Conicas

CONICAS 1. SEAN LAS RECTAS: L1:6x+8y-113=0; L2:6x+8y-23=0. SON LAS DIRECTRICES DE UNA ELIPSE ε QUE PASA POR EL PUNTO (395;325) Y QUE TIENE SU CENTRO EN h;4. A) CALCULAR LA ECUACION VECTORIAL DE LA ELIPSE. B) CALCULAR LOS VERTICES Y FOCOS. Solución: De la recta: L1:6x+8y-113=0 ⟹ μ⊥35;45 μ45;-35 ………………….. 395;325-h;4.μ=x' 395-h;325-205.45;-35=x' 15625-3625-45h=x' 245-45h=x' Haciendo: x'=0 245=45h ⟹ h=6 ∴ C=(6;4)

X’ Y’

V2 F2

x=a2c

C (6; 4) F1

V1 Ahora: dc;L1=66+84-113100=a2c -4510=a2c ⟹ 92=a2c ⟹ a=3 ∧ c=2 ∴b=5 ∴ ε:PP=6;4+x'45;-35+y'35;45; x'29+y'25=1 Vertices y focos en coordenadas xy: V0=C±aμ F0=C±cμ V0=6;4±345;-35 V0=6;4±245;-35 V1425;115 y V2185;295 F1385;145 y F2225;265

2. LA CUERDA DE UNA ELIPSE: ε:PP=P0+x'μ+y'μ⊥; x'2a2+y'2b2=1 QUE PASA POR EL FOCO Y ES PRPENDICULAR AL EJE FOCAL ES LLAMADO LADO RECTO. DEMUESTRE QUE LA LONGITUD DEL LADO RECTO ES: 2b2a Solución: De la cónica: LR=2hhhh

Y’

P0 ℮=dP0;FdP0;L=h(ce)-(a.e) h=a-a.e2 h=(a2-a2.e2)a → a2.e2=c2 h=(a2-c2)a → hh=b2a ⟹LR=2b2a

b

h c a

X’

F

3. LA ECUACION DE LA RECTA QUECONTIENE AL LADO RECTO DE L2 UNA ELIPSE ESTA DADA POR: L=PP=5;17+s-1;1 SI SU CENTRO ES (7;9)Y EL SEMIEJE MENOR MIDE 34. a) HALLAR LA ECUACION VECTORIAL DE LA ELIPSE b) LAS COORDENADAS DE LOS VERTICES Y LO FOCOS c) LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS QUE CONTIENEN LOS RADIOS VECTORES QUE PASAN POR EL EXTREMO SUPERIOR DEL EJE MENOR. Solución: Se tiene: b=34 μ=12;12 μ⊥=-12;12 De las rectas se tiene: P1=5;17+s-1;1 P1=5-s;17+s……I P2=7;9+r1;1 P2=7+r;9+r……II F1=L1∩L2 osea: P1=P2 5-s=7+r ∧ 17+s=9+r s=-5 t=3 ∴ F1=10;12

X’

B2 Y’

V2

B1 F2

L1

C (6; 4) F1

V1

La distancia del centro al foco: c=CF=32+32=32 ∴ c=32 Como: a2=b2+c2 a2=342+322 ∴ a=213 La ecuación de la elipse es: ε=PP=7;9+x'12;12+y'-12;12; x'252+y'234=1 Vertices y Focos: V0=7;9±21312;12 → V1=7+2132;9+2132V2=7-2132;9-2132 F0=7;9±3212;12 → F1=10;12F2=4;6 Ecuaciones de las rectas

que contienen a los radios vectores en B1 →B1=7;9+3412;12 B1=7+17;9+34 F1B1=7+17;9+34-10;12 F1B2=7+17;9+34-4;6 F1B1=17-3;17+21 F1B2=17+31;1 ∴ Las ecuaciones son: L1=PP=10;12+r17-3;17+21 L2=PP=4;6+t1;1

4. LA CIRCUNFERENCIA x-52+y-12=225 ESTA CIRCUNSCRITA EN UNA ELIPSE E DE EXCENTRICIDAD e=223 Y QUE PASA POR EL PUTO 513+3013;13+4513 a) HALLAR LA ECUACION VECTORIAL DE LA ELIPSE b) HALLAR LAS ECUACIONES DE LAS DIRECTRICES EN EL SISTEMA X’Y’. Solución: Del problema se tiene: x-52+y-12=225 r=15 P=513+3013;13+4513 e=223 F0=(5;1) Se ve que P∈C → μ=3013;4513=113(2;3) Q=F0-152;3 Q=5;1-30;45 Q=-25;44 Como: a=15 y la excentricidad e=223 → c=102 b=5 ∴ ε=PP=5;1+x'2;3+y'-3;2; x'2225+y'225=1 Las directrices: L0= F0±ae+tμ⊥ ∴ L1=5+452213;1+13543013+r-3;2 ∴ L1=5-452213;1-13543013+r-3;2

5. SEA E LA ELIPSE CUYOS VERTICES SON (4-2;4-2), (4+2;4+2) Y DE EXCENTRICIDAD e=63. HALLAR LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS L1 Y L2 TANGENTES A LA ELIPSE Y QUE PASAN POR (2;6) . Solución: Del problema se tiene: V1=4-2;4-2, V2=4+2;4+2 e=63=ca → F0=V1+V22=4;4 Pero: a=F0V1=4 →c=423 y b=43 →Se tiene: μ=12;12 F0=4;4 en el sistema x'y' Entonces:P2;6 → P'=(0;22)

∴ ε: x'216+y'216=1 L1:y'=mx'+b → y'=mx'+22…….(I) Ien la ecuación anterior se tiene: x'2+( mx'+22)2=16 1+3m2x'2+122mx'+8=0 Pero como: ∆=b2-4ac=0 → 122m2-1+3m28=0 ∴ m=±16 Entonces como; x'=x;y-F0.μ y'=x;y-F0.μ⊥ se tiene: LT: y'=16x'+22 → 2+23x+2-23y+8(2-3)=0 LT: y'=-16x'+22 → 2-23x+2+23y+8(2+3)=0

6. LOS EXTREMOS DEL EJE MENOR DE LA ELIPSE E SON LOS PUNTOS P(2;14) Y Q(14;-2) Y LA RECTA TANGENTE A E EN P0ϵE ES L1=PP=t-1;-32-18t,tϵR ENCONTRA LA ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA TANGENTE Y LA ECUACION VECTORIAL DE LA ELPSE. Solución: Se sabe que: B1-B2=2b, →b=10 Centro=(8;6) μ=B1-B2B1-B2=(4;3)5 De L1=PP=t-1;-32-18t,tϵR se tiene: L1=PP=-1;-32+t1;-18,tϵR →En el sistema x'y'se tiene: P=8;6+x'45;35+y'-35;45 Pero:-1;-32 en el sist.x'y' es -30;-35 y 1;-18 en el sist.x'y' es -52;3 ∴ L'=-30;-35+r2;3 ∴ ε=PP=8;6+x'45;35+y'-35;45; x'24003+y'2100=1

7. HALLAR LA VECTORIAL DE DIRECTRIZ Y=8 Solución: Se tiene Q7;8 V=7;3 y μ=0;P=FV=0;5=52 Escriba aquí la

ECUACION LA PARABOLA CON Y FOCO (7;-2)

∴ P=PP=7;3+x'0;-

1+y'1;0; x'=y'220

V=Q+F2 1 →P=5 ecuación.

Q7;8

F=(7;-2)

y'

8. SEA LA ECUACION DE LA PARABOLA TENIENDO COMO EJE, AL EJE x' X Y CON VERTICE EN EL ORIGEN. a) HALLAR LA ECUACION DE LA RECTA SECANTE QUE PASA PORx1;y1 y LT x2;y2 b) HALLAR LA ECUACION DE LA RECTA TANGENTE QUE PASA POR x1;y1. Solucion: Px1;y1 x=y24p → y=4px → y1=4px1 L → y2=4px2 ∴ Ls=PP=x1;y1+rx1-x2;y1-y2 ∴ Ls=PP=x1;y1+rx1-x2;4px1-4px2;r∈R LT: yy1=4p2x+x0 ∴ En el punto x1;y1 → LT: yy1=2px+x1

x'

Qx2;y2

9. POR EL PUNTO (2;7) SE TRAZA LA TANGENTE A LA ELIPSE 2x2+y2+2x3y-2=0 HALLAR LA ECUACION VECTORIAL DE LA PARABOLA, LA ECUACION DE LA RECTA TANGENTE Y LOS PUNTOS DE TANGENCIA. Solucion: De la ecuacion: 2x2+y2+2x-3y-2=0 se tiene; x+122198+y-322194=1 ∴ ε=PP=-12;32+x'0;1+y'-1;0; x'2198+y'2194=1 a2=198 ; b2=194 ; c=1922 ; μ=0;1 y μ⊥=-1;0 Como: V0=C±aμ F0=C±cμ B0=C±bμ⊥ Por lo tanto se tiene: V1=-0.5;3.68 V2=-0.5;0.68 F1=-0.5;3.04 F2=-0.5;0.04 B1=1.04;1.5 B2=-2.04;1.5 Ahora se tienen las rectas tangentes a la elipse: LT: y-ky0-ka2+x-hx0-hb2=1 LT: y-327-32198+x+122+12194=1 20x+22y-52=0 → x=26-11y10 Al trazar una recta por los puntos de tangencia secantese tiene: Reemplazando Ien II 826-11y219100+4y219=1 y=1144±11442—8773422342 Los puntos de tangencia. y1=3.98 x1=-1.77 y2=-0.57 x2=1.97 Por ende las rectas tangentes: LT1=PP=2;7+r-0.23;-3.02 LT2=PP=2;7+r-0.03;-7.57

10.LA CUERDA DE UNA PARABOLA QUE PASA POR EL FOCO Y QUE ES PERPENDICULAR AL EJE FOCAL SE LLAMA LADO RECTO. DEMUESTRE QUE LA LONGITUD DEL LADO RECTOES 4p Se sabe que: dP1;L=dP1;F=2p →2p=P1F Tambien: LR=P1P2 P1P2=2P1F Por lo tanto: LR=22p LR=4p

y'

P1x1;y1

2p 2p v

x'

P2x2;y2 L

11.EL LADO RECTO DE UNA PARABOLA ES PARALELO A LA RECTA: L1=PP=7;0+s(4;-3) Y LAS COMPONENTES DE LVECTOR DIRECCION DEL EJE FOCAL DE LA PARABOLA SON NEGATIVOS. HALLAR LA ECUACION VECTORIAL DE LA PARABOLA Y LA ECUACION DE SU DIRECTRIZ SI SE SABE QUE PASA POR -9;12 y 7;0 . Solucion: LR ∕∕L1=7;0+s4;-3 μLR=4;-35 μLR=μ⊥→ μ=-3;-45 De los puntos:M=-9;12 y N=7;0 se tiene: F=M+N2 F=-1;6 4p=MN=7;0--9;12=20 ∴p=5 El vertice. V=F-Pμ V=-1;6+3;4 V=2;10 ∴ P=PP=2;10+x'-3;-45+y'4;-35; x'=y'220