Condensacion De La Matriz De Rigidez.docx

OBJETIVO: -

Estudiar sobre la condensación de la matriz de rigidez, realizando una investigación e interpretando la aplicación en el análisis de la estructura.

INTRODUCCION La condensación es el un método que nos permite reducir la cantidad de incógnitas a determinar en un análisis estructural o el tamaño de la matriz de rigidez a invertir. La condensación se da por igualación de grados de libertad o eliminación de ellos como incógnitas al despreciar deformaciones axiales o también por tener ecuaciones en la matriz de rigidez que están asociadas a fuerzas externas más fuerzas de empotramiento iguales a cero. Para realizar el respectivo proceso consideramos tres variables que intervienen en la modelación de los elementos y de la estructura, que como se sabe de ellos depende la matriz de rigidez, que se obtenga para el análisis sísmico. Las variables que se consideran son: Modelación de las condiciones de apoyo; Modelación de las inercias a considerar en el análisis; y, Modelación de los nudos. CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ MÉTODO GENERAL DE LA CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Sea un sistema de N grados de libertad caracterizado mediante su matriz de rigidez K (de tamaño N × N) que relaciona linealmente desplazamientos U con solicitaciones F tal que:

El método de condensación de grados de libertad persigue obtener, partiendo de este modelo, la matriz de rigidez correspondiente al caso de haber “eliminado” uno (o más) grados de libertad. Eliminar n grados de libertad implica que ciertos desplazamientos o giros dejarán de aparecer en el vector U, y sus correspondientes solicitaciones desaparecerán del vector F, dejando por lo tanto nuestro modelo como:

Donde evidentemente la matriz K′ debe ser obtenida de forma que este modelo condensado se comporte exactamente igual que el original. Es importante no perder de vista que el sistema condensado sigue correspondiendo al mismo sistema físico, donde solo hemos impuesto alguna condición extra. En los casos que vamos a estudiar, impondremos que las fuerzas y los momentos en los gdl condensados (los que desaparecen) sean nulos. De esta forma, si denotamos los subconjuntos de F y U que van a ser condensados como Fc y Uc, respectivamente, podemos reescribir la Ec. 2.5.1 como:

Donde los superíndices c y n usados para las submatrices indican los términos relativos a los gdl que han sido y que no han sido condensados, respectivamente. Despejando ahora la ecuación correspondiente a Fc (por simple desarrollo del producto matricial), tenemos:

Y como imponemos la condición de fuerzas y momentos condensados (Fc) nulos (los desplazamientos correspondientes a dichos gdl son libres), podemos despejar el valor de los desplazamientos y giros en dichos gdl:

Este resultado se puede ahora sustituir en la ecuación correspondiente a F′ llegando al resultado:

Como se ve, la matriz de rigidez K′ correspondiente al sistema condensado no se obtiene simplemente extrayendo la parte que nos interesa de la matriz original K, sino que hay que restarle un término adicional que modela el efecto que tienen los gdl condensados en los demás. CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Para empezar a explicar, en la siguiente estructura, a la izquierda se indican todos los grados de libertad y a la derecha se indica únicamente la coordenada a la cual se va a condensar la matriz de rigidez.

Ilustración 1: Colocación de coordenadas a y b

En el sistema de coordenadas de una estructura, existe un grupo de coordenadas a las que se denomina “coordenadas a” (1), y las “coordenadas b” (2, 3, 4,5). Las cuales se identifican con el fin de que tanto vector de cargas generalizadas Q y vector de coordenadas generalizadas q, sean:

La ecuación básica de análisis estático, que relaciona el vector de cargas generalizadas Q, con el vector de coordenadas generalizadas q, por medio de la matriz de rigidez de la estructura K, es: Matriz de rigidez de la estructura:

La condensación estática de la matriz de rigidez se da cuando Qa o Qb son ceros.

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Condensación a las coordenadas a

Este caso se presenta cuando el vector Qb=0.

Sea K * la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "a".

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Condensación a las coordenadas b

Se presenta cuando el vector de cargas Qa = 0

Sea K * la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "b"

CONDENSACIÓN ESTÁTICA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ La condensación estática de la matriz de rigidez, es la base fundamental para el análisis sísmico de estructuras. Se presentan tres formas de encontrar la matriz de rigidez condensada, que son: a) La inversión de una matriz, b) La solución de un conjunto de ecuaciones lineales y c) la triangularización o método de eliminación de Gauss. 

Matriz de rigidez para análisis lineal

En análisis lineal se considera que la rigidez a flexión (EI)o, es constante; lo propio sucede con la rigidez al corte (GA)o. En consecuencia, la matriz de rigidez de un elemento es constante y lo mismo sucede con la matriz de rigidez de la estructura, como se ha visto en los capítulos anteriores. 1. Análisis sin nudo rígido En la figura, se indica el sistema de coordenadas locales de un elemento horizontal de un pórtico plano, en el que no se considera la deformación axial, hipótesis de cálculo que se puede utilizar en el análisis sísmico de estructuras para los elementos horizontales.

Ilustración 2: Coordenadas locales (elemento axialmente rigido)

El sistema de coordenadas locales es igual al sistema de coordenadas globales; recordando que las estructuras se resuelven en coordenadas globales. La matriz de rigidez del elemento, es simétrica con respecto a la diagonal principal, razón por la cual solo se presenta la matriz triangular superior. La matriz de rigidez es la siguiente (elementos de sección constante y variable):

Para elementos de sección constante:

Donde:

E: módulo de elasticidad del material I: inercia a flexión de la sección trasversal 𝜙: Factor de forma por corte de la sección A: área de la sección trasversal G: módulo de corte L: longitud del elemento

Para un elemento vertical, se indica el sistema de coordenadas globales para el caso de que el elemento sea totalmente flexible.

Ilustración 3: Coordenadas globales para un elemento vertical (flexible)

La matriz de rigidez del elemento vertical, en coordenadas globales es la siguiente.

2. Análisis con nudo rígido En el análisis estructural se puede considerar que los nudos son completamente rígidos. En consecuencia, la longitud de los elementos que ingresa al nudo, tienen rigidez axial infinita y rigidez a flexión infinita. Sean C2 y C1 las longitudes de rigidez infinita de un elemento.

Ilustración 4: Coordenadas locales para un elemento axialmente rígido y con dos sectores de rigidez.

Matriz de rigidez del elemento:

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Condensación Mediante Solución De Ecuaciones

Al trabajar con ciertas ecuaciones da lugar a que en algunos casos se deba trabajar con una matriz inversa, lo que conlleva tiempo, por lo que en la práctica se debe transformar el cálculo de la matriz inversa a un sistema de ecuaciones lineales; de la siguiente forma: 1. Caso en que Qb = 0 Se define la matriz T de la siguiente manera:

Al multiplicar ambos lados de la ecuación por Kbb se obtiene:

Para encontrar la matriz T, se debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales, cuya matriz de coeficientes es la sub matriz Kbb y los términos independientes son las diferentes columnas de la sub matriz Kba. Con el cambio de variable:

2. Caso en que Qa = 0 Se procede en forma similar al indicado en el apartado, con lo que se obtiene:

Ahora, la matriz T se obtiene resolviendo un conjunto de ecuaciones lineales que tienen una sola matriz de coeficientes que es Kaa pero diferentes términos independientes que son las diferentes columnas de la matriz kab. 

Condensación Mediante la Eliminación de GAUSS

Mediante la solución de un conjunto de ecuaciones lineales, se optimiza la obtención de la matriz de rigidez condensada. No es menos cierto, que todavía se puede optimizar el proceso de cálculo únicamente triangularizando la matriz de rigidez, tema que se trata a continuación y es válido únicamente para el caso de que Qa= 0. La ecuación básica de análisis estático de estructuras, considerando que 𝑸𝑎 = 0, es:

Donde

Se multiplica por Kaa-1, y remplazamos:

Ahora, si a la ecuación multiplicamos por –Kba y sumamos a la ecuación de Qb, se encuentra:

Se sabe que K+ es igual a:

(Kbb + KbaT)

Reescribiendo a forma matricial tenemos que:

Por consiguiente, dada la matriz de rigidez total, se aplica la eliminación de Gauss Jordan hasta eliminar los elementos correspondientes a las coordenadas "a" y lo que se obtienen son las matrices T y K+.

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL

Se define...matriz de rigidez lateral, KL... a la matriz de rigidez asociada a las coordenadas laterales de piso. En el caso de un pórtico plano la acción sísmica se representa mediante fuerzas estáticas equivalentes, actuando en la dirección horizontal en cada uno de los pisos, nuevamente ante la componente horizontal de movimiento del suelo. Al tener un pórtico sometido a fuerzas horizontales en sus pisos y considerando que solo se tiene un grado de libertad por piso, es muy sencillo numerar las coordenadas de tal manera que se pueda condensar la matriz de rigidez lateral. Existen dos formas de modelar los elementos de un pórtico plano, ante la acción sísmica horizontal. En la primera forma se considera que únicamente las vigas son axialmente rígidas y las columnas totalmente flexibles. En cambio, en la segunda forma se considera que todos los elementos son axialmente rígidos; que se mostraran a continuación.

Ilustración 5: Modelos de cálculo para determinar KL

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Vigas y columnas axialmente rígidas

Cuando todos los elementos de un pórtico plano, conformado por vigas y columnas, se consideran axialmente rígidos, se disminuye el número de grados de libertad y el cálculo es más rápido. Para el caso de que no se considere nudo rígido, las matrices de rigidez, son 1. Elemento viga

Ilustración 6: Coordenadas globales para elemento viga (axialmente rígidos)

La matriz se obtiene de la matriz del análisis sin nudo rígido; eliminando la primera y tercera columna, y la primera y tercera fila. 2. Elemento columna

Ilustración 7: Coordenadas globales para un elemento columna (axialmente rígidos)

Para la matriz del elemento columna, se utiliza la matriz de rigidez del elemento vertical en coordenadas globales; eliminando la segunda y quinta fila, y segunda y quinta columna. 

Análisis con piso flexible

El modelaje de una estructura con piso flexible, permite realizar el análisis sísmico para la componente vertical de movimiento del suelo o para la componente horizontal.En este caso se considera que todos los elementos son totalmente flexibles. Para el análisis sísmico de un pórtico plano considerando piso flexible, se procede de la siguiente manera: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Se numeran todos los grados de libertad horizontal de la estructura. Luego se numeran todos los grados de libertad vertical. Finalmente se numeran las rotaciones de los nudos. Se encuentra la matriz de rigidez por ensamblaje directo. partir la matriz de rigidez, en base al número de grados de libertad horizontal y vertical. Se determina la matriz de rigidez condensada a las coordenadas horizontales y verticales. o Elemento viga, sin considerar nudo rígido

Ilustración 8: Sistema de coordenadas globales para un elemento viga, totalmente flexible.

La matriz de rigidez se obtiene incrementando las filas y columnas uno y cuatro a la ecuación de la matriz de análisis sin nudo rígido, con los términos de rigidez r.

Para el elemento columna, la matriz de rigidez en coordenadas globales, es la indicada en análisis sin nudo rígido.

Ejercicio:

Bibliografía Conislla Limaylla , J., & Luna Lopez , M. (28 de Junio de 2016). PDFCOKE. Recuperado el Enero de 2018, de https://es.pdfcoke.com/document/317101439/Condensacion-Estatica-y-Rigidez-Lateral Falconi, R. A. (s.f.). Recuperado el Enero de 2018, de CONDENSACIÓN ESTÁTICA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ 1: http://www.academia.edu/15530230/CONDENSACI%C3%93N_EST%C3%81TICA_DE_LA_MATRI Z_DE_RIGIDEZ_1 Falconí, R. A. (2014). ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS (4ª EDICION ed.). Quito, Ecuador: Universidad de Fuerzas Armadas ESPE .