Conexoes Elipticas Versao Final

Conexões entre Curvas e Integrais Elípticas

Jones Colombo Universidade Federal Fluminense

4o Colóquio da Região Centro-Oeste Novembro de 2015

Sumário Introdução 1

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Geometria das Curvas Cúbicas 1.1 Adição Sobre Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Curvas no Plano Projetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tangentes e Pontos de Inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Formas Normais de Cúbicas Não Singulares . . . . . . . . . . . 1.5 Cúbicas Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Cúbicas Não Singulares Não Admitem Parametrização Racional 1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 3 6 12 15 17 19 20

Funções Elípticas 2.1 Estrutura Topológica de uma Cúbica não Singular em C P2 . . . . 2.2 Propriedades Gerais das Funções Elípticas . . . . . . . . . . . . . 2.3 A Função de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Uma Equação Diferencial para a Função de Weierstrass . . . . . . 2.5 Parametrização da Cúbica com a Ajuda da Função de Weiertrass 2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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21 21 23 27 29 31 33

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35 35 37 41 43 46 48

A Lemniscata e o Teorema de Mordell 4.1 História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 O Método das Secantes de Diofanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Exemplos e Teorema de Mordell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 49 51 54

Arcos de Curvas e Integrais Elípticas 3.1 Um Pouco de História . . . . . . . . 3.2 Integrais Elípticas . . . . . . . . . . . 3.3 Teoremas Aditivos para F ( φ) e E( φ) 3.4 As Funções Elípticas de Jacobi . . . . 3.5 Arcos de Elipses e Hipérboles . . . . 3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . .

Referências Bibliográficas

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Introdução A maioria dos matemáticos sabem que existe uma conexão entre as curvas elípticas e as integrais elípticas e que as mesmas medem o comprimento de arco de uma elipse, mas poucos sabe explicar como é esta conexão. O objetivo destas notas é evidenciar esta conexão. As principais características destas notas é de darem uma abordagem elementar e de terem uma visão histórica dos assuntos. Devido a abordagem histórica introduzo a Lemniscata, pois foi exatamente para tratar de problemas em cima desta curva que boa parte da teoria se desenvolveu. O que surgiu depois deste esforço de grandes nomes da matemática é uma teoria profunda e de inúmeras aplicações. Como aplicações podemos citar: pêndulo simples, pêndulo esférico, órbita planetária relativística, movimento de um pião ou de um Giroscópio, Equações de movimento de Euler, Fluxo da corrente em um placa condutora retangular, movimento de Projétil sujeito à resistência proporcional a ao cubo de sua velocidade, entre outros. Um fato interessante, é que apesar das inúmeras aplicações pouco se houve falar das funções elípticas nos cursos de graduação. Parece que as aplicações deste tópico ficaram na lacuna - por um lado os físicos e engenheiros não tem formação matemática para levar a cabo estas aplicações, por outro lado, os matemáticos não estão interessados em aplicações. Em matemática, partes desta teoria são consideradas como o ponta pé inicial. Exemplo de áreas de pesquisa que aparecem partes desta teoria são: Geometria Algébrica (Curvas Elípticas), Formas Modulares (Grupo Modular) e Geometria Hiperbólica (Variedades de Dimensão Baixa), Teoria Analítica dos Números (Função Zeta). Espero que estas notas seja o ponta pé inicial para a sua formação neste assunto.

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Introdução

Capítulo 1 Geometria das Curvas Cúbicas Neste capítulo vamos tratar do problema de somar pontos racionais sobre curvas, em particular, sobre as Cúbicas. Introduzir os espaço projetivo - local natural para o estudo das cúbicas. Estudo das tangentes e dos pontos de inflexão de uma cúbica, formas normais de cúbicas não singular uma rápida descrição das cúbicas singulares e concluir com a exposição que as cúbicas não singulares admitem uma parametrização racional.

1.1

Adição Sobre Curvas

Vamos iniciar falando sobre o bonito e instigante problema de somar pontos sobre curvas de grau 2 e 3. Uma curva algébrica plana é o conjunto de pontos ( x, y) ∈ R que satisfazem a equação f ( x, y) = 0, onde f ( x, y) é um polinômio não nulo em duas variáveis. Existe uma forma de adicionar pontos sobre determinadas curvas algébricas planas. Por exemplo: Considere a circunferência unitátria x2 + y2 = 1. Fixe, por conveniência, o ponto E por ser (1, 0). Sejam A e B dois pontos arbitrários sobre a circunferência. Considere a reta determinada pelos pontos A e B, vamos denotá-la por AB. Considere a reta paralela a AB passando por E, esta reta necessariamente irá passar pela circunferência em mais um ponto, que denotamos por A + B. No caso em que A = B, considere a reta tangente à circunferência no ponto A. Devido a escolha de E = (1, 0) é possível verificar que se A = (cos α, sen α) e B = (cos β, sen β) então A + B = (cos(α + β), sen(α + β)) . Este exemplo se estende para quaisquer cônicas (isto é, polinômios de grau 2). Além disso, esta operação torna este conjunto um grupo comutativo. Exemplo 1.1 a) Para a parábola y = x2 com o ponto fixo E = (0, 0), então a soma de A = ( x1 , y1 ) e B = ( x2 , y2 ) é o ponto A + B = ( x1 + x2 , y1 + y2 + 2x1 x2 ). b) Para a hipérbole x2 − y2 = 1 com o ponto fixo E = (1, 0), então a soma de A = ( x1 , y1 ) e B = ( x2 , y2 ) é o ponto A + B = ( x1 x2 + y1 y2 , y1 x2 + y2 x1 ). Uma Cúbica é uma curva algébrica plana ∑i,j aij xi y j = 0, onde i + j ≤ 3. Sobre qualquer cúbica não singular, existe uma lei natural para adicionar pontos (nós vamos discutir os detalhes a respeito das cúbica não singular na seção 1.3).

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Capítulo 1: Geometria das Curvas Cúbicas

Figura 1.1: Definição de Soma

Sobre uma Cúbica, fixe um ponto E (Ele deverá fazer o papel do elemento neutro do grupo). Considere dois pontos A e B, e desenhe a reta AB. Esta reta deve intersectar a cúbica no ponto X. O ponto de interseção da reta XE com a cúbica, deve ser denotado por A + B. A definição de soma usou a seguinte propriedade duas vezes: Se uma linha reta intersecta uma cúbica em dois pontos, então ela deve intersectar a cúbica em precisamente mais um ponto. Esta propriedade é a princípio óbvia. De fato, considere a equação da reta ax + by + c = 0, isole x ou y e substitua seu valor na equação da cúbica. O que nos fornece uma equação de terceiro grau. Por hipótese, duas de suas raízes são Reais, portanto, deve existir uma terceira raiz Real. Na realidade não é tão simples, e o problema não é só que um polinômio pode ter três raízes repetidas. Pode, também, acontecer que o grau do polinômio seja menor que 3. Nesta situação a soma não será possível de definir, vamos tratar desta situação mais para frente. Com respeito as propriedades desta operação: ela é claramente comutativa. E é fácil de verificar que E faz o papel de elemento neutro. A igualdade: ( A + B) + C = A + ( B + C ) é equivalente ao fato que a interseção de pontos de retas que conectam A + B com C e B + C com A estarem sobre a cúbica. Denote as retas descritas na figura 1.2. como se segue p1 = AB, p2 = E( B + C ), p3 = C ( A + B), q1 = BC, q2 = E( A + B), q3 = A( B + C ). Admita que todas os pontos de interceções das retas pi e q j são dois a dois distintos. Então esta afirmação pode ser demonstrada na seguinte formulação. Teorema 1.2 Seja Aij os pontos de interseção das retas pi e q j , com 1 ≤ i, j ≤ 3 e os pontos Aij dois a dois distintos. Suponha que é conhecido que todos os pontos Aij , exceto talvez, A33 , estejam sobre a cúbica. Então, A33 também deve estar sobre esta cúbica. Demonstração: Sejam pi ( x, y) = 0 e q j ( x, y) = 0 as equações das retas pi e q j . Então, p1 p2 p3 = 0 é uma equação de grau 3 determinada pela três retas p1 , p2 e p3 e a equação

1.1: Adição Sobre Curvas

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Figura 1.2: Esquema para a notação

q1 q2 q3 = 0 é determinada pelas retas q1 , q2 e q3 . A cúbica αp1 p2 p3 + βq1 q2 q3 = 0 passa através de todos os pontos Aij . Acontece que podemos representar desta forma qualquer equação cúbica passando por 8 ou 9 pontos Aij . Vamos provar isso.

Figura 1.3: Esquema da demonstração Escolha as retas p1 e q1 como sendo os eixos coordenados, isto é, assuma que p1 ( x, y) = y e que q1 ( x, y) = x. Considere uma cúbica determinada pela equação P( x, y) = 0. As funções P(0, y) e yp2 (0, y) p3 (0, y) se anula nos três pontos A11 , A21 e A31 sobre o eixo y. Além disso, estas funções são polinômios de grau menor ou igual a 3. Portanto, P(0, y) = αyp2 (0, y) p3 (0, y). De maneira similar, P( x, 0) = βxq2 ( x, 0)q3 ( x, 0). Considere então o polinômio Q( x, y) = P( x, y) − (αyp2 ( x, y) p3 ( x, y) + βxq2 ( x, y)q3 ( x, y)) . Claramente,

Q(0, y) = P(0, y) − αyp2 (0, y) p3 (0, y) = 0

O polinômio a0 (y) + a1 (y) x2 + · · · é identicamente nulo quando x = 0 se, e só se, a0 (y) é identicamente igual a zero, isto é, se este polinômio é divisível por x. De maneira similar, mostramos que Q( x, y) também deve ser divisível por y, isto é, Q( x, y) = xyQ1 ( x, y). O grau de Q( x, y) não excede a 3, então, Q1 ( x, y) ou é

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Capítulo 1: Geometria das Curvas Cúbicas

linear ou é uma constante. Recordemos que os polinômios P( x, y), p2 ( x, y) p3 ( x, y) e q2 ( x, y)q3 ( x, y) se anulam nos pontos A22 , A23 e A32 , e portanto, o polinômio Q( x, y) também se anula nestes pontos. Desde que xy ̸= 0, então o polinômio Q1 ( x, y) deve se anular também neles. Os pontos A22 , A23 e A32 não estão sobre uma reta. Para uma função não nula que é no máximo linear se anula nestes pontos. Então só pode ser uma função nula. Portanto, Q1 ( x, y) = 0, isto é, P( x, y) = αyp2 ( x, y) p3 ( x, y) + βxq2 ( x, y)q3 ( x, y). Em particular, o ponto A33 esta sobre a curva P( x, y) = 0. E acabamos de provar que toda cúbica passando por todos os pontos Aij é dada pela equação αyp2 ( x, y) p3 ( x, y) + βxq2 ( x, y)q3 ( x, y) = 0.

 O teorema esta demonstrado e junto com ele, a prova da associatividade da soma sobre cúbicas está estabelecido. De forma semelhante ao que fazemos nos cursos de Geometria Analítica ao considerar uma equação quadrática da forma A20 x2 + A11 xy + A02 y2 + A10 x + A01 y + A00 = 0, podemos classificar, se permitirmos apenas movimentos rígidos, isto é, mudança de coordenadas que preservam comprimento e ângulo e translações, estas equações em três famílias, fora as degeneradas. As famílias são: x2 a2

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+ yb2 = 1 y = px2 2 2 x − yb2 = 1 a2

as elipses; as parábolas; as hipérboles.

Gostaríamos de repetir o feito e classificar as equações cúbicas, isto é, classificar as equações do tipo: A30 x3 + A21 x2 y + A12 xy2 + A03 y3 + A20 x2 + A11 xy + A02 y2 + A10 x + A01 y + A00 = 0. Ocorre que para levar a cabo tal classificação é melhor considerar um ambiente mais propício. Apesar de ser possível fazer uma classificação no plano euclideano, neste ambiente a quantidade de famílias é maior, além de que esta classificação não nos fornece nenhum insight de algum propriedade geral. O local que acreditamos ser mais adequado para fazer tal classificação se chama plano projetivo.

1.2 Curvas no Plano Projetivo Na seção anterior escrevemos que a soma de pontos sobre uma cúbica não esta definida, geralmente, para todos os pontos. Vamos ilustrar esta situação. Considere a cúbica y2 = x ( x − 1)( x − 2) (1) Desenhamos ela na figura 1.4. Substituindo na equação a reta x = 21 temos y2 = 38 . O grau desta equação é 2 e não 3. Portanto, a reta x = 12 intersecta a equação 1 em só

1.2: Curvas no Plano Projetivo

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Figura 1.4: A cúbica e x =

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dois pontos, e os pontos de intersecção tem multiplicidade 1. Desta forma não temos como levar a cabo a soma destes dois pontos. O plano projetivo vem de considerações geométricas, que são conhecidas como geometria projetiva. A geometria projetiva é o estudo das propriedades geométricas das figuras que não são alteradas pela projeção. Antes de passarmos para um exemplo concreto, é preciso recordar que existem dois tipos de projeção: • Projeção Central. Dado um ponto x e um plano P que tal que x não pertence ao plano P, definimos a função projeção central por considerar o segmento [xy] e f (y) = [ xy] ∩ P. Para cada ponto y tal que o segmento [ xy] não é paralelo ao plano P. f é chamada de projeção de x em P; x é o centro da projeção f . • Projeção Paralela. Seja v um vetor não é paralelo a um plano P . Para cada ponto y, considere a linha L(y) passando por y que é paralela a v. Defina a função projeção pela fórmula. g(y) = L(y) ∩ P. g é chamado projeção em H paralela a v.

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Capítulo 1: Geometria das Curvas Cúbicas

Figura 1.5: Projeção Central

Figura 1.6: Projeção Paralela

A projeção paralela pode ser visto como uma projeção central cujo o centro se encontra no infinito. Quando trabalhamos com geometria projetiva imaginamos que o nosso artista tem apenas um olho e ele esta na origem do sistema de coordenadas.

Figura 1.7: Projeção de uma cena no plano

Exemplo 1.3 Considere ( x, y, z) coordenadas do R3 e as linhas retas L1 = { x = 1 e z = 1} L2 = { x = −1 e z = 1} Ambas contidas no plano P = {( x, y, z) : z = 1}, Vamos projetar L1 e L2 através da origem no plano de visualização P1 = {( x, y, z) : y = 1}. Os pontos ( x, 1, z) ∈ P1 e ( x ′ , y′ , 1) ∈ P, estão em uma mesma linha radial se, e somente se,

( x ′ , y′ , 1) = t( x, 1, z), para alguma escalar t. Isto é equivalente a,

x ′ = tx,

y′ = t, e 1 = tz.

1.2: Curvas no Plano Projetivo

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A terceira equação nos dá t = 1/z, usando isto temos x′ =

1 x e y′ = z z

( x ′ , y′ , 1) esta sobre L1 se, e somente se, x ′ = 1. Daí, ( x, 1, z) esta na projeção de L1 se, e somente se, x/z = 1, logo x = z. De maneira similar, a equação da projeção em L2 é que x ′ = x/z = −1, daí x = −z. O horizonte de P é a interseção do plano com o plano z = 0, o qual é paralelo a P. A projeção L1 e L2 encontra-se em um ponto em comum, ( x, y, z) = (0, 1, 0), que esta no horizonte de P1 . Portanto, duas retas paralelas se encontram no infinito

Um desenho em perspectiva é criado por intersectar a projeção da cena com um plano, este plano que chamamos de plano de visualização é equivalente às cavas de um artista. Exemplo 1.4 Considere a parábola { Q1 =

} x2 ( x, y, z) : y = 1 + ez=1 . 4

Assim como fizemos no exemplo anterior vamos entender como esta parábola é projetada no plano de visualização P1 = {( x, y, z) : y = 1}. Das igualdades já deduzidas obtemos 1/z = 1 + 1/4( x/z)2 . Multiplicando por z2 e completando quadrado obtemos 1 4( z − )2 + x 2 = 1 2 Que é uma elipse centrada em (0, 1, 12 ), com eixo menor igual a 1 paralelo ao eixo x e o maior igual 2 e paralelo ao eixo z. Observe que a elipse é tangente ao horizonte no ponto (0, 1, 0).

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Capítulo 1: Geometria das Curvas Cúbicas

Então se imaginarmos que o nosso olho esta na origem do sistema, e os pontos que vemos se encontram no plano z = 1, os pontos que se encontram no infinito acontecem quando a coordenadas de z → 0

Figura 1.8: Pontos no Infinito ou Pontos ideais

Em geral, a regra é que qualquer figura que se estende para o infinito deverá adquirir um ponto "no infinito” extra quando projetada. A partir destes exemplos vamos introduzir o conceito de espaço projetivo. Definição 1.5 Considere o R3 − {0} e a seguinte relação de equivalência, dizemos que u ≡ v se existe t ∈ R tal que u = tv. aqui como vetores do R3 O conjunto R3 com esta relação de equivalência é o que chamamos de plano projetivo e o denotamos por R P2 . Para não haver confusão entre os vetores de R3 e os pontos de R P2 vamos usar a notação ( x : y : z), para denotar os pontos do plano projetivo. Fica claro que se ( x : y : z) e 0 ̸= α ∈ R, então, (αx : αy : αz) representam o mesmo ponto projetivo.

1.2: Curvas no Plano Projetivo

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Seja ( x : y : z) ∈ R P2 , como vinhamos discutindo os pontos que tem coordenadas z ̸= 0 podem ser associados aos pontos do R2 , por isso dizemos que estes pontos são afins. Quando a coordenada z = 0 dizemos que são pontos ideais ou no infinito. Observe que para cada direção no plano z = 0 temos uma ponto ideal, por outro lado, os pontos (1 : 1 : 0) e (−1 : −1 : 0) são iguais do ponto de vista projetivo. Apesar desta denominação a escolha de z = 0 para ser o local do espaço afim é aleatória, isto é claro quando analisamos os exemplos, pois mudamos o plano de visualização para y = 1. Na definição de plano projetivo x, y, z e t podem assumir valores complexos. Desta forma podemos definir o plano projetivo complexo, C P2 . A geometria das curvas projetivas complexas é mais simples que em R P2 . Isto ocorre pelo fato de que cada polinômio de grau n em C admite exatamente n raízes (contando multiplicidade). Para a curva y2 = x ( x − 1)( x − 2) podemos associar a curva y2 z = x ( x − z)( x − 2z)

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sobre o plano projetivo. De fato, a equação 2 define uma curva no plano projetivo porque os pontos ( x : y : z) e (αx : αy : αz) satisfazem ou não satisfazem a equação 2 simultaneamente. Além disso, no plano P = {( x, y, z) : z = 1} equação 1 e 2 coincidem. Em geral, para qualquer curva algébrica plana ∑ij aij xi y j = 0 podemos associar a curva ∑ aij xi y j zn−i− j = 0, onde n = max {i + j} ij

no plano projetivo. Agora vamos verificar que a reta x = 12 z e a curva projetiva y2 z = x ( x − z)( x − 2z) se encontram em um ponto no infinito na direção do eixo y. 3 substituíndo x = 2z na equação obtemos y2 z = 3z8 . Esta nova equação tem três tipos √ de soluções: (1) z = 0 e y arbitrário; (2) y = kz e (3) y = −kz, onde k = 3/8 e z é arbitrário. Em outras palavras, cada família de soluções corresponde a um ponto de C P2 . √ z 1 3 Portanto, a reta projetiva x = 2 intersecta a curva em 3 pontos: ( 2 : 8 : 1), √ ( 21 : − 38 : 1) e (0 : 1 : 0). O terceiro ponto é um ponto no infinito na direção do eixo y, como havíamos comentado. A passagem para o plano projetivo é proveitosa não somente no caso acima. Deixe mostrar, por exemplo, que qualquer reta do plano projetivo ou esta inteiramente contida na cúbica ou se intercepta com ela (contando multiplicidades) em precisamente três pontos em C P2 ; já em R P2 se intercepta com a cúbica uma ou três vezes. Queremos encontrar os pontos de interseção da reta projetiva ax + by + cz = 0 com a cúbica ∑i+ j+k=3 aij xi y j zk = 0 no plano projetivo. Pelo menos um dos números a, b ou c é não nulo. Digamos que c ̸= 0, então z = αx + βy, onde α = − ac e β = − bc (o caso de α = β = 0 não esta excluído). Inserindo isto na expressão obtemos Q( x, y) = ∑ b p x p y3− p = 0. Podem ocorrer as seguintes situações: (1) Todos os coeficientes b p são nulos. Então ax + by + cz = 0 esta inteiramente contida na cúbica, isto é, Q é divisível por ax + by + cz.

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Capítulo 1: Geometria das Curvas Cúbicas

(2) Nem todos os coeficientes b p são nulos. Então Q( x, y) = bxr ys ( x − t1 y) · · · ( x − tm y) onde r + s + m = 3. O fator xr corresponde aos pontos (0 : 1 : β′ ) com multiplicidade r; o fator ys corresponde aos pontos (1 : 0 : β′ ) com multiplicidade s; o fator ( x − ti y) corresponde aos pontos (ti : 1 : α′ ti + β′ ). Uma cúbica Q com coeficiente Reais pode ter três ou uma raiz. Portanto, qualquer reta projetiva deve interceptar uma cúbica em três ou apenas uma vez (contando multiplicidade). Portanto, esclarecemos como somamos pontos que não coincidem sobre uma cúbica. Agora só temos dificuldades em tratar pontos com auto-interseção ou pontos de cúspides. O problema é que qualquer reta passando através de tais pontos tem interseções múltiplas. Portanto, ao somar tais pontos com outros nunca obtemos novos pontos. Vamos discutir esta situação na seção 1.5.

1.3 Tangentes e Pontos de Inflexão Para somarmos os pontos A e B precisamos traçar a reta AB. O que acontece quando os pontos A e B são iguais? Fixemos o ponto A e deixemos o ponto B solto sobre a cúbica na vizinhança de A. Sobre certas condições (A não pode ser um ponto singular), a reta AB tende para a reta tangente à curva em A. Portanto, para realizar A + A precisamos traçar a reta tangente à cúbica em A. Se a curva passando pelos pontos A e B é dada pela equação F = 0, então a restrição de F a reta AB tem raízes nos pontos A e B. Na posição limite, quando B coincidir com A, a restrição de F em A tem raízes múltiplas. Portanto, a restrição de F para a tangente tem múltiplas raízes no ponto de tangência. Esta propriedade pode ser utilizada para obtermos a equação da reta tangente. Considere um ponto P = ( p1 : p2 : p3 ) pertencente a curva F = 0, isto é, F ( P) = 0, e seja X = ( x1 : x2 : x3 ) um ponto arbitrário. Os pontos da reta projetiva PX são da forma λP + µX. Os pontos desta reta distintos de X são da forma P + tX. Considere a restrição de F a esta reta com função de t. No caso em que F é um polinômio de grau 3 temos: F ( P + tX ) = F ( P) + at + bt2 + ct3 = Q(t), onde F ( P) = 0, a = ∑ Fi ( P) xi e b = 21 ∑ Fij xi x j (onde Fi é a derivada parcial de F com respeito a i-ésima variável). O ponto P corresponde a t = 0. O polinômio Q(t) tem múltiplas raízes se a = 0, isto é, ∑ Fi ( P) xi = 0. Um ponto P para o qual pelo menos um dos números Fi ( P) é não nulo é chamado de ponto não singular de F. Para pontos P não singulares a equação ∑ Fi ( P) xi = 0 determina uma reta tangente ℓ a curva F em P. É preciso verificar que a definição de reta tangente e de ponto não singular não dependem de uma mudança de coordenadas. Para passar das coordenadas projetivas ( x1 : x2 : x3 ) para as cartesianas ( x1 , x2 ) basta colocar x3 = 1. Assuma que p3 = 1. Para satisfazer a condição x3 = 1 um ponto P da reta, podemos expressar o ponto da reta PX na forma P + t( X − P). Na expressão F ( P + t( X − P)) =

∑ Fi ( P)(xi − pi )t + · · ·

1.3: Tangentes e Pontos de Inflexão

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nos permite expressar a equação da reta tangente na forma F1 ( P) x1 + F2 ( P) x2 = F1 ( P) p1 + F2 ( P) p2 . Em coordenadas projetivas, isto é, para funções homogêneas F, a expressão ∑ Fi ( P) pi é igual a zero. De fato, qualquer polinômio homogêneo F de grau n satisfaz a fórmula de Euler ∑ Fi ( P)xi = nF(X ). p

p

p

Considere o monômio M = x1 1 x2 2 x3 3 , onde p1 + p2 + p3 = n. Claramente, para todo pi inteiro não negativo temos xi ∂i ( M) = pi M. Considere P um ponto não singular de uma curva F = 0. Então a reta tangente ℓ no ponto P esta definida. A restrição de F a ℓ tem múltiplas raízes em P. Se a multiplicidade desta raiz não é inferior a 3, então P é um ponto de inflexão. Em outras palavras, a condição a = ∑ Fi ( P) xi = 0 deve implicar que b = 21 ∑ Fij ( P) xi x j = 0, isto é, a forma quadrática ∑ Fij ( P) xi x j = 0 deve conter a reta ∑ Fi ( P) xi = 0. Recorde que o polinômio de segunda ordem x t Ax (x t expressa a transposta de x, e esta é a forma matricial deste polinômio) é divisível pela função linear x t ℓ se, e só se, x t Ax = x t ℓmt x, para algum m. Isto significa que a matriz A ]= ℓmt . Em particular, [ det A = 0. Isto é, se P é um ponto de inflexão, então det Fij ( P) = 0. Vamos mostrar que a recíproca deste resultado também é verdadeiro, isto é, se P é [ ] um ponto não singular e det Fij ( P) = 0, então P é um ponto de inflexão. Considere a forma quadrática ∑ Fij ( P) xi x j = 0. Então, pela fórmula de Euler

∑ Fij ( P) pi p j = 2 ∑ Fj ( P) p j = 6F( P) = 0 Portanto, P pertence a curva, e a reta ∑i Fi ( P) xi = 0 é tangente a esta quadrática em P. De fato, a equação da tangente da quadrática ∑ Fij ( P) xi x j = 0 no ponto P tem a forma

∑ Fij ( P)xi p j = 0 e novamente pela fórmula de Euler ∑i,j Fij ( P) xi p j = 2 ∑i Fi ( P) xi . Ainda não usamos que a forma quadrática é degenerada, de qualquer forma a tangente à curva em P é ao mesmo tempo tangente à forma quadrática ∑ Fij ( P) xi x j = 0. Mas no caso que esta quadrática consiste de um par de retas elas estão contidas inteiramente na tangente. Resumindo: [ ]o conjunto de pontos de interseção da curva F = 0 e H = 0, onde H = det Fij ( X ) , contém todos os pontos de inflexão da curva F = 0. A curva H = 0 é chamada de curva de Hesse ou Henssiana da curva F = 0. Se F é um polinômio homogêneo de grau n então Fij é um polinômio homogêneo de grau n − 2. Portanto, H é um polinômio homogêneo de grau 3(n − 2). Quando F = 0 é uma cúbica então a Henssiana é também uma cúbica. A invariânça dos conceitos de ponto de inflexão e de Henssiana para mudança de coordenadas se prova de maneira semelhante que se faz para provar a invariânça da tangente. A procura por pontos de inflexão de uma curva se reduz a procurar os pontos de interseção da curva com a sua curva de Hesse. Então, temos que encontrar os pontos de interseção de duas curvas. Já fizemos isso, quando uma das curvas era uma reta. No caso da reta, a sua equação permite expressar uma das variáveis em termos das

14

Capítulo 1: Geometria das Curvas Cúbicas

outras e substituindo esta variável na expressão da curva permite que esta variável seja excluída. Para curvas de grau arbitrário também podemos excluir uma das variáveis, mas isto não é tão fácil de ser feito. Inicialmente vamos considerar curvas cartesianas ( x, y). Por simplicidade, vamos analisar a situação para curvas de grau 3, mas o resultado vale em geral. É possível expressar o polinômios de grau F ( x, y) e H ( x, y) da seguinte forma F ( x, y) = a0 ( x )y3 + a1 ( x )y2 + a2 ( x )y + a3 ( x ), H ( x, y) = b0 ( x )y3 + b1 ( x )y2 + b2 ( x )y + b3 ( x ), onde ak ( x ) e bk ( x ) são polinômios de grau k, 0 ≤ k ≤ 3. Se ( x0 , y0 ) é um ponto em comum às curvas F ( x, y) = 0 e H ( x, y) = 0, então os polinômios f (y) = a0 y3 + a1 y2 + a2 y + a3 e h(y) = b0 y3 + b1 y2 + b2 y + b3 , onde ak = ak ( x ) e bk = bk ( x ), têm y0 como raiz em comum; a recíproca também é verdadeira: se os polinômios tem uma raiz em comum y0 , então F ( x, y) = 0 e H ( x, y) = 0 tem ( x0 , y0 ) em comum. Sobre C, dois polinômios tem uma raiz em comum se, e só se, eles tem um fator não constante em comum (sobre R dois polinômios podem ter um fator em comum sem que tenham uma raiz em comum). Se a0 b0 ̸= 0, então os polinômios f (y) e h(y) tem um fator em comum, se e somente se, existem h1 e f 1 tais que f h1 = h f 1 , onde o grau de h1 e de f 1 são menores que H ( x, y) e F ( x, y), respectivamente. De fato, se f e h tem um divisor d em comum, então podemos fazer f 1 = f d−1 e h1 = hd−1 . Se f h1 = h f 1 e deg f 1 < deg f , então todos os fatores primos de f deverão ocorrer na fatoração de h f 1 ; além disso, eles tem o mesmo grau. Por outro lado, nem todos eles deverão ocorrer na fatoração de f 1 . A restrição a0 b0 ̸= 0 é incomoda, mas como podemos fazer mudança de coordenadas é fácil satisfazê-la. Considere h1 (y) = u0 y2 + u1 y + u2 e f 1 = v0 y2 + v1 y + v2 . A igualdade f h1 = h f 1 pode ser expressa na forma a0 u0 a1 u0 + a0 u1 a2 u0 + a1 u1 + a0 u2 a3 u0 + a2 u1 + a1 u2 + a3 u1 + a2 u2 + a3 u2

−b0 v0 −b1 v0 −b0 v1 −b2 v0 −b1 v1 −b0 v2 −b3 v0 −b2 v1 −b1 v2 −b3 v1 −b2 v2 −b2 v2

=0 =0 =0 =0 =0 = 0.

Esse sistema de equações lineares homogêneas com respeito a u e v tem solução não nula se, e só se, este determinante se anula, isto é,   a0 a1 a2 a3   a0 a1 a2 a3     a a a a 0 2 3 1  = 0. det   b0 b1 b2 b3     b0 b1 b2 b3 b0 b1 b2 b3 Este determinante é chamado de resultante dos polinômios f e h. Os coeficientes ak e bk dependem de x e, portanto, o determinante acima é um polinômio R de x e talvez

1.4: Formas Normais de Cúbicas Não Singulares

15

nulo. Para cada raiz x0 de R os polinômios F ( x, y) = 0 e H ( x, y) = 0 tem um ponto ( x0 , y0 ) em comum. Observe que no caso R o fato de existir x0 não necessariamente implica que exista y0 ∈ R. Se o polinômio R é nulo, então as curvas tem uma fator em comum. Vamos aplicar o resultante em F e H, para isto vamos expressar os polinômios F e H na forma F ( x, y, z) = a0 ( x, y)z3 + a1 ( x, y)z2 + a2 ( x, y)z + a3 ( x, y), H ( x, y, z) = b0 ( x, y)z3 + b1 ( x, y)z2 + b2 ( x, y)z + b3 ( x, y), onde ak e bk são polinômios homogêneos de grau k, 0 ≤ k ≤ 3, é possível escolher coordenadas apropriadas para as curvas F = 0 e H = 0 de tal forma que elas não passem pelo ponto (0 : 0 : 1). Então a condição a0 b0 ̸= 0 que necessitaremos é satisfeita. No caso projetivo o resultante é um polinômio em duas variáveis R( x, y). Vamos provar que R ou é o polinômio nulo ou é um polinômio homogêneo de grau 9 (em geral, se o grau das curvas são m e n, então o grau de R( x, y) é igual a mn). De fato, 

a0 λa1 λ2 a2  a0 λa1   a0 R(λx, λy) = det  b0 λb1 λ2 b2   b0 λb1 b0

λ3 a3 λ2 a2 λa1 λ3 b3 λ2 b2 λ2 b1

  λ3 a3  2 3 λ a2 λ a3  .   3  λ b3 λ2 b2 λ3 b3

Vamos multiplicar a segunda e quinta linhas por λ e terceira e sexta colunas por λ2 . Como resultado, obtemos uma matriz em que a k-ésima coluna é multiplicada por λk . Portanto, λ6 R(λx, λy) = λ15 R( x, y), isto é, R(λx, λy) = λ9 R( x, y). O polinômio não nulo R( x, y) pode ser representado na forma ∏9i=1 (yi x − xi y), onde xi e yi não se anulam simultaneamente. Para cada um dos nove pares ( xi , yi ) existe um zi tal que ( xi , yi , zi ) é a interseção das curvas F = 0 e H = 0. O polinômio R( x, y) pode ter raízes repetidas, isto é, certos pares ( xi , yi ) podem ser proporcionais. Portanto, nem todos os pares de cúbicas tem os nove pontos em comum distintos. Mas em C P2 cada duas cúbicas tem no mínimo um ponto em comum. Daí qualquer cúbica não singular tem pelo menos um ponto de inflexão (nove pontos de inflexão, se contarmos multiplicidades). Isto é exatamente o que necessitaremos na próxima seção.

1.4 Formas Normais de Cúbicas Não Singulares Uma curva cúbica é dita não singular se todos os seus pontos são não singulares. Nesta seção provaremos que sobre C as equações de uma cúbica não singular podem ser reduzidas por mudanças lineares de coordenadas homogêneas para cada uma das seguintes formas: (1) y2 z = x3 + pxz2 + qz3 (forma de Weiertrass); (2) x3 + y3 + z3 = 3λxyz.

16

Capítulo 1: Geometria das Curvas Cúbicas

No primeiro caso o polinômio x2 + px + q não pode ter raízes repetidas (se tiver a curva é singular) e no segundo caso λ3 ̸= 1 (de outra forma a curva consiste de 3 linhas). Considere uma curva cúbica ∑ aij xi y j z3−i− j = 0 não singular sobre C. Na seção anterior mostramos que ela tem uma ponto de inflexão. Podemos assumir que as coordenadas do ponto de inflexão são (0 : 1 : 0) e a tangente deste ponto é dado pela equação z = 0. Em outras palavras, a restrição da função F ( x, y, z) = ∑ aij xi y j z3−i− j para a reta z = 0 (isto é, o polinômio a30 x3 + a21 x2 y + a12 xy2 + a03 y3 ) tem raiz x = 0 de multiplicidade 3. Segue que a21 = a12 = a03 = 0 e a30 ̸= 0, uma vez que a curva considerada deve conter a reta z = 0. A tangente em (0 : 1 : 0) é dada pela equação por Fx (0, 1, 0) x + Fy (0, 1, 0)y + Fz (0, 1, 0)z = 0. Daí, Fx (0, 1, 0) = Fy (0, 1, 0) = 0 mas Fz (0, 1, 0) ̸= 0. Desde que de outra forma o ponto (0 : 1 : 0) deveria ser singular. O valor do polinômio homogêneo Fz ( x, y, z) de grau 2 em (0 : 1 : 0) é igual a a02 e podemos assumir que a02 = 1. Nas coordenadas cartesianas (não nas projetivas) a equação da curva assume a forma de y2 − 2( ax + b)y + P3 ( x ) = 0, onde P3 ( x ) é um polinômio de grau 3. Fazendo a mudança de coordenadas y1 = y − ax − b temos y21 − ( ax + b)2 + P3 ( x ) = 0, isto é, y21 = Q3 ( x ), onde Q3 ( x ) = ( ax + b)2 − P3 ( x ), e fazendo uma mudança de coordenadas da forma x = λx1 + µ o polinômio Q3 se reduz a forma x13 + px1 + q. O polinômio Q3 não tem raízes repetidas, do contrário a equação da curva poderia ser reduzida a forma y2 = x2 (αx + β) e tal curva tem a origem como um ponto singular. Na seção anterior provamos que toda a cúbica tem 9 pontos de inflexão (multiplicidade contadas), mas não podemos determinar se todas ou nenhuma são distinta. Se a expressão da equação da cúbica não singular esta na forma y2 = Q3 ( x ), então podemos encontrar os pontos de interseção da cúbica com a sua Henssiana e mostrar que são todos distintos. Teorema 1.6 A cúbica não singular y3 = Q3 ( x ) em C P2 tem precisamente 9 distintos pontos de inflexão. Demonstração: Podemos assumir que o polinômio Q3 tem a raiz x = 0, isto é, que a curva considerada é dado pela equação f = 0, onde f ( x, y) = y2 − x3 − ax2 − bx. Como o polinômio Q3 não tem raízes repetidas, segue que b ̸= 0 e a2 − 4b ̸= 0. Para obtermos a henssiana, passe para as coordenadas homogêneas F ( x, y, z) = y2 z − x3 − ax2 z − bxz2 . Então   −6x − 2az 0 −2ax − 2bz  0 2z 2y H ( x, y, z) = det  −2ax − 2bz 2y −2bx [ ] = 8 (y2 + bxz)(3x + az) − ( ax + bz)2 z ,

1.5: Cúbicas Singulares

17

dividindo por 8 temos h( x, y) = y2 (3x + a) + bx (3x + a) − ( ax + b)2 . y2

E fácil de encontrar os pontos de interseção das curvas f = 0 e h = 0. Expressando = x3 + ax2 + bx e substituindo na equação h temos

( x3 + ax2 + bx )(3x + a) + bx (3x + a) − ( ax + b)2 = 0. isto é,

q( x ) = 3x4 + 4ax3 + 6bx2 − b2 = 0.

Vamos provar que o polinômio q não tem raízes múltiplas. Sua derivada é igual 12( x3 + ax2 + bx ). Portanto, ( ) b q′ ( x ) q( x ) − 3x + a − = (4b − a2 ) x2 . 12 x Suponha que x0 é tal que q( x0 ) = q′ ( x0 ). Então x0 ̸= 0 uma vez que q(0) = −b2 ̸= 0. Por outro lado, (4b − a2 ) x02 = 0, onde 4b − a2 ̸= 0. Daí, x0 = 0 o que é um absurdo! Já temos provado que o polinômio q( x ) tem 4 raízes distintas xi . Para cada raiz xi q′ ( x ) existe dois valores correspondentes de y uma vez que y2 = x3 + ax2 + bx = 12i ̸= 0. Disto, temos que F = 0 e H = 0 tem 8 distintos pontos em um domínio finito z ̸= 0. Desde que F ( x, y, 0) = − x3 e H ( x, y, 0) = 24xy2 , segue que sobre reta infinita z = 0 as curvas F = 0 e H = 0 tem precisamente um ponto em comum (0 : 1 : 0).  Infelizmente não temos tempo para tratar a outra forma normal de uma cúbica.

1.5

Cúbicas Singulares

A equação de uma cúbica não singular pode ser escrita da forma y2 = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ), onde os números x1 , x2 e x3 são distintos. No caso real, veja a figura abaixo

Seja x1 < x2 < x3 . Se as raízes x1 e x2 se fundirem, obtemos uma curva cuja equação é = x2 ( x − 1) (veja figura 1.9); quando as raízes x2 e x3 se fundirem obtemos uma y2

18

Capítulo 1: Geometria das Curvas Cúbicas

curva da forma y2 = x2 ( x + 1) (veja a figura 1.10). Sobre os R estas curvas são distintas, mas sobre C a distinção entre elas desaparece. Se todas as raízes se fundirem obtemos uma curva y2 = x3 (veja figura 1.11). Para todos estas três curvas a origem é um ponto singular. Qualquer reta da forma y = kx intercepta as curvas y2 = x2 ( x ± 1) e y2 = x3 em um ponto singular com multiplicidade no mínimo 2. De fato, as equações y2 = x2 ( x ± 1) e y2 = x3 tem x = 0 com raiz no mínimo dupla. Portanto, para qualquer reta que conecta com qualquer outro ponto da cúbica a terceira interseção é novamente o ponto zero. Portanto, a soma do ponto com qualquer outro ponto nos dá novamente o ponto singular. daí, não podemos definir a soma neste ponto. Se excluirmos este ponto então a soma sobre as curvas y2 = x2 ( x ± 1) e y2 = x3 esta bem definida, e em ambos os casos se torna um grupo infinito. Se para o elemento nulo escolhermos um ponto no infinito, então a curva y2 = x2 ( x + 1) sobre os R se torna o grupo dos números Reais não negativos com respeito a multiplicação e a curva y2 = x3 se torna o grupo dos números Reais com a adição.

Figura 1.9:

Figura 1.10:

Figura 1.11:

Vamos começar analisando a curva y2 = x3 . Esta curva admite uma parametrização racional x = t−2 e y = t−3 . A interseção desta curva com a reta ax + by + c = 0 satisfazem a relação ct3 + at + c = 0. Se esta reta não passa pelo ponto singular, então c ̸= 0. Neste caso, temos uma equação do terceiro grau, e como o termo que acompanha o termo t é zero, segue que as soluções desta equação satisfazem t1 + t2 + t3 = 0. Se colocarmos o elemento neutro E sobre sobre a cúbica no infinito, entáo o parâmentro correspondente é t E = 0. Assumindo que t A e t B são os valores do parâmentro t correspondentes aos pontos A e B, respectivamente. A reta AB intercepta a curva em X, então t A + t B + t X = 0. A reta EX intercepta a cúbica no ponto t A+ B , isto é, t x + t E + t A+ B = 0, daí, t A+ B = −t X = t A + t B . Segue que somar pontos sobre y2 = x3 deve corresponder a adicionar os valores do parâmentro t. Observe que o ponto singular corresponde ao parâmetro t = ∞. A curva y2 = x2 ( x + 1) também admite uma parametrização racional. De fato, considere y = tx. Então t2 x2 = x2 ( x + 1), isto é, x = t2 − 1 e y = t3 − 1. Uma reta ax + by + c = 0 intercepta y2 = x2 ( x + 1) nos pontos cujos valores do parâmetro t satisfazem a(t2 − 1) + b(t3 − 1) + c = 0.

1.6: Cúbicas Não Singulares Não Admitem Parametrização Racional

19

Se b ̸= 0, então depois de dividir por b temos uma cúbica com coeficiente 1 em t3 e −1 em t. As raízes de uma tal equação satisfazem t1 t2 + t2 t3 + t1 t3 = −1. Uma reparametrização t = (1 + u)/(1 − u), permite verificar que u1 u2 u3 = 1. Considere o elemento neutro E por ser um ponto no infinito, isto quer dizer que com respeito ao parâmentro u E = 1. Para encontrar A + B, devemos considerar X sobre a cúbica e em AB. Daí, u A u B u X = 1 e u X u E u A+ B = 1, segue que u A u B = u A+ B . Quando adicionamos pontos sobre a curva y2 = x2 ( x + 1) corresponde a multiplicar o parâmetro u. Veja que o ponto singular corresponde a não somente um parâmetro, mas sim a dois, isto é, t = ±1 ou/e u = 0, ∞.

1.6 Cúbicas Não Singulares Parametrização Racional

Não

Admitem

As cúbicas singulares que estudamos na seção anterior admitem uma parametrização racional. Agora vamos provar que nenhum cúbica não singular admite uma parametrização racional. Vamos admitir o fato que todo cúbica não singular pode ser reduzida a uma da forma y2 = x ( x − 1)( x − λ), com λ ̸= 0, 1. Teorema 1.7 Se λ ̸= 0, 1, então não existe polinômios P1 , P2 , Q1 e Q2 tais que as funções não constantes y(t) = P1 (t)/P2 (t) e x (t) = Q1 (t)/Q2 (t) satisfazem a relação y2 = x ( x − 1)( x − λ). Demonstração: Suponha que P1 (t)/P2 (t) e Q1 (t)/Q2 (t) não sejam constantes e substituíndo P12 Q Q − Q2 Q1 − λQ2 = 1· 1 · . 2 Q2 Q2 Q2 P2 Podemos assumir também que os polinômios P1 , P2 e Q1 , Q2 sejam relativamente primos. Como P12 Q32 = P22 Q1 ( Q1 − Q2 )( Q1 − λQ2 ), segue o polinômio P22 , o qual é relativamente primo com P12 , deve ser divisível por Q32 e o polinômio Q32 , o qual é relativamente primo com Q1 , Q1 − Q2 , e Q1 − λQ2 , é divisível por P22 . Disso segue que Q32 e P22 deve ser proporcionais. Portanto, trocando P1 por um polinômio proporcional obtemos P12 = Q1 ( Q1 − Q2 )( Q1 − λQ2 ). Além disso, o polinômio Q32 é um polinômio quadrado, segue que Q2 é também deve ser um polinômio quadrado. Os polinômios Q1 , Q1 − Q2 e Q1 − λQ2 são dois a dois primos entre si e, portanto, a igualdade P12 = Q1 ( Q1 − Q2 )( Q1 − λQ2 ) implica que cada um deles é um quadrado perfeito. Isto é, a família de polinômios da forma αQ1 + βQ2 , onde α, β ∈ C tem 4 quadrados perfeitos, que são: Q1 , Q2 , Q1 − Q2 e Q1 − λQ2 , estes polinômios não são proporcionais pois λ ̸= 0, 1. Isto nos dá uma contradição, pois vamos mostrar que sobre a reta αQ1 + βQ2 , onde Q1 e Q2 são primos entre si, não podem aparecer mais que 4 quadrados perfeitos. De fato, suponha que sobre uma reta projetiva existam 4 quadrados perfeitos: R21 , R22 , α1 R21 − β 1 R22 e α2 R21 − β 2 R22 .

20

Capítulo 1: Geometria das Curvas Cúbicas

√ √ Como R1 e R2 são primos entre si, segue que os polinômios αi R1 ± β i R2 devem ser também quadrados perfeitos. Como resultado, na reta projetiva αQ1 + βQ2 na qual tem 4 quadrados perfeitos nos fornece outra reta projetiva αR1 + βR2 na qual também há quatro quadrados perfeitos. Para esta nova reta podemos, repetindo o raciocínio obter ou reta projetiva com quatro quadrados perfeitos. Mas para cada passagem diminuímos o grau de cada polinômio da forma αQ1 + βQ2 em um fator de 2. O que nos dá um absurdo. 

1.7

Exercícios

1. As retas AB e CD se intersectam no ponto P, as retas BC e AD se intersectam no ponto Q. Uma cúbica passando nos pontos A, B, C, D, P, Q. Prove que as tangentes a cúbica nos pontos P e Q se intersectam em um ponto que está sobre a cúbica. Sugestão: Aplique o teorema 1.2 para o caso A31 = A32 e A13 = A23 . 2. Uma reta intersepta uma cúbica nos pontos A, B e C. As tangentes a cúbica nos pontos A, B e C interceptam a cúbica nos pontos A1 , B1 e C1 . Prove que os pontos A1 , B1 e C1 estão sobre uma reta. 3. Prove que a curva y2 = x3 + px + q intercepta a reta no infinito z = 0 em um ponto de multiplicidade 3. 4. Prove que no ponto (0, 0) e qualquer reta intercepta a curva y2 = x2 ( x + 1) com multiplicidade no mínimo 2 e que para as retas y = ± x a multiplicidade é 3. 5. Prove que no plano projetivo a circunferência ( x − a)2 + (y − b)2 = R2 passa nos pontos infinitos (1 : i : 0) e (1, −i, 0). 6. Prove que o ponto ( x0 , y0 ) sobre a curva y = f ( x ) é um ponto de inflexão se e só se f ′′ ( x0 ) = 0. 7. Prove que todos os pontos da curva y2 = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) são não singulares se e só se os xi são distintos. 8. Prove que todos os pontos da curva y = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) são não singulares exceto (0 : 1 : 0). 9. Prove que a definição de reta tangente é invariante por mudança de coordenadas. 10. Prove que a definição de ponto de inflexão é invariante por mudança de coordenadas.

Capítulo 2 Funções Elípticas Neste capítulo vamos estudar a estrutura topológica das curvas cúbicas, a definição das funções elípticas, a função ℘(z) de Weierstrass e algumas de suas propriedades, parametrização racional das curvas cúbicas e terminamos com as conexões com integrais elípticas. A Adição de pontos sobre a circunferência esta relacionada com as funções seno e cosseno. Existe uma parametrização semelhante para cúbica, mas para obtê-las precisamos introduzir as funções elípticas. As integrais elípticas estão diretamente relacionadas com a elipse uma vez que o comprimento de um arco de elipse pode ser expresso por uma integral elíptica espec´fiica. Por isso mesmo estas integrais levam este nome. As funções elípticas aparecem no processo de inversão de integrais elípticas que foram estudadas por outra razão que o cálculo do comprimento de arco da elipse.

2.1

Estrutura Topológica de uma Cúbica não Singular em C P2

A equação de qualquer cúbica não singular em C P2 pode ser reduzida para a forma y2 z = ( x − a1 z)( x − a2 z)( x − a3 z),

(1)

onde os números ai são dois a dois distintos. Esta equação determina em C uma curva em C P2 de dimensão 1 e nos R de dimensão 2. Para encontrar a estrutura topológica da curva (1) em C P2 , considere a projeção p : C P2 − {(0, 1, 0)} → C P1 , ( x, y, z) 7→ ( x, z). A reta projetiva complexa C P1 (Compactificação de C em um ponto) é homeomorfa a uma esfera S2 de dimensão 2. Para b ̸= 0 a equação y2 = b tem precisamente duas soluções distintas. Portanto, se z ̸= 0 e x − ai z ̸= 0, então o ponto ( x, y) ∈ C P1 tem exatamente duas pré imagens que pertencem a curva (1). Se z = 0 a equação (1) se torna a equação x3 = 0. Portanto, o ponto ∞ = (1, 0) também tem somente uma pré imagem, que é, (0, 1, 0). Mais precisamente, a pré imagem do ponto (1, z) também tende para (0, 1, 0) quando z → 0. No que segue vamos descrever a projeção da curva (1). Se excluirmos os pontos ai e ∞ de C P1 , então todos os pontos tem exatamente uma pré imagem. Devemos

21

22

Capítulo 2: Funções Elípticas

estudar com mais detalhes a estrutura da aplicação nas vizinhanças de ai e de ∞. Por simplicidade assuma que a1 = 0. Considere as coordenadas afins, isto é, coloque z = 1. A projeção da curva (1) sobre C P1 nestas coordenadas fica ( x, y) 7→ x. Então (1) fica da forma y2 = x ( x − a2 )( x − a3 ), onde a2 a3 ̸= 0. Para os pontos x próximos de zero a quantidade ( x − a2 )( x − a3 ) é quase constante, isto é, temos quase a equação y2 = cx. Esta equação tem solução da forma x = cλ2 e2iφ , y = cλeiφ . Como φ varia entre 0 e π, podemos percorrer uma revolução completa ao redor do ponto (0, 1) de C P1 . Sobre tal revolução, y muda de sinal. Suspendendo a revolução em torno de (1, 0) de C P1 na curva (1) nós não voltamos ao ponto inicial. Mas executando uma outra revolução retornamos ao ponto inicial, desde que há duas mudanças de sinal para y0 .

A estrutura da projeção da curva (1) sobre C P1 nas vizinhanças de ∞ é a mesma que nas vizinhanças de ai . De fato, seja x = 1. Então em uma vizinhança de z = 0 a equação (1) se aproxima de y2 = 1z e, daí, o sinal de y muda depois de uma revolução completa ao redor de z = 0. Para continuar a análise vamos cortar C P1 de a1 até a2 e de a3 até ∞. O levantamento destes cortes para a curva (1) divide ela em duas partes. De fato, avançando ao longo de qualquer caminho fechado em C P1 que não intercepta os cortes iremos circunscrever os pontos a1 , a2 , a3 e ∞ apenas em pares e debaixo da passagem em torno de dois pontos o valor de y não muda. Portanto, é impossível conseguir uma pré imagem dos pontos de C P1 em outras pré imagem sem interceptar os cortes. Se cortamos C P1 de a1 até a2 e de a3 até ∞, então o que resta de C P1 pode ser representado na forma de um plano com dois cortes, veja (2.1). A parte da curva (1) que esta acima deste plano consiste de duas peças. O único que ainda precisamos compreender é como colamos estas duas partes. Atravessando um corte em C P1 marcamos um bordo com o sinal mais e o outro com o sinal menos. Então, quando os bordos são colados, obtemos um toro. Uma parametrização da cúbica em C P2 pode ser determinada por determinar uma função f : C1 → C P2 , onde f (z) = ( F1 (z), F2 (z), 1). A imagem desta função deverá ser um toro. Uma simples aplicação de C1 no toro é obtida por identificar todos os pontos da forma z + nω1 + mω2 . Em outras palavras, ω1 e ω2 são os períodos das funções F1 e F2 .

2.2: Propriedades Gerais das Funções Elípticas

23

Figura 2.1: Definição de Soma

Figura 2.2: O Toro

2.2

Propriedades Gerais das Funções Elípticas

Uma funccão é dita ser de período duplo se f (z + nω1 + mω2 ) = f (z) para qualquer m, n ∈ Z e ω1 e ω2 ∈ C. Por reticulado em C entendemos por ser o conjunto de pontos sobre C gerado pelas combinações inteiras de dois elementos de ω1 , ω2 ∈ C, isto é,

{mω1 + nω2 : m, n ∈ Z} . Por considerações elementares, mas que não gostaríamos de nos alongar aqui, podemos escolher ω1 , ω2 tais que ω1 /ω2 ∈ / R (são linearmente independentes), para facilitar, assumimos também que IM(ω1 /ω2 ) > 0 (implica que a rotação de ω1 para ω2 é no sentido horário e que os vetores estão no semiplano superior). Neste texto estaremos interessados unicamente em funções meromorfa de período duplo. Recorde que uma função analítica é dita meromórfica se em um finito domínio de C ela não tem pontos singulares diferentes dos polos. Em uma vizinhança qualquer de um ponto a uma função meromórfica pode ser expressa como uma série de potências f ( z ) = c0 ( z − a ) r + c1 ( z − a ) r +1 + · · · , onde c0 ̸= 0 e r é um inteiro. Vamos recordar alguns exemplos de funções meromorfas sen z z3 − 3x + 10 ez , e , z5 + 3z − 1 z (z − 1)2

24

Capítulo 2: Funções Elípticas

e alguns exemplos de funções que não são ln z,

1 1 e sen . sen(1/z) z

Uma função meromorfa de período duplo é chamado de função elíptica. Se temos ω1 , ω2 como acima, qualquer número complexo z pode ser representado na forma z = a1 ω1 + a2 ω2 , onde ai ∈ R. Os números ai podem ser representandos como soma de um inteiro mais a sua parte racional. Então podemos Chamamos de paralelogramo fundamental da função elíptica o conjunto

{ a 1 ω1 + a 2 ω2 : 0 ≤ a 1 , a 2 ≤ 1 } . Portanto, uma função elíptica é completamente determinada pelos seus valores no paralelogramo fundamental. Teorema 2.1 Uma função elíptica sem polos é constante. Demonstração: Suponha que a função elíptica f (z) não tenha polos. Então a função | f (z)| é continua sobre C. Desde que os paralelogramo fundamental é um compacto, | f (z)| ≤ M, para algum número M > 0. Mas então | f (z)| ≤ M, para todo z ∈ C. Isto é, f é uma função analítica e limitada sobre C. Portanto, pelo teorema de Liouville, f é constante.  Todos os pontos singulares de uma função meromorfa são isolados. Segue disso que nos paralelogramos fundamentais só existe um número finito de pontos singulares. Portanto, deve existir uma translação paralela do paralelogramo fundamental tal que não existe nenhum ponto singular sobre os seus lados. Podemos então assumir que não há pontos singulares sobre os lados do paralelogramo fundamental. Afirmação 2.2 Seja P um paralelogramo fundamental com vértices α, α + ω1 , α + ω1 + ω2 e ∫ α + ω2 , e ∂P seu bordo. Então ∂P f (z) dz = 0 para toda f (z) função elíptica. Demonstração: De fato, esta integral é a soma de certas expressões entre as ∫ α+ω ∫ α+ω +ω quais estão, entre outras, α 1 f (z) dz e α+ω 1 2 f (z) dz com sinal mais ou menos 2 (dependendo do sentido da curva), respectivamente. Estas integrais são iguais, desde

2.2: Propriedades Gerais das Funções Elípticas

25

que f (z + ω2 ) = f (z). Similarmente, as integrais ao longo dos outros pares também se cancelam.  Esta afirmação permite obter informações relevantes a respeito de zeros e polos de uma função elíptica. Teorema 2.3 a) A soma dos resíduos de uma função elíptica nos pontos singulares dentro do paralelogramo fundamental é igual a zero. b) Para cada função elíptica, seja ai seus zeros e polos que estão dentro do paralelogramo fundamental, e seja ri as suas ordens (positivos para zeros e negativos para polos). Então ∑ ri = 0 e ∑ ri ai ≡ 0(modΛ), isto é, ∑ ri ai = mω1 + nω2 , onde m e n são inteiros. Demonstração: Como é conhecido em Variáveis Complexas, se o bordo do paralelogramo fundamental P não tem valores singulares da função moromórfa g, então ∫ 1 ∑ res g = 2π ∂P g(z)dz. P Para provar a parte a) basta usar a identidade g = f . Para provar que ∑ ri = 0 e ∑ ai ri = 0( mod Γ) usamos que g(z) = f ′ (z)/ f (z) e/ou g(z) = z f ′ (z)/ f (z), respectivamente. Se f (z) é uma função elíptica, então g(z) = f ′ (z)/ f (z) e também é uma função elíptica. Se a ∈ C é um zero de ordem m de f , então f (z) = (z − a)m h(z), com h( a) ̸= 0. e h(z) analítica. Daí, f ′ (z) m h′ (z) 1 = + e f (z) z−a h(z) 2πi

∫ C

f ′ (z)dz = m. f (z)

Se a ∈ C é um polo de ordem r de f , então deve existir ϕ(z) tal que ϕ(z) = (z − a)r f (z) onde a é um ponto regular de ϕ(z) e ϕ( a) ̸= 0. Daí f (z) = e

ϕ(z) , f ′ ( z ) = − r ( z − a ) r −1 ϕ ( z ) + ( z − a ) −r ϕ ′ ( z ). ( z − a )r

f ′ (z) r ϕ′ (z) 1 =− + ⇒ f (z) z−a ϕ(z) 2πi

∫ C

f ′ (z)dz = −r. f (z)

26

Capítulo 2: Funções Elípticas

Disto seque que ∑ ri = 0. Para provar a identidade ∑ ri ai = mω1 + nω2 devemos proceder com certos cálculos. Uma vez que g(z) = z f ′ (z)/ f (z) não necessariamente é uma função elíptica. Primeiro observe que se f (z) = c0 (z − a)r + c1 (z − a)r+1 + · · · , então g(z) =

ar a + (z − a) rc0 (z − a)r−1 + · · · = · +··· ; r − 1 z−a z−a c0 ( z − a ) +···

Daí, o resíduo de g(z) em a é igual a ar. Agora, vamos calcular a integral A diferença das integrais ∫ α + ω1 z f ′ (z) dz f (z) α e

∫ α + ω1 + ω2 z f ′ (z)

f (z)

α + ω2

dz =

∫ α + ω1 ( z + ω2 ) f ′ ( z ) α

f (z)

∫ ∂P

g(z) dz.

dz

contribuem para esta integral. A diferença é igual a

− ω2

∫ α + ω1 z f ′ (z) α

f (z)

dz = −ω2 ln f (z)|αα+ω1 .

Desde que f (α + ω1 ) = f (α), o logarítmo de f (z) pode mudar somente 2πki, com k ∈ Z quando z varia de α até α + ω1 . Como resultado vemos que a integral ∫ ∂P

g(z) dz

para um par de lados é nω2 e para o outro par é mω2 , com m, n inteiros.



Como já dissemos, uma função elíptica não constante deve ter no mínimo um polo dentro do paralelogramo fundamental. Mas desde que a soma dos seus resíduos deve ser nulo, a função não pode ter apenas um polo de ordem 1. Para funções elípticas, o número (contando multiplicidades) de polos dentro de um paralelogramo fundamental é chamado de ordem de uma função elíptica. O menor ordem possível é dois: 1) Um polo de ordem 2, isto é, de multiplicidade 2 (isto acontece com as funções de Weierstrass que discutiremos na próxima seção). 2) Dois polos simples (isto acontece com as funções de Jacobi que discutiremos mais para frente). Não há outra forma de isto ser realizado. Pelo item b) do teorema 2.3, para qualquer função elíptica a soma das ordens de zeros dentro de um paralelogramo fundamental é igual a soma da ordens de seus polos, isto é, é igual a ordem desta função. Como é claro que os polos da função f (z) − c é o mesmo que da f (z). Concluímos que para funções elípticas de ordem r (contando multiplicidades) ela assume exatamente r vezes qualquer valor finito dentro de um paralelogramo fundamental.

2.3: A Função de Weierstrass

27

2.3 A Função de Weierstrass Já provamos que certas propriedades a respeito de funções elípticas mas não temos estabelecido que existe função elíptica não constante. É tempo de darmos um exemplo de uma função elíptica não trivial. Considere para qualquer reticulado Λ a seguinte função [ ] 1 1 1 ′ ℘(z) = 2 + ∑ − , (2) z ( z − ω )2 ω 2 onde a soma deve ser feita sobre todos elementos não nulos ω ∈ Λ, o apostrofo em ∑′ esta para denotar isso. Agrupar os termos em colchetes é fundamental, visto que ∑(z − ω )−2 e ∑ ω −2 divergem. Vamos provar que a série (2) converge e que esta série define uma função meromórfa. Sobre qualquer compacto K que não contém nenhum ponto do reticulado, a série converge uniformemente e absolutamente. De fato, 1 1 2zω − z2 ω 2x − z2 /ω − = = · . ( z − ω )2 ω 2 ω 2 ( z − ω )2 ω 4 (z/ω − 1)2 −z /ω Se |ω | é grande, então uma aproximação razoável para (2x é 2z. Portanto, para z/ω −1)2 todo ω ∈ Λ com um valor suficientemente grande de |ω | e para todo z ∈ K existe uma constante M tal que 1 1 M ( z − ω )2 − ω 2 < | ω |3 . 2

Além disso, |z − ω | > ϵ com z ∈ K e ω ∈ Λ; tal constante existe para todo ω ∈ Λ. É fácil de se convencer que a série ∑ |ω |−3 converge. De fato,

∑ | ω | −3 =

∞

∑

∑

| pω1 + qω2 |−3 ≤

n=1 max{ p,q}=n

∞

∑ 8n(nh)−3,

n =1

onde h = min {|ω1 |, |ω2 |} é o menor dos dois lados do paralelogramo fundamental. Disso segue, que ℘(z) é uma função meromorfa com polos e zeros no reticulado. Chamada de função de Weierstrass. Vamos provar a periodicidade da função de Weierstrass. Para isso, considere a derivada

℘ ′ ( z ) = −2 ∑ ( z − ω ) −3 . Aqui também o somatório corre sobre todos os nós do reticulado Λ. Claramente, ω1 e ω2 são períodos da função ℘′ (z). Desde que a funções ℘(z + ωi ) e ℘(z) podem diferir por no máximo uma constate c. Substituindo z = −ωi /2 na igualdade ℘(z + ωi ) = ℘(z) + c temos que ℘(ωi /2) = ℘(−ωi /2) + c. Mas é claro da fórmula (2) que a função é par. Daí, c = 0, isto é, ω1 e ω2 são os períodos de ℘(z). A função ℘ tem período duplo sobre os nós do reticulado; e não tem outros pontos singulares. Dentro do paralelogramo fundamental deve existir exatamente um nó do reticulado. Portanto, dentro do paralelogramo fundamental a soma dos polos de ℘ é congruô a zero módulo Λ. Pelo teorema 2.3, dentro do paralelogramo fundamental, há dois zero u e v, tal que u + v ≡ 0( mod Λ). Para qualquer constante c os polos da

28

Capítulo 2: Funções Elípticas

função ℘(z) − c e ℘(z) coincidem, e portanto, dentro do paralelogramo fundamental há exatamente dois pontos, para os quais ℘(u) = ℘(v) = c e u + v ≡ 0( mod Λ). Se u ≡ u( mod Λ), então estes dois pontos coincidem, isto é, o valor correspondente de ℘ é atingido duas vezes. Nos pontos onde os dois zeros de ℘(z) − c se funde a derivada ℘′ (z) se anula. é possível selecionar um paralelogramo fundamental que contém exatamente quatro pontos para os quais u ≡ −u( mod Λ), isto é, os pontos 0,

ω1 ω2 ω1 + ω2 , e . 2 2 2

O primeiro destes pontos é um polo de ℘ e os outros três pontos são zeros de ℘′ . Considere os valores ) ( (ω ) (ω ) ω1 + ω2 2 1 e1 = ℘ , e2 = ℘ e e3 = ℘ 2 2 2 de ℘ são de multiplicidade 2 e não há nenhum outro valor e multiplicidade 2. Os valores de multiplicidade 2 correspondem aos valores em que a derivada se anula, daí, ℘′ (z) = 0 se, e só se, z1 ≡

1 1 1 ω1 , ( ω1 + ω2 ) , ω2 ( 2 2 2

mod Λ).

Observe que os valores e1 , e2 e e3 são distintos. Suponha, por exemplo, que e1 = e3 . Então a função ℘(z) − e1 tem um zero de multiplicidade 2 no ponto ω1 /2 e ω2 /2, isto é, dentro do paralelogramo fundamental tem no mínimo 4 zeros. Isto é impossível. A função de Weierstrass não é o uníco exemplo de função elíptica mas nos permite descrever a estrutura de todas as funções elípticas. Teorema 2.4 Seja f (z) uma função elíptica arbitrária e ℘(z) uma função de Weierstrass de mesmo período. Então deve existir funções racionais R e R1 tais que f = R(℘) + R1 (℘)℘′ . Demonstração: Sempre é possível representar f (z) como a soma de uma função par g(z) = 21 ( f (z) + f (−z)) e de uma função ímpar h(z) = 12 ( f (z) − f (−z)). Como ℘′ (z) é uma função ímpar, h1 (z) = h(z)/℘′ (z) é uma função par e para as funcções pares g e h1 temos f (z) = g(z) + h1 (z)℘′ (z). Portanto, é suficiente provarmos que qualquer função elíptica par podem ser representada como uma função racional de ℘. Para fazer isto, vamos analisar certas propriedades dos zeros e polos de uma função par elíptica. 1o Seja f uma função par, e u um de seus zeros (ou polo) de ordem m. Então −u também é um zero (resp. polo) de ordem m. De fato, no caso de ser um zero é suficiente observar que uma função par f satisfaz f (k) (−z) = (−1)k f (k) (z). No caso de polos, considere 1/ f ao invés de f .

2.4: Uma Equação Diferencial para a Função de Weierstrass

29

2o Se é uma função par e elíptica e u ≡ −u( mod Γ), então a ordem do zero ou polo de f em u deve ser par. Vamos considerar somente os zeros (desde que para os polos podemos considerar 1/ f ao invés de f ). A condição u ≡ −u( mod Γ) é equivalente ao fato de ω ω + ω2 ω2 u ≡ 0, 1 , 1 , ( mod Γ). 2 2 2 Além disso, a periodicidade de f ′ implica f ′ (u) = − f ′ (u). Mas a derivada de uma função par é ímpar, f ′ (u) = 0. Portanto, se a função f tem um zero em u; então este zero é de multiplicidade no mínimo 2. Para qualquer dos casos u≡

ω1 ω1 + ω2 ω2 , , ( 2 2 2

mod Γ)

a função F (z) = ℘(z) − ℘(u) tem um zero de ordem 2 em u e se u ≡ 0( mod Γ), então a função F (z) = 1/℘(z) tem a propriedade. Usando F, podemos construir uma função par elíptica f 1 (z) = f (z)/F (z) o qual a ordem do zero em u é no mínimo o grau de f menos 2. Daí, se f 1 (u) ̸= 0, então a ordem do zero de f em u é igual a 2 e se f 1 (u) = 0, então podemos aplicar o mesmo argumento para f 1 ao invés de f , etc. Pelas propriedades descritas acima para os zeros e polos de uma função elíptica par f elas podem ser divididas em pares da forma (x,-x). Selecionando um representante de cada um dos pares com a1 , a2 , . . . , ak representando os zeros e b1 , b2 , . . . , bk representando os polos. Considere as funções elípticas Q(z) = R(℘(z)) =

∏(℘(z) − ℘( ai )) , ∏(℘(z) − ℘(bi )))

onde tomamos apenas aqueles ai e bi que são distintos dos nós do reticulado (Desde que os nós da função ℘ são infinitos). Se negligenciarmos os nós do reticulado, então o sistema completo de zeros e polos de Q é o mesmo que de f , e desde que ℘(z) = ℘( a) se e só se z ≡ ± a( mod Γ). Mas pelo teorema 2.3b) para uma função elíptica temos que a soma das ordens de seus zeros e polos dentro de um paralelogramo fundamental é igual a zero; daí, a ordem dos zeros ou polos em um nó do reticulado é unicamente determinado pelas ordens dos outros zeros e polos. Portanto, f (z)/Q(z) é uma função elíptica sem polos, isto é, uma constante. Como resultado, temos que f (z) = cR(℘(z)) como queríamos. 

2.4

Uma Equação Weierstrass

Diferencial

para

a

Função

de

No final da seção anterior provamos que podemos expressar qualquer função elíptica com uma função racional em termos de ℘(z) e a expressão pode ser explicitamente determinada. Isto pode ser aplicado a função (℘′ (z))2 . Ela tem zeros de multiplicidade 2 sobre ω21 , ω1 +2 ω2 e ω22 e um polo de multiplicidade 6 sobre os nós do reticulado. Daí,

(℘′ (z))2 = c(℘(z) − e1 )(℘(z) − e2 )(℘(z) − e3 ),

(3)

30

Capítulo 2: Funções Elípticas

onde e1 = ℘

( ω1 ) 2

, e2 = ℘

( ω2 ) 2

( e e3 = ℘

ω1 + ω2 2

)

. Desde que ℘(z) = z−2 + · · · e

℘′ (z) = z−3 + · · · , segue que c = 4. Há uma outra maneira de obter uma equação diferencial para ℘(z). Devemos usar o fato que se os coeficientes das potências não negativas de z na série de potências de Laurent da expansão das funções (℘′ (z))2 e a℘3 ( x ) + b℘2 (z) + c℘(z) + d coincidem, então estas funções são iguais. De fato, sua diferença é uma função elíptica com polo em 0 no valor igual a 0. Daí, sua diferença deve ser igual a zero. Como ( )2 ( ) 1 d 1 = = 1 + 2x + 3x2 + · · · , 1−x dx 1 − x segue disso que ] [ 1 1 1 ℘(z) = 2 + ∑ − z ( z − ω )2 ω 2 ) [ ( ] ( z )2 1 1 z 1 = 2 +∑ +··· − 2 1+2 +3 ω ω z ω2 ω 1 = 2 + 3G4 z2 + 5G6 z4 + · · · , z − k onde Gk = ∑ ω (para k ímpar esta soma dá zero). Nas igualdades abaixo escrevemos apenas os termos da série de Laurent que nos interessam ℘(z) = z−2 + · · · , ℘2 (z) = z−4 + 6G4 + · · · , ℘3 (z) = z−6 + 9G4 z−2 + 15G6 + · · · , ( ′ )2 ℘ (z) = 4z−6 − 24G4 z−2 − 80G6 + · · · Daí, a℘3 ( x ) + b℘2 (z) + c℘(z) + d

= az−6 + bz−4 + (9aG4 + c)z−2 + ( a℘3 ( x ) + b℘2 (z) + c℘(z) + d) + · · · Portanto, a℘3 ( x ) + b℘2 (z) + c℘(z) + d = (℘′ )2 se a = 4, b = 0, 9aG4 + c = −24G4 e a℘3 ( x ) + b℘2 (z) + c℘(z) + d = −80G6 , isto é,

a = 4, b = 0, c = −60G4 e d = −140G6 .

Coloque g2 = 60G4 = 60 ∑ ω −4 , e g3 = 140G6 = 140 ∑ ω −6 . Então,

(℘′ )2 = 4℘3 (z) − g2 ℘(z) − g3 .

(4)

Comparando (3) com (4), vemos que e1 + e2 + e3 = 0, e1 e2 + e1 e3 + e2 e3 = −

g3 g2 e e1 e2 e3 = − . 4 4

É fácil de verificar que g23 − 27g32 = 16(e1 − e2 )2 (e2 − e3 )2 (e3 − e1 )2 . Na seção anterior já mostramos que os números e1 , e2 e e3 são dois a dois distintos. Portanto, g23 − 27g32 ̸= 0. É natural perguntar se dado os números g2 e g3 tais que g23 ̸= 27g32 , existe um reticulado tal que g2 = 60 ∑ ω −4 e g3 = 140 ∑ ω −6 ? A resposta é afirmativa.

2.5: Parametrização da Cúbica com a Ajuda da Função de Weiertrass

31

2.5 Parametrização da Cúbica com a Ajuda da Função de Weiertrass A equação diferencial de ℘ nos permite esclarecer a natureza da soma de pontos sobre a cúbica. Para fazer isto precisamos usar o fato que deixamos sem demonstração: Para qualquer números g2 e g3 tais que g23 ̸= 27g32 existe um reticulado para o qual a função de Weierstrass satisfaz a equação

(℘′ )2 = 4℘3 − g2 ℘ − g3 . Este resultado pode ser encontrado em ([3]). A curva cúbica y2 = 4x3 − g2 x − g3 pode ser parametrizada com a ajuda da ℘, colocando x = ℘(z) e y = ℘′ (z). Passando para as coordenadas homogêneas em C P2 a aplicação f : C/Λ → C P2 definida por { (℘(z), ℘′ (z), 1) para z ̸= 0, z 7→ (z3 ℘(z), z3 ℘′ (z), z3 ) = (0, 1, 0) para z = 0. Claramente, esta aplicação é analítica em todos os pontos distintos dos nós do reticulado. Expressando da forma ( ) ℘(z) 1 z 7→ , 1, ℘′ (z) ℘′ (z) podemos verificar que ela é analítica em uma vizinhança de um nó do reticulado. A aplicação f é injetora do toro C/Λ na cúbica y2 z = 4x3 − g2 xz2 − g3 z3 em C P2 . De fato, a reta no infinito z = 0 esta sobre todos os pontos (0 : 1 : 0) desta curva; os nós do reticulado os quais corresponde a um ponto de toro são mapeados neste ponto. Para todo os outros podemos considerar uma curva afim y2 = 4x3 − g2 x − g3 e a aplicação z 7→ (℘( x ), ℘′ (z)). A equação ℘(z) = c pode ter uma ou duas soluções. Ela tem duas soluções se ℘(z) ̸= 0. As soluções são da forma ±z. A imagem destes pontos não coincidem, desde que ℘′ (z) ̸= 0 e −℘′ (z) = ℘′ (−z) diferem pelo sinal. A adição de números complexos induz a uma adição de pontos sobre o toro o qual, com a ajuda da função f , induz a adição de pontos sobre a cúbica. Esta operação de adição é exatamente a soma que definimos no capítulo 1, no qual colocamos o elemento neutro da soma no ponto no infinito (0 : 1 : 0). Sejam P1 e P2 dois pontos sobre a cúbica que são correspondidos por z1 e z2 , respectivamente, isto é, Pi = (℘(zi ), ℘′ (zi )). Desenhando a reta y = ax + b que passa por P1 e P2 . Então ℘′ (zi ) = a℘(zi ) + b, onde i = 1, 2. No ponto z = 0 a função elíptica ℘′ (z) − a℘(z) − b tem um polo de multiplicidade 3 e não tem outro polo nos outros pontos do paralelogramo fundamental. Portanto, a ordem desta função é 3, isto é, ela tem precisamente 3 zeros, além disso, já conhecemos dois zeros z1 e z2 e tem um terceiro z3 . Desde que a soma dos polos e zeros é igual a zero, temos z1 + z2 + z3 ≡ 0( mod Λ), isto é, z3 ≡ −z1 − z2 ( mod Λ). Disto segue que o terceiro ponto de interseção da reta P1 P2 com a cúbica é o ponto P3′ = (℘(z3 ), ℘′ (z3 )) = (℘(−z1 − z2 ), ℘′ (−z1 − z2 )) = (℘(z1 + z2 ), −℘′ (z1 + z2 )).

32

Capítulo 2: Funções Elípticas

Figura 2.3: Soma na Parametrização

Portanto, o ponto P3 = (℘(z1 + z2 ), ℘′ (z1 + z2 )) corresponde a soma de z1 e z2 é simétrico a P3′ com respeito ao eixo x, veja a figura 2.3. Em outras palavras, P3 é o ponto de interceção da cúbica com a reta P3′ E, onde E = (0, 1, 0) o ponto no infinito sobre a cúbica. Isto é exatamente o que queríamos verificar. Vamos estender o argumento acima, um pouco mais, e mostrar que existe um teorema de adição algébrica para ℘, isto é, ℘(z1 + z2 ) pode ser expresso em termos de ℘(z1 ) e ℘(z2 ). De fato, a reta y = ax + b passando através dos pontos P1 e P2 intercepta a cúbica y2 = 4x3 − g2 x − g3 em três pontos ( xi , yi ), onde x1 = ℘(z1 ), x2 = ℘(z2 ) e x3 = ℘( x1 + x2 ). portanto, a equação cúbica

( ax + b)2 = 4x3 − g2 x − g3 tem as raízes x1 , x2 e x3 . Expressando os coeficientes de x2 e termos destas raízes obtemos a2 ℘(z1 ) + ℘(z2 ) + ℘(z1 + z2 ) = . 4 Desde que ℘′ (z1 ) = a℘(z1 ) + b e ℘′ (z2 ) = a℘(z2 ) + b, segue que a = Portanto, ( )2 1 ℘ ′ ( z1 ) − ℘ ′ ( z2 ) ℘(z1 + z2 ) = −℘(z1 ) − ℘(z2 ) + . 4 ℘(z1 ) − ℘(z2 )

℘′ (z1 )−℘′ (z2 ) . ℘(z1 )−℘(z2 )

Disso, ℘(z1 + z2 ) pode ser expresso de maneira racional em termos de ℘(zi ) e ℘′ (zi ), com i = 1, 2. Recorde que ℘′ (zi ) pode ser algebricamente expresso em termos de ℘(zi ), isto é: √ ℘′ (zi ) = 4℘(zi ) − g2 ℘(zi ) − g3 .

Com a ajuda da função de Weierstrass podemos também parametrizar y2 = G4 ( x ),

2.6: Exercícios

33

onde G4 ( x ) = a0 x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4 , é um polinômio de grau 4 sem raízes repetidas. Para fazer isto basta considerar a mudança de coordenadas x = x11 + α, y y = x11 , onde α é tal que G4 (α) = 0.

2.6

Exercícios

1. As funções elípticas f e g tem o mesmo período e em cada polo elas tem a mesma parte principal cr ( x − a)r + cr+1 ( x − a)r+1 + · · · + c−1 (z − a)−1 onde r < 0. Prove que a diferença entre elas é constante. 2. As funções elípticas f e g tem o mesmo período e seus zeros e polos (contando multiplicidade) coincidem. Prove que o quociente delas é contante. 3. Prove que ℘′′ = 6℘2 − g2 /2 e ℘′′′ = 12℘′ ℘. Sugestão: Diferencie (4). 4. Prove que e12 + e22 + e32 =

g2 3 2 , e1

+ e23 + e33 =

3g3 4

e e14 + e24 + e34 =

g22 8.

Sugestão: Use o fato que a + b + c divide a3 + b3 + c3 − 3abc e ( a2 + b2 + c2 )2 − 2( a4 + b4 + c4 ).

34

Capítulo 2: Funções Elípticas

Capítulo 3 Arcos de Curvas e Integrais Elípticas Neste capítulo vamos abordar o calculo do comprimento de arco para elipse e hipérbole, integrais elípticas e teoremas aditivos válidos para integrais elípticas. Funções introduzidas por Jacobi para este estudo destes problema.

3.1

Um Pouco de História

Considerações sobre as funções elípticas foram impostas pela impossibilidade de conseguir a integral de certas funções. Entre as integrais que podemos tratar com as funções elípticas estão as funções que deram o nome para esta família de funções, elas aparecem quando tentamos calcular o comprimento de arco de uma elipse. 2

y2

Por exemplo considere a elipse xa2 + b2 = 1 que pode ser parametrizada pelas fórmulas x =√a sen φ e y =√b cos φ. A diferencial dl do comprimento √ de arco da 2 2 2 2 2 2 elipse√é igual dx + dy = a cos φ + b sen φdφ. Se a = 1 e b = 1 − k2 , então dl = 1 − k2 sen2 φdφ. Neste caso o comprimento de arco da elipse entre o ponto inicial sobre o eixo menor B, e o ponto M = ( a cos φ, b sen φ) é igual a ∫ φ√ 0

1 − k2 sen2 θ dθ.

A necessidade de introduzir novas funções, não é algo muito exótico, basta lembrar que para integrar ∫ ∫ ∫ dx dx dx √ , e 2 x 1+x 1 − x2 precisamos das funções transcendentais ln x, arctg x e arcsen x. Além disso, nos cursos de cálculo sabemos que é possível integrar todo tipo de função racional, naquelas que contém uma raiz que contém um polinômio p( x ) de grau menor ou igual 2, isto é, √ R( x,

G ( x )),

onde R( x, y) são funções racionais em duas variáveis. Se o grau do polinômio G ( x ) dentro do radical é maior que 2 então temos dificuldades de obter a integral em termos de funções transcendentais elementares. Em particular, se na integral se

35

36

Capítulo 3: Arcos de Curvas e Integrais Elípticas

considera polinômios de grau 3 e 4, isto nos conduz a funções elípticas, cuja principal característica é serem de período duplo. Considerações sobre integrais racionais já apareceram em Wallis (1616 − 1703) e de Giacomo (1654 − 1705) e Giovani I Bernoulli (1667 − 1748). Um outro matemático que teve um desempenho importante no estudo das funções elípticas foi Count Fagnano (1682 − 1766) foi ele quem forjou o termo integral elíptica. Ele teve contribuições nos teoremas aditivos das cúbicas e também nos processos de divisão da Leminiscata de Bernoulli, a sua produção matemática foi coletada e publicada sobre o nome de Produzioni Matematiche. A Acadêmia de Berlin pediu a Leonard Euler para ele escrever uma introdução para esta coletânea. Os trabalhos de Fagnano estimularam o interesse de Euler pelas integrais elípticas. Em seus numerosos trabalhos Euler fez progressos e generalizações dos resultados de Fagnano. Gauss também se interessou por estes assuntos, ele desenvolveu métodos que envolviam as progressões aritméticas e geométricas que permite resolver as integrais elípticas, mas que não são tratados nestes material. Quem quiser saber mais sobre isso, veja ([1]). Além disso, ele se interessou nas equações para a divisão da Leminiscata. Por exemplo ele mostrou que uma equação de grau 25 relativa a divisão da Leminiscata em 5 partes era solúvel por radicais. Gauss não publicou as suas investigações mas em seu livro Disquisitiones Arithmeticae (Estudos aritméticos), o qual apareceu em 1801, ele menciona que os métodos que ele desenvolveu não eram somente ∫ dx aplicáveis para funções trignométricas, mas também para integrais da forma √ 2 . E estas 1− x afirmação intrigou Abel. Em ordem, depois de Euler, Legendre trabalhou incansavelmente por muitos anos para desenvolver a teoria das integrais Elípticas. Ele resumiu os seus resultados em um livro Exercises de calcul intégral, publicado em 1811 e 1819. Uma edição revisitada deste livro foi publicada entre 1827 − 1932 sobre o nome Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes. Estes três largos volumes contém inúmeros resultados a respeito de integrais elípticas e de suas aplicações. Nos trabalhos de Legendre ele chegou a três tipos de integrais: F ( φ) = F ( φ, k) = E( φ) = E( φ, k ) =

∫ φ 0

√

∫ φ√ 0

Π( φ) = Π( φ, c, k ) =

∫ φ 0

dφ 1 − k2 sen2 φ

1 − k2 sen2 φ dφ dφ √ (sen φ − c) 1 − k2 sen2 φ

que chamou de primeiro, segundo e terceiro tipo, respectivamente. Se fizermos a mudança de coordenadas sen θ = x, obtemos ∫

∫

√ √

dx

(1 − x2 )(1 − k2 x2 )

1 − k2 x2 dx 1 − x2 ∫ dx √ . (1 + nx2 ) (1 − x2 )(1 − k2 x2 )

3.2: Integrais Elípticas

37

Legendre chamou de funções elípticas o que hoje em dia é chamado de integrais elípticas. Depois dos trabalhos de Abel e Jacobi a importância dos livros de Legendre diluirão. No entanto, Abel e Jacobi sempre se referriam aos livros de Legendre com grande respeito.

3.2

Integrais Elípticas

A função de Weierstrass ℘(z) satisfaz, como vimos, a equação diferencial (

d℘ dz

)2

= 4 ℘ 3 − g2 ℘ − g3 .

Portanto, dz = √ e fazendo u = ℘(z) temos

∫

z=

d℘ 4 ℘ 3 − g2 ℘ − g3

√

,

du 4u3 − g2 u − g3

.

e como z = ℘−1 (z), isto é, a inversão da integral nos dá ∫

√

du 4u3

− g2 u − g3

a função de Weierstrass. Uma integral elíptica é uma integral da forma ∫ √ R( x, G ( x )) dx, onde G ( x ) é um polinômio de grau 3 ou 4, sem raízes multiplas e R( x, y) é uma função racional em duas variáveis. No início, tais integrais apareceram nos cálculos de comprimento de arco de várias curvas, entre elas as elipses. As integrais elípticas podem ser reduzidas para algumas integrais fundamentais. Mas antes vamos considerar integrais que não envolvem ∫ integrais elípticas. Para isso provar que se R( x ) é uma função racional, então a R( x ) dx é soma de um certo número de termos da forma ci ln( x − ai ). Para isso é suficiente provar que qualquer função racional pode ser expressa da forma A( x ) + ∑ i,k

ci,k , ( x − ai )k

onde A( x ) é um polinômio. Seja R( x ) = P( x )/Q( x ), onde P e Q são polinômios. Dividindo P por Q podemos passar para uma fração S/Q, onde deg S < deg Q. Digamos que S = Q1 Q2 , onde Q1 e Q2 são polinômios relativamente primos. Então devem existir polinômios A1 e A2 tais que A1 Q1 + A2 Q2 = 1. Portanto, A SQ + A2 SQ2 A S A S S = 1 1 = 1 + 2 . Q1 Q2 Q1 Q2 Q2 Q1

38

Capítulo 3: Arcos de Curvas e Integrais Elípticas

Em cada uma das frações podemos dividir o numerador pelo denominador e obter um resto. Depois de fazer os procedimentos acima um número finito de vezes, obtemos um polinômio A( x ) somado com termos do tipo P( x )/( x − a)n , onde deg P( x ) < n. A demonstração se completa ao observar que p( x ) tem a forma P( x ) = b1 ( x − a)n−1 + b2 ( x − a)n−2 + · · · + bn . Leibniz foi o primeiro que considerou a integração de funções racionais. Ele considerou somente polinômios que podiam ser fatorados, sobre R em fatores de grau 1 e 2. Ele parou frente a pergunta: É verdade ou não que todo polinômio real pode ser fatorado em fatores com coeficientes reais de grau 1 e 2? Em 1702, Leibnitz publicou um artigo no qual afirmava que era impossível fatorar o polinômio x4 + a4 uma vez que √ √ x4 + a4 = ( x2 + a2 −1)( x2 − a4 −1) √√ √ √ √ √ √√ = (x + a −1)( x − a −1)( x + a − −1)( x + a − −1). e o produto de quaisquer dois destes fatores não podia, como ele acreditava, ser um polinômio de grau dois com coeficientes Reais. Somente 17 anos depois Nicholas Bernoulli (1687 − 1759) verificou que √ √ x4 + a4 = ( x + a2 )2 − 2a2 x2 = ( x2 + 2ax + a2 )( x2 − 2ax + a2 ). Em suas correspondências Leibniz e Jacob Bernoulli também discutiram integrais de expressões irracionais que aparecerão no estudo de vários problemas físicos e matemáticos. Muitas destas integrais eram elípticas. Vamos considerar funções racionais com uma irracionalidade simples. Para calcular ∫ √ R( x, G ( x )) dx, onde G ( x ) = ax + b, em primeiro lugar fazemos a mudança de coordenadas u = ax + b, e como resultado obtemos a integral ∫

R1 (u,

√

u) du,

onde R1 é novamente uma função racional. Agora, colocando t = 2tdt e, segue ∫ ∫ ∫ √ 2 R1 (u, u) du = R1 (t , t) 2tdt = R2 (t) dt,

√

u, du = (t2 )′ =

onde R2 é novamente uma função racional. Agora, se G ( x ) = ax2 + bx + c, podemos fazer a mudança de coordenadas, x = y1 1 2 2 x1 + α, y = x1 e passamos da curva y = G ( x ) para a y1 = G1 ( x1 ), onde G1 é uma função linear. Vamos aplicar esta mudança de coordenadas para conseguir calcular a ∫ y integral R( x, y) dx, onde y2 = G ( x ). Façamos, x = x11 + α, y = x11 com a restrição de 1 que G (α) = 0. Então dx = − dx e x2 1

∫

R( x, y) dx = −

∫ R( 1 + α, y1 ) x1 x1

x12

∫

dx1 =

R1 ( x1 , y1 ) dx1 ,

3.2: Integrais Elípticas

39

onde y21 = Ax1 + B. ∫ Disso segue que a integral da forma R( x, y) dx, onde R é uma função racional e √ y = G ( x ), pode ser expressa em termos mais elementares de funções de grau ≤ 2. No caso em ∫que deg G = 3 podem √ aparecer funções que são inversas das elípticas. ∫ As integrais R( x, y) dx, onde y = G4 ( x ), se reduz às integrais Q( x, y) dx, onde √ 3 y = 4x − g2 x − g3 . De fato, use novamente a mudança de coordenadas x = x11 + α, y y = x11 e podemos substituir o polinômio de grau 4, G4 por um de grau 3. Como qualquer polinômio de grau 3 pode ser transformado, através de uma mudança linear, em um polinômio da forma 4x3 − g2 x − g3 . ∫ Devemos nos ater ao calculo de integrais da forma R( x, y) dx, onde y2 = 4x3 − g2 x − g3 , mas em muitos casos outras integrais elípticas são mais apropriadas. Portanto, devemos iniciar calculando integrais desta forma e depois considerar as outras formas ∫ especiais. Seja I = R( x, y) dx, onde y2 = a0 x4 + 4a1 x3 + 6a2 x2 + 4a3 x + a4 , onde no mínimo um dos coeficiente a0 ou a1 é não nulo. Teorema 3.1 (Legendre) As integrais elípticas podem ser representadas como combinação linear de funções racionais em x e y, e de integrais de funções racionais de x, e das integrais ∫

dx , y

∫

xdx , y

∫

x2 dx e y

∫

dx . ( x − c)y

Demonstração: Desde que y2 pode ser expresso em termos de x, podemos assumir que as funções racionais R não contem yk para k ≥ 2. Além disso, a + by ( a + by)(c − dy)y A = = + B, c + dy (c + dy)(c − dy)y y

∫ onde A e B são funções racionais só de x. Portanto, no calculo das integrais R( x, y) dx ∫ ∫ A(x)dx podemos reduzir por analisar as integrais B( x ) dx e . As funções racionais y A( x ) podem ser representadas na forma A( x ) =

ar,m

∑ a n x n + ∑ ( x − cr ) m .

Daí, só nos resta considerar integrais do tipo ∫

Jn = Como

x n dx , (n ≥ 0) e Hm = y

∫

dx ( m ≥ 1). ( x − c)m y

[ ] d 1 1 m d 2 m m −1 m dy m −1 2 y+x = mx y + x (y ) ( x y) = mx dx dx y 2 dx x m +3 x m +2 = ( m + 2) a0 + 2(2m + 3) a1 y y m + 1 xm x m −1 x + 2(2m + 1) a3 + ma4 , + 6( m + 1) a2 y y y

40

Capítulo 3: Arcos de Curvas e Integrais Elípticas

segue disso que x m y =(m + 2) a0 Jm+3 + 2(2m + 3) a1 Jm+2 + 6(m + 1) a2 Jm+1 + 2(2m + 1) a3 Jm + ma4 Jm−1 . Usando estas identidades para m = 0, 1, 2, . . . , podemos consequentemente expressar J3 em termos de J0 , J1 e J2 (e funções racionais de x e y), então J4 em termos de J0 , J1 , J2 , etc. (No caso quando a0 = 0 podemos expressar J2 em termos de J0 e J1 ; e a próxima, J3 em termos de J0 e J1 , etc) Para calcular as integrais Hm , escrevendo os polinômios G ( x ) na forma G ( x ) = b0 ( x − c)4 + 4b1 ( x − c)3 + 6b2 ( x − c)2 + 4b3 ( x − c) + b4 , onde b0 = a0 . Como no caso precedente, temos a identidade

( x − c ) m +3 ( x − c ) m +2 d + 3(2m + 3)b1 [( x − c)m y] = (m + 2)b0 dx y y ( x − c ) m +1 ( x − c)m ( x − c ) m −1 + 6(m + 1)b2 + 2(2m + 1)b3 + mb4 . y y y Integrando estas identidades para m = −1, −2, −3, . . . obtemos y x −c = y = ( x − c )2 y = ( x − c )2

b0

∫

( x − c )2 y dx

−b0 J0 ···

···

∫ c +2b1 x− −2b3 H1 −b4 H2 , y dx +2b1 J0 −6b2 H1 −6b3 H2 −2b4 H3 , −6b1 J1 −12b2 H2 −10b3 H3 −3b4 H3 , ··· ··· ···

Estas identidades nos permitem expressar H2 , H3 , H4 , . . . em termos de J0 , J1 , J2 e H1 e funções racionais em x e y.  Como mencionamos qualquer integral elíptica pode ser reduzida a uma integral ∫ da forma R( x, y) dx onde y2 = 4x3 − g2 x − g3 . Desta forma as integrais elípticas são ditas na forma de Weierstrass. No caso a0 = 0, segue que J2 pode ser expressa em termos de J1 e J1 ; portanto, existem três tipos de integrais as quais restam para serem calculadas: ∫

√

dx 4x3 − g2 x − g3

∫

,

√

xdx 4x3 − g2 x − g3

∫

e

√

dx

( x − c) 4x3 − g2 x − g3

.

Outra forma muito usada de integrais elípticas é a forma de Legendre. Para esta a equação y2 = (1 − x2 )(1 − k2 x2 ) é usada. Podemos passar da forma de Weierstrass para a forma de Legendre da seguinte forma. Usando a mudança de coordenadas x = ax1 + b passamos da forma 4x3 − g2 x − g3 para x1 ( x1 − 1)( x1 − k2 ). O próximo passo, é fazer a mudança de coordenadas ξ 2 = 1/x1 , η = y2 /x13 , para obter η 2 = (1 − ξ 2 )(1 − k2 ξ 2 ).

3.3: Teoremas Aditivos para F ( φ) e E( φ)

41

Para a forma de Legendre, todas os 4 tipos de integrais aparecem: ∫

√

dx G(x)

∫

xdx √ , G(x)

,

∫

x2 dx √ e G(x)

∫

dx √ , ( x − c) G ( x )

onde G ( x ) = (1 − x2 )(1 − k2 x2 ): Mas, desde que: ∫

xdx

1 √ = 2 2 2 2 (1 − x )(1 − k x )

∫

√

du

(1 − u)(1 − k2 u)

,

onde u = x2 , esta integral pode ser expressa em termos de funções elementares. Para simplificar um pouco a forma das integrais de Legendre, fazemos a mudança de coordenadas x = sen φ. Então √ √ √ dx = cos φ, 1 − x2 = cos φ, 1 − k2 x2 = 1 − k2 sen2 φ. Portanto, as integrais mencionadas acima tomam a forma ∫

√

dφ 1 − k2 sen2 φ

∫

,

√

sen2 φdφ 1 − k2 sen2 φ

∫

,

dφ √ . (sen φ − c) 1 − k2 sen2 φ

Estas integrais são chamada de integrais elípticas de primeiro, segundo e terceiro tipo, respectivamente. ∫ sen2 φdφ Observe por um instante que a integral √ 2 2 pode ser substituída pela 1−k sen φ ∫√ 2 2 integral 1 − k sen φ dφ porque k2

∫

√

∫

sen2 φdφ 1 − k2 sen2

φ

=

√

dφ 1 − k2 sen2

φ

−

∫ √

Observação 3.2 É um abuso de linguagem nos referirmos a

1 − k2 sen2 φ dφ.

∫

√sen 2φdφ2 2

1−k sen φ

como integral

elíptica de segundo tipo porque na literatura este termo é aplicado para a integral ∫√ 1 − k2 sen2 φ dφ. Para as integrais elípticas de primeiro e segundo tipo usando a notação de Legendre: ∫ φ ∫ φ√ dφ √ F ( φ) = e E( φ) = 1 − k2 sen2 φ dφ. 2 2 0 0 1 − k sen φ

3.3

Teoremas Aditivos para F ( φ) e E( φ)

Esta seção é um tanto técnica e os resultados dela só serão sentido nas próximas seções. O exemplo mais simples que conheço, sem ser trivial, a respeito de teoremas de adição é o caso da função exponencial f (u) = eu

42

Capítulo 3: Arcos de Curvas e Integrais Elípticas

e como ou

eu · ev = eu+v f (u) · f (v) = f (u + v)

tais equações possibilitam determinar o valor da função pela soma dos seus argumentos. Chamamos este tipo de relação de teoremas aditivos. Um exemplo do que faremos é melhor exemplificado com a função tg( x ), pois tg(u + v) =

tg u + tg v . 1 − tg u tg v

Fagnano havia provado alguns resultados que reformulados ficam da seguinte forma: Seja ϕ(u) definida como solução de u= Então

∫ ϕ(u) 0

√

dt 1 − t4

.

√ 2ϕ(u) 1 − ϕ2 (u) ϕ(2u) = ϕ(u + u) = . 1 + ϕ4 ( u )

Euler estendeu estes resultados, faremos isso mas em outra linguagem. Seja ∫ φ ∫ φ dφ ∆( φ) dφ, F ( φ) = e E( φ) = 0 ∆( φ) 0 √ onde ∆( φ) = 1 − k2 sen2 φ. se F ( φ) + F (ψ) = F (µ), então sen µ pode ser algébricamente expresso em termo de sen φ e sen ψ. Para provar isso, considere a equação diferencial dψ dφ √ +√ = 0. (1) 1 − k2 sen φ 1 − k2 sen ψ A integral disso nos fornece F ( φ) + F (ψ) − F (µ) = 0, onde µ é constante. Levando em consideração que F é uma função ímpar, a integral pode ser expressa da forma F ( φ) + F (ψ) + F (−µ) = 0. Vamos mostrar que a integral da equação diferencial 1 satisfaz a seguinte relação √ cos φ cos ψ − sen φ sen ψ 1 − k2 sen2 µ = cos µ. (2) De fato, ele pode ser reescrito, depois de elevar ao quadrado, em uma forma mais simétrica: cos2 φ + cos2 ψ + cos2 µ − 2 cos φ cos ψ cos µ + k2 sen2 φ sen2 ψ sen2 µ = 1

(3)

O termo "simétrico” significa que não só (1) satisfazem mas também as relações: √ (4) cos µ cos φ − sen µ sen φ 1 − k2 sen2 ψ = cos ψ cos µ cos ψ − sen µ sen ψ

√

1 − k2 sen2 φ = cos φ,

(5)

3.4: As Funções Elípticas de Jacobi

43

desde que os argumentos φ, ψ e −µ nas entradas de (3) são simétricos. Dividindo ambos os lados de (2) por sen φ sen ψ e derivando obtemos a expressão. O resultado pode ser reescrito na forma ( ) ( ) cos φ − cos µ cos ψ cos ψ − cos µ cos φ dφ + dφ =0 sen φ sen ψ Fazendo uso das fórmulas (4) e (5) temos √

dφ 1 − k2 sen φ

+√

dψ 1 − k2 sen ψ

= 0.

Segue, que (2) é de fato uma integral da equação diferencial (1). Mas não podemos ter duas integrais independentes e, portanto, a igualdade F ( φ) + F (ψ) = F (µ) implica √ cos φ cos ψ − sen φ sen ψ 1 − k2 sen2 µ = cos µ. Esta equação nos fornece uma relação para cos µ. Fazendo x = cos µ, então sen2 µ = 1 − x2 . A relação (3) pode ser considerada como uma equação de segundo grau em x. Resolvendo ela em x obtemos cos µ =

cos φ cos ψ − sen φ sen ψ∆( φ)∆(ψ) . 1 − k2 sen2 φ sen2 ψ

(6)

(a escolha do sinal nas fórmula (6) e (2) devem ser compatíveis para pequenos valores de φ e ψ.) Por transformações algébricas podemos derivar de (6) a seguintes expressões para sen µ e ∆(µ): sen φ cos ψ∆(ψ) + sen ψ cos φ∆( φ) sen µ = , (7) 1 − k2 sen2 φ sen2 φ ∆(µ) =

∆( φ)∆(ψ) − k2 sen φ sen ψ cos φ cos ψ . 1 − k2 sen2 φ sen2 ψ

(8)

Dividindo (7) por (6) temos tg µ =

3.4

tg µ∆( φ) + tg ψ∆(ψ) . 1 − tg φ tg ψ∆( φ)∆(ψ)

(9)

As Funções Elípticas de Jacobi

A função F ( φ) =

∫ x 0

√

dx

(1 −

x2 )(1 − k2 x2 )

=

∫ φ

√

0

dφ 1 − k2 sen2 φ

onde x = sen φ, tem muitas detalhes em comum com a função ∫ x

arcsen x =

0

√

dx 1 − x2

,

,

44

Capítulo 3: Arcos de Curvas e Integrais Elípticas

Por exemplo, se F ( φ) + F (ψ) = F (µ), então sen µ pode ser expresso em termo de sen φ e sen ψ pela fórmula que deduzimos na seção anterior sen µ = onde, ∆( φ) =

√

sen φ cos ψ∆(ψ) + sen ψ cos φ∆( φ) , 1 − k2 sen2 φ sen2 ψ

1 − k2 sen2 φ e no caso em que k = 0, então sen µ = sen φ cos ψ + sen ψ cos φ.

(10)

Esta analogia não é acidental: para k = 0 a função F ( φ) se torna a função arcsen x = φ e a fórmula (7) se torna (10). Por muitas razões é melhor considerar não a função φ = arcsen x, mas a sua inversa x = sen φ. A função inversa de F ( φ) é também mais conveniente que a própria F ( φ). Vamos substituir a notação de Legendre pela notação de Jacobi. Faça u( φ) = F ( φ). A função φ(u) = u−1 ( φ) é chamada de amplitude de u e é denotada por φ = am u. Outra forma de expressar a inversa quando envolve uma integral é definir o valor de am u por ser o valor que satisfaz a seguinte igualdade: ∫ am u

u=

0

√

dφ 1 − k2 sen2 φ

.

Vamos definir as seguintes funções

onde ∆( φ) =

√

sn u = sen am u, cn = cos am u e dn u = ∆(am u), 1 − k2 sen2 φ. E pelas fórmulas introduzidas em (6) - (8) temos que: cn(u + v) =

cn u cn v − sn u sen v dn u dn v , 1 − k2 sn2 u sn2 v

(11)

sn(u + v) =

sn u cn v dn v + sn v cn u dn u , 1 − k2 sn2 u sn2 v

(12)

dn u dn v − k2 sn u sn v cn u cn v . (13) 1 − k2 sn2 u sn2 v As funções sn u, cn u e dn u são usualmente chamadas de funções elípticas de Jacobi. Estas funções tem muitas propriedades estabelecidas, algumas destas propriedades, são extensões de propriedades estabelecidas por Legendre e Abel antes de Jacobi. A propriedade mais importante das funções sn u, cn u e dn u é de serem de período duplo. A existência de um período é claro. De fato, as funções sen φ e cos φ tem período 2π = 4( π2 ) e a função sen2 φ tem período π = 2( π2 ). Portanto, as funções sn u e cn u tem período igual 4K, onde dn(u + v) =

K= e a função dn u =

√

∫ π/2 0

√

dφ 1 − k2 sen2 φ

;

1 − k2 sen2 u tem período de 2K. Substituíndo obtemos √ sn K = 1, cn K = 0 e dn K = 1 − k2 ,

3.4: As Funções Elípticas de Jacobi

45

utilizando (11) - (13) temos cn u , cn(u + K ) = − sn(u + K ) = dn u

√

1 − k2 sn u e dn(u + K ) = dn u

√

1 − k2 . dn u

Desde que sn 2K = 0, cn 2K = −1 e dn 2K = 1, segue que sn(u + 2K ) = − sn u, cn(u + 2k ) = − cn u e dn(u + 2K ) = dn u. É mais difícil mostrar que as funções elípticas de Jacobi tem outro período. Para isso, recordemos que ∫ dφ √ 1 − k2 sen2 φ foi obtida da integral

∫

√

dx

(1 − x2 )(1 − k2 x2 )

com a ajuda da mudança de coordenadas x = sen φ. Ela deverá ser mais conveniente que a integral original. Vamos considerar esta integral sobre C, a função ∫ z

u(z) =

0

√

dz

(1 − z2 )(1 − k2 z2 )

não esta definida pois os valores de u(z) dependem do contorno de integração. Os valores da função u(z) em um mesmo ponto podem diferir por um número da forma ∫

L=

C

√

dz

(1 − z2 )(1 − k2 z2 )

onde a integral é tomada ao longo de um caminho de contorno C. Aqui o número L é o período da função inversa z(u). O integrando tem pontos singulares nos pontos ±1, ± 1k . Vamos ver como a escolha dos caminhos √ de integração ao√redor destes pontos afetam os valores das funções sn u = z, cn u = 1 − z2 e dn u = 1 − k2 z2 . Seja ∫ 1 ∫ X dz dz √ √ K= eα= . 0 0 (1 − z2 )(1 − k2 z2 ) (1 − z2 )(1 − k2 z2 ) O caminho que aparece na figura (3.1) mostra que os valores da integral no ponto X são iguais a α e K √+ (K − α) = 2K − α. De fato, no mínimo uma parte do caminho ou o sinal da função 1 − z2 e a direção do semento de integração mudam; como resultado destas duas mudanças a integral (2K − α). √permanece inalterada. Portanto, sn α = sn√ 2 Al’em disso, o sinal da função 1 − z muda nesta passagem e o sinal de 1 − k2 z2 não muda. E como, cn α = − cn(2K − α) e dn α = dn(2K − α). Substituindo α por −α temos sn(α + 2K ) = sn(−α) = − sn α, cn(α + 2K ) = − cn(−α) = − cn α, dn(α + 2K ) = dn(−α) = dn α.

46

Capítulo 3: Arcos de Curvas e Integrais Elípticas

Figura 3.1: Caminho até X

Figura 3.2: Outro caminho até X

Agora, vamos considerar a integrais ao longo da curva que aparece na figura (3.2). Seja ∫ 1 k dz ′ √ iK = . 0 (1 − z2 )(1 − k2 z2 ) √ (o número K ′ r´ eal uma vez que 1 − z2 é imaginário puro com z ∈ (1, 1k )). Portanto, os valores da integral no ponto X são α e K + iK ′ + iK ′ − (K − α). Aqui somente o sinal do último somando precisa ser analisado. Observe que aqui ocorre três mudanças de sinal: a direção√da curva√tem duas mudanças, assim como fizeram os sinais de ambas as funções 1 − z2 e 1 − k2 z2 . Como resultado, temos sn(α) = sn(α + 2iK ′ ), cn(α) = − cn(α + 2iK ′ ), dn(α) = − dn(α + 2iK ′ ). Portanto, as funções sn u, cn u e dn u tem período 2iK ′ , 4iK ′ e 4iK ′ , respectivamente. Além disso, a função cn u tem período 2K + i2K ′ . De fato, cn(α + 2K + i2K ′ ) = − cn(α + i2K ′ ) = cn α. Disto, a função sn u tem períodos 4K e 2iK ′ ; a função cn u tem períodos 4K e 2K + 2iK ′ ; e a função dn u tem períodos 2K e 4iK ′ .

3.5

Arcos de Elipses e Hipérboles 2

y2

Vamos começar retornando a discussão que fizemos a respeito da elipse xa2 + b2 = 1 a qual pode ser parametrizada pelas fórmulas√x = a sen φ e y√= b cos φ. A diferencial 2 2 2 2 2 2 dl do comprimento √ de arco da elipse √ é igual dx + dy = a cos φ + b sen φdφ. Se a = 1 e b = 1 − k2 , então dl = 1 − k2 sen2 φdφ.

3.5: Arcos de Elipses e Hipérboles

47

Figura 3.3: Arcos Sobre a Elipse

Neste caso o comprimento de arco da elipse entre o ponto inicial sobre o eixo menor B, e o ponto M = ( a sen φ, b cos φ) é igual a ∫ φ√ E( φ) = 1 − k2 sen2 θ dθ. 0

2

y2

Uma parametrização simples da hipérbole xa2 − b2 = 1 é obtida usando as funções hipérbolicas x = a cosh t, y = b senh t. Para expressar o comprimento de arco da hipérbole em termos de F ( φ) e E( φ), no entanto, precisamos parametrizar a hipérbole com funções trignométricas. Uma tal parametrização é dada pelas fórmulas x=

a , y = b tg φ. cos φ

Sobre tal parametrização a diferencial do comprimento de arco fica √ 1 a2 sen2 φ + b2 dφ cos2 φ e esta fórmula não fornece uma expressão desejada. Portanto, consideremos outra parametrização por colocar y = b2 tg φ. Então ( )2 ( ) a 2 x = 1 − (1 − b2 ) sen2 φ . cos φ Em particular, se a2 = 1 − b2 = k2 nos dá √ 1 x= 1 − k2 sen2 φ e y = (1 − k2 ) tg φ cos φ daí,

(1 − k2 )dφ √ . cos2 φ 1 − k2 sen2 φ Então o comprimento do arco AM sobre a hipérbole é igual a dl =

Γ( φ) =

∫ φ 0

(1 − k2 )dψ √ = cos2 ψ 1 − k2 sen2 ψ

∫ φ (1 − k2 )dψ 0

cos2 ψ∆(ψ)

,

48

Capítulo 3: Arcos de Curvas e Integrais Elípticas

Figura 3.4: Arcos Sobre a Hipérbole

onde ∆(ψ) =

√

1 − k2 sen2 ψ. Desde que ∆′ (ψ) = −

k2 sen ψ cos ψ , ∆(ψ)

disto segue que

1 − k2 1 − k2 k2 sen2 ψ ∆(ψ) = − (∆(ψ) tg ψ) = − + + ∆(ψ) ∆(ψ) ∆(ψ) cos2 ψ cos2 ψ∆(ψ) ′

e temos Γ( φ) = ∆( φ) tg φ −

∫ φ 0

∆(ψ)dψ + (1 − k ) 2

∫ φ dψ 0

∆(ψ)

= ∆( φ) tg φ − E( φ) + (1 − k ) F ( φ). 2

Disso, o comprimento de arco da hipérbole pode também ser expresso como as integrais elípticas E( φ) e F ( φ) (e o função elementar ∆( φ) tg φ).

3.6

Exercícios 1 x3

+ x3

2t−3/2 transforma a

1. ∫

Prove que a mudança de coordenadas (1 + x6 )−1/3 dx em uma integral elíptica.

2. ∫

Prove que a mudança de coordenadas t(1 − x ) = (1 − x3 )1/3 transforma a (1 − x3 )−2/3 dx em uma integral elíptica.

=

Capítulo 4 A Lemniscata e o Teorema de Mordell Neste capítulo vamos iniciar tratando da lemniscata de Bernoulli. Foi no estudo das divisões da Lemniscata que muito da teoria apresentada até aqui se desenvolveu, este estudo culminou com os resultados de Abel. No restante do capítulo vamos falar um pouco sobre o legado de Diofanto e concluir com alguns exemplos sobre o grupo obtido pela adição de pontos sobre as cúbicas e o Teorema de Mordell.

4.1

História

Este capítulo pretende apenas apresentar alguns fatos históricos e de como eles apareceram e se relacionaram com as integrais elípticas. Uma lemniscata é uma curva cuja equação em coordenadas polares é da forma r2 = cos 2θ. O nome "lemniscata” vem da palavra latina lemniscatus - decorada com faixas. Em coordenadas cartesianas ( x, y), onde x = r cos θ e y = r sen θ, a equação da curva é ( x 2 + y2 )2 = x 2 − y2 . De fato, x2 + y2 = r2 e x2 − y2 = r2 cos 2θ. O astrônomo francês de origem Italiano Jean-Dominique (Giovanni Dominico) Cassini (1625 − 1712) foi o primeiro a estudar a lemniscata. Ele considerou curvas mais gerais cujo lugar geométrico são os pontos cujo o produto da distância a dois pontos fixos F1 e F2 era uma constante (faz lembrar a definição de elipse). Através de suas observações astronômicas Cassini acreditava que com a ajuda de tais curvas o movimento dos planetas deveriam ser descritos com maior precisão do que com as elipses. Agora estas curvas são chamadas de Ovais de Cassini. Mas o livro de Casssini Eléments d’astronomie, no qual as ovais foram estudadas, só foi publicando em 1749, muitos anos depois da sua morte. Para a comunidade matemática a lemniscata tornou conhecida através dos artigos de J. Bernoulli e I. Bernoulli publicados em 1694 e, portanto, é chamada de lemniscata de Bernoulli. As ovais de Cassini tem equação dada por f ( a, b)( x, y) = ((( x − a)2 + y2 )(( x + a)2 + y2 ) − b4 ) Dependendo dos parâmentros ( a, b) temos um tipo de curva, veja figuras seguintes:

49

50

Figura 4.1: a = 1, b = 0, 8

Capítulo 4: A Lemniscata e o Teorema de Mordell

Figura 4.2: a = 1, b = 0, 95

Figura 4.3: a = 1, b = 1

Quando a = b temos a lemniscata, no caso, em questão, a = b = 1 (veja figura (4.3)).

Figura 4.4: a = 1, b = 1, 05

Figura 4.5: a = 1, b = 1, 2

Figura 4.6: a = 1, b = 1, 5

As propriedades mais interessantes da lemniscata foram descobertas pelo matemático italiano Count Fagnano. Fagnano descobriu que o comprimento de arco da lemniscata podia ser expresso em termos de uma integral elíptica de primeiro tipo. Ele obteve os teoremas de adição para estas integrais e, portanto, demonstrou que a divisão dos arcos da lemniscata em n partes iguais era um problema algébrico. Em 1750 Fagnano publicou a sua coleção de artigos que Euler tomou conhecimento e fez inúmeros generalizações dos resultados de Fagnano. Fagnano já sabia que a divisão da lemniscata podia ser reduzida a solução de equações algébricas. No entanto, os métodos para a solução por quadratura (tirar raiz quadrada) não estavam desenvolvidos a época. O primeiro a fazer progressos neste campo foi o jovem Gauss que na época estava com 19 anos. Ele encontrou que o 17-ésimo polígono regular era construtível com régua e compasso, isto é, a equação x17 − 1 = 0 é solúvel por raízes quadradas. Depois, Gauss mostrou que todo polígono regular com n lados era construtível com régua e compasso se n era da forma 2p1 · · · pk , m onde pi é um primo de Fermat, isto é, se é da forma 22 + 1. Gauss escreveu que todos os outros n era impossível construir o polígono regular com régua e compasso, mas não temos evidência de que ele provou isso. Gauss também se interessou pelo problema da divisão da Lemniscata. Por exemplo, ele mostrou que para a divisão da lemniscata em 5 partes iguais caia em uma equação de grau 25 e que esta equa¸ao era solúvel por quadratura. Em seu argumento ele utilizou que 5 podia ser representado com o produto de 2 + i por 2 − i. Gauss não publicou os seus resultados mas o seu livro Disquisitiones Arithmeticae, o qual apareceu em 1801, ele mencionou que os métodos que ele havia desenvolvido eram aplicáveis não somente para funções trignométricas mas também para funções relativas a integral ∫ dx √ . 1− x 4 Esta afirmação intrigou Abel. Abel investigou os detalhes da equação da divisão da lemniscata e provou que a lemniscata podia ser dividida em n partes desde que

4.2: O Método das Secantes de Diofanto

51

n fosse da forma 2a p1 · · · pk , onde pi é um primo de Fermat. Abel considerou este teorema como um de seus mais importantes resultados. Isto aparece na segunda parte de seu trabalho Recherches sur les fonctions elliptiques. A prova dada por Abel é longa e complicada. Depois, Eisenstein (1823 − 1852) obteve uma prova mais simples. Ele fez algumas descobertas a respeito de certas porpriedades dos polinômios relacionandos com a divisão da Lemniscata. As provas de Eisenstein permaneceram desconhecidas. Recentemente Rosen (veja ([7])) encontrou uma prova elegante do teorema de Abel. Sua prova é bastante simples, além disso, claramente demonstra o papel decisivo desempenhado pela invariância do período do reticulado das funções envolvidas na lemniscata com respeito a multiplicação por i.

4.2

O Método das Secantes de Diofanto

Antes do tempo de Euclides, um novo método para resolver as equações nos inteiros foi desenvolvido, no século III, por Diofanto. Ele foi um matemático que viveu em Alexandria, no Egito. Pouco se sabe sobre a sua vida, tendo até dificuldades de estabelecer a época que ele viveu. Ele desenvolveu métodos para encontrar as soluções inteiras ou racionais de quadráticas e de certas cúbicas com duas ou mais variáveis. Com as suas construções ele fundou uma nova disciplina hoje chamada de equações diofantinas, em sua homenagem. Ele resumiu os seus estudos em 13 livros cujo título se chamava arithmetics. Este livro é impressionante. Depois de escritos estes trabalhos se perderam. Só se tinha notícia de sua existência por citações de outros autores. Os tratados de Diofanto ficaram perdidos por mais de mil anos. Foi somente em 1464 que um cientista alemão Regiomontanus acidentalmente encontrou 6 dos 13 livros da Arithmetics. Ele publicou uma tradução em latin no ano de 1745. Depois houve uma edição francesa, preparada por Bachet de Mesiriac, que foi publicada em 1621 e tornou-se o livro de cabeceira de inúmeros matemáticos, como Peire de Fermat e René Descartes entre outros. E foi na margem de uma cópia da Arithmetics de Diofanto que Fermat escreveu a sua mais notório recado que entrou para a história da matemática. Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ajusdem nominis fas est divedere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Vamos examinar um pouco como funcionava o método das secantes desevolvida por Diofanto. Recordamos que uma tripla ( a, b, c) de inteiros positivos é chamada tripla pitagórica se ela satisfaz a2 + b2 = c2 . Se ( a, b, c) é uma tripla pitagórica então ( a )2 c

( )2 b + = 1, c

52

Capítulo 4: A Lemniscata e o Teorema de Mordell

é um ponto da circunferência de raio 1, centrada na origem, cuja equação é x2 + y2 = 1. Dividir por c2 é uma boa ideia, pois, a tripla (6, 8, 10) e (3, 4, 5) são levadas no mesmo ponto racional (3/5, 4/5). Iniciamos parametrizando todos os pontos P sobre a circunferência unitária. Escolha um ponto fora do primeiro quadrante, por exemplo, (−1, 0) e considere ℓ = ℓ( P) a reta unindo ele ao ponto P. Vemos que conforme alteramos o declive da reta ℓ percorremos todos os pontos da circunferência unitária. Proposição 4.1 Os pontos P sobre a circunferência unitária e diferentes de (−1, 0) são parametrizados por ) ( 1 − t2 2t P= , , onde − ∞ < t < ∞. 1 + t2 1 + t2 Demonstração: Considere a reta que passa pelo ponto (−1, 0) e P = ( x, y) tem equação y = t( x + 1). Procurando as soluções do sistema { y = t ( x + 1) x 2 + y2 = 1 Uma solução óbvia é (−1, 0). Se t = 0, então a reta ℓ fica sobre o eixo x e a outra solução é (1, 0). Para encontrar as outras soluções considere t ̸= 0 e isolando x na primeira equação x = (y − t)/t e substituindo na segunda ( ) y−t 2 + y2 = 1, t

expandindo e simplificando obtemos [ ] y (1 + t2 )y − 2t = 0. É fácil de entender as soluções do tipo y = 0, então vamos considerar y ̸= 0 e temos y=

2t , 1 + t2

4.2: O Método das Secantes de Diofanto

53

e resolvendo e simplificando temos y−t x= = t

2t 1+ t2

t

−t

=

1 − t2 . 1 + t2

 Este método funciona não só para x2 + y2 − 1, mas todo polinômio em duas variáveis do tipo p( x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F.

Em sua Arithmetic Diofanto não se confinou ao estudo de equações de grau 2. Ele teve sucesso em resolver certas equações cúbicas e deu métodos para encontrar os pontos racionais da equação y(6 − y) = x3 − x. O problema da antiguidade de encontrar soluções racionais para a cúbica x3 + y3 = 1, são caso particulares do problema de encontrar soluções racionais sobre cúbicas em geral f ( x, y) = 0 e por sua vez estas são casos particulares de encontrar soluções racionais sobre curvas quaisquer. Vamos examinar alguns detalhes a respeito de encontrar soluções racionais sobre cúbicas. Inicialmente, suponha que a cúbica f ( x, y) = 0 tem um ponto singular O e que ele é um ponto racional. Qualquer reta passando por este ponto intercepta a cúbica em no mínimo dois pontos. Isto implica, em particular, que a cúbica não pode ter dois pontos singulares, O e O1 , porque a reta passando por OO1 deverá interceptar a cúbica em pelo menos 4 pontos. Dada a reta x = x0 + at, y = y0 + bt, a, b ∈ Q e passando por O = ( x0 , y0 ). A interseção desta reta com a curva corresponde as raízes do polinômio F (t) = f ( x0 + at, y+ bt). Os coeficientes de F são todos racionais e para quase todas as retas o grau de F é 3. O polinômio F tem uma raíz quando t = 0 de multiplicidade 2 correspondente ao ponto O. Então a terceira raiz também é racional, isto é, ela corresponde a um ponto racional sobre a curva. Isto mostra que a reta que conecta O com outro ponto sobre a curva é racional. Isto nos dá uma completa descrição do conjunto d pontos racionais sobre uma curva cúbica singular. No que segue vamos considerar somente cúbicas não singulares. Recorde de como fazíamos para somar pontos no primeiro capítulo. Se escolheremos o ponto E com coordenadas racionais então sempre que somarmos A e B racionais obtemos como resultado um ponto racional. A curva y2 = x3 + ax2 + b é não singular, se e só se, o seu discriminante ∆ = −(4a3 + 27b2 ) é não nulo. Se tomarmos um ponto no infinito como sendo o elemento neutro da soma, então é fácil explicitarmos as fórmulas de soma de dois pontos. Sejam y = px + q uma reta que encontra a curva em ( xi , yi ), i = 1, 2, 3. Então

( px + q)2 = x3 + ax + b,

54

Capítulo 4: A Lemniscata e o Teorema de Mordell

para x = x1 , x2 , x3 . A soma das raízes desta equação é igual a p2 ; desde que ( ) y1 − y2 2 2 x3 = − x1 − x2 + p = − x1 − x2 + , x1 − x2 y − y2 y3 = px + q = 1 ( x3 − x1 ) + y1 . x1 − x2 Claramente, as coordenadas da soma de pontos ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) são ( x3 , −y3 ). Se x1 = x2 e y1 = y2 , é suficiente notar que lim

x2 → x1

3x2 + a y1 − y2 = y ′ ( x1 ) = 1 . x1 − x2 2y1

Deveremos considerar separadamente os casos x1 = x2 e y1 ̸= y2 . Neste caso a soma dos pontos é um ponto no infinito. As fórmulas obtidas mostram que se for conhecido um ponto racional P da curva y2 = x3 + ax + b podemos encontrar 2P, 3P, etc. Consideremos, por exemplo, a curva y2 = x3 − 2 e o ponto (3, 5). Então 2P = (

129 383 ,− ) 100 1000

o qual é um novo ponto racional. Podemos calcular 3P, 4P, etc. Em cada passo do calculo o valor cresce consideravelmente. Vale a pena observar que os pontos 2P, 3P, 4P não são necessariamente distinto. Se algum deles coincidem, então deve existir um menor valor m positivo para o qual mP é o elemento neutro do grupo, isto é, o ponto no infinito, chamamos este valor m de ordem de P.

4.3

Exemplos e Teorema de Mordell

Nesta seção vamos considerar alguns exemplos de cúbicas não singulares determinado por equações em sua forma normal y2 = x3 + ax + b ou por

y2 + 2cy = x2 + ax + b

a qual podemos reduzir ao caso precedente por fazer a seguinte mudança de coordenadas y 7→ y + c. Mantendo o foco nos pontos racionais da curva E; que deveremos denotar por E(Q). Este conjunto, como já dissemos é um grupo abeliano, cujo o elemento neutro é o ponto no infinito da curva. Exemplo 4.2 Considere o seguinte problema: Represente o produto de dois inteiros consecutivos y(y + 1) na forma do produto de três inteiros consecutivos ( x − 1) x ( x + 1) = x3 − x. Este problema nos fornece uma curva E determinada pela equação y2 + y = x3 − x.

4.3: Exemplos e Teorema de Mordell

55

Sobre esta curva, existem 6 soluções óbvias (veja figura 4.7)

(0, 0), (1, 0), (−1, 0), (0, −1) e (−1, −1).

Figura 4.7:

Colocando P = (0, 0). Então

(1, 0) = 2P, (−1, 0) = −3P, (0, −1) = − P, (1, −1) = −2P, (−1, −1) = 3P. O ponto P gera um grupo cíclico infinito. Todos os pontos da forma (2n + 1) P pertence a componente que contém o ponto P; os pontos da forma 2nP estão na componente não limitada e tendem ao infinito. Exemplo 4.3 A curva E dada pela equação y2 + y = x 3 − x 2 tem 4 soluções inteiras relativamente fáceis de encontrar que são

(1, 0), (0, 0), (0, −1) e (1, −1). A tangente a curva E em (1,0) intercepta a curva E no ponto (0,-1); isto significa que 2(1, 0) = (0, 0); como 2(1, −1) = (0, 1). A tangente a E no ponto (0, 0) intercepta E no

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Capítulo 4: A Lemniscata e o Teorema de Mordell

Figura 4.8:

ponto (1,0), isto dá que 2(0, 0) = (1, −1). A equação 2(1, 0) = (0, 0), 2(1, −1) = −(1, 0) implicam 4(1, 0) = (1, −1) = −(1, 0), isto é, 5(1, 0) = 0. Segue que

{0, (1, 0), (0, 0), (0, −1), (1, −1)} e temos um subgrupo de ordem 5 em E(Q). Usando outras técnicas que não abordamos nestas notas se pode mostrar que não há outros pontos racionais sobre esta curva. Exemplo 4.4 Considere a curva E dada por y2 + y = x 3 + x 2 . Esta curva tem 4 pontos fáceis de localizar (conforme figura 4.9)

(0, 0), (−1, 0), (0, −1) e (−1, −1). O ponto P = (0, 0) gera um subgrupo cíclico infinito de E(Q). De fato, não é difícil calcular que 3 9 2P = (−1, −1), −3P = (1, 1), 3P = (1, −2), 4P = (2, 3), 5P = (− , − ). 4 4 A tangente T no ponto −2P intersecta a curva o ponto 4P, a reta L que passa por 2P e P intersecta a curva em ponto −3P; o ponto −5P é construído ou usando L1 através de P e 4P ou usando L2 através de 2P e 3P. Exemplo 4.5 Considere a curva onde k é um inteiro.

y2 = x3 + k,

(1)

4.3: Exemplos e Teorema de Mordell

57

Figura 4.9:

A correspondente equação diofantina foi primeiro considerada no séc. XVII por Fermat e Bashe de Mesiriac no caso particular de k = −2 e foi alvo de intenso estudo. Ainda é desconhecido para quais inteiros k a equação 1 tem no mínimo uma solução racional. Bashe afirmou (sem provas) que se a solução racional ( x, y), com xy ̸= 0 existe, então o método dsa tangentes nos leva a um número infinito de soluções racionais. Em termos modernos isso significa que se o grupo E(Q) de pontos racionais da curva (1) é não nulo, então ele é infinito. Com certas restrições este resultado foi provado em 1930 pelo matemático alemão Fueter. Em 1966 uma prova impressionante e curta do resultado de Fueter foi dada peolo matemático inglês Mordell. Em 1901 o grande matemático francês A. Poincaré conjecturou que todos os pontos racionais de E(Q) de uma curva elíptica podem ser obtidos como soma de um número finito de pontos. Em termos algébricos esta afirmação pode ser reformulado como no próximo teorema. Teorema 4.6 (Mordell) O grupo E(Q) de pontos racionais de qualquer curva racional elíptica E é finitamente gerado como grupo abeliano. Poincaré considerou esta afirmação óbvia. Em 1922 o matemático inglês Mordell obteve a primeira prova rigorosa da conjectura de Poincaré. Durante as 7 décadas que se seguiram houve várias generalizações e novas variantes da prova deste teorema.

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Capítulo 4: A Lemniscata e o Teorema de Mordell

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