Cong Thuc Xstk- Cq

Mét sè c«ng thøc phÇn x¸c suÊt X¸c suÊt cña biÕn cè:

I.

P(A) =

*

m(A) n(A)

P(B)+P(C) kh¾c * A=B+C ⇒ P(A)=P(B+C) =

nÕu B vµ C lµ xung

P(B)+P(C)-P(B.C) nÕu B vµ C lµ

kh«ng xung kh¾c P(B).P(C) nÕu B vµ C lµ ®éc lËp A=B.C ⇒ P(A)=P(B.C) =

P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) nÕu B vµ C lµ kh«ng

®éc lËp * A A ...A = A + A +...+ A * A + A + ...A = A . A ...A * P(A)+ P(A) =1 • C«ng thøc Bernoulli: 1

2

1

• •

n

1

2

n

2

1

n

2

n

Pn( x) = Cnxpx ( 1− p)

C«ng thøc Bayes:

,

x = 0,1,2,…,n

n

P(A)= ∑P(Hi )P(A/Hi )

C«ng thøc X¸c suÊt ®Çy ®ñ: P(Hi/A)=

n− x

i =1

P(Hi )P(Hi/A) P(Hi )P(Hi/A) = n P(A) ∑ P(Hi )P(Hi/A) i=1

II.

BiÕn ngÉu nhiªn vµ quy luËt ph©n phèi x¸c suÊt: 1. C¸c tham sè ®Æc trng:

n ∑ xipi nÕu X lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c i=1

E(X) =

+ ∞

∫

nÕu X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc

xf(x)

−∞

n

∑x i =1

2 i

p i nÕu X lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c

E(X2) = + ∞

∫

−∞

V(X)= E ( X − E ( X ) ) σ( X ) = V ( X )

x 2 f ( x) 2

nÕu X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc

= E( X 2 ) − ( E( X )) 2

2. Mét sè quy luËt ph©n phèi x¸c suÊt th«ng dông:

♦X∼ A(P) ⇒ X Phạm Hương Huyền-TKT P

0 1-p p

1 1

∀ i = 1,2,.., n

x = 0;1 * P( X = x ) = p x (1 − p ) 1−x * E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ; σ( X ) = p(1 − p) ♦ X∼ B(n,p) ⇒ X 0 1 … x … 0 0 n −0 1 1 n −1 x x n −x Cn p q … Cn p q P Cn p q …

n

C nn p n q 0

( q=1-p )

x = 0,1,..., n * P( X = x ) = C nx p x (1 − p ) n − x * E(X)=np ; V(X)=npq ; σ( X ) =

npq

x0 ∈ N

* Mèt cña X∼ B(n,p): x0 = ♦ X∼ P(λ ) ⇒ *

P( X = x) = Cnx p x (1 − p )

n −x

≈

λx e −λ

np + p − 1 ≤ x0 ≤ np + p

;

x!

x=0,1,2,…

( n kh¸ lín, p kh¸ nhá; λ =np ) * E(X)=V(X)=λ ; σ ( X ) = λ * Mèt cña X∼ P(λ ): λ − 1 ≤ x0 ≤ λ ; x0∈N ♦ X∼ N(µ ,σ 2)

⇒ f(x=) * E(X)=µ * * * *

1 e 2∏

−

;

( x− μ) 2 2σ2

(σ >0)

V(X)=σ

2

; σ (X)=σ

b −µ  a−µ P ( a < X < b) = Φ 0   − Φ0    σ   σ  b−µ  P(Xa) ≈ 0,5 − Φ 0  σ    ε  P ( X − µ < ε ) = 2Φ 0   σ 

• Gi¸ trÞ tíi h¹n chuÈn: * §Þnh nghÜa: P( U > U α ) = α , U = − U ; U = 1 , 96 α 0 , 025 * Chó ý: 1−α • Gi¸ trÞ tíi h¹n Student: * §Þnh nghÜa: P( T > Tα( n ) ) = α ,

U∼ N(),1) ; U 0, 05 = 1,645

T1(−nα) = −Tα( n ) ; Tα( n ) ≈ U α * Chó ý: • Gi¸ trÞ tíi h¹n Khi b×nh ph¬ng: * §Þnh nghÜa: P( χ 2 > χ α2( n ) ) = α , • Gi¸ trÞ tíi h¹n Fisher- Snedecor:

Phạm Hương Huyền-TKT

2

T∼ T(n) víi

n ≥ 30

χ 2∼ χ 2(n)

(

* Chó ý:

)

P F > Fα( n1 ,n2 ) = α

* §Þnh nghÜa:

Fα( n1 ,n2 ) =

F ∼ F(n1,n2)

,

1

( n2 , n1 )

F1−α

III. BiÕn ngÉu nhiªn hai chiÒu rêi r¹c X

x1

….

x2

….

xi

xn

Tæng

P(xn,y1) P(xn,y2) …. P(xn,yj) ….. P(xn,ym) P(X=xn)

P(Y=y1) P(Y=y2) …. P(Y=yj) …. P(Y=ym) 1

Y y1 y2

… yj

…. ym

P(x1,y1) P(x1,y2) …. P(x1,yj) …. P(x1,ym) P(X=x1)

Tæng • P ( xi , y j ) = P ( X •

…. ….. … …. …. …. …

= xi , Y = y j )

P ( X = xi ) = ∑ P ( xi , y j ) m

j =1

• P ( ( X = xi ) / (Y = y j ) ) = •

P(x2,y1) P(x2,y2) …. P(x2,yj) …. P(x2,ym) P(X=x2)

P(xi,y1) P(xi,y2) … P(xi,yj) …. P(xi,ym) P(X=xi)

…. ….. … …… …. ….. ….

P (Y = y j ) = ∑ P ( x i , y j ) n

;

i =1

P ( X = xi , Y = y j ) P (Y = y j )

µXY = Cov ( X , Y ) = E ( ( ( X − E ( X ) )( (Y − E (Y ) ) ) = ∑∑ xi y j P ( xi , y j ) − E ( X ) E (Y ) n

m

i =1 j =1

µ

XY • ρ XY = σ ( X )σ ( Y ) • V ( aX + bY ) = a 2V ( X ) + b 2V (Y ) + 2abCov

( X ,Y )

III. Mét sè quy luËt sè lín: • BÊt ®¼ng thøc TrªbsÐp: X bÊt kú; E(X), V(X) h÷u h¹n; ε >0 P( X − E ( X ) < ε ) ≥ 1 −

V (X ) ε2

⇔

P( X − E ( X ) ≥ ε ) ≤

V (X ) ε2

• §Þnh lý TrªbsÐp: X1, X2,…, Xn ®éc lËp tõng ®«i; E(Xi), V(Xi) h÷u h¹n ∀i=1,2,…,n; ε >0 1 n  1 n Lim P ∑ X i − ∑ E ( X i ) < ε  = 1 n →∞ n i =1  n i =1 

• §Þnh lý Bernoulli: f lµ tÇn suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A trong lîc ®å Bernoulli víi 2 tham sè n, p Lim P ( f − p < ε ) = 1 ε > 0 , ta cã n →∞ B.

Mét sè c«ng thøc trong phÇn Thèng kª to¸n

Phạm Hương Huyền-TKT

3

I. Mét sè c«ng thøc trªn mÉu: x=

1 k 1 k 2 n x ; x = ∑ ii ∑ ni xi2 n i =1 n i =1

()

; Ms = x 2 − x

2

n 1 k Ms ; s *2 = ∑ ni ( xi − µ ) 2 n −1 n i =1

s=

*

TÇn suÊt mÉu f lµ h×nh ¶nh cña tham sè p trong tæng thÓ ë trªn mÉu.

*

Tæng thÓ : X∼

*

Tæng thÓ X∼ A(p) ⇒ f ∼

N ( µ, σ

2

)

 σ2  N X ∼  µ, n  pq   N  p,  ⇒ n  

⇒

   

⇒

( )

E X =µ

( )

, V X =

E( f ) = p , V ( f ) =

σ2 n

pq n

( khi n ®ñ lín).

II. Mét sè c«ng thøc vÒ íc lîng: 1. Ưíc lîng gi¸ trÞ tham sè µ trong quy luËt N ( µ, σ 2 ) Trêng hîp ®· biÕt Trêng hîp cha biÕt σ 2 (thêng gÆp)

C« σ 2 ng thøc KTC ®èi xøng KTC íc lîng

x−

σ σ Uα < µ < x + Uα n 2 n 2

µ< x+

σ n

µ>x−

σ n

x−

s n

Tα( n −1) < µ < x + 2

Uα

µ< x +

Uα

µ >

µmax

KTC íc lîng

n ≤30

(Ýt gÆp)

x−

n>30 s n

Tα( n −1)

x−

2

s n

Uα < µ < x + 2

s Tα( n −1) n

µ <

x+

s Uα n

s Tα( n −1) n

µ >

x−

s Uα n

µmin

C«ng thøc x¸c ®Þn h kÝch

n*

≥

4σ 2 2 Uα / 2 I 02

Phạm Hương Huyền-TKT

n*

≥

4s 2 (Tα( n/ −21) ) 2 I 02

4

n*

≥

4s 2 2 Uα / 2 I 02

s n

Uα 2

thíc mÉu míi (n*) sao cho: Gi÷ nguyªn ®é tin cËy (1-α ) vµ muèn ®é dµi kho¶ng tin cËy ®èi xøng I I0

≤

ε

Chó ý :

I 2

=

2. Ưíc lîng gi¸ trÞ tham sè p trong quy luËt A(p)

KTC ®èi xøng KTC íc lîng

KTC íc lîng

f (1 − f )

f −

Uα < p < f +

n

p max

2

p>f −

C«ng thøc x¸c ®Þnh kÝch thíc mÉu míi (n*) sao cho: Gi÷ nguyªn ®é tin cËy (1-α ) vµ muèn ®é dµi kho¶ng tin cËy ®èi xøng I ≤ I0

n* ≥

n

Uα 2

f (1 − f ) Uα n

p
p min

f (1 − f )

f (1 − f ) n

Uα

4 f (1 − f ) 2 Uα / 2 I 02

Chó ý :

ε

=

I 2

Chó ý:

NÕu P=

M N

th× cã thÓ íc lîng M qua P vµ N (quan hÖ M vµ P lµ thuËn

chiÒu), cã thÓ íc lîng N qua P lµ M (quan hÖ N vµ P lµ ngîc chiÒu). 3. Ưíc lîng gi¸ trÞ tham sè σ 2 trong quy luËt N(μ,σ2) C«ng thøc Trêng hîp ®· biÕt µ Trêng hîp cha biÕt µ (Ýt gÆp) (thêng gÆp) KTC hai phÝa KTC íc lîng

σ 2 max

( n − 1) s 2 ( n − 1) s 2 2 < σ < χ α2 (/n2−1) χ 2 ( αn −1)

n s *2 n s *2 2 < σ < χα2(/n2) χ 2 ( αn ) 1−

σ2 <

Phạm Hương Huyền-TKT

1−

2

ns*2 χ12−(αn )

σ2 <

5

(n − 1) s 2 χ12−(αn−1)

2

KTC íc lîng

σ 2 min III.

σ2 >

(n − 1) s 2 σ > χ α2( n−1)

ns *2 χ α2( n )

2

Mét sè c«ng thøc vÒ kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª

♦KiÓm ®Þnh vÒ tham sè cña quy luËt ph©n phèi gèc 1. Bµi to¸n kiÓm ®Þnh vÒ tham sè µ trong quy luËt N ( µ, σ 2 ) : a. Bµi to¸n so s¸nh µ víi gi¸ trÞ thùc cho tríc µ0 Trêng hîp σ 2 ®· biÕt (Ýt gÆp) CÆp gi¶ thuyÕt cÇn MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 kiÓm ®Þnh  H0: µ = µ0 ( x − µ0 ) n ; U > U   Wα = U = α µ > µ σ H1 : 0     µ = µ  H0: 0 ( x − µ0 ) n ; U < −U   Wα = U = α µ < µ σ H1: 0     µ = µ  H0: 0 ( x − µ0 ) n ; U > U   Wα = U = α/2 σ H1: µ ≠ µ0     2 Trêng hîp σ cha biÕt (thêng gÆp) CÆp gi¶ MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 thuyÕt cÇn Trêng hîp n ≤30 Trêng hîp n>30 kiÓm ®Þnh   H0: µ = µ0 ( x − µ0 ) n ; T > T ( n−1)  ( x − µ0 ) n ; U > U    Wα = T = Wα = U = α α s s H1: µ > µ0         H0: H1: H0: H1:

µ = µ0 µ < µ0 µ = µ0 µ ≠ µ0

(

)

(

)

 x − µ0  Wα = T = s    x − µ0  Wα = T = s  

  ; T < −Tα( n −1)     n ) ; T > Tα( n/ −1 2   

(

)

(

)

 x − µ0  Wα = U = s    x − µ0  Wα = U = s  

n

  ;U < −U α     n  ; U > Uα / 2   

n

b. Bµi to¸n so s¸nh hai tham sè µ1 víi µ2 cña 2 quy luËt ph©n phèi chuÈn Trêng hîp σ 12 , σ 22 ®· biÕt (Ýt gÆp) CÆp gi¶ thuyÕt cÇn MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 kiÓm ®Þnh   H0: µ1 = µ2   x −x   H1: µ1 > µ2 Wα = U = ; U >U α  1

σ12

  

Phạm Hương Huyền-TKT

n1

6

2

+

σ 22 n2

  

H0: H1:

µ1 = µ2 µ1 < µ2

H0: H1:

µ1 = µ 2 µ1 ≠ µ 2

   Wα = U =       Wα = U =   

   ; U < −U α        ; U >U α / 2    

x1 − x 2

σ12 n1

+

σ22 n2

x1 − x 2

σ12 n1

+

σ22 n2

Trêng hîp σ , σ cha biÕt; n1 ≥ 30 , n2 ≥ 30 (thêng gÆp) CÆp gi¶ thuyÕt cÇn MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 kiÓm ®Þnh 2 1

2 2

   Wα = U =       Wα = U =       Wα = U =   

H0: µ1 = µ2 H1: µ1 > µ2 H0: H1:

µ1 = µ2 µ1 < µ2

H0: H1:

µ1 = µ 2 µ1 ≠ µ 2

CÆp gi¶ thuyÕt cÇn kiÓm ®Þnh

Trêng hîp σ 12 , σ 22 cha biÕt MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0

H0: µ1 = µ2 H1: µ1 > µ2 H0: H1:

µ1 = µ2 µ1 < µ2

H0: H1:

µ1 = µ 2 µ1 ≠ µ 2

( n1 − 1)( n2 − 1) k= ( n2 − 1) c 2 + ( n1 − 1)(1 − c ) 2 Phạm Hương Huyền-TKT

  x1 − x 2  ; U >U α  2 2 s1 s  + 2  n1 n2    x1 − x 2  ; U < −U α  s12 s 22  +  n1 n2    x1 − x 2  ; U >U α / 2  2 2 s1 s  + 2  n1 n2 

   Wα = T =       Wα = T =       Wα = T =   

  x1 − x 2  ; T > Tα( k )  s12 s 22  +  n1 n2    x1 − x 2 (k )  ; T < −Tα  s12 s2  + 2  n1 n2    x1 − x 2  ; T > Tα( k/ 2)  2 2 s1 s  + 2  n1 n2 

s12 / n1 ; c= 2 s1 / n1 + s 22 / n2

(

) (

7

)

2. Bµi to¸n kiÓm ®Þnh vÒ tham sè σ 2 trong quy luËt N ( µ, σ 2 ) : 2 a. Bµi to¸n so s¸nh σ 2 víi gi¸ trÞ thùc cho tríc σ 0 CÆp gi¶ thuyÕt cÇn MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 kiÓm ®Þnh H0: σ 2 = σ 02  2 ( n − 1) s 2  Wα =  χ = ; χ 2 > χ α2 ( n −1)  2 2 2 H1 : σ > σ 0 σ0  

H0: H1:

 ( n − 1) s 2 ; χ 2 < χ 2( n−1)  Wα =  χ 2 =  1−α σ 02  

σ 2 = σ 02

H0 : H1:

σ <σ 2

σ =σ 2

2 0

2 0

σ 2 ≠ σ 02

 ( n − 1) s 2 Wα =  χ 2 = σ 02 

 χ 2 > χ α2(/n2−1) hay χ 2 < χ 12−(αn−/ 12)  

;

b. Bµi to¸n so s¸nh hai tham sè σ12 víi σ 22 cña 2 quy luËt ph©n phèi chuÈn CÆp gi¶ thuyÕt MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 cÇn kiÓm ®Þnh H0: σ 12 = σ 22   s12 W = F = ; F > Fα( n −1, n −1)  2 2  α 2 H1 : σ 1 > σ 2 s2   1

2

H0: σ 12 = σ 22 H1: σ 12 < σ 22

  s12 Wα =  F = 2 ; F < F1(−nα1 −1, n2 −1)  s2  

H0: σ 12 = σ 22 H1: σ 12 ≠ σ 22

 s12 Wα =  F = 2 ; s2 

 F > Fα( n/ 12−1, n2 −1) hay F < F1(−nα1 −/ 12, n2 −1)  

3. Bµi to¸n kiÓm ®Þnh vÒ tham sè p trong quy luËt A(p): a. Bµi to¸n so s¸nh gi¸ trÞ tham sè p víi gi¸ trÞ thùc p0 cho tríc: CÆp gi¶ thuyÕt cÇn MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 kiÓm ®Þnh H0 : p = p 0   ( f − p0 ) n W = U = ; U > U   p > p α α H1 : 0 p (1 − p )   H0: H1: H0: H1:

p = p0 p < p0 p = p0 p ≠ p0

0 0     ( f − p0 ) n Wα = U = ; U < −U α  p 0 (1 − p 0 )    ( f − p0 ) n ; U > U   Wα = U = α /2  p ( 1 − p )   0 0  

b. Bµi to¸n so s¸nh hai tham sè p1 víi p 2 cña 2 quy luËt Kh«ng-Mét

Phạm Hương Huyền-TKT

8

CÆp gi¶ thuyÕt cÇn kiÓm ®Þnh H0: H1:

H0: H1: H0: H1:

p1 = p 2 p1 > p 2

MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0

Wα

   = U =   

Wα

p1 = p 2 p1 < p 2

p1 = p 2 p1 ≠ p 2

Wα

(

)

   = U =   

   = U =   

Trong ®ã:

   f1 − f 2 ; U >U α  1 1   f 1− f   n + n    1 2  

f =

   f1 − f 2 ; U < −U α  1 1   f 1− f   n + n    1 2  

(

)

   f1 − f 2 ; U >U α / 2  1  1  f 1− f   n + n    1 2  

(

)

n1 f 1 + n2 f 2 n1 + n2

♦ KiÓm ®Þnhphi tham sè • KiÓm ®Þnh vÒ d¹ng quy luËt ph©n phèi gèc: * CÆp gi¶ thuyÕt cÇn kiÓm ®Þnh: H0: X ∼ Quy luËt A H1: X ∼ Quy luËt A (XÐt quy luËt A lµ rêi r¹c) * MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0:  2 k ( ni − ni′ ) 2  Wα =  χ = ∑ ; χ 2 > χ α2( k − r −1)  ni′   i =1 Trong ®ã:

MÉu ngÉu nhiªn 1 chiÒu vÒ X lµ X(n); xi xuÊt hiÖn ni lÇn ;

k

∑n i =1

i

= n;

ni′ = npi ;

pi = P( X = xi ) ; r lµ sè tham sè trong quy luËt A cÇn íc lîng, tham sè cña quy luËt A

®îc íc lîng b»ng ph¬ng ph¸p íc lîng hîp lý tèi ®a; • KiÓm ®Þnh vÒ tÝnh ®éc lËp hay phô thuéc cña 2 dÊu hiÖu ®Þnh tÝnh: * CÆp gi¶ thuyÕt cÇn kiÓm ®Þnh: H0:

X , Y lµ ®éc lËp

Phạm Hương Huyền-TKT

9

H1: X , Y lµ phô thuéc * MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0:    h k nij2  Wα =  χ 2 = n ∑∑ − 1 ; χ 2 > χ α2( ( h −1)( k −1) )   i =1 j =1 ni m j     

Trong ®ã: MÉu ngÉu nhiªn 2 chiÒu vÒ X,Y lµ X(n); gi¸ trÞ (xi,yj )xuÊt hiÖn nij lÇn; h

k

i =1

j =1

h

k

h

k

i =1

j =1

∑ nij = m j , ∑ nij = ni , ∑∑ nij = ∑ ni = ∑ m j = n . i =1 j =1

• KiÓm ®Þnh Jarque-Bera vÒ d¹ng ph©n phèi chuÈn: H0 : X tu©n theo quy luËt ph©n phèi chuÈn +> H1: X kh«ng tu©n theo quy luËt ph©n phèi chuÈn → MBB cña H0 :

   a2 (a − 3)2  2(2) Wα = JB = n 3 + 4  ; JB > χα  24  6  

( a3 lµ hÖ sè bÊt ®èi xøng, a4 lµ hÖ sè nhän) -------------------------------------------------------------------------------------

Phạm Hương Huyền-TKT

10