Comportement Des Fonctions Fonctions De Reference

Comportement des fonctions, Fonctions de référence I-

Variations

Soit f une fonction, Df son ensemble de définition et I un intervalle dans Df. 1) Signe d'une fonction Quand une courbe représentative coupe l'axe des abscisses, c'est que f(x) vaut 0.

5 4

Cette abscisse représente une solution de l'équation f(x) = 0

3 2

Quand une courbe représentative se situe au-dessus de l'axe des abscisses sur un intervalle, c'est que f(x) est positive pour tous les x de cet intervalle.

1 0 -5,5-5-4,5-4-3,5-3-2,5-2-1,5-1-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 -1

Cet intervalle représente les solutions de l'inéquation f(x) > 0

-2

 L'équation f(x) = 0 a pour solutions S = {-4 ; -2 ; -0,5 ; 0,5 ; 2}  L'inéquation f(x) < 0 a pour solution

On a la même chose quand Cf est endessous de l'axe des abscisses : f(x) est négative pour tous les x de cet intervalle.

S = [-5 ; -4] ∪ [-2 ; -0,5] ∪ [0,5 ; 2]  L'inéquation f(x) > 0 a pour solutions

Les intervalles sont solutions de l'inéquation f(x) < 0

S = [-4 ; -2] ∪ [-0,5 ; 0,5] ∪ [2 ; 5]

Tableau de signes

x

f(x)

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-5

-4

-

0

-2

+

0

-0,5

-

0

0,5

+

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0

2

-

0

5

+ 2007/2008

1) Fonction croissante Pour deux abscisses a et b dans I telles que a < b, si f(a) < f(b), on dit que la fonction f est croissante sur l'intervalle I.

Autrement dit, plus les abscisses augmentent, plus les ordonnées augmentent. Si une fonction f est croissante sur un intervalle I, la courbe Cf monte sans arrêt sur cet intervalle.

Tableau de variations :

x -5

5

f

9 -6

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2) Fonction décroissante Pour deux abscisses a et b dans I telles que a < b, si f(a) > f(b), on dit que la fonction f est décroissante sur l'intervalle I. Autrement dit, plus les abscisses augmentent, plus les ordonnées diminuent. Si une fonction f est décroissante sur un intervalle I, la courbe Cf descend sans arrêt sur cet intervalle. On dit qu'une fonction est monotone sur un intervalle I si elle est soit croissante, soit décroissante sur tout l'intervalle I.

Tableau de variations

x -5

5

8

f -10

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3) Extremums 5 4 3

On appelle minimum (resp. maximum) d'une fonction le point le plus bas (resp. le plus haut) de sa courbe représentative.

2 1 0 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1

Il s'agit de l'image du nombre α pour lequel f(α) est le plus petit (resp. le plus grand)

-2 -3

 Minimum α : Pour tout réel x de I, on a f(x) ≥ f(α).  Maximum β : Pour tout réel x de I, on a f(x) ≤ f(β).

-4 -5

Sur l'intervalle [-5 ; 5], le minimum de la fonction est atteint pour x = 0. Ce minimum vaut -4 (car f(0) = -4) Sur cet intervalle, le maximum est atteint pour x = 4. ce maximum vaut 4 (car f(4) = 4)

Remarque : On notera que le minimum et le maximum ne sont pas forcément les mêmes selon l'intervalle considéré (intervalle [-5 ; 0] par exemple). Exercice :  Décrire les variations de la fonction représentée ci-dessus  Construire le tableau de signes de cette fonction  Construire le tableau de variations de cette fonction.

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II-

Fonctions de référence 1) Fonctions linéaires et affines Ce sont des droites. 15

10

5

Formules : - x↦ax pour une fonction linéaire (passant par l'origine)

f(x)= 2x 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

- x↦ax + b pour une fonction affine

f(x)= 3x - 1

-5

-10

-15

Remarque :  Dans le cas des fonctions linéaires, l'ordonnée est proportionnelle à l'abscisse. Exemple : f(x) = 3x  Dans le cas des fonctions affines : Exemple : f(x) = 3x + 1 Soient a et b deux abscisses. Accroissement de a à b : b – a. Accroissement de f(a) à f(b) : f(b) – f(a) = (3b+1) – (3a + 1) = 3 (b - a) Conclusion : Ce sont les accroissements qui sont proportionnels

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2) Fonction carré Domaine de définition : ℝ 30

Equation : x ↦ x²

25 20

La courbe est une parabole d'équation y = x².

15

10

Elle a un sommet O et un axe de symétrie : l'axe d'équation x = 0

5

0

Elle est décroissante sur ] − ∞ ; 𝑂[ et croissante sur ]0 ; +∞].

-6 -5 -4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

6

Remarque : La fonction carré n'est pas linéaire. Il n'y a pas de proportionnalité dans ce cas. Exercice : Construire le tableau de variations de la fonction carré

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3) Fonction inverse Domaine de définition : ] − ∞ ; 0 ∪ 0 ; + ∞[ ( ou ℝ\ 0 car on ne peut pas diviser par 0)

5 4

1

Equation : x  .

3

𝑥

1

2

𝑥

1

La courbe est une hyperbole d'équation y = . Elle a un centre de symétrie : O Elle a deux asymptotes: les axes du repère, d'équation x = 0 et y = 0.

0

-6

-5

-4

-3

-2

-1-1 0

1

2

3

4

5

6

-2 -3

La fonction inverse est décroissante sur tout son domaine de définition.

-4 -5

Remarque : La fonction inverse n'est pas linéaire. Il n'y a pas de proportionnalité dans ce cas. Exercice : Construire le tableau de variations de la fonction inverse.

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III- Fonctions trigonométriques Représentations graphiques : L'axe des abscisses est gradué en radians.

f(x) = cos (x) 1,5 0,5 -10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1 -0,5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1,5

f(x) = sin (x) 2 1

0 -10

-8

-6

-4

-2

-1

0

2

4

6

8

10

-2

Remarque : Graphiquement, on retrouve les propriétés suivantes :  - 1 ≤ cos (x) ≤ 1  cos (0) = 1  -1 ≤ sin (x) ≤ 1  sin (0) = 0  …

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