Conductor Eléctrico.docx

Conductor eléctrico Los elementos se conectan por medio de conductores eléctricos o alambres que tienen idealmente resistencia cero, es decir, son conductores ideales.

Red de parámetros concentrados La apariencia de la red es la de un número definido de elementos simples y un conjunto de alambres o conductores de resistencia cero.

Red de parámetros distribuidos Red que contiene un número infinito de elementos infinitamente pequeños, dondelos conductores no tienen resistencia cero. Este es un tema que se estudia en un curso de líneas de transmisión.

Nodo Punto en el cual dos o más elementos tienen una conexión común. Un conductor o alambre puede verse como un nodo.

Descomposición de nodos Un nodo puede descomponerse en varios puntos de conexión, sin embargo, cada punto de conexión hace parte del mismo nodo. Deben considerarse todos los alambres como conductores ideales, es decir, de resistencia cero, y las porciones de ellos como parte de nodo mismo.

No puede decirse que haya dos nodos en torno al nodo 1. La porción de conductor encerrada es el mismo nodo, y es suficiente con marcar uno de los puntos de contacto entre ramas.

Designación de los nodos En vez de escribir nodo 1, nodo 2, etc, se enumeran N1, N2, etc, o 1, 2, 3 etc o el nombre que se quiera siempre que en el contexto quede claro que se trata de nodos. No es necesario marcar todos los puntos de conexión.

Rama Trayectoria simple de red compuesta por un elemento simple y por los nodos situados en cada uno de sus extremos.

Trayectoria Si no se pasa a través de ningún nodo más de una vez, entonces el conjunto de nodos y elementos a través de los cuales se pasa es una trayectoria. Una trayectoria es una colección particular de ramas.

Trayectoria cerrada o lazo Si el nodo en el que termina es el mismo en que comenzó.

Malla Lazo que no contiene a ningún otro lazo dentro de él. Usualmente se recorren en sentido horario y se les asigna una corriente. En el siguiente circuito hay tres mallas: malla I1, I2, I3. Estas corrientes se llaman corrientes de malla.

Circuito o conexión paralelo Dos o más elementos están en paralelo si comparten el mismo par de nodos, y por tanto el mismo voltaje.

Circuito o conexión serie Dos o más elementos están en serie si a través de cada elemento circula la misma corriente.

Ley de corrientes de Kirchhoff o LCK También llamada Ley de Nodos o Primera Ley de Kirchhoff Cualquiera de las expresiones siguientes define la LCK. 

La suma algebraica de las corrientes que entran en cualquier nodo es cero. Las corrientes que entran son positivas y las que salen son negativas.



La suma algebraica de las corrientes que salen de cualquier nodo es cero. Las corrientes que salen son positivas y las que entran son negativas.



La suma de corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes quesalen de él. Tanto las corrientes que entran como las que salen son positivas.

Una expresión compacta para la LCK es:

Cuyo desarrollo es: Esta ley representa el hecho de que la carga no puede acumularse en ningún nodo. Un nodo no es un elemento, por lo cual no puede almacenar, destruir o generar carga. En la expresión anterior TODAS las corrientes SALEN o TODAS las corrientes ENTRAN al nodo.

Ley de voltajes de Kirchhoff o LVK También llamada Ley de Mallas o Segunda Ley de Kirchhoff La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un circuito es cero. El voltaje es una medida de la diferencia de energía potencial entre las terminales del elemento. La energía requerida para mover una unidad de carga del punto A al punto B en un circuito debe tener un valor que sea independiente de la trayectoria para ir de A hacia B.

Si se transporta un coulombio de A hacia B a través del elemento 1, los signos de la polaridad de V1 muestran que se realiza un trabajo de W1 joules, de más potencial a menos potencial. Si en lugar de ir de A hacia B por 1, se elige pasar por el punto C, entonces se gastará una energía de W2 – W3. Pero estos valores deben ser iguales ya que el trabajo es independiente de la trayectoria. Cualquier ruta lleva el mismo voltaje. Por tanto,

O equivalentemente, como el voltaje es el trabajo que se realiza para transportar una carga desde un punto A a un punto B.

Entonces: Se tiene entonces que si se recorre una trayectoria cerrada, la suma algebraica de los voltajes de los elementos individuales que la componen debe ser cero. Recorriendo la malla en sentido horario se tiene:

Se tiene una forma compacta para la LVK: Cuyo desarrollo es:

Esta ley es una consecuencia de la conservación de la energía. Se puede aplicar LVK en un circuito en varias formas diferentes. Un método que es útil para evitar errores al escribir las ecuaciones consiste en recorrer la trayectoria cerrada en el sentido horario y escribir directamente el voltaje de cada elemento de acuerdo al signo que se encuentre primero.

Ejemplo 1 LVK

Paso 1: referenciar cada elemento y asignar voltajes

Paso 2: definir corrientes de malla Observa que en torno a Vx no hay una rama, pero podemos trazar mallas a ambos lados.

Paso 3: obtener ecuaciones con LVK a cada malla del circuito Ahora, recorremos metódicamente de izquierda a derecha cada malla aplicando LVK ytratando de determinar si es posible despejar una variable. Vemos que para calcular V2 aplicamos LVK en la malla de la izquierda, así: LVK en Malla 1:

Ahora usamos el valor calculado para recorrer la malla 2 y obtener Vx. LVK en Malla 2:

Observe que Vx también se puede calcular a través del lazo azul, así:

Ejemplo 2 LCK, LVK y Ley de Ohm Calcule el número de ramas y nodos e Ix y Vx en el siguiente circuito:

Paso 1: referenciar elementos del circuito, asignar voltajes y corrientes. Se asignan referencias a voltajes y corrientes para poder operar fácilmente.

Paso 2: localizar y enumerar los nodos y elegir un nodo de referencia

Paso 3: determinar ramas

El circuito tiene 6 ramas y 5 nodos. Paso 4: Aplicar LCK, LVK y Ley de Ohm para obtener ecuaciones. LCK en Nodo 2:

Ley de Ohm sobre Rd para hallar Iy:

LVK en Malla 1para calcular Vx:

Ley de Ohm sobre Rc para hallar Vc:

Ejemplo 3 LCK, LVK y Ley de Ohm Calcule el número de ramas y nodos e Ix y Vx en el siguiente circuito:

Paso 1: referenciar elementos del circuito, asignar voltajes y corrientes

Paso 2: referenciar nodos

Paso 3: determinar ramas

El circuito tiene 6 ramas y 4 nodos Paso 4: Aplicar LCK, LVK y Ley de Ohm para obtener ecuaciones. LCK en Nodo 1:

LVK en Malla 3 para hallar Vx:

Ley de Ohm sobre R3 para hallar V3 :

Calcular Iz: LCK en Nodo 3:

Ejemplo 4 LCK, LVK y Ley de Ohm Calcule el número de ramas y nodos e Ix y Vx en el siguiente circuito:

Paso 1: referenciar elementos del circuito, asignar voltajes y corrientes

Paso 2: referenciar nodos

Paso 3: determinar ramas

El circuito tiene 5 ramas y 3 nodos Paso 4: Aplicar LCK, LVK y Ley de Ohm para obtener ecuaciones. Ley de Ohm sobre R3 para calcular V3 :

Ley de Ohm sobre R2 para calcular I3: R2 y R3 están conectados al mismo par de nodos 2-ref, por lo cual tienen el mismo voltaje V3. Están en paralelo.

LCK en nodo 2 para calcular I4:

Ley de Ohm sobre R4 para hallar Vx:

LVK en malla B para hallar Ix:

Ley de Ohm sobre R1 para hallar I1:

LCK en nodo 1:

Circuitos L-R-C En un circuito L-R-C en serie la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de tensión a través de un inductor, una resistencia y un capacitor es igual a la tensión aplicada E(t) . Sabemos que 

La caída de tensión a través de un inductor es

.



La caída de tensión a través de la resistencia es

.



La caída de tensión a través de un capacitor es

, pero como

con lo cual la caída de tensión a través de un capacitor esta dada por

Donde i(t) es la corriente y , y son constantes conocidas como: la inductancia, la resistencia y la capacitancia, respectivamente.

Figura 1.13 De lo anterior obtenemos que la corriente en un circuito como el de la figura 1.13 satisface la ecuación integro diferencial

la cual podemos resolver aplicando transformada de Laplace. Ejemplo Determine la corriente i(t) en un circuito L-R-C en serie para el cual L=0.1H (Henrios), R=20 (Ohms), C= F (Faradios) y i(0) = 0. La tensión E(t) aplicada al circuito es la que se muestra en la figura 1.13.

Figura 1.14 Solución Puesto que la función se anula para t ≥ 1, se puede escribir como

con lo cual la ecuación diferencial que modela este circuito es

Y al aplicar la transformada a ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos que

de donde obtenemos que

Usando fraciones parciales tenemos que

y al aplicar la transformada inversa

PROBLEMA Se aplica una fuerza electromotriz de 100V a un circuito en serie RC en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia de 10 – 4 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0) = 0. Encuentre la corriente i(t) . El circuito está descrito en la Figura 1.

Entonces, aplicando la ley de mallas de kirchoff al circuito de la Figura 1, para las caídas de voltaje en dq 1 función de la carga q(t), tenemos: R  q  Et  dt c Solución para encontrar la carga del circuito RC en serie Sustituyendo los valores de (1) según la Figura 1, tenemos: 200

dq 1  q  100 dt 1 . 10  4

Resolviendo la ecuación (2) por el método de los 4 pasos: I. Forma estándar: d y dq 1  P  x  y  g  x  Esto implica:  50 q  dx dt 2

II. Factor Integrante:

e

P x d x

. Esto implica: e 

50 d t

e

50  d t

 e 50 t

III. Forma de la solución: y  y C  y p . Esto es: q  t   q t r  t   q p s  t 

yc  C e

 P x  d x

. Esto es: q t r  t   C e

  50 d t

q t r  t   C e  50 t

Donde: qtr es la carga transitoria del capacitor en el circuito RC en serie.

yp 

e

1  P x  d x f  x  d x e  P x  d x

q st  

q st  

1 50 t 1 . dt e 50 t 2 e

1 100 . e

50 t

e

50 t

1

q st  

2 . 50 . e

.  50  d t

q st  

50 t

e

1 . e  50 t 100

50 t

.  50  d t

 50 t    

.e

q st  

1 100

Donde: qs es la carga estacionaria del capacitor. Por tanto la carga (total en el circuito), buscada es:

q t   qt r  t   q s t 

q  t   C e  50 t 

1 100

(7)

Para encontrar el valor de

C utilizamos los valores iniciales q(0) = 0, es decir cuando el tiempo t es 0, la carga $laex q$ en el capacitor es 0 también (como en un circuito abierto). Por tanto, sustituyendo estos valores en la ecuación para la corriente resultante del circuito (4), tenemos:

q  t   C e  50 t 

1 100

Esto implica que: C  

0  C e  50  0  

1 100

0  C 1  

1 100

0C 

1 100

1 100

De donde la Carga en el capacitor buscada es: q  t  

1  50 t 1 e  100 100

Graficación de la carga encontrada. La gráfica resultante se muestra en la Figura 2.

Figura 2. Carga en el Capacitor Obteniendo la corriente i(t), del circuito RC en serie El dasarrollo de esta parte lo puedes ver en el siguiente link: Ecuaciones Diferenciales para circuitos Eléctrcios. Circuitos RC en serie. La gráfica de la corriente en el circuito se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Corriente en el circuito RC La conclusión más importante, tal vez, es notar que cuando el capacitor se carga, mientras el voltaje suministra corriente al circuito, es decir, mientras t  ∞, la corriente total tiende a cero, es decir i(t)  0, lo cual se hace evidente al comparar las figuras 2 y 3.

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