Conjuntos

CONJUNTOS La palabra CONJUNTO nos remite, intuitivamente a una agrupación o colección de objetos. Sin embargo para que una colección de objetos sea un conjunto, deberá cumplir algunas condiciones: 1) UN CONJUNTO QUEDA DETERMINADO POR SUS ELEMENTOS QUE PERTENECEN A ÉL.. En símbolos lo escribimos así

A = { m, t , h}

Le ponemos como nombre una letra imprenta mayúscula y lo leemos: A es el conjunto formado por m, t y h 2) PARA QUE UN CONJUNTO EXISTA ES NECESARIO QUE SUS ELEMENTOS 3) EXISTE EL CONJUNTO VACIO Hemos dicho que para que un conjunto queda determinado si sus elementos están unívocamente definidos. Suponga que se le pide formar el conjunto de las ranas que maúlla. Ud. responderá "ninguna rana maúlla". El conjunto es VACÍO no hay ranas que cumplan esa condición, los elementos están bien definidos pero no hay ninguno. El conjunto vacío es único y se representa simbólicamente:

φ 4) UN CONJUNTO ESTÁ EXPRESADO POR EXTENSIÓN CUANDO SE NOMBRAN TODOS SUS ELEMENTOS. 5) LOS CONJUNTOS SE REPRESENTAN GRAFICAMENTE MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENN Se trata de curvas cerradas . Dentro de la región interior se colocan los elementos, representamos el conjunto A2 del ejercicio anterior

A2 m

a

1

En matemática  a las oraciones incompletas se las llama expresiones proposicionales  en lugar de puntos suspensivos se utilizan otras letras que se llaman variables ( x,y,z )

CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES El conjunto de NUMEROS NATURALES: •

Es un conjunto ordenado según la relación de menor, y tiene primer elemento

•

Es un conjunto infinito

•

No es denso, porque entre dos elementos cualesquiera existe un número finito de números naturales.

Podemos representar el conjunto de números Naturales en una recta numérica: La flecha indica el orden creciente, El orden de

los números naturales se representa en la recta numérica.

OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES 1.-SUMA

3 + 5 + 6 =14 sumand Suma o resultado Los términos que intervienen en la operación suma se llaman sumandos. La palabra suma se utiliza para referirse a la operación o al resultado Propiedades de la suma: 1.- La suma es una ley de composición interna, es decir , siempre tiene resultado 2.- La suma es asociativa, es decir , que el resultado no varía si se realizan sumas parciales. 3.- La suma es conmutativa, es decir el orden de los sumandos no altera la suma 4.- El cero es un elemento neutro para la suma a

b

c

2 6 9

3 1 7

5 8 4

Asociatividad (a+b)+c = a+(b+c)

Conmutatividad a + b = b+a

Elemento Neutro a+0 =a

2

2.- MULTIPLICACIÓN La multiplicación se construye a partir de la suma, es una suma particular donde todos los sumandos son iguales

3 + 3 + 3 + 3 = 4.3 = (4)(3) a+a+a=3a Los términos de una multiplicación se llaman FACTORES, el resultado de la multiplicación se llama PRODUCTO. Indique cuáles son los factores y cuál el producto en:

6.5.7.2= Propiedades del producto Complete el cuadro

a

b

c

2 6 9

3 1 7

5 8 4

Asociatividad (ab)c = a(bc)

Conmutatividad ab = ba

Elemento Neutro a.1 = a

3.-LA DIFERENCIA MINUENDO - SUSTRAENDO = DIFERENCIA O RESTA PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA NO es conmutativa PORQUE 3.2 no es igual a 2-3

NO es asociativa 8 – (5 – 2)= 8 – 3 = 5 no es igual a (8-5) – 3= 0 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO A LA DIFERENCIA

3( 6 – 2) = 3.6 - 3.2 3.4 = 18 – 6 12 = 12

3

4.- EL COCIENTE DIVISOR

DIVIDENDO

COCIENTE RESTO

En la división se verifica que: DIVIDENDO = DIVISOR . COCIENTE + RESTO IGUALDADES. ECUACIONES . DESIGUALDADES. INECUACIONES

1.- Toda ecuación está compuesta por dos miembros separados por el signo igual Los miembros de una igualdad pueden conmutarse PRIMER MIEMBRO = SEGUNDO MIEMBRO EJEMPLO 3 + 7 = 10

o bien

10 = 3+7 2.- Se llama IDENTIDAD a toda igualdad en la que figuran incógnitas y que es verdadera para cualquier valor de las variables EJEMPLO: a + b= b+c 3.- Se llama ECUACIÓN a toda igualdad en la que figuran variables y que es verdadera para ciertos valores de la variable EJEMPLO:

3x = 15 x=5 RESOLVER una ecuación significa hallar los valores de la variable que la hacen verdadera DESPEJAR la variable significa trasponer las constantes a uno de los miembros de modo que la variable quede aislada en el otro. La transposición de términos se realiza utilizando la propiedad de los elementos neutros de cada operación y respetando el orden de las operaciones. 4

EJEMPLOS

2x + 4 = 24

2(x + 4) = 24

2x + 4 – 4 = 24 - 4

2(x + 4)]/2 = 24/2

2x = 24 - 4

x = 24/2 x + 4 = 12

(2x) /2 = 20/2

x = 20/2 x = 10

x + 4 – 4 = 12 – 4

x = 12 - 4 x= 8

En el cuadro anterior se ha remarcado los pasos fundamentales. Los pasos intermedios pueden hacerse mentalmente 1) POTENCIACION

BASE

Exponente

= POTENCIA

43=4.4.4=64 41=4 La potenciación es un caso particular de producto: todos los factores son iguales

an = a. a....a

En general:

n veces La base es el número que se multiplica El exponente indica las veces que se multiplica la base

an

se lee a elevado a la ene

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

•

NO ES CONMUTATIVA PORQUE •

34 NO ES IGUAL A 43

Es distributiva respecto a la producto y al cociente

5

Ejemplo: •

(3.2)3=33.32

NO ES DISTRIBUTIVA respecto a la suma y a la diferencia

(3+2)3=53=125 que es distinto a 33+23=9+8=17 PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE: El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de las potencias dadas En símbolos:

an.am= am+n EJEMPLO:

23.24=23+4=27 COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la diferencia entre los exponentes de las potencias dadas En símbolos:

an:am= am-n EJEMPLO:

25:23=25-3=22 EXPONENTE CERO El exponente cero aparece cuando dividimos dos potencias iguales: EJEMPLO:

24:24=24-4=20 Pero, en este caso estamos dividiendo un número por sí mismo 24:24

Luego: 20=1

CONVENCIÓN: Todo número elevado a la cero da por resultado 1 POTENCIA DE POTENCIA

6

La potencia de otra potencia es una potencia de la misma base cuyo exponente es igual al producto de los exponentes dados

(an)m= am.n (24)3= (2)12 DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS Llamaremos número primo a aquel número que es divisible por sí mismo y por la unidad. Los números que no son primos se llaman compuestos Todo número natural puede escribirse como producto de factores primos, diremos que se ha factoreado. Ejemplo: divisore 180 90 45 15 5 1

s 2 2 3 3 5

Luego :

180 = 22325 MULTIPLO COMÚN MINIMO (m.c.m): Dados dos o más números factoreados se llama múltiplo común mínimo al producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente DIVISOR COMÚN MÁXIMO (d.cm): Dados dos o más números factoreados se llama divisor común máximo al producto de los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo: Sea hallar el m.c.m y d.c.m de 180, 150 y 60 Descomponiendo esos números en sus factores primos resulta:

180 = 22325 7

300 = 22.3.52 120 = 23.3.5 Luego:

mcm (180,150,60 )= 23.32.52 = 600 dcm (180,150,120) = 22.3.5 = 60 2) RADICACIÓN La radicación es una operación inversa a la potenciación

Raíz quinta de 32

En

Se lee raíz cuadrada de 4

4 = 2 porque 2 2 = 4

n

5

32 = 2 porque 2 5 = 32

a = x ⇔ xn = a

general: PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

4.9 = 4 9

25 − 9 = 5 − 3 = 2 25 − 9 = 16 = 4

•

No es conmutativa

•

Es distributiva respecto al producto y al cociente

•

NO es distributiva ni asociativa respecto de la suma y de la resta

LOGARITMOS Si pretendemos resolver la ecuación 3 x = 81 nos encontramos conque no existe ninguna operación, de las que conocemos, que nos permita despejar la incógnita. Ello hace necesario la definición de una nueva operación, la LOGARITMACIÓN Introducción a la definición

8

4≠42

En el ejemplo anterior, el valor de equis es 4. Es decir, que la nueva operación determina exponentes El logaritmo de 81 en base 3 es el exponente 4, es decir, 4 es el número al que hay que elevar la base 3 para obtener 81 Escribimos:

log 3 81 = 4 ⇔ 34 = 81 Conjunto de Números enteros 1.- Necesidad de su creación Ecuaciones del tipo x+5=3 no tienen solución en el conjunto de Números Naturales Esto generó la necesidad de crear un conjunto de números que diera solución a la operaciones similares al 3-5. El conjunto y el cero.

Z de números enteros está formado por los números positivos, los negativos -3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

Llamaremos

Z =Z

+

Z

−

Z − = {.....,−2,−1} { 0} siendo  + Z = { + 1,+2,...}

2.- Módulo de un entero (valor absoluto) El módulo de un número es la distancia al cero . La distancia es un número positivo

−2 =2

Se lee módulo de –2 es igual a 2 y significa, la distancia al cero de –2 es igual a dos

3.NUMEROS OPUESTOS

+7 =7

Se lee: módulo de 7 es igual a 7, o sea la distancia al cero de 7 es 7

Dos enteros distintos son tienen el

opuestos si mismo módulo

− 2 ≠ +2 pero - 2 = + 2 La expresión

-x

se lee el opuesto de un número 9

Sabemos que: el opuesto de +2 es –2; el opuesto de –6 es +6, aplicando la expresión que define el opuesto en lenguaje simbólico resulta:

x = +2 ⇔ − x = −( + 2 ) = −2 x = −6 ⇔ − x = −( − 6 ) = +6 A = { x ∈ Z / − 3 ≤ x ≤ 2}

B = { x ∈ Z / x = 4}

C = { x ∈ Z / − ( − x ) = 2} D = { x ∈ Z / x ≤ 4}

4.- ORDEN EN EL CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS En la recta numérica, (ver página anterior) la flecha indica el orden creciente. Ese orden debe mantenerse al agregar los números negativos Diremos que:    

Dados dos números positivos, es mayor el de mayor valor positivo Dados dos números negativos es mayor el de menor valor absoluto Todo número positivo es mayor que cero Todo número negativo es menor que cero 5.-OPERACIONES EN EL

CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS

Lo pensamos así: los positivos son dinero que tengo, los negativos dinero que debo. Cuando comparo dos números el mayor es el que responde a la pregunta ¿Cuándo soy más rico?

Dada la correspondencia entre los números naturales y los números positivos al definir las operaciones no pueden contradecirse las definiciones ni las propiedades de ellas sino que deben ampliarse A.- SUMA ALGEBRAICA: 1.1.-Para definir la suma debemos tener en cuenta que se debe verificar la igualdad

( + 5) + ( + 7 ) = 5 + 7 = 12

Lo pensamos como tengo $5 y le agrego $7

+ ( x) = x

x = +3 ⇔ + ( + 3 ) = +3

x = −5 ⇔ + ( − 5 ) = −5 Cuando SUMO siempre, + 5 + − 7 = +5 − 7 = −2 quito primero el 10 − 5 +que+ indica 7 = −la5 + 7 = +2 paréntesis suma−y5 pienso + − 7en debo = −5y− 7 = −12

( ( (

) ( ) ( ) (

) ) )

1.2.- Resta o diferencia Recordemos que:

− ( x) = −x   ⇔ −( x ) = + ( − x ) + ( − x ) = − x RESTAR ES SUMAR EL OPUESTO B.- PRODUCTO DE NUMEROS ENTEROS Por la correspondencia entre los números naturales y los positivos sabemos que Multiplicar dos por cinco significa sumar dos veces el cinco.

( + 2)( + 5) = 10

Teniendo en cuenta esta definición de producto y que la multiplicación es conmutativa podemos calcular

( + 2)( − 5) = −5 − 5 = −10 ( − 2)( + 5) = ( + 5)( − 2) = −10 Pero nos falta encontrar un significado para el producto de dos números negativos:

( − 2)( − 5) = [ − ( + 2) ]( − 5) = −[ ( + 2)( − 5) ] = −[ − 10] = +10 Sobre la base de estas deducciones concluímos: REGLA:  El producto de dos números enteros del mismo signo es positivo  El producto de dos enteros de distinto signo es negativo C.- COCIENTE DE NÚMEROS ENTEROS La división es la operación inversa a la multiplicación. Ud. sabe que, por ejemplo, 14 dividido 7 es 2 porque 2 por 7 es igual a catorce. Entonces está en condiciones de realizar las siguientes divisiones

11

( + 16) : ( + 2) = +8 ( − 16) : ( + 2) = ( + 16) : ( − 2) = ( − 16) : ( − 2) =

porque

( + 8)( + 2) = 16

APLICACIONES 1) FACTOR COMÚN El cálculo del factor común es la inversa de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto al producto.

6 x 2 + 9 x 3 + 12 xy = 3 x( 2 x + 3 x 2 + 4 y ) 9 x − 5 x + 2 x = x( 9 − 5 + 2) = 2 x Dada una suma para calcular el factor común se procede así:  Se determina el d.c.m , llamado factor común, de los sumandos  Se divide cada sumando por el factor común, obteniéndose los nuevos sumandos  El resultado es el producto del factor común por la suma de los nuevos sumandos obtenidos en el paso anterior. PROPIEDAD DEL PRODUCTO IGUAL A CERO Si el producto de varios números es igual a cero entonces alguno de los factores es igual a cero. En símbolos: PRODUCTO DE LA SUMA DE DOS NÚMEROS POR SU DIFERENCIA

abc = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 ∨ c = 0

El producto de dos números por su diferencia es igual al a la diferencia entre los cuadrados de dichos números 2 2

( x + y )( x − y ) = x

−y

D) POTENCIACION EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS La definción de potencia es la misma que en los números naturales, veamos:

( − 3) 2 = ( − 3)( − 3) = +6 ( − 2) 3 = ( − 2)( − 2)( − 2) = −8 ( + 3) 2 = +9 ( + 2) 3 = +8

Hay un solo caso de potencia en que el resultado es negativo: Cuando la base es negativa y el exponente

12

E.- RADICACIÓNLa radicación es la operación inversa a la potenciación:

( + 2 ) 2 = +4 porque ( − 2 ) 2 = +4

+ 2 +4 = − 2 5

No se pueden calcular las raíces pares de números

porque ( − 2) = −32

− 32 = −2

3

− 16 ∉ Z Conjunto de Números Racionales

FRACCIONES – NUMEROS RACIONALES La ecuación: 2x=5 no tiene solución en el conjunto de números enteros. Aplicando las reglas de resolución de ecuaciones resulta:

2x = 5 5 x= 2

El resultado obtenido es una fracción: el cociente indicado de dos números enteros. Llamamos:

numerador denominador

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS RACIONALES CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES

1.- Son FRACCIONES EQUIVALENTES las que representan el mismo punto en la recta numérica. EJEMPLO:

1 2

=

2 4

=

5 10

2.- Son fracciones irreductibles aquellas cuyo numerador y denominador son números coprimos, es decir no tienen divisores comunes. EJEMPLO:

5 8 6 ; ; 7 9 5 13

3.- Son fracciones aparentes aquellas cuyo numerador es múltiplo del denominador. Son números enteros

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES 1.- SUMA DE FRACCIONES Para sumar fracciones es necesario que tengan el mismo denominador. Para reducir fracciones a común denominador se procede así:  Se determina el m.c.m. de los denominadores de las fracciones. Sumandos  Se calculan las fracciones equivalentes con ese denominador de cada sumando

a) b)

2 5

+

7 5

=

9 5

5 8 7 75 96 28 199 + + = + + = 4 5 15 60 60 60 60

EJEMPLOS: 2.- PRODUCTO DE FRACCIONES El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de los factores, y cuyo denominador es el producto de los denominadores de los factores

EJEMPLO 4 6 24 4 . = = 3 14 42 7 3.- INVERSO MULTIPLICATIVO El inverso multiplicativo de una fracción es otra fracción tal que multiplicada por la primera da por resultado 1

El inverso multiplicativo de

8 7

es

7 8

porque

8 7 . =1 7 8

4.- COCIENTE ENTRE DOS FRACCIONES El cociente entre dos fracciones es igual al producto entre el dividendo y el inverso multiplicativo del divisor.

8 6 8 6 . . 8 7 3 7 3 7 8 6 48 16 : = = = . = = 3 6 7 6 1 3 7 21 7 . 6 7 5.- POTENCIACION Y RADICACIÓN DE FRACCIONES EJEMPLO:

14

2 22 4 2 = =   2 9 3 3

25 = 36

y

25 36

=

5 6

POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO Sabemos que al dividir dos potencias de igual base se obtiene otra potencia de la misma base, cuyo exponente es igual a la diferencia entre las potencias dadas. Veamos este caso donde, de la aplicación de la regla resulta un exponente negativo

3 2 : 3 6 = 3 2−6 = 3 −4 Analicemos el significado de esta expresión tratando de resolver el ejercicio:

32 : 36 =

32 36

=

32 32 34

=

1 =  34  3 

4

1 =   3

4

1

Resulta entonces que:

3

−4

NÚMEROS COMPLEJOS 1. LA UNIDAD IMAGINARIA Ecuaciones del tipo x 2 + 1 = 0 no tienen solución en el conjunto de Números Reales, entonces, si x = −1 existe NO ES UN NÚMERO REAL DEFINICIÓN: La raíz cuadrada de -1 es la unidad imaginaria −1 = i 2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS IMAGINARIOS La recta numérica queda cubierta con los Números Reales, por lo tanto, para representar a los números Imaginarios, debemos tomar otro eje, en la segunda dimensión Consideramos entonces un par de ejes cartesianos ortogonales, a cada punto del eje de abscisas le corresponde un número Real a cada punto del eje de ordenadas le corresponde un número imaginario, luego, podemos escribir (1,0) = 1

(0,1) =i

En general: 15

A todo número real a le corresponde el par (a, 0) A todo número imaginario b le corresponde (0,b) Recordemos que todo par ordenado representa también al vector con cuyo origen es el origen de coordenadas. Consideremos los puntos (a,0) y (0,b), es posible hallar la suma de los vectores,

(a, 0) + (0,b) = (a;b) b

(a;b) esta correspondencia, exige la definición de un nuevo conjunto de números, a

Los Números Complejos

Fig. 1 3. Los Números Complejos DEFINICIÓN: (a,b) es un número complejo, donde a es la parte real y b es el coeficiente de la parte imaginaria Parte real

(a,b) Parte imaginaria

En consecuencia: A todo punto del plano le corresponde un número complejo y recíprocamente 4. FORMA BINÓMICA DE UN COMPLEJO Todo complejo (a,b) puede expresarse como la suma de la componente real y la componente imaginaria: a + b i 5. MODULO DE UN COMPLEJO z, z El módulo de un complejo es la distancia del punto al origen de coordenadas. Se calcula utilizando el teorema de Pitágoras

z = a + bi ⇔ z = a 2 + b 2 6 .-COMPLEJO CONJUGADO o CONJUGADO DE UN COMPLEJO Dado un complejo z se llama conjugado de z al complejo simétrico respecto del eje x. Los conjugados tienen iguales sus partes reales y opuestas las partes imaginarias −

z = a + bi ⇔ z = a − bi

16

7. SUMA ALGEBRAICA. PRODUCTO DE COMPLEJOS Expresando los números complejos en forma binómica es posible inferir fácilmente la suma y el producto, ya que tienen la misma estructura que la suma y el producto de dos binomios reales

z1 = a + bi y z 2 = c + di definimos : z1 + z 2 = (a + c) + (b + d )i z1. z 2 = (ac − bd ) + (bc + ad )i

17