Comportamientos Relevantes Observados En Las Respuestas Incorrect As

Jornadas de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana

Comportamientos relevantes observados en las respuestas incorrectas de estudiantes de primaria en tareas de razón y proporción. Fernández, A.,Figueras,O.,Gómez, B. y Margarit,J . Universitat de Valéncia

Resumen En este documento se describen algunos comportamientos observados en las respuestas incorrectas de alumnos de primaria a un cuestionario de tareas de razón y proporción, diseñado para un estudio sobre la evolución conceptual de estas nociones y de otras, que podrían considerarse precursoras de las mismas.

Introducción En el marco de un trabajo de investigación, realizado conjuntamente entre profesores españoles y mejicanos, para obtener un primer acercamiento a la identificación, categorización y evolución de clases de comportamientos de alumnos de la escuela primaria al resolver tareas vinculadas a razón y proporción y a nociones consideradas precursoras de éstas, que permita derivar hipótesis de trabajo para fundamentar propuestas de enseñanza, se presenta en este documento un extracto de algunos de los datos obtenidos. El cuestionario Para llevar a cabo este estudio se ha utilizado un cuestionario que es una adaptación de otro diseñado para un estudio mejicano, confeccionado a partir de una selección de problemas propuestos por investigadores en educación matemática, que se han interesado en el estudio sobre el razonamiento proporcional, y de problemas sobre razón y proporción propuestos en libros de texto. El cuestionario se configura en tres modelos que se graduan en complejidad, uno para cada ciclo de la enseñanza primaria, en algunos casos se presentan las mismas preguntas a los alumnos de los tres ciclos, en otros, se conserva el mismo tipo de estructura, sin embargo hay variaciones en cuanto al escenario, al orden de magnitud o tipo de los números en juego, a las relaciones

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entre las cantidades, o a las formas de expresión simbólica, y en otros, las tareas se presentan en un solo ciclo. El cuestionario se articula en torno a tres ejes (Gómez, H., 1996), a saber: 1) Procesos comparativos en situaciones de variabilidad. 2) Conceptos simples relacionados con la proporcionalidad. 3) Relaciones complejas de proporcionalidad. Estos tres ejes corresponden a tipos de conocimientos y procesos asociados a los conceptos de razón y proporción que pueden considerarse como una jerarquía vinculada a etapas de complejidad gradual con referencia a contenidos matemáticos del diseño curricular de la educación primaria. El modelo de interpretación de las respuestas Para facilitar el análisis de las respuestas, éstas se agrupan de acuerdo a características comunes, desde un enfoque relacional, y a partir de la identificación de tendencias y patrones del desempeño de los alumnos, lo que conduce a un modelo de interpretación de la información en varias categorías descriptivas del comportamiento de los niños, que dan cuenta de la percepción que tienen de las relaciones en juego entre los elementos de la información gráfica, verbal o pictórica de la tarea propuesta y de los aspectos en los que centran su atención para resolverla. Este modelo permite articular los datos en cuatro categorías, éstas son: 1) Percepción relacional de los elementos de la información. 2) Percepción aislada de elementos de la información. 3) Dificultades en la descodificación. 4) Respuestas singulares A su vez estas categorías se subdividen en subcategorías y éstas en clases, según se profundiza en la apreciación de similitudes y diferencias en las interpretaciones plausibles, tanto de las expresiones escritas por los estudiantes, como de los procedimientos llevados a cabo por ellos, cuyo resultado da un esquema final de clasificación que se recoge en Figueras, Gómez, Fernández y Margarit (1997). Elección de la muestra Para realizar el cuestionario, en el curso 1995-96 se seleccionó un grupo de cada uno de los cursos de enseñanza primaria del Colegio Público de Prácticas de Valencia. Una vez resuelto por todos los estudiantes de cada uno de los seis grupos de primaria elegidos, se procedió a la selección de una muestra representativa, para ello, los cuestionarios recogidos en la prueba se numeraron de acuerdo con el orden de entrega, y después, usando una tabla de números aleatorios tomada de SMP Advanced tables (1966, p. 49), se extrajo, para el análisis, 10 de éstos cuestionarios de cada grupo. El interés de las respuestas incorrectas Una información que se desprende de los datos obtenidos en esta parte del trabajo es la que se refiere a las respuestas no acertadas, éstas interesan porque son una fuente de conocimiento para el profesor acerca de lo que han aprendido los estudiantes y cómo lo han aprendido, ya que se entiende que no son el resultado de un accidente, sino que, más bien, son un producto de la experiencia previa, una parte del proceso de aprendizaje que está relacionada con

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malentendidos que la enseñanza práctica no siempre tiene en cuenta (Gómez, 1995). Con este propósito presentamos a continuación algunas respuestas incorrectas de estudiantes de primaria que por su interés se han considerado relevantes a los efectos de este trabajo. Algunos comportamientos observados en las respuestas no acertadas

Esta tarea requiere la comparación cualitativa de figuras a escala, y se ha propuesto con el mismo diseño para los tres ciclos. Entre los tipos de respuestas incorrectas que dan los estudiantes a esta tarea se ha observado que predomina la que se ilustra mediante el ejemplo siguiente: Bernardo de 2º elige el dibujo con el libro mayor, y justifica su respuesta diciendo que se ha fijado "en los libros y en el niño". En su respuesta no se evidencia qué relaciones está tomando en cuenta, pero deducimos de ella que su idea de lo que debe ser una foto se identifica con ser "lo mas igual posible", no solo en la forma sino también en el tamaño. Por lo tanto creemos que no tiene sentido de la proporción y que se fija únicamente en la "igualdad" del dibujo que tiene el libro del mismo tamaño, es como si para él "fotografía" tuviera un significado de igualdad. Otro ejemplo. Tarea "Perro": Encontramos una píldora que hace que las cosas crezcan el doble de su tamaño. El perro que está dibujado se va a comer la píldora. ¿Cómo quedará el perro después de comerse esa píldora? Esta tarea, propuesta en todos los ciclos, requiere reproducir una figura a escala de otra dada en un contexto gráfico bidimensional, retícula, centrándose en la altura y la anchura. El factor de proporcionalidad se formula de forma explícita, "el doble" , en los dos primeros ciclos y mediante una codificación técnicosimbólico-numérica, "2 a 1", en el tercer ciclo. Entre los tipos de respuestas no acertadas que dan los estudiantes a esta tarea destacamos las siguientes:

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La respuesta de la izquierda es de Silvia de 6º, quien reproduce el original a escala "2 a 1", salvo en la oreja y la cola, que son cuadrados unitarios, donde encuentra dificultades. Obsérvese que logra aumentar bidimensionalmente el resto del cuerpo del perro, alcanza una altura doble que la original ya que orienta el aumento sobre la vertical, pero en la oreja y la cola su aumento no es bidimensional. Al parecer, cuando se enfrenta con cuadrados unitarios, tiene dificultades con el pensamiento numérico, en lo discreto, donde el doble de uno es dos, pues al construir su doble toma dos cuadrados unitarios y no el cuadrado de lado 2. La de la derecha es de Rubén de 3º, quien interpreta idiosincrásicamente la tarea. Su dibujo es una imagen totalmente distorsionada, deja invariantes la cola, oreja, cabeza y patas, pinta el tronco con líneas curvas. Al parecer la idea de Rubén es que, como se comió la galleta, lo que le ha crecido es la panza. Otros tipos de comportamiento observados que merece la pena reseñar, son, por ejemplo, los de alumnos que centran su atención solamente sobre una de las dos direcciones, evidenciando sólo un patrón de aumento unidimensional, y los de alumnos que manifestan dificultades al asignar significados a las expresiones multiplicativas, o a los términos "doble", "triple", o "mitad" "escala 2 a 1", "la cuarta parte de" y "dos tercios de"; y que interpretan estos vocablos como acciones de aumento o disminución arbitrarios". Tarea "Rectángulo": En la cuadrícula dibujamos un rectángulo. Completa el rectángulo que empezamos a trazar en la derecha. Tu dibujo debe tener la misma forma que el nuestro. Esta tarea, propuesta en tercer ciclo, requiere reproducir una figura bidimensional a escala de otra dada, completando la figura a partir de un lado conocido. Se ubica en un contexto geométrico, retícula cuadricular, y el factor de proporcionalidad, triple, se da implícitamente en el enunciado. Un tipo de comportamiento, en relación con las respuestas no acertadas, es el que se ilustra mediante el ejemplo siguiente, en el que Vicente de 5º, construye un rectángulo a mano alzada de 6x4, al parecer toma como eje de simetría la línea dada y dibuja una figura a mano alzada idéntica y simétrica a la

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dada, este tipo de respuesta sugiere un comportamiento asociado al predominio de la información gráfica, asociando a una de las líneas rectas que aparece como un dato del enunciado, la función de un eje de simetría, esta interpretación les conduce a dibujar una figura simétrica a la dada. Se tiene la hipótesis de que en el trabajo escolar desde los primeros cursos de primaria se llevan a cabo actividades relacionadas con la simetría axial y en consecuencia este tipo de respuestas pareciera corresponder a una manifestación del "contrato didáctico" asociado a una clase de tareas que se repite en el trabajo cotidiano dentro del aula y se convierte en un referente plausible. Tarea "Tazas de arroz": Para cocer arroz se usan 2 tazas de agua por 1 de arroz como se ve en el dibujo. Si María usa 6 tazas de agua, ¿cuántas tazas de arroz necesita?. Dibújalas. Si para cocer el arroz se usan 3 tazas de arroz por 5 de agua, como se ve en el dibujo, ¿cuántas ta-zas de arroz necesita María si usa 10 tazas de agua?. Dibújalas. Esta tarea requiere hallar el valor desconocido de una proporción presentada mediante un pictograma en forma de matriz 2x2. En primer y segundo ciclo la relación entera "doble" que favorece la solución se halla en la comparación horizontal y en el tercero, en la comparación vertical. Entre los comportamientos que predominan, dentro de los tipos de respuestas no acertadas a esta tarea, destacamos los dos siguientes: J. Vicente de 3º dibuja cinco tazas, al parecer resta uno, que es la diferencia entre el número de tazas de agua y de arroz de la primera viñeta y el número de tazas de agua de la segunda viñeta. Este tipo de respuesta sugiere un comportamiento asociado al uso de una estrategia aditiva en comparación de razones, "uso de una adición o sustracción frente a una situación multiplicativa" . La de la derecha es el de Pascual de 3º quien dibuja cuatro tazas, al

parecer resta las cantidades comparables, 6-2, tazas de agua, este tipo de respuesta se ha asociado a operar con parte de los datos, es decir no hay evidencias de la búsqueda de relaciones entre cantidades, se intenta dar un resultado y la operación que realizan carece de significado con respecto a la situación formulada. Tarea "Agua de limón": María prepara agua de limón. A 2 litros de jarabe de limón le agrega 8 litros de agua. Juan también prepara agua de limón, pero a un litro de

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jarabe le agrega 6 litros de agua. ¿Cuál de las dos aguas tiene más sabor a limón?. ¿En qué te fijaste para decidir qué agua tiene más sabor a limón?. Esta tarea, propuesta en tercer ciclo, requiere verificar la desigualdad de dos razones, una unitaria y otra no unitaria, y determinar la mayor. La comparación que favorece la solución es la que se realiza entre las razones unitarias equivalentes a las dadas. La solución implica un razonamiento proporcional de tipo inverso, "a menos litros de agua, más sabor a limón" . Entre las respuestas incorrectas el comportamiento que predomina es el asociado ala comparación de dos cantidades de la misma especie, ignorando las otras cantidades en juego, es decir, sólo se atiende a una parte de la información, dos de los cuatro datos que se les dan. Sobre esto, se observa una dualidad de acercamientos, unos resuelven la tarea comparando los numeradores, otros la resuelven comparando los denominadores, en un caso entra en juego un razonamiento de tipo directo y en el otro uno de tipo inverso. La respuesta de Mª Rosa de 5º ("El de Juan" "Juan no le añade tanta agua como María") corresponde a un ejemplo del primer tipo de acercamiento. Evidencia que se centró únicamente en las cantidades de agua y que usó un razonamiento de tipo inverso: "a más agua menos sabor" . La respuesta de Ana de 5º ("la de María" "pone 2 litros de jarabe") es un ejemplo del segundo tipo de acercamiento. Evidencia que centró su atención en la cantidad de jarabe de limón y que usó un razonamiento de tipo directo: "a más jarabe más sabor" . Epílogo En definitiva, los comportamientos identificados revelan una problemática ligada a la forma en que los estudiantes de primaria interpretan las tareas de razón y proporción, que está fuertemente interiorizada y que no es de fácil eliminación. Plantear a los estudiantes que están equivocados y darles una respuesta correcta es, a menudo, insuficiente para hacerles cambiar de opinión. Para evitar estos efectos no deseados, parece razonable recomendar un cambio en la enseñanza que, en vez de ignorar las respuestas erróneas de los estudiantes, opte por hacerlas emerger y tenerlas en cuenta para conocer como están aprendiendo y las dificultades que enfrentan. El reto, para nosotros como profesores, es saber aprovechar esta información para desarrollar una instrucción más eficaz, insistiendo en aquellos aspectos donde se esperan fallos, anticipándose a las respuestas y diseñando estrategias para la corrección de las mismas. Bibliografía SMP (1966). Advanced tablesThird edition. Cambridge University Press. 1979. Gómez, H. (1996): Indicios del pensamiento proporcional. Un estudio en la escuela primaria sobre competencias al resolver situaciones de cambio. Tesis de Maestría, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav. Méjico. Figueras, O; Gómez, B.; Femández, A. y Margarit, J. (1997): Razón y proporción: Precursores de los conceptos, tendencias cognitivas de los alumnos, resolución de problemas. Un estudio con alumnos de enseñanza obligatoria. Memoria de investigación no publicada. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Valencia.

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