Comunicazioni Clettriche - Teoria E Formulario

Università degli Studi di Trieste Piazzale Europa 1, 34100 Trieste Facoltà di INGEGNERIA Corso di Laurea in INGEGNERIA INFORMATICA Anno Accademico 2003/2004

Comunicazioni elettriche

Studente: Giorgio Davanzo [email protected]

Docente: Prof. Francesca Vatta

1 di Giorgio DAVANZO

COMUNICAZIONI ELETTRICHE – I parte RUMORE TERMICO:

Costante di Planck: h = 6.626176 x 10-34 Jxs Costante di Boltzmann: k = 1.380662 x 10-23 J/K Sorgente di rumore termico: Su una resistenza R a temperatura T c’è una tensione e(t) dovuta al movimento casuale degli elettroni. Si definiscono: • densità spettrale del valore quadratico medio della tensione: Ge(f) = 2RkT V2/Hz se |f|<
(S/N)o =

g d PS kg d Be (T + Te )

=

P 1 1 ⋅ s = (S / N)i 1 + Te / T kTB e 1 + Te / T

Cifra di rumore del doppio bipolo: F = 1 + Te/T indica la perdita di rapporto segnale/rumore causata dal doppio bipolo. Conversione in db: FdB = 10log10 F  F = 10FdB/10 Equazione di Friis: per le cascate di doppi bipoli, Te= Te,1 + Te,2/g1+…+Te,n / (g1⋅ …⋅ gn) dim: all’ingresso del primo bipolo Po=kTB; all’uscita del primo bipolo P1 =kg1(T+Te1)B  T1 =g1(T+Te1); all’uscita del secondo bipolo P2=kg2(T1+Te2)B= kg2[g1(T+Te1)+Te2]B  equivale ad una sorgente di rumore alla temperatura T 2 = g2g1[T+Te1+Te2/g1]. Allora la temperatura equivalente della cascata di due bipoli è pari all’incremento di rumore, cioè Te,1+2 = Te1 + Te2/g1 Cifra di rumore di una cascata di bipoli: applicando la relazione Te=(F-1)T0 all’equazione di Friis si ha che F=F1+(F2-1)/g1 + … + (Fn-1)/gn Trasmissione disadattata: prendiamo una sorgente di rumore Rs alla temperatura T, un doppio bipolo con resistenza in ingresso Ri e in uscita Ro, una resistenza di carico RL. Consideriamo una sezione della catena di v( t ) R   trasmissione con Ro e RL; la potenza trasmessa attraverso la sezione è Pt=  Rv(t+)RR  ⋅ R1 = (R + R ) mentre la potenza massima trasmessa attraverso la sezione (Ro=RL) è Pmax = 2/(4Ro). Si definisce fattore di disadattamento α := Pt/Pmax Per l’uscita e l’ingresso si ha αo=4RoRL / (Ro+RL)2 e αi=4RsRi / (Rs+Ri)2 • potenza di rumore trasferita dal d.bip. sul carico : KTBαigdαo • potenza introdotta dal d.bip. sul carico: kTeBgdαo Allora la potenza complessiva trasmessa al carico è k(T+Te/αi)α1gdαo  Te’ = Te/αi e F’=1+(F-1)/αi Operativamente: per tenere conto del disadattamento in una catena di bipoli basta inserire un doppio bipolo non rumoroso con guadagno pari al coefficiente di disadattamento. Rumore introdotto da una linea che attenua: attenuazione di potenza L = PT/PR • canali fisici: si conosce la perdita di dB per unità di lunghezza • canali radio: attenuazione di spazio libero L=(4πd/λ)2 con d=distanza di tratta, λ lunghezza d’onda • cifra di rumore F= L dim: F =(S/N)i / (S/N)o = (Si/Ni)/(So/No) ma Ni=No F=Si/So = PT/PR =L 2

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2 COMUNICAZIONI ELETTRICHE – I parte Effetti del rumore sui ripetitori analogici: una linea molto lunga richiede dei ripetitori che ripristinano il livello di potenza del segnale trasmesso dal tratto di linea attenuante che li precede. Se ogni tratto ha la stessa attenuazione L, ogni amplificatore guadagno L e cifra di rumore Fa, la cifra di rumore di linea+amplificatore è F=F1+(F2-1)/G1 = L+(Fa-1)/(1/L)=LFa ed il guadagno è L⋅ 1/L = 1. Per n stadi si ha cifra di rumore complessiva F(n) = F1+(F2-1)/1+…+(Fn-1)/1 = nLFa-(n-1)≈nLFa INTRODUZIONE ALLE MODULAZIONI: Segnale in banda base: il contenuto di frequenza è prossimo a f(0) Voglio trasmettere il segnale m(t), realizzazione casuale di M(t), processo stazionario con funzione di autocorrelazione RM(τ) e densità spettrale di potenza SM(f). Inoltre, m(t) è a banda limitata W centrata in 0. Definiamo potenza media PM = RM(0)=∫[-W,W]SM(f)df. Segnale portante: c(t) = Accos(2πfct + Φc) dove Ac è l’ampiezza, fc la frequenza portante, Φc la fase portante. La modulazione converte il segnale m(t) da passa-basso a passa-banda, nelle vicinanze della frequenza fc. Perché modulare? 1. la modulazione adatta il segnale m(t) alle caratteristiche di banda del mezzo 2. permetta il multiplexing della frequenza 3. aumenta la banda di m(t) per aumentare la protezione dal rumore (modulazione d’angolo) Scelta della modulazione: 1. caratteristiche del segnale m(t) 2. caratteristiche del canale e tipo di canale (fibra ottica, aria,…) 3. rapporto qualità/costi Upper sideband: è la parte di U(f) tale che |f|fc MODULAZIONE DI AMPIEZZA: Si imprime il segnale nell’ampiezza di c(t); ci sono tre modulazioni di ampiezza: DSB-AM-SC (doublesideband suppressed carrier), DSB-AM (convenzionale double-sideband) e SSB-AM (single-sideband) MODULAZIONE DSB-AM-SC: u(t)=m(t)c(t)=Acm(t)cos(2πfct + Φc) Vediamo lo spettro di u(t) nei casi: • segnale modulante deterministico: allora m(t) ha spettro M(f), centrato nell’origine e con massimo M(0)=A. u(t) ha per spettro la convoluzione degli spettri di m e c. U(f)=(Ac/2)[M(f-fc)ejΦc+M(f+fc)e-jΦc] ed ha per grafico lo spettro di m(t) traslato di –fc e di +fc, con valore massimo in ±fc pari a A⋅ Ac/2 . ■Inoltre, il contenuto di frequenza di U(f) per f>fc corrisponde a quello di M(f) per f>0, e quello di U(f) per f<-fc corrisponde al contenuto di M(f) per f<0; analogamente per la lower-sideband: per questo, visto che entrambe le bande laterali contengono M(f), il segnale è detto double-sided. ■u(t) non contiene il segnale portante: tutta la potenza trasmessa è contenuta in m(t). ■richiede una banda Bc=2W • segnale modulante casuale: u(t) è una realizzazione di U(t); E[U(t)]=AcE[M(t)]cos(2πfct + Φc)=0. Ha funzione di autocorrelazione RU(t,t+τ)=E[U(t)U(t+τ)]=½Ac2RM(τ)[cos2πfcτ+cos(2πfc(2t+τ)+2Φc)] che è periodica di Tp=1/2fc U(t) è ciclostazionario. f.ne media di autocorr. Rm,u(t) = (1/Tp)∫TpRu(t,t+τ) = ½Ac2RM(τ)cos2πfcτ. La potenza media è Rm,u(0)=½Ac2RM(0). La densità spettrale di potenza è Su(f)=f{Rm,u(τ)}=¼ Ac2[SM(f-fc)+SM(f+fc)] dove Sm(f) è la densità spettrale di potenza di m(t) DEMODULAZIONE DSB-SC AM: senza rumore il segnale ricevuto è r(t)=u(t). Si procede con moltiplicando r(t) con un segnale sinusoidale cos(2πfct+Φ) e passando il tutto su un filtro passabasso con banda W e si ottiene yl(t) = ½Acm(t)cos(Φc-Φ). se Φc≠Φ si deve scalare il segnale, ma se Φc-Φ=90° il segnale sparisce. Si ovvia a questo inserendo un segnale pilota, ma questo sottrae potenza. MODULAZIONE DSB-AM: u(t)=Ac[1+m(t)]cos(2πfct + Φc) con m(t) tale che |m(t)|<1. Se m(t)<-1 per qualche t, Ac[1+m(t)]<0 e il segnale AM diventa overmodulated e difficile da demodulare. Introduciamo quindi un indice di modulazione “a” tale che m(t)=amn(t) e mn(t)=m(t)/max|m(t) >-1 ∀t. Passiamo agli spettri: • segnale modulante deterministico: U(f)=(Ac/2)[ejΦcaMn(f−fc)+ejΦcδ(f−fc)+e−jΦcaMn(f+fc)+e−jΦcδ(f+fc)] e occupa una banda doppia di quella del segnale • segnale modulante casuale: E[U(t)]=Accos(2πfct+Φc). Ha funzione di autocorrelazione RU(t,t+τ)=½Ac2[1+RM(τ)][cos2πfcτ+cos(2πfc(2t+τ)+2Φc)]; Rm,u(t)=½Ac2[1+RM(τ)]cos2πfcτ; La potenza

3 media è Rm,u(0)=½A [1+a RMn(0)]≤1 (perché |mn(t)≤ 1) almeno metà della potenza trasmessa è contenuta in m(t) EFFICIENZA DELLA MODULAZIONE DSB-AM: è la percentuale di potenza del segnale modulato che contribuisce alla trasmissione del segnale. ν = a2PMn(0) / (1+a2PMn) DEMODULAZIONE DSB-AM: è il punto forte della DSB-AM perché è molto facile da realizzare; si eliminano i valori negativi di r(t) (rectification)e lo si passa per un filtro passabasso con banda W. Envelope detector: è la combinazione del rectifier con il filtro passabasso MODULAZIONE SSB-AM: basta trasmettere una delle due bande del segnale modulato con DSB-AM-SC per ricostruire il segnale: u(t)=Acm(t)cos(2πfct + Φc)±Acm’(t)cos(2πfct + Φc) dove m’(t) è la trasformata di Hilbert di m(t). Prendendo il “−” si ha la modulazione USSB (Upper Band), con il “+” la LSSB (lower band) DEMODULAZIONE SSB-AM: come per il DSB-AM-SC serve un segnale pilota; molto usato per le comunicazioni telefoniche, dove il segnale pilota è condiviso da molti canali. MODULAZIONE D’ANGOLO:

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Nella modulazione di frequenza (FM) alla fc si sostituisce m(t); analogamente nella modulazione di fase (PM) la fase cambia in base alle variazioni di m(t). A differenza di quella di frequenza, NON sono lineari. Sono molto resistenti al rumore, ma l’occupazione di banda cresce molto. Rappresentazione di segnali FM e PM: u(t) = Accos(θ(t)) e fi(t) : = 1/2πdθ(t)/dt. Essendo u(t) un segnale passa banda, posso rappresentarlo come u(t)=Accos(2πfct+Φ(t))  fi(t) = fc + 1/2πdθ(t)/dt. Allora avrò • PM: Φ(t) = kpm(t) con kp costante di deviazione di fase • AM: fi(t)-fc = kfm(t)= 1/2πdθ(t)/dt  Φ(t)=2πkf∫−∞,tm(τ)dτ Osservazioni: 1. se si fa la PM di ∫m(t) si ottiene la FM di m(t) 2. derivando le due espressioni di Φ(t) si ottiene che la FM di dm(t)/dt è pari alla PM di m(t) Massima deviazione di fase: ΔΦmax= kpmax[|m(t)|] Massima deviazione di frequenza: Δfmax = kpmax[|m(t)|] Demodulazione: • il segnale FM si demodula cercando la fi(t) del segnale modulato e togliendoci il c(t) • il segnale PM si demodula cercando la fase del segnale e poi ricreando la m(t) Fisicamente c’è un filtro passabanda di banda BW=Bc, poi un demodulatore d’angolo e poi un filtro passa basso con frequenza di taglio BW=W Indici di modulazione: • βp = kpa = kpmax[|m(t)|] = ΔΦmax • βf = kfa/fm = kfmax[|m(t)|] / W = Δfmax / W Analisi spettrale: non essendo lineari, non è possibile effettuare un’analisi matematica degli spettri, a meno che non si parli di particolari segnali: • segnale sinusoidale: Pc = Ac2/2 ; Jn(β)≈βn/(2nn!) ; u(t)=∑AcJn(β)cos(2π(fc+nfm)t) ; La banda del segnale angolare modulato è Bc = 2(β+1)fm con fm frequenza del segnale sinusoidale. Numero di armonice = Mc = 2 β+3 con β= trunc(β) • segnale periodico: regola di curson Bc = 2(β+1)W la banda è molto grande. • processo Gaussiano: ora la modulazione è un processo casuale. Per l’FM, Wg=kf√Pm mentre per il PM Wg=kp√(PmVm) con PM potenza di m(t) RUMORE NELLA MODULAZIONE D’AMPIEZZA: • •

In un sistema in Banda Base: (non esiste demodulatore) la potenza di rumore all’uscita del ricevitore (che consiste nel solo filtro PassaBasso con banda W) è Pno=∫[-W..+W](N0/2)df=N0W. (S/N)b=Pr/(N0W). DSB-SC-AM: si suppone che venga utlizzato un demodulatore coerente (un PLL:maglia ad aggancio di fase)φ =φ c=0.Pno=Pnc/4=Pn/4;Po=E[M2(t)]Ac2/4=RM(0)Ac2/4=PMAc2/4;Pn=∫Sn(f)df=(N0/2)4W=2WN0; (S/N)o=Po/Pno=(Ac2/4)PM/[2WN0/4]=Ac2PM/(2WN0); PR=Ac2PM/2; (S/N)o=PR/(N0W)=(S/N)b.  non c’è nessun miglioramento nel SNR rispetto al sistema in BandaBase.

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COMUNICAZIONI ELETTRICHE – I parte •

SSB-AM: Po=PMAc2/4; Pno=Pnc/4=Pn/4; Pn=∫Sn(f)df=(N0/2)2W=WN0; (S/N)o=Po/Pno=Ac2PM/(WN0); PR=PU=Ac2PM; (S/N)o=PR/(WN0)=(S/N)b. • AM Convenzionale:PR=(Ac2/2)[1+a2PMn]; (S/N)o=η (S/N)b=[a2PMn/(1+a2PMn)](S/N)b; (S/N)b=PR/(N0W). (η : efficienza della modulazione). Se assumiamo un SNR elevato all’ingresso del ricevitore l’efficienza del demodulatore sincrono e quello di inviluppo è lo stesso. Se assumiamo un SNR basso il sistema opera sottosoglia (non si può più distinguere il segnale dal rumore). Stima della fase con una maglia ad aggancio di fase (PLL): metodo per generare un riferimento di fase per demodulazioni sincrone di un segnale DSB-SC AM. Il sistema per stimare la fase della portante è composto da un “square-law device” un filtro PassaBanda centrato in 2fc. Il PLL è posto subito dopo “l’estimatore di fase”: consiste in un moltiplicatore, un filtro di loop ed un oscillatore controllato dal voltaggio (VCO). Se il VCO non riceve alcun segnale in ingresso, oscilla a f0 (frequenza di free-running). Il PLL è agganciato quando fc=fi. Il filtro di loop è un filtro PassaBasso che risponde solo a componenti a bassa frequenza sin(φ e-φ ) (dove φ e rappresenta la stima di φ ) e rimuove la componente a 4fc. Per facilità si sceglie per questo filtro una funzione di trasferimento G(s)=(1+τ 2s)/(1+τ 1s) dove τ 1 e τ 2 sono costanti (τ 1>>τ 2) che controllano la larghezza di banda del loop. L’uscita del filtro di loop, v(t), provvede al controllo del VCO (che è un generatore di segnale sinusoidale). RUMORE NELLA MODULAZIONE D’ANGOLO: Il rumore agisce sull’ampiezza del segnale, ma nella mod. d’angolo il segnale è nella frequenza  l’effetto del rumore sul segnale demodulato può essere descritto analizzando i cambiamenti che produce nella posizione degli zeri del segnale modulato. Da un’analisi grafica risulta che un segnale FM risente meno del rumore rispetto all’AM, e che un segnale FM a bassa potenza ne risente più di uno ad alta potenza. Lo spettro del rumore è Sno(f) = No/Ac2 in PM, Sno(f) = f2No/Ac2 in FM  in FM il rumore interviene maggiormente nelle frequenze più alte (il grafico è una parabola) La potenza di rumore in uscita è Pno = ∫2WSno(f)df , ottenendo Pno = 2WNo/Ac2 in PM, Pno = 2W3No/3Ac2 in FM Potenza del segnale in uscita è Pso = kp2Pm per il PM, Pso = kf2PM in FM SNR è (S/N)o = Pso/Pno e poi basta sostituire ricordando che (S/N)b = PR / (NoW) = SNR di un sistema in banda base con la stessa potenza e PMn = PM/(max|m(t)|)2. Infine si ottiene • (S/N)o = βp2PMn(S/N)b per il PM • (S/N)o = 3βf2PMn(S/N)b per l’FM Fattore di espansione di banda: Ω : = Bc/W = 2(β+1) Osservazioni: • in PM e FM il SNRo dipende dal quadrato di β aumentando β aumenta molto SNRo anche se la potenza è poco, contrariamente a quanto accade nella modulazione di ampiezza • l’SNRo può essere aumentato anche ingrandendo la banda • la relazione tra SNRo e Ω è di tipo quadratico, mentre quella ottimale è di tipo esponenziale • aumentando β aumenta anche Bc  non vale più l’approssimazione iniziale secondo cui l’inviluppo del rumore che rimane dopo il passaggio per il filtro passabanda è << di Ac  fenomeno del threshold • mentre in AM incrementando la potenza del segnale trasmesso aumentava anche quella del segnale demodulato, nelle modulazioni d’angolo non avviene (il messaggio è nella fase). Per aumentare la potenza del segnale demodulato bisogna diminuire la potenza del rumore. • in FM, l’effetto del rumore è maggiore ad alte frequenze. Threshold Effect: se il rapporto SNRi non è sufficientemente elevato non è possibile distinguere il segnale dal rumore: esiste dunque un valore massimo di β che non può essere superato. La soglia è (S/N)b,th=20(β+1)  • avendo la potenza ricevuta PR possiamo calcolare la massima β permessa. • avendo l’allocazione di banda Bc, possiamo trovare la β con la regola di Carson e usando la relazione del threshold ricavare la potenza minima richiesta. Sostituendo la relazione del threshold nell’equazione che descrive il SNR o si ha (S/N)o=60β2(β+1)PMn ovvero la relazione tra il SNRo desiderato ed il massimo β che permette di ottenerlo.

COMUNICAZIONI ELETTRICHE – II parte

1 di Giorgio DAVANZO

TRASMISSIONE NUMERICA: Vantaggi: fedeltà, meno ridondanza della sorgente, unificazione del formato dei segnali nella rete ISDN, circuiti poco costosi. Informazione: è tutto ciò che riduce l’incertezza delle nostre conoscenze su un certo argomento. Grandezza analogica: all’interno di un certo intervallo è continua Grandezza digitale: assume solo un numero finito di valori distinti Modalità: conduzione (cavi coassiali, linee), irradiazione (guidata-fibre ottiche, libera-spazio) • Sorgente: fonte di emissione delle informazioni • Canale: insieme di mezzi e apparati usati per trasportare le comunicazioni • trasduttore di trasmissione: adatta l’informazione della sorgente alle caratteristiche del canale • canale di comunicazione: mezzo di trasmissione • trasduttore di ricezione: adatta il segnale alle caratteristiche dell’utilizzatore • Utilizzatore: destinatario Trasmissione punto-punto: [sorgente]S[codifica di sorgente]R[codifica di canale]X [modulatore]Y[canale]Y’[demodulatore]X’[decodifica di canale]R’[decodifica di sorgente] S’[destinazione]. Il canale introduce rumore e attenuazione; inoltre distorce il segnale. Codifica di sorgente: è [campionamente][quantizzazione][codifica]. Campionamento: sia p(t) un segnale composto da impulsi unitari separati dal periodo T. xs(t)=x(t)p(t). Perché funzioni deve essere ωs=2π/T ≥ 2B. Allora Xs(ω) è la ripetizione di X(ω) con periodo ωs. Quantizzazione: sia M il numero di intervalli di quantizzazione;(S/N)q=M2-1 se la quantizzazione è uniforme. Codifica: trasformazione di ogni livello in una sequenza di bit. per M livelli servono log2Mbit. Velocità di emissione Rs=frequenza campionamento * bit per campione. Sorgenti numeriche: sia an la statistica della sequenza discreta; le ipotesi sono P[an=1]=P[an=0]=½ e sono indipendenti: P[an|an-1…a1]=P[an] Modulazioni numeriche: il modulatore adatta la sorgente al canale. • in banda base: per canali con caratteristiche in frequenza del tipo passa-basso; |H(f)|≤ B • con portante: per canali passa banda (canali radio, telefonici, fibra ottica); H(f) sono due curve centrate in ±fo e di banda 2B Sorgente e modulatore: la sorgente è caratterizzata da Ts: Rs=1/Ts bit/s; il modulatore da T (intervallo di simbolo): Rm=1/T baud (segnali al secondo); nel caso T=Ts si ha la modulazione binaria. Il modulatore dispone di M=2k segnali; T=Tslog2M  Rm=Rs/log2M

SPAZIO DEI SEGNALI o di HILBERT: Spazio Euclideo: ψ1 e ψ2 versori, cioè | ψ1|=| ψ2|=1 e ψ1⋅ ψ2=0. Se S1=(S11,S12) è un vettore, definiamo • modulo: |S1|2=S112+S122 • prodotto scalare: S1⋅ S2=S11S21+S12S22 • distanza: d2(S1,S2)=(S11-S21)2+(S12-S22)2 Possiamo ora passare allo spazio dei segnali, in cui ci sono funzioni a energia finita e definite in [0,T]. Si può vedere x(t) come un vettore la cui variabile indipendente tempo rappresenta le coordinate dello spazio di riferimento; per un certo valore di t, x(t) rappresenta la proiezione di x secondo il versore t. Allora si ha • norma di un segnale: ||x||2=∫[0..T]|x(t)|2dt = Ex = <x,x> = ∑i=1..N xi2 • prodotto scalare: <x,y> = ∫[0..T]x(t)y*(t)dt = ∑i=1..N xiyi . Due segnali sono ortogonali se <x,y> = 0 • distanza: d2(x,y) = ∫[0..T]|x(t)-y(t)|2dt = ∑i=1..N |xi-yi |2 Sistema di riferimento: dobbiamo definire dei segnali versori tali che <ψi,ψj> = δij = 0 per i≠ j, 1 per i=j. Allora x(t)=∑i=1..N xiψi(t). Per ricavare le componenti dei segnali: xi = <x,ψi> = ∑i=1..N xjδij Procedimento di Gram-Schmidt: dati M segnali a energia finita {Si(t)} i=1..M trovare una base {ψi(t)} i=1..N per rappresentarli. Con questo procedimento N=M solo se gli M segnali sono ortogonali. 1. determino il primo versore: ψ1=S1/ |S1| (si può prendere un vettore qualunque) 2. D2 = S2 – S21ψ1 D2ψ1 con S21=<S2,ψ1>. ψ2//D2  ψ2=D2/ |D2| 3. D3 = S3 – S31ψ1 – S32ψ2 e via così. Se un Dx = 0 il vettore aggiunto è complanare ai precedenti.

2 COMUNICAZIONI ELETTRICHE – II parte Modulazione di fase a M livelli – PSK (Phase Shift Keying): sono M segnali che differiscono tra loro per la fase iniziale: Ai=Acos(2πt/T-i⋅ 2π/M). E’ rappresentata in uno spazio dei segnali a due versori da M punti equidistanti con spaziatura di 2π/M.

TRASIMISSIONE DEI SEGNALI DEL MODULATORE: Ipotesi: il modulatore è senza memoria, trasmette sul canale forme d’onda scelte da un opportuno alfabeto sulla base delle sequenze binarie che si presentano al suo ingresso. I segnali {Si(t)} per i=1..M hanno durata TS e sono reali. Il canale è Gaussiano additivo (AWGN) con banda illimitata per consentire la trasmissione non distorta di un qualsiasi segnale. Conseguenza: il ricevitore ottimo decide sul segnale trasmesso osservando il segnale ricevuto in un intervallo di durata T. Le decisioni avvengono simbolo per simbolo  ci si limita all’intervallo [0,T] e il ric.ottimo rende minima la probabilità di sbagliare la stima del segnale trasmesso. Rumore bianco: Gn(f) = No/2 ∀f; Rn{τ}=F-1{Gn(f)}= 0 tranne che in 0 dove vale No/2. Se il modulatore invia Si(t), il ricevitore riceve r(t)=Si(t) + n(t) Ricevitore: è formato da r(t)[demodulatore][rilevatore]stima • demodulatore: ricava da r(t) la statistica sufficiente • rilevatore: decide quale segnale Si(t) è stato trasmesso Variabili causali gaussiane: hanno E[nk]=0, E[nk2]=No/2 e covarianza = E[nknm]=0 per k≠ m, No/2 per k=m Demodulatore a correlazione: proietta il segnale r(t) nello spazio dei segnali del modulatore: rk=. Le proiezioni r1,r2,…,rN sono una statistica sufficiente. E[rk]=E[Sik+nk]=E[Sik]+E[nk]=Sik; varianza E[rk2]-E[rk]2 = E[Sik2+nk2+2Siknk]-Sik2=Sik2 + No/2 +2SikE[nk] – Sik2 = No/2. Cioè le var rk sono gaussiane statisticamente indipendenti, a valor medio Sik e con la stessa varianza No/2. Le caratteristiche del ricevitore sono: • il ric. conosce la struttura dei versori ψi • rk = ∫[0..T]r(t)ψk(t)dt=∫[0..T][Si(t)+n(t)]ψk(t)dt=∫[0..T]Si(t)ψk(t)dt+∫[0..T]n(t)ψk(t)dt = Sik+nk • nk sono variabili casuali gaussiane • densità di probabilità della variabile casuale rk condizionata alla trasmissione dell’i-esimo segnale: f(rk|Sik) = [1/√(πNo)]exp[(-1/No)(rk-Sik)2] • densità di probabilità congiunta di tutte le N variabili casuali che rappresentano le proiezioni di r(t): visto che le rk sono statisticamente indipendenti, f(r|Si)=∏k=1..Nf(rk|Sik)= [(πNo)^(-N/2)]exp[(-1/No)∑k=1..N(rk-Sik)2] Il demodulatore, riproiettando r sullo spazio dei segnali, elimina la componente n’(t) cioè il rumore. Devo dimostrare che facendo ciò posso ancora decidere. • r(t) = Si(t)+n(t) = Si(t) + ns(t) + n’(t) = ∑k=1..N(Sik+nk) ψk(t)+n’(t) con ns(t) ∈ piano dei segnali della sorgente, n’(t) componente normale al piano del rumore. • n’(t) e le uscite dei correlatori sono statisticamente indipendenti. • allora {rk} per k=1..N è statisticamente sufficiente a decidere e n’(t) può essere ignorato Demodulatore a filtro adattato: in uscita dal filtro adattato si ha r(t)Θψk(T-t)=∫[0..t]r(τ)ψk(T-t+τ)dτ e campionando in t=T si ha r(t)Θψk(T-t)=∫[0..t]r(τ)ψk(τ)dτ = = rk Rivelatore ottimo: opera secondo il criterio della massima probabilità a posteriori (MAP), ovvero sceglie Sm tale che P[Sm|r] = maxj P[Sj|r] Massima verosimiglianza (ML): applico Bayes alla MAP; P[Sj|R]=P[R|Sj]P[Sj]/P[R]. Per ipotesi P[Sj]=1/M ∀j (segnali equiprobabili) e ∑P[Sj]=1. Allora devo solo massimizzare su j:scegli Sm tale che f(r|Sm)=maxj f(r|Sj) Decisione a minima distanza euclidea: equivale alla ML; scegli Sm tale che d(r,Sm) = minj d(r,Sj) definendo d(r,Sj):= ∑k=1..N(rk-Sjk)2. Sul canale AWGN, la decisione ML equivale a scegliere il segnale Sm che minimizza la distanza euclidea rispetto al segnale ricevuto. Rivelatore ottimo a ML: conosce i segnali {Si(t)}; calcola tutte le distanze e sceglie la minore. Rivelatore ottimo alternativo: minj Dj=∑k=1..N(rk-Sjk)2=minj∑k=1..N(rk2+Sjk2-2rkSjk)=minj∑k=1..N(Sjk2-2rkSjk) = maxj[2∑k=1..N2rkSjk - ∑k=1..NSjk2) = maxj[2 - E(Sj)] Regione di decisione: è l’insieme dei segnali che hanno lo stesso segnale stimato; per i confini tra due regioni si sceglie a caso. R1 U R2 U Rn = spazio di Hilbert ; Ri∩Rj=0 ∀i≠ j Ottimalità della decisione ML: se trasmetto segnali equiprobabili, la regola ML minimizza la probabilità media di errore: P(e) = ∑i=1..M P(e|Si)P(Si) = 1/M∑i=1..M P(e|Si)

METODI DI MODULAZIONE:

COMUNICAZIONI ELETTRICHE – II parte

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Modulazione PAM binaria: S1(t) = gT(t) e S2(t) = -gT(t). Ipotesi: P[S1]=P[S2]=½ e gT(t) è definito in [0,T] e ∫0..TgT2(t)dt = Eb. I segnali nello spazio di Hilbert possono essere • antipodali se giacciono entrambi su un asse con S1=√Eb e S2=-√Eb cioè M=2 e N=1. • ortogonali se uno giace sull’asse delle “x” e uno su quello delle “y” con S1=√Eb e S2=√Eb Comparatore di soglia: è la macchina che riceve r = ∫[0..T]r(t)Θψ con ψ =gT(t)/√Eb ; posti C1=r√Eb e C2=-r√Eb poi si sceglie il maggiore. Vedendo se r è < o > di 0 si opera la scelta. Allora P(e|S 1) = P(r<0|S1) = ∫[-∞..0]f(r|S1)dr = [1/√(πNo)] ∫[-∞..0]exp[-(r-√Eb)2/No]dr = Q√(2Eb/No) dove Q(x):=[1/√(2π)] ∫[x..∞]exp[-t2/2]dt <½exp[-x2/2]. Allora Pb(e) = Q√(2Eb/No)< ½exp[-Eb/No]. Quindi rendere piccola la probabilità di errore significa aumentare il rapporto segnale-rumore (SNR). d1,2:=d(S1,S2)=2√Eb dove Eb è l’energia di ciascuno dei due segnali e No la densità spettrale di potenza del rumore gaussiano sul canale. Quindi due segnali a distanza euclidea d1,2 sono rilevati con probabilità di errore sul bit Pb(e) = Qd1,2/(√2No). Es.: un segnale antipodale ha Pb(e) = Q√(2Eb/No) mentre uno ortogonale ha Pb(e) = Q√(Eb/No) cioè a parità di energia la distanza è minore. Modulazione PAM a M livelli: Si(t) = AigT(t) per i=1,2,…,M con gT(t) definita in (0,T) ad energia Eg. Inoltre Ai=2i-1-M. Nel piano di H. Si è del tipo k√Eg con ψ =gT(t)/√Eg Energia media: Eav=1/M∑i=1..MEi = 1/M∑i=1..MAi2Eg = 1/M∑i=1..M(2i-1-M)2Eg=Eg/M ⋅ M(M2-1)/3 = Eg(M2-1)/3 Ricevitore ottimo della modulazione PAM a M livelli: è la macchina che riceve r = ∫[0..T]r(t)Θψ con ψ=gT(t)/√Eb che viene poi processato attraverso un comparatore di soglie che restituisce la stima. Le soglie sono τi = (2iM)√Eg ∀i=1,2,…,M-1. Probabilità d’errore: ipotesi: trasmesso un Si interno. r=Si +n = Ai√Eg +n con f(r|Si) gaussiana. La probabilità d’errore sul simbolo è Pb(e|Si) = P[|r-Si|>√Eg] = 2Q√[2Eg/No] Probabilità d’errore media: PM(e) = 1/M∑i=1..MPM(e|Si)=1/M{(M-2)⋅ 2Q√(2Eg/No)+2Q√(2Eg/No)}=[2(M-1)/M]⋅ Q√(2Eg/No) = [2(M-1)/ M]⋅ Q√[6Eav/[(M2-1)No]]. Energia media per trasmettere un bit: Ebav:=Eav/log2M.Allora PM(e)=[2(M-1)/M]⋅ Q√[6log2M⋅ Ebav/[(M2-1)No]] Logica di Gray: S0=000 S1=001 S2=011 vario solo un bit, così se sbaglio simbolo sbaglio solo un bit. Modulazione con M segnali ortogonali: M segnali tali che <Si,Sj> = Esδi,j Es.: segnali PPM A=√(EsM/T). Il sistema di riferimento comprende N=M segnali ψi(t) = Si(t) / √Es . Ciascun segnale Si è rappresentato da un vettore di M dimensioni la cui unica componente non nulla è la i-esima Ricevitore ottimo segnali ortogonali: Ip: trasmesso S1; ri = ∫[0..T]r(t) ψi(t)dt = ∫[0..T][S1(t) + n(t)]ψi(t)dt = √Es ⋅ δ1,i + ni i=1…M. La stima viene effettuata scegliendo il maggiore degli ri Union bound o limite dell’unione: abbiamo M segnali Si(t); definiamo eij:={r: d(r,Sj) < d(r,Si)} con i≠ j. eij non è un evento d’errore: significa decidere per il segnale trasmesso. L’evento errore è ei = U eij ∀j=1..M, j≠ i. Visto che P[Ui=1..MAi]≤ ∑i=1..MP[Ai] con Ai evento i-esimo si ha P(ei)≤ ∑j=1..M≠ i P(eij); sapendo che P(eij) = Q(dij/√(2No)) allora P(ei) ≤ ∑j=1..M≠ i Q(dij/√(2No)). Allora PN(e)=1/M∑j=1..M∑i=1..M Q(dij/√(2No)) con i≠ j. Definendo dmin:=mini,j(dij) con i≠ j si ha P(e)≤ (M-1)⋅ Q(dmin/√(2No)) Limite inferiore alla probabilità d’errore: definiamo di:=minj(dij) con i≠ j la minima distanza a cui si trova il segnale Si da qualunque altro segnale. Allora P(ei)≥ Q(di/√(2No)) e P(e)=1/M∑i=1..MP(ei)≥ 1/M∑Q(di/√(2No)) ≥ 1/ M∑i∈Dm Q(di/√(2No)) = [Nm/M]Q(dmin/√(2No)) con Dm il sottoinsieme degli indici tali che di=dmin e Nm è la cardinalità di Dm. Poiché Nm≥ 2 ne segue che P(e) ≥ 1/M⋅ 2Q(dmin/√(2No))  2/MQ(dmin/√(2No)) ≤ P(e) ≤ (M-1)⋅ Q(dmin/√(2No)). Se i segnali sono ortogonali dij=dmin=√(2Es) e quindi Nm=M. Allora Q√(Es/No)≤ PM(e) ≤ (M-1)⋅ Q√(Es/No) ed essendo Es=Eblog2M si ha PM(e)≤ (M-1)Q√(Eblog2M / No) Confronto tra modulazione M-PAM e M-PPM: sia T il tempo di sombolo, Tb il tempo di bit e T=Tblog2M. • segnale: per la PAM Si(t) = AiuT(t) e per la PPM Si(t) = A⋅ u(t-(i-1)T/M) • larghezza di banda: per la PAM W=1/2T e |Si(f)|2 si annulla in 1/T, 2/T… per la PPM W=M/2T e |S i(f)|2 si annulla in M/T, 2M/T,… • efficienza spettrale: PAM Rb=log2M / T Rb/W=2log2M PPM: Rb=log2M / T  Rb/W = (2log2M)/M Piano di confronto fra sistemi di modulazione diversi: ha sulle ascisse Eb/No [dB] e sulle ordinate Rb/W [bit/ s/Hz]. Si dice regione a potenza limitata il quadrante in cui Rb/W<1 e regione a larghezza di banda limitata il quadrante in cui Rb/W>1. Il limite della capacità di canale è un valore (es. –1.6) di Eb/No .

RIPETITORI: Non rigenerativi: il collegamento è diviso in tratte con k amplificatori A1,..Ak; il rumore si accumula in ciascuna tratta. Per una trasmissione PAM binaria Pb(e) = Q√[2Eb / (kNo)]

4 COMUNICAZIONI ELETTRICHE – II parte Rigenerativi: collegamento diviso in tratte con k rigeneratori R1,..Rk; la probabilità di errore si somme. Per una trasmissione PAM binaria Pb(e) = kQ√[2Eb / No] Confronto tra le due soluzioni: a parità di k, la prima soluzione da un maggior Eb/No

MODELLO DEL CANALE: Modello gaussiano additivo: r(t) = s(t) + n(t) Modello realistico: il canale opera una funzione di trasferimento c(f) che limita la banda del segnale trasmesso, cui poi si somma il rumore n(t). Il fatto di avere un filtraggio sul canale in generale preclude l’uso di segnali limitati nell’intervallo (0,T) da parte del modulatore, poiché la presenza del filtraggio distorce il segnale. Limiti della banda alla velocità: la banda del canale pone un limite alla velocità di trasmissione 1/T, cioè al numero di segnali al secondo. Ipotesi: il canale è a banda limitata tra –Bc e +Bc. Proviamo a modificare la velocità di trasmissione tenendo costante la banda del canale: 1. 1/T1 = Bc/3  T1=3/Bc. I lobi principali dello spettro del segnale stanno tutti all’interno della banda passante del canale 2. 1/T2 = Bc  T2 = 1/Bc. Il lobo principale sta all’interno della banda passante del canale mentre i secondari ne stanno al di fuori significativa distorsione del segnale 3. 1/T3 = 2Bc  T3 = 1/ 2Bc. Neppure il lobo principale dello spettro del segnale sta all’interno della banda passante del canale, ma solo metà di esso. Irrealizzabilità del filtro con f.ne di trasferimento c(f): facciamo passare attraverso filtro di Butterworth (a 10 poli, Bc=1Hz) un numero di forme d’onda al secondo progressivamente crescente. 1. T1 = 3/Bc = 3s il filtro introduce un ritardo (recuperabile nel ricevitore) e un allargamento nella forma d’onda insignificante 2. T2 = 1/Bc = 1s oltre al ritardo c’è una distorsione della forma d’onda più evidente 3. T3 = 1 / 2Bc = 0.5s il ritardo è considerevole e c’è un nettissimo allargamento del segnale Interferenza intersimbolica (ISI): è un’interferenza che avviene nel dominio del tempo, introdotta dalla banda limitata del canale, e richiede il progetto di segnali e filtri che la elimino (o almeno la riducano). In altre parole, un simbolo trasmesso sul canale disturba, sovrapponendosi parzialmente, i simboli trasmessi precedentemente o successivamente ad esso. Sia c(f) = |c(f)|exp(jθ(f)) la funzione di trasferimento del canale; le distorsioni originate dipendono sia dal modulo della fdt che dalla sua fase per ottenere un canale non distorcente bisogna dare delle condizioni sia su modulo che su fase. Sistema di trasmissione completo per PAM in banda base: ingresso[filtro di trasmissione GT(F)]V(t) [canale: C(f) + rumore]r(t)[filtro di ricezione GR(f)]y(t)[campionatore tk=kT]yk[rivelatore] con le ipotesi che GT(f), C(f) e GR(f) funzioni di trasferimento di altrettanti sistemi lineari. gT(t) vale 1 tra 0 e T, 0 nel resto. V(t) = ∑angt(t-nt) ; r(t) = V(t) Θc(t) + n(t) = ∑anc(t-nT)+n(t); y(t) = r(t)Θgr(t) ; x(t) = gT(t)Θc(t)ΘgR(t)

PROGETTO DI SEGNALI A BANDA LIMITATA: Obbiettivo: eliminare o limitare l’ISI yk = akXo + ∑n=+∞..-∞≠ kanxk-n + υk ; X(f) = GT(f) ⋅ C(f) ⋅ GR(f) . xi sono i campioni della risposta all’impulso complessiva del sistema presi a intervalli che distano fra loro Ts. Per eliminare l’ISI dobbiamo azzerare i campioni della risposta all’impulso complessiva del sistema ad eccezione di quello che moltiplica la variabile casuale dell’informazione utile∑n=+∞..-∞≠ kanxk-n = 0 xi = {1 se i=0, 0 se i≠ 0}. Se ΔT(t)=∑δ(t-kT) è la funzione di campionamento si deve avere x(t) ⋅ ΔT(t) = δ(t) cioè x(t) deve intersecare l’asse delle ascisse regolarmente ogni Ts e valere 1 in t=0. Teorema di Nyquist: detta, nel dominio della frequenza, le condizioni dell’ISI sulla funzione di trasferimento complessiva. Per annullarla deve essere x(t)⋅ ΔT(t)=δ(t)  1/TX(f) Θ Δ1/T(f) = 1 ∑X(f-k/T) = T. Indichiamo con Xeq(f):=∑X(f-k/T) = T cioè la funzione di trasferimento Xeq(f) deve essere costante e pari a T. La funzione Xeq(f) ha come grafico quello di X(f) riprodotto centrandolo in ogni k/T. Sia W la banda di canale: 1. W < 1 / (2T): allora non esiste una X(f) tale che Xeq(f) = T perché le forme d’onda di Xeq(f) non si toccano mai non si sommano l’ISI non è eliminabile. 2. W = 1/ (2T): le forme d’onda di Xeq(f) non si sovrappongono ma si toccano; soddisfa il teorema sse X(f)=T, |f|<W cioè sse X(f) ha una forma rettangolare, ma ciò è impossibile la soluzione, pur esistendo ed essendo unica, è solamente teorica.

5 3. W > 1/ (2T): le forme d’onda di Xeq(f) si sovrappongono; ammette infinite soluzioni: possiamo ottenere diverse X(f) tali che Xeq(f)=T modificando X(f) nell’area di sovrapposizione mentre nell’area di non sovrapposizione deve essere costante. Le funzioni che hanno estensione W che va da 1/2T a 1/T (per limitare l’occupazione di banda del sistema) soddisfano il teorema. La famiglia di forme d’onda che soddisfano il teorema è costituita da forme d’onda che hanno un andamento simmetrico intorno al punto 1/(2T) (es: trapezi). NB: maggiore è la larghezza di banda all’interno di [1/(2T), 1/T] meno critico diventa il sistema del punto di vista della sensibilità all’istante di campionamento (e quindi alla sincronizzazione di simbolo) e all’interferenza intersimbolica.

COMUNICAZIONI ELETTRICHE – II parte

COMUNICAZIONI ELETTRICHE – Formulario MODULAZIONI: Legenda: m(t) = segnale trasmesso Pu = potenza trasmessa Pm = potenza media del segnale modulante Pr = potenza ricevuta α = attenuazione = Pu / Pr PMn = potenza media del segnale normalizzato = PM / (max|m(t)|)2 banda segnale modulante: W a = indice della modulazione = ampiezza del segnale modulante β = indice della modulazione d’angolo Ac = ampiezza del segnale portante DSB – AM – SC (a banda soppressa): banda segnale trasmesso: 2W (S/N)o = (S/N)b = Pr / (NoW) Pu = Pm⋅ Ac2/2 se Pr = Pu  (S/N)o = Pm⋅ Ac2 / (2NoW) se invece s’è l’attenuazione α  (S/N)o = Pu / (αNoW) = Pm⋅ Ac2 / (2αNoW) SSB – AM: banda segnale trasmesso : W (S/N)o = (S/N)b = Pr / (NoW) Pu = Pm⋅ Ac2 se Pr = Pu  (S/N)o = Pm⋅ Ac2 / (NoW) DSB – AM (convenzionale): banda segnale trasmesso: 2W Pu = [Ac2/2]⋅ (1+a2PMn) (S/N)o = η(S/N)b = [a2PMn / (1+a2PMn)] (S/N)b con (S/N)b = Pr / (NoW) (S/N)o = (Ac2a2PMn) / (2αNoW) = [a2PMn/(1+ a2PMn)]⋅ [Pu/(αNoW)] FM – PM: Bc = 2(β+1)W Pu = Ac2/2 • PM: (S/N)o = βp2PMn (S/N)b • FM: (S/N)o = 3βf2PMn (S/N)b con (S/N)b = Pr / (NoW) (S/N)b,th = 20(β+1)

RUMORE TERMICO: Legenda: Be = banda equivalente di rumore = [∫|H(f)|2df] / (2maxf|H(f)|2) gd = guadagno disponibile dell’amplificatore = max|H(f)|2 k = costante di Boltzmann = 1.380662⋅ 10-23 T = temperatura corrente in kelvin Te = temperatura equivalente = Pna / kgdBe Pna = contributo di potenza di rumore del doppio bipolo Potenza di rumore in uscita di un doppio bipolo rumoroso: Pno = kTgdBe + Pna =kgdBe ⋅ (T+Te) (S/N)o = [1/(1-Te/T)] (S/N)i F = 1+Te/T = cifra di rumore del doppio bipolo Equazione di Friis: Cascata di N bipoli: Te = Te,1 + Te,2/g1 + Te,3 / (g1g2) + ….+ Te,n / (g1⋅ …⋅ gn-1) Cifra di rumore per una cascata di doppi bipoli: F = F1 + (F2-1)/g1 +…+ (Fn-1)/(g1⋅ …⋅ gn-1)

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