,y) = c }

y un campo escalar

f : ℝ3 → ℝ determina implícitamente una superficie en ℝ 3 ℜ3

(superficies de nivel) definida por: SI = { (x,y,z) ∈

ℝ3 / f(x,y,z) = c }

Tanto las curvas de nivel como las superficies de nivel tienen importantes aplicaciones prácticas en diversos campos como el meteorológico, el topográfico y el estudio de la física. Por ejemplo, un mapa del estado del tiempo muestra curvas de nivel de temperatura y de presión barométrica. La meteorología usa también superficies de presión barométrica constante llamadas superficies isobáricas. Un mapa del relieve de un terreno está formado por las curvas de nivel a diferentes alturas y el campo gravitacional de la tierra consta de un conjunto de esferas concéntricas que son superficies equipotenciales alrededor de la tierra en las cuales la fuerza de gravedad es constante en todos los puntos de la esfera.

A manera de resumen lo anterior queda así:

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Capítulo 1: Funciones Vectoriales SE = { (X,Y) ∈ ℜ Conjunto SE

F : ℝn → ℝm

n+m

/ X ∈ Dom(F)

∧ Y = F(X) ∈ Rango(F) } ⊆ ℝ

n+ m

SP = { F(X) = (f1, ... , fm)(X) ∈ ℜ / m

X → F ( X ) = ( f1 , f 2 ,... f m ) ( X )

Conjunto SP

F(X) ∈ Rango(F) } ⊆ ℝ

m

SI = { X ∈ Dom(F) / F(X) = C, con Conjunto SI

C ∈ Rango(F)

∧ n > m } ⊆ ℝn ,

También es de utilidad poder hacer el trabajo al revés, es decir, encontrar una función que defina un conjunto dado explícitamente, paramétricamente o implícitamente. Para un conjunto dado una función puede ser más adecuada que otra dependiendo de lo que se pretenda hacer con el conjunto. Un conjunto S esta definido mediante una función: a) Explícitamente: Si existe una función

F : ℝ n → ℝ m tal que S es el gráfico de la

función F , es decir, S = S E b) Paramétricamente: Si existe una función

F : ℝ n → ℝ m tal que S es el conjunto

imagen de la función, o sea, S = S P . c) Implícitamente: Si existe una función

F : ℝ n → ℝ m tal que S sea un conjunto de

nivel de la función, o S = S I .

Así por ejemplo conjunto de puntos como línea o superficies podrían ser definidos por funciones de la siguiente forma: Conjunto

Función que define el conjunto de puntos

de puntos

Línea en

ℝ2

Explícitamente

f :ℝ → ℝ x → f ( x) = y

Paramétricamente

F :ℝ → ℝ2 t → F (t ) = ( f1 (t ), f 2 (t ))

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Implícitamente f :ℝ2 →ℝ ( x, y ) → f ( x , y )

tal que para algún

k ∈ Rango( f ) , f ( x, y ) = k

1.2. Conjuntos definidos mediante funciones F :ℝ3 →ℝ2

( x, y, z ) → F ( x, y , z ) = ( f1 ( x, y, z ), f 2 ( x, y, z ) )

F :ℝ →

Línea en

ℝ

No se usa

3

ℝ3

Tal que para algún

t → F (t ) = ( f1 (t ), f 2 (t ), f3 (t ))

(c1 , c2 ) ∈ Rango( F ) ,

F ( x, y, z ) = (c1 , c2 ) Si existe una función Superficie en ℝ

f :ℝ

→

2

ℝ

( x, y ) → f ( x, y ) = z

3

F :ℝ → ℝ (u , v ) → F (u , v ) = ( f1 (u , v ), f 2 (u , v ), f 3 (u , v )) = ( x, y , z ) 2

3

f

f : ℝ3 → ℝ ( x, y, z ) → F ( x, y, z ) Donde el conjunto S es un conjunto de nivel de

f

Ejemplo 1.8 En este ejemplo se muestra cómo una función vectorial puede definir tres conjuntos en diferentes espacios, en sus formas explícita, paramétrica e implícita. Sea la función

F : ℝ2 → ℝ3 (u , v ) → F (u , v) = ( u cos v, usenv, u ) = ( x, y, z ); Dom( F ) = ℝ 2 F define explícitamente un conjunto SE como: SE = { ((u,v) , F(u,v)) ∈ ℝ × ℝ / ((u,v) ∈ Dom(F) ∧ F(u,v)∈ Rango(F) } 2

3

= { (u,v,x,y,z) ∈ ℜ / x = uCos(v) ∧ y = uSen(v) ∧ z = u } 5

Este conjunto no tiene representación pictórica dado que está en R

5

F define paramétricamente un conjunto SP dado como: SP = { (x,y,z) ∈ ℜ / (x,y,z) = ( uCos(v), uSen(v), u ) 3

De ahí se obtiene que x = uCos(v); y = uSen(v); z = u

Eliminando los parámetros u, v: 2

2

2

2

2

2

2

2

x + y = u Cos (v) + u Sen (v) = u = z 2

2

2

x + y = z es la ecuación de un cono en R

3

Figura Cono circunferencial recto

(ver figura) Y finalmente:

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Capítulo 1: Funciones Vectoriales SP = { (x,y,z) ∈

ℝ3 / z2 = x2 + y2 }

Y la geometría dice que SP es la representación de una superficie cónica circunferencial recta con vértice en el origen (ver figura 0.1.)

Implícitamente: SI = { (x,y) ∈

ℝ 2 / F(x,y) = (c1, c2, c3) }

= { (x,y) ∈ ℝ / xCos(y) = c1 ∧ xSen(y) = c2 ∧ x = c3 } 2

Es decir que SI es la solución en ℜ del sistema de 3 ecuaciones y 2 incógnitas dado por: 2

xCos(y) = c1; xSen(y) = c2; x = c3 La solución de este sistema puede ser el conjunto vacío, un punto en el plano xy (si c3 ≠ 0 y

(c3 )2 = (c1 ) 2 + (c2 ) 2 ) o el eje y (si c1 = c2 = c3 = 0).


Ejemplo 1.9.

En este ejemplo se muestra cómo un conjunto se puede definir mediante tres funciones diferentes, en sus formas explícita, paramétrica e implícita. Sea el conjunto de puntos definido por:

S = {( x, y, z ) ∈ ℝ 3 / z = a 2 x 2 + b 2 y 2 con a ≠ b ≠ 0} lo cual corresponde a un paraboloide elíptico con vértice en el origen (ver figura) Las funciones que lo definen de las tres formas son:

Explícitamente: se puede definir mediante la función

f : ℝ2 → ℝ ( x, y ) → f ( x, y ) = a 2 x 2 + b 2 y 2 Se puede verificar que el

S E de esta función Figura Paraboloide elíptico

Corresponde al S definido arriba.

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1.2. Conjuntos definidos mediante funciones Y la representación del conjunto es: SE = { (x,y,z) ∈

ℝ3 / z = f(x,y) = a2x2 + b2y2 }

Paramétricamente: se puede hacer una parametrización así: Sean x = x, y = y,

z = a 2 x 2 + b 2 y 2 . La función que define al paraboloide elíptico es: F1 : ℝ 2 → ℝ 3 ( x, y ) → F1 ( x, y ) = ( x, y, a 2 x 2 + b 2 y 2 ) Observe que SP = { (x,y,z) ∈

ℝ3 / ( x, y, z ) = F1 ( x, y ) = ( x, y, a 2 x 2 + b 2 y 2 ) }=

S P = { (x,y,z) ∈ ℝ3 / z = a 2 x 2 + b 2 y 2 } SP = S El mismo conjunto de puntos se puede describir mediante otra función si se usa una parametrización diferente:

F2 : ℝ 2 → ℝ3 (v, v) → F2 (u , v) = Note que

(

1 a

)

cos v, b1 senv,u 2

S P = S ya S P define el paraboloide elíptico en cuestión como se comprueba a

continuación: SP = { (x,y,z) ∈

ℝ3 / (x,y,z) = F2(u,v) = (a–1uCos(v), b–1uSen(v), u2) }

SP = { (x,y,z) ∈

ℝ3 / (x,y,z) = (a–1uCos(v), b–1uSen(v), u2) } Como

x = a -1uCos (v)

y = b -1uSen(v) z = u 2

ax = uCos (v ) by = uSen(v ) z = u 2

a 2 x 2 = u 2Cos 2 (v) b 2 y 2 = u 2 Sen 2 (v) z = u 2 a 2 x 2 = zCos 2 (v) b 2 y 2 = zSen 2 (v) a 2 x 2 + b 2 y 2 = z Cos 2 (v ) + sen 2 (v)  a 2 x 2 + b 2 y 2 = z SP = { (x,y,z) ∈ ℜ / 3

z = a 2 x 2 + b 2 y 2 }= S

SP = S Implícitamente: Partiendo de la ecuación original se deduce que:

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Capítulo 1: Funciones Vectoriales

z − a 2 x 2 + b2 y 2 = 0 Con lo que se puede definir la función:

g : ℝ3 → ℝ ( x, y , z ) → g ( x, y , z ) = z − a 2 x 2 − b 2 y 2 Y la representación del conjunto es: SI = { (x,y,z) ∈

ℝ 3 / g ( x, y , z ) = z − a 2 x 2 − b 2 y 2 = 0 }

Ejemplo 1.10 El siguiente ejemplo muestra conjuntos de nivel para funciones más generales. Sea la función F definida por:

F : ℝ3

→

ℝ2

 x2 z 2  ( x, y, z ) → F ( x, y, z ) =  36 x 2 − 4 y 2 + 9 z 2 , +  4 16  

Su conjunto implícito para el valor C = (144, 2) esta descrito por

S I = {( x, y, z ) ∈ ℝ 3 / F ( x, y , z ) = C ∈ Rango( F )} remplazando,

   x2 z 2  S I = ( x, y , z ) ∈ ℝ 3 /  36 x 2 − 4 y 2 + 9 z 2 , +  = (144, 2)  4 16    

  x2 z2 3 2 2 2 S I = ( x, y, z ) ∈ ℝ / 36 x − 4 y + 9 z = 144 ∧ + = 2  4 16  

  36 x 2 4 y 2 9 z 2 144 x 2 z 2 − + = S I =  ( x, y , z ) ∈ ℝ 3 / ∧ + = 2 144 144 144 144 4 16     x2 y2 z 2 x2 z2 S I =  ( x, y , z ) ∈ ℝ 3 / − + = 1 ∧ + = 2  4 36 16 4 16   Es el corte de un hiperboloide de un manto con un cilindro elíptico

  y2 x2 z 2 S I =  ( x, y , z ) ∈ ℝ 3 / 2 − = 1 ∧ + = 2 36 4 16  

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1.2. Conjuntos definidos mediante funciones

  x2 z 2 3 2 = 1 S I = ( x, y, z ) ∈ ℝ / y = 36 ∧ + 8 32    x2 z 2   x2 z 2    S I = ( x, y , z ) ∈ ℝ 3 /  + = 1 ∧ y = −6  ∨  + = 1 ∧ y = 6   8 32   8 32    Dos elipses de

ℝ 3 ubicadas en los planos y = ±6

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