Concepto De Centroide.docx

I.

CONCEPTO DE CENTROIDE

El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objetivo. Su ubicación puede ser determinada a partir de fórmulas similares a las usadas para encontrar el centro de gravedad del cuerpo o centro de masa. En particular si el material que compone un cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o peso específico será constante en todo el cuerpo, y por lo tanto, este término saldrá de las integrales y se cancelara a partir de los numeradores y denominadores de las ecuaciones.

Ilustración 1: Definición de Centroide.

Ilustración 2: Centroide de una Región Plana.

Para que el centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.

A. Puntos importantes del centroide El centroide representa el centro geométrico de un cuerpo. Este punto coincide con el centro de masa o con el centro de gravedad solo si el material que compone al cuerpo es uniforme u homogéneo. Las formulas usadas para localizar el centro de gravedad o el centroide simplemente representan un balance entre la suma de momentos de todas las partes del sistema y el momento de la “resultante “para el sistema. En algunos casos, el centroide se ubica en un punto fuera del objeto, como en el caso de un anillo, donde el centroide está en el centro del anillo .además, este punto se encontrara sobre cualquier eje del simetría del cuerpo.

B. Centroide del volumen Si un objeto es subdividido en elementos de volumen “dv”, la ubicación del centroide C (x, y, z) para el volumen del objeto puede ser determinada calculando los "momentos" de los elementos con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Las fórmulas resultantes son:

0

𝑥̅ =

∫𝑣 𝑥̃ 𝑑𝑉 0

∫𝑣 𝑑𝑉

;𝑦̅=

0

∫𝑣 𝑦̃𝑑𝑉 0

∫𝑣 𝑑𝑉

;𝑧̅ =

0

∫𝑣 𝑧̃𝑑𝑉 0

∫𝑣 𝑑𝑉

Ilustración 4: Centroide de Volumen.

C. Centroide del área. El centroide del área superficial de un objeto, tal como una placa o un disco, se puede encontrar subdividiendo el área en elementos “dA” y calculando los "momentos" de esos elementos de área con respecto a cada uno de los ejes coordenados.

0

𝑥̅ =

Ilustración 5: Centroide Del Área.

∫𝐴 𝑥̅ 𝑑𝐴 0

∫𝐴 𝑑𝐴

0

; 𝑦̅=

∫𝐴 𝑦̅ 𝑑𝐴 0

∫𝐴 𝑑𝐴

0

;𝑧̅ =

∫𝐴 𝑧̃𝑑𝐴 0

∫𝐴 𝑑𝐴

Ilustración 6: Diferentes tipos de centroides del Área.

D. Centroide de una Línea. Si la simetría del objeto, tal como la de una barra delgada o la de un alambre, toma la forma de una línea, el equilibrio de los momentos de los elementos diferenciales “dL” con respecto a cada uno de los ejes coordenados resulta.

0

𝑥̅ =

Ilustración 6: Centroide de una línea.

∫𝐿 𝑥̃ 𝑑𝐿 ∫𝐿 𝑑𝐿

;𝑦̅ =

0

∫𝐿 𝑦̃ ∫𝐿 𝑑𝐿

;𝑧̅ =

0

∫𝐿 𝑧̃ 𝑑𝐿 ∫𝐿 𝑑𝐿

E. Simetría.



En los casos donde la forma tenga un eje de simetría, el centroide de la forma se encontrará a lo largo de ese eje.

Ilustración 7: Centroide en un eje de simetría.



En los casos donde una forma tenga dos o tres ejes de simetría, se infiere que el centroide se encuentra en la intersección de esos ejes.

Ilustración 7: Centroide en dos o más ejes de simetría.

F. Centroide para áreas planas compuestas



Consisten en una serie de cuerpos “más simples” que pueden ser rectangulares, triangulares o semicirculares y que están conectados entre sí.



Dichos cuerpos pueden ser seccionados en sus partes componentes.



Para un número finito de pesos tenemos.

𝑥̅ =

∑ 𝑥̃𝑊 ∑𝑊

𝑦̅ = ∑

∑ 𝑦̃𝑊 ∑𝑊

𝑧̅ =

∑ 𝑧̃𝑊 ∑𝑊

Ilustración 8: Centroide en un área plana Compuesta.

II.

Centro de masa

El centro de masas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como “C.M”

Ilustración 9: Definición de Centro de Masa.

III.

centroide de formas complejas Las formas más complejas pueden ser consideradas como compuestas de varias formas simples. Esto facilita la localización del centroide. Se puede utilizar una regla simple para localizar centroides de algunas combinaciones especiales de áreas:



Si el área tiene un eje de simetría, el centroide quedará en dicho eje.



Si el área tiene dos ejes de simetría, el centroide se encuentra en la intersección de estos dos ejes.

Cuando no hay dos ejes de simetría, se puede utilizar el MÉTODO DE ÁREAS COMPUESTAS para localizar el centroide, como se muestra en la figura 10:

30 mm

80 mm

40 mm Ilustración 10: MÉTODO DE ÁREAS COMPUESTAS para la localización de centroide.

Se considera que tales áreas se componen de dos o más áreas simples cuyo centroide se puede localizar aplicando el principio siguiente:



El producto del área total por la distancia a su centroide es igual a la suma de los productos del área de cada componente por la distancia a su centroide, con la distancia medida con respecto al mismo eje de referencia.

Este principio utiliza el concepto del momento de un área, es decir, el producto del área por la distancia del eje de referencia al centroide del área. El principio establece lo siguiente:



El momento del área total con respecto a un eje particular es igual a la suma de los momentos de todos los componentes con respecto al mismo eje. Esto se expresa matemáticamente como:

𝐴 𝑇 𝑌̅ = ∑(𝐴𝑖 𝑌𝑖 ) Dónde:

𝐴𝑡 : Área total de la forma compuesta. 𝑌̅ : Distancia al centroide de la forma compuesta medida con respecto a un eje de referencia.

𝐴𝑖 : Área de un componente de la forma. 𝑌𝑖 : Distancia al centroide del componente con respecto a un eje de referencia. El subíndice i indica que puede haber varios componentes, y que se debe formas el producto 𝐴𝑖 𝑌𝑖 , por cada uno y luego sumarlos, como lo ̅, requiere en la ecuación mostrada. Como nuestro objetivo es calcular 𝑌 entonces se resuelve la ecuación:

𝑌̅ =

∑(𝐴𝑖 𝑌𝑖 ) 𝐴𝑡

Ilustración 11: Formas compuestas con dos ejes de simetría.

Bibliografía:

CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS (Treissy Guillen Vasquez, 2018) CENTROIDE (Angelica Arrieta, 2015)

CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDES (Nayive Jaramillo S., 2010)

( William F. Riley, Leroy D. Sturges, 1995)