Comparaciones Multiples Entre Medias.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS ECONÓMICAS

TEXTO UNIVERSITARIO COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS COMPARACIONES MÚLTIPLES Combinación lineal de medias con coeficientes que suman cero. Para

K

medias:

L  c11  c2 2 

 ck k

K

L   ci i i 1

EJEMPLO:

1

Si desean compararse dos medias

 2 , en caso de que sean iguales:

y

1  2 Esto puede escribirse también del modo:

L  1  2  0 Cuyos coeficientes son 1 y -1, y por tanto suman 0. EJEMPLO: Tres medias: 1)

Una posibilidad es comparar

1

y

 2 , tomadas juntas, con 3 . Es decir:

1  2 2

 3

Lo cual puede escribirse:

L1  1  2  23  0 Cuyos coeficientes son 1, 1 y -2, y por tanto suman 0. 2)

Otra posibilidad es comparar

2 

1  3 2 1

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

Es decir:

L2  1  22  3  0 Cuyos coeficientes son -1, 2 y -1, y por tanto suman 0. 3)

Otra comparación es:

1  3 Luego:

L3  1  3  0 Cuyos coeficientes son 1, 0 y -1, y por tanto suman 0. ASIGNACIÓN DE COEFICIENTES A LAS MEDIAS: 1)

Dividir las medias en los dos grupos que van compararse entre sí.

2)

Asignar a la media de cada grupo un coeficiente igual al número de medias del otro grupo.

3)

Cambiar el signo de los coeficientes de uno de los grupos.

EJEMPLO Cinco medias:

1 ,  2 , 3 ,  4

y

5 . Desea compararse 1

y

2

con

3 ,  4

y

5 .  2 . Grupo 2: 3 ,  4

5 .

1)

Grupo 1:

1

2)

Grupo 1:

31 , 32 . Grupo 2: 23 , 24 , 25 .

3)

Grupo 1:

31 , 32 . Grupo 2: 23 , 24 , 25 .

y

y

Es decir:

L  31  32  23  24  25  0 COMPARACIONES ORTOGONALES: Aquellas que no contienen información redundante. La información que proporciona una comparación no se solapa con la proporcionada por otra comparación.

2

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

Con

K

medias es posible realizar

ANÁLISIS DE VARIANZA

K  1 comparaciones ortogonales.

REGLA PRÁCTICA: Dos comparaciones son ortogonales si el producto de sus coeficientes es cero.

L1  c111  c12 2 

 c1k k

L2  c211  c22 2 

 c2k k

Son ortogonales si: K

c c i 1

1i 2 i

0

EJEMPLO: COMPARACIÓN

L1

Y

L2

COEFICIENTES

L1  1  2  23

1

1

-2

L2  1  2

1

-1

0

L3  1  3

1

0

-1

son ortogonales:

11  1 1   2 0  0 L1

Y

L3

no son ortogonales:

11  1 0   2 1  3 L2

Y

L3

no son ortogonales:

11  1 0   0 1  1

3

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

COMPARACIONES MÚLTIPLES PLANEADAS O A PRIORI Se realizan de forma independiente al ANVA. No es necesario realizar también este. PRUEBA F PLANEADAS O A PRIORI PARA COMPARACIONES MULTIPLES: Se aplican cuando desean realizarse dos o más comparaciones ortogonales:

L1 , L2 , ...,

LC 1 . Para una comparación 1)

L j , con tres medias:

Ho:

L j  c j11  c j 2 2  c j 3 3  0

Ha:

L j  c j11  c j 2 2  c j 3 3  0

2)

  0.01, 0.05, 0.10, etc.

3)

PUNTO CRÍTICO:

gl1  C  1 gl2  n  K Donde:

C  Número de comparaciones a analizar.

K  Número de medias a analizar. n  Tamaño total de la muestra. Se acepta H0

Se acepta Ha

  Fgl1 ; gl2 ; 4

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

4)

ANÁLISIS DE VARIANZA

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

Fcj 

CM  L j  CME

Donde:

Lˆ j  c j1 X1  c j 2 X 2 

SC  L j  

 c jk X k

Lˆ2j K

cij2

n i 1

ij J 1

Para

C  1 comparaciones

CM  L j  

 SC  L   SCC j 1

SC  L j  J 1

Tk2 CME   X   i 1 k 1 k 1 nk n

j

K

K

2 ik

(Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro

ANVA) 5)

CONCLUSIONES:

Fcj  Fgl1 ; gl2 ; , entonces se acepta Ho, a un nivel de significancia del % .



Si



Si

Fcj  Fgl1 ; gl2 ; , entonces se acepta Ha, a un nivel de significancia del % .

EJEMPLO: Un investigador desea contrastar si el método presencial difiere de la enseñanza autodidacta y por internet. También si el método por internet difiere del autodidacta. Utilice un nivel de significancia del 5% para ambas pruebas de hipótesis.

5

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

X1  6.48,

X 2  4.43,

CME  2.308,

ANÁLISIS DE VARIANZA

X 3  3.76

n  18

SOLUCIÓN:

1 

 2  3 2

2  3 L1  21  2  3  0 L2  2  3  0 Son ortogonales:

 2 0   11   1 1  0 1)

2)

Ho1:

L1  21  2  3  0

Ha1:

L1  21  2  3  0

Ho2:

L2  2  3  0

Ha2:

L2  2  3  0

  0.05

6

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

3)

ANÁLISIS DE VARIANZA

PUNTO CRÍTICO:

gl1  2  1  1 Se acepta H0

gl2  18  3  15

Se acepta Ha

0.95 0.05

F1;15;0.05  4.54 4)

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

Lˆ1   2 6.48   1 4.43   1 3.76   4.77

ci21 22  1  1    1  n 6 6 6 i 1 i1 2

3

SC  L1 

 4.77   1

CM  L1  

Fc1 

2

2

 22.75

22.75  22.75 1

22.75  9.86 2.308

Lˆ2   0 6.48  1 4.43   1 3.76  0.67

ci22 02  1  1     0.33  n 6 6 6 i 1 i 2 2

3

7

2

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

SC  L2 

ANÁLISIS DE VARIANZA

 0.67   0.33

CM  L2   Fc 2 

2

 1.35

1.35  1.35 1

1.35  0.59 2.308

C 1

SCC   SC  L j   22.75  1.35  24.10 j 1

5)

CONCLUSIONES: 

Como

Fc1  F1;15;0.05  9.86  4.54  , entonces se acepta Ha, es decir,

1  Promedio  2 , 3  , a un nivel de significancia del 5% . 

Como

Fc 2  F1;15;0.05  0.59  4.54  , entonces se acepta Ho, es decir,

2  3 , a un nivel de significancia del 5% . PRUEBA t-Student PLANEADAS O A PRIORI PARA COMPARACIONES MULTIPLES: Se aplican cuando desean realizarse dos o más comparaciones ortogonales:

L1 , L2 , ...,

LC 1 . Para una comparación 1)

L j , con tres medias:

Ho:

L j  c j11  c j 2 2  c j 3 3  0

Ha:

L j  c j11  c j 2 2  c j 3 3  0

2)

  0.01, 0.05, 0.10, etc.

3)

PUNTO CRÍTICO:

gl  n  K Donde:

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COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

K  Número de medias a analizar. n  Tamaño total de la muestra. Región de Aceptación de Región de

H0 Región de

Rechazo de

H0

Rechazo de

H0

1  2

 2

t gl ; 2 4)

t gl ; 2

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

Lˆ j tcj  ˆ L j Donde:

Lˆ j  c j1 X1  c j 2 X 2 

 K cij2 ˆ L j     i 1 n ij 

 c jk X k

 2  K cij2   ˆ      CME  , Cuando las varianzas son igua  i 1 nij 

les.

n K

ˆ 2 

i 1

j

 1 S 2j

 K    nj   K  i 1 

Tk2 CME   X   i 1 k 1 k 1 nk n

K

K

2 ik

(Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro

ANVA)

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Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

 K  cij2 ˆ L j      i 1  nij   5)

ANÁLISIS DE VARIANZA

 2 S j  , Cuando las varianzas no son iguales.   

CONCLUSIONES:

tgl ; 2  tcj  tgl ; 2 , cancia del  % .



Si



Si

entonces se acepta Ho, a un nivel de signifi-

tcj  tgl ; 2  tcj  t gl ; 2 , significancia del  % .

entonces se acepta Ha, a un nivel de

EJEMPLO: Un investigador desea contrastar si el método presencial difiere de la enseñanza autodidacta y por internet. También si el método por internet difiere del autodidacta. Utilice un nivel de significancia del 5% para ambas pruebas de hipótesis. (suposición: las varianzas son iguales)

X1  6.48,

X 2  4.43,

CME  2.308,

X 3  3.76

n  18

SOLUCIÓN:

1 

 2  3 2

2  3 L1  21  2  3  0 L2  2  3  0 Son ortogonales:

 2 0   11   1 1  0

10

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

1)

Ho1:

L1  21  2  3  0

Ha1:

L1  21  2  3  0

Ho2:

L2  2  3  0

Ha2:

L2  2  3  0

2)

  0.05

3)

PUNTO CRÍTICO:

ANÁLISIS DE VARIANZA

gl  18  3  15 Región de Aceptación de

H0

Región de

Región de

Rechazo de

H0

Rechazo de

H0

0.95 0.025

0.025

2.13

4)

2.13

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

Lˆ1   2 6.48   1 4.43   1 3.76   4.77

ci21 22  1  1    1  n 6 6 6 i 1 i1 2

3

ˆ L  1

2

1 2.308  1.519

tc1 

4.77  3.14 1.519

11

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COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

Lˆ2   0 6.48  1 4.43   1 3.76  0.67

ci22 02  1  1     0.33  n 6 6 6 i 1 i 2 2

3

ˆ L  2

 0.33 2.308  0.873 tc 2 

5)

2

0.67  0.77 0.873

CONCLUSIONES: 

Como

tc1  t15;0.025  3.14  2.13 ,

entonces se acepta Ha, es decir,

1  Promedio  2 , 3  , a un nivel de significancia del 5% . 

Como

tc 2  t15;0.025  0.77  2.13 ,

entonces se acepta Ho, es decir,

2  3 , a un nivel de significancia del 5% . PRUEBA F PLANEADAS O A PRIORI PARA COMPARACIONES DE TENDENCIA: Las variable independiente (VI) debe ser cuantitativa para poder aplicar este contraste. Con K medias pueden contrastarse más sencillas son:

K 1

tipos de tendencia. Las tendencias

RELACIÓN LINEAL

RELACIÓN CUADRÁTICA

RELACIÓN CÚBICA

RELACIÓN DE 4º GRADO

RELACIÓN DE 5º GRADO

RELACIÓN DE 6º GRADO

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COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

Se realizan igual que las F planeadas, tomando los coeficientes de la tabla G para el tipo de tendencia a analizar. EJEMPLO: Se está estudiando el efecto de la dosis de un medicamento sobre el rendimiento de los sujetos en una prueba de atención. Se han formado cuatro grupos de sujetos a los que se suministra diferente dosis, y se ha medido su rendimiento. Estudiar el tipo de relación con   0.01 , sabiendo que la SCE es 32.26.

DOSIS

RENDIMIENTO PROMEDIO

N

5 mg

3.58

5

10 mg

6.74

5

15 mg

6.90

5

20 mg

2.90

5

SOLUCIÓN: Cómo

K  4 se estudiará la tendencia lineal, cuadrática y cúbica.

PRUEBA F: 1)

Ho1:

LLineal  31  2  3  33  0

Ha1:

LLineal  31  2  3  33  0

Ho2:

LCuadrático  2  2  3  4  0

Ha2:

LCuadrático  2  2  3  4  0

Ho2:

LCúbico  2  32  33  4  0

Ha2:

LCúbico   2  32  33  4  0

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COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

2)

  0.01

3)

PUNTO CRÍTICO:

ANÁLISIS DE VARIANZA

gl1  1 Se acepta H0

gl2  20  4  16

Se acepta Ha

0.95 0.05

F1;16;0.01  8.53 4)

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

LˆLineal   3 3.58   1 6.74   1 6.90    3 2.90   1.88

ci21  3  1 1  3      4.0  n 5 5 5 5 i 1 i1 4

2

SC  L1 

2

 1.88  4.0

CM  L1   Fc Lineal 

2

2

2

 0.88

0.88  0.88 1

0.88  0.44 2.02

LˆCuadrática  1 3.58   1 6.74   1 6.90   1 2.90   7.16

14

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

ci22 1  1  1 1      0.8  n 5 5 5 5 i 1 i 2 4

2

2

SC  L2 

2

 7.16  

2

2

 64.08

0.8

CM  L2  

64.08  64.08 1

Fc Cuadrática  

64.08  31.78 2.02

LˆCúbica   1 3.58   3 6.74    3 6.90   1 2.90   1.16

ci23  1  3  3 1      4.0  n 5 5 5 5 i 1 i 3 4

2

SC  L3 

5)

2

2

 1.16   4.0

2

2

 0.34

CM  L3  

0.34  0.34 1

Fc Cúbica  

0.34  0.17 2.02

CONCLUSIONES: 

Como

Fc Lineal  F1;16;0.01  0.44  8.53 ,

entonces se acepta Ho, es

decir, la relación no es lineal, a un nivel de significancia del 

Como

1% .

Fc Cuadrático  F1;16;0.01  31.78  8.53 , entonces se acepta Ha,

es decir, la relación es Cuadrática, a un nivel de significancia del

15

1% .

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS



Como

ANÁLISIS DE VARIANZA

Fc Cúbico  F1;16;0.01  0.17  8.53 ,

entonces se acepta Ho, es

decir, la relación no es Cúbica, a un nivel de significancia del

1% .

PRUEBA t - Student: 1)

Ho1:

LLineal  31  2  3  33  0

Ha1:

LLineal  31  2  3  33  0

Ho2:

LCuadrático  2  2  3  4  0

Ha2:

LCuadrático  2  2  3  4  0

Ho2:

LCúbico  2  32  33  4  0

Ha2:

LCúbico   2  32  33  4  0

2)

  0.01

3)

PUNTO CRÍTICO:

gl  20  4  16 Región de Aceptación de Región de

H0 Región de

Rechazo de

H0

Rechazo de

H0

0.99 0.005

0.005

2.92

4)

2.92

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

LˆLineal   3 3.58   1 6.74   1 6.90    3 2.90   1.88

16

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

ci21  3  1 1  3      4.0  n 5 5 5 5 i 1 i1 2

4

2

2

2

 4.0 2.308  2.84

ˆ L  1

tc Lineal 

1.88  0.66 2.84

LˆCuadrática  1 3.58   1 6.74   1 6.90   1 2.90   7.16

ci22 1  1  1 1      0.8  n 5 5 5 5 i 1 i 2 2

4

2

2

2

 0.8 2.308  1.27

ˆ L  1

tc Cuadrática  

7.16  5.64 1.27

LˆCúbica   1 3.58   3 6.74    3 6.90   1 2.90   1.16

ci21  1  3  3 1      4.0  n 5 5 5 5 i 1 i1 2

4

ˆ L  1

2

2

 4.0 2.308  2.84

tc Cúbica   5)

2

1.16  0.41 2.84

CONCLUSIONES: 

Como

t16;0.005  tc Lineal  t16;0.005  2.92  0.66  2.92  , enton-

ces se acepta Ho, es decir, la relación no es lineal, a un nivel de significancia del

1% .

17

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS



Como

tc Cuadrático  t16;0.005

ANÁLISIS DE VARIANZA

 5.64  2.92 ,

entonces se acepta

Ha, es decir, la relación es Cuadrática, a un nivel de significancia del

1% . 

Como

t16;0.005  tc Cúbico  t16;0.005

 2.92  0.41  2.92 ,

en-

tonces se acepta Ho, es decir, la relación no es Cúbica, a un nivel de significancia del

1% .

18

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA DE LEVENE DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS Uno de los pasos previos a la comprobación de si existen diferencias entre las medias de varias muestras es determinar si las varianzas en tales muestras son iguales (es decir, si se cumple la condición de homogeneidad de varianzas o homoscedasticidad), ya que de que se cumpla o no esta condición dependerá la formulación que empleemos en el contraste de medias. Existen varias pruebas que permiten comprobar la igualdad de varianzas (F de Fisher, Fmax de Hartley, prueba de Bartlett, etc), pero aquí desarrollaremos la prueba de Levene que es la que emplea SPSS. Para su cálculo se siguen los siguientes pasos: 1)

Calcular la diferencia (en valor absoluto) entre cada valor y la media de su grupo:

Dki  X ki  X k donde:

X ki : es la puntuación del sujeto i perteneciente al grupo k. X k : es la media del grupo k. 2)

Calcular la media de las diferencias de cada grupo: nk

Dk 

D

ki

i 1

nk

donde: nk

D i 1

ki

: es la suma de las puntuaciones Di en el grupo k.

nk : es el tamaño del grupo k. 3)

Calcular la media total de las diferencias: nk

DT 

k

 D i 1 k 1

ki

n

donde... 19

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

Dki : es la suma de las puntuaciones

Di de todos los sujetos.

n : es la suma de todos los sujetos. 4)

Calcular ANVA para la prueba de Homogeneidad de varianza: ANVA

Fuente de Variación

Grados de libertad (gl)

Suma de cuadrados (SC)

K 1

SCinter   nk  Dk  DT 

nK

SCintra    Dki  Dk 

n 1

SCT  SCinter  SCintra

Intergrupo

Intragrupo

Total ( T )

K

Cuadrado medio (CM) 2

CM inter 

SCinter K 1

CM intra 

SCintra nK

k 1 K

nk

2

k 1 i 1

Cociente F Fc 

CM inter CM intra

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA HOMOGENEIDAD DE VARIANZA: 1)

Ho:

12   22 

  k2

Ha:

12   22 

  k2

2)

  0.01, 0.05, 0.10, etc.

3)

PUNTO CRÍTICO:

gl1  K  1 Se acepta H0

gl2  n  K

Se acepta Ha

  Fgl1 ; gl2 ; 20

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

4)

ANÁLISIS DE VARIANZA

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

Fc  5)

CM inter CM intra

CONCLUSIONES: Si



Fc  Fgl1 ; gl2 ; ,

12  12  Si



entonces

se

acepta

Ho,

es

decir,

es

decir,

  k2 , a un nivel de significancia del  % .

Fc  Fgl1 ; gl2 ; ,

12   22 

entonces

se

acepta

Ha,

  k2 , a un nivel de significancia del  % .

EJEMPLO: X1 2.6 2.9 2.3 2.7

X2 4 4.5 5.9 6.8 7.2 9.3

X3 9.4 7.2 5.9 7.5 4.5 1.9 2.4

X4 3.8 4.2 2.2

ANVA Grados de libertad (gl)

Suma de cuadrados (SC)

Cuadrado medio (CM)

Cociente F

Intergrupo

3

12.02

4.01

3.83

Intragrupo

16

16.73

1.05

Total ( T )

19

28.75

Fuente de Variación

1)

2)

Ho:

12   22   32   42

Ha:

12   22   32   42

  0.05 21

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

3)

ANÁLISIS DE VARIANZA

PUNTO CRÍTICO:

gl1  K  1  4  1  3

gl2  20  4  16

Se acepta H0

Se acepta Ha

0.95 0.05

F3;16;0.05  3.24 4)

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

Fc  3.83 5)

CONCLUSIONES: Como

Fc  F3;16;0.05

 3.83  3.24 ,

entonces se acepta Ha, es decir,

12   22   32   42 , a un nivel de significancia del 5% .

22

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

COMPARACIONES MÚLTIPLES NO PLANEADAS O A POSTERIORI Se realizan después del ANVA, para descubrir donde están las diferencias entre medias, si la F ha resultado significativa

 1  2 

 k  0  .

COMPARACIONES PAREADAS CUANDO LAS VARIANZAS SON HOMOGENEAS Para el caso de

K

medias, habrá

C  K  K  1 2

contrastes posibles.

PRUEBA DMS DE FISHER: Diferencia mínima significativa basada en la t de Student. Este método, inicialmente propuesto por Fisher (1935) no ejerce ningún control sobre la tasa d error. Es decir, cada comparación se lleva a cabo utilizando el nivel de significación establecido (generalmente

  0.05 ), por lo que la tasa de error  e 

puede llegar a

1  1   

C

para el conjunto de comparaciones

, siendo α el nivel de significación



y

J

el número de com-

paraciones llevadas a cabo. (suele encontrarse en la literatura estadística con su acrónimo inglés: LSD= Least Significant Differrence). Es el menos conservador de los procedimientos. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA 1)

Ho:

i   j  0

Ha:

i   j  0

   : i

2)

  0.01, 0.05, 0.10, etc.

3)

PUNTO CRÍTICO:

j

gle  n  K Donde:

K  Número de medias a analizar. n  Tamaño total de la muestra.

23

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

Región de Aceptación de

H0

Región de

Región de

Rechazo de

H0

Rechazo de

H0

1  2

 2

t gl ; 2

4)

t gl ; 2

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

tc 

Xi  X j ˆ X  X i

j

Donde:

1 1      ni n j 

ˆ X  X  ˆ e i

j

Tk2 CME   X   i 1 k 1 k 1 nk n

K

1 1  CME      ni n j 

K

2 ik

(Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro

ANVA) K

  n  1 S

ˆ e 

i

i 1

K

n  K i 1

5)

2 i

i

CONCLUSIONES: 

Si

t gle ; 2  tc  t gle ; 2 ,

entonces

se

acepta

Ho,

es

decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % .

24

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS



Si

ANÁLISIS DE VARIANZA

tc  tgle ; 2  tc  t gle ; 2 ,

entonces se acepta Ha, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    %  % ).

(es significativa al

PROBABILIDAD DE t c (Significancia): 

Si

2P t  tc gle  n  K    ,

entonces se acepta Ho, es decir,

2P t  tc gle  n  K    ,

entonces se acepta Ha, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % . 

Si

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    %  % ). INTERVALO DE CONFIANZA PARA

IC  i   j 

1 %

X

i

(es significativa al

    : i

j

  X i  X j   ˆ X i  X j t gle ; 2

 X j   ˆ X i  X j t gle ; 2   i   j 

1 %

25

  X i  X j   ˆ X i  X j t gle ; 2

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

EJEMPLO: X1

X2

X3

X4

4.2

4

8.3

3.8

2.9

4.5

7.2

4.2

4.1

5.9

5.9

2.2

2.7

6.8

7.5

7.2

4.5

8.1

4 3.8

nk

4

6

7

3

Sk

0.78

1.59

1.83

1.06

Xk

3.48

6.08

5.89

3.40

n  20 K 4

C  4  4  1 2  6   0.05 gle  20  4  16

 4  1 0.78   6  11.59   7  11.83  3  11.06  2

ˆ e 

2

2

4  6  7 3 4

26

2

 1.5163

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS: i

j

Xi

Xj

Xi  X j

ni

nj

ˆ X  X

2

3

6.08

5.89

0.20

6

7

2

1

6.08

3.48

2.61

6

2

4

6.08

3.40

2.68

3

1

5.89

3.48

3

4

5.89

1

4

3.48

tc

t16;0.05 2

Sig.

0.8436

0.23

2.12

0.8177

4

0.9787

2.66

2.12

0.0169*

6

3

1.0722

2.50

2.12

0.0235*

2.41

7

4

0.9504

2.54

2.12

0.0220*

3.40

2.49

7

3

1.0463

2.38

2.12

0.0304*

3.40

0.08

4

3

1.1581

0.06

2.12

0.9492

i

j

* Significante al 5%

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS 95% Interv. Conf . i

j

Xi

Xj

Xi  X j

nj

ni

ˆ X  X i

j

t16;0.05 2 Inf .

Sup.

2

3

6.08

5.89

0.20

6

7

0.8436

2.12

-1.5907

1.9859

2

1

6.08

3.48

2.61

6

4

0.9787

2.12

0.5335

4.6832

2

4

6.08

3.40

2.68

6

3

1.0722

2.12

0.4105

4.9562

3

1

5.89

3.48

2.41

7

4

0.9504

2.12

0.3960

4.4254

3

4

5.89

3.40

2.49

7

3

1.0463

2.12

0.2676

4.7038

1

4

3.48

3.40

0.08

4

3

1.1581

2.12

-2.3800

2.5300

27

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA DE BONFERRONI: Método basado en la distribución t de Student y en la desigualdad Bonferroni (también conocido como método de Dunn-su promotor en 1961- o de Dunn-Bonferroni). Controla la tasa de error dividiendo el nivel de significación α entre el número de comparaciones llevadas a cabo. Cada comparación se evalúa utilizando un nivel de significación

   C .

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA 1)

Ho:

i   j  0

Ha:

i   j  0

   : i

2)

  0.01, 0.05, 0.10, etc.

3)

PUNTO CRÍTICO:

C

j

K! 2! K  2 !

gle  n  K Donde:

K  Número de medias a analizar. C  Número de combinaciones ha analizar.

n  Tamaño total de la muestra.

   Nivel de significancia para la prueba Bonferroni. Región de aceptación de Ho Región de

Región de

rechazo de Ho

rechazo de Ho

1  2

 2

t gle ;  2

t gle ;  2 28

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

4)

ANÁLISIS DE VARIANZA

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

Xi  X j tc  ˆ X  X i

j

Donde:

1 1    n  i nj 

1 1  ,  n  i nj 

 CME  

ˆ X  X  ˆ e   i

j

Cuando las varianzas

son iguales. K

  n  1 S

ˆ e 

i

i 1

2 i

K

n  K i

i 1

Tk2 CME   X   i 1 k 1 k 1 nk n

K

K

2 ik

(Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro

ANVA) 5)

CONCLUSIONES: 

tgle ;  2  tc  tgle ;  2 ,

Si

entonces

se

acepta

Ho,

es

decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % . 

tc  t gle ;  2  tc  t gle ;  2 ,

Si

entonces se acepta Ha, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    %  % ).

(es significativa al

PROBABILIDAD DE t c (Significancia): 

Si

 2CP t  t

cir,

c



gle  n  K    , entonces se acepta Ho, es de-

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % .

29

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS



Si

 2CP t  t

ANÁLISIS DE VARIANZA



gle  n  K    , entonces se acepta Ha, es de-

c

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % va al  % ). cir,

INTERVALO DE CONFIANZA PARA

IC  i   j 

1 %

X

i

(es significati-

    : i

j

  X i  X j   ˆ X i  X j t gle ;  2

 X j   ˆ X i  X j t gle ;  2   i   j 

1 %

  X i  X j   ˆ X i  X j t gle ;  2

EJEMPLO: X1

X2

X3

X4

4.2

4

8.3

3.8

2.9

4.5

7.2

4.2

4.1

5.9

5.9

2.2

2.7

6.8

7.5

7.2

4.5

8.1

4 3.8

nk

4

6

7

3

Sk

0.78

1.59

1.83

1.06

Xk

3.48

6.08

5.89

3.40

n  20 K 4 C

4! 6 2! 4  2 !

gle  20  4  16

30

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

  0.05

   0.0083

 4  1 0.78   6  11.59   7  11.83  3  11.06  2

ˆ e 

2

2

2

4  6  7 3 4

 1.5163

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS: i

j

Xi

Xj

Xi  X j

ni

nj

ˆ X  X

2

3

6.08

5.89

0.20

6

7

2

1

6.08

3.48

2.61

6

2

4

6.08

3.40

2.68

3

1

5.89

3.48

3

4

5.89

1

4

3.48

tc

t16;0.0083 2

Sig.

0.8436

0.23

3.01

1.0000

4

0.9787

2.66

3.01

0.1017

6

3

1.0722

2.50

3.01

0.1413

2.41

7

4

0.9504

2.54

3.01

0.1319

3.40

2.49

7

3

1.0463

2.38

3.01

0.1821

3.40

0.08

4

3

1.1581

0.06

3.01

1.0000

i

j

* Significante al 5%

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS 95% Interv. Conf . i

j

Xi

Xj

Xi  X j

nj

ni

ˆ X  X i

j

t16;0.0083 2 Inf .

Sup.

2

3

6.08

5.89

0.20

6

7

0.8436

3.01

-2.3401

2.7353

2

1

6.08

3.48

2.61

6

4

0.9787

3.01

-0.3360

5.5527

2

4

6.08

3.40

2.68

6

3

1.0722

3.01

-0.5421

5.9087

3

1

5.89

3.48

2.41

7

4

0.9504

3.01

-0.4483

5.2697

3

4

5.89

3.40

2.49

7

3

1.0463

3.01

-0.6619

5.6334

1

4

3.48

3.40

0.08

4

3

1.1581

3.01

-3.4088

3.5588

31

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA DE SIDAK Al igual que el procedimiento de Bonferroni, se basa en la distribución t de Student, pero controla la tasa de error evaluando cada comparación con un nivel de significación

   1  1   

1C

. Esta solución es algo menos conservadora que Bonferroni (es de-

cir rechaza la hipótesis de igualdad de medias en más ocasiones que el método de Bonferroni). PRUEBA DE HIPOTESIS PARA 1)

Ho:

i   j  0

Ha:

i   j  0

   : i

2)

  0.01, 0.05, 0.10, etc.

3)

PUNTO CRÍTICO:

C

j

K! 2! K  2 !

gle  n  K Donde:

K  Número de medias a analizar. C  Número de combinaciones ha analizar.

n  Tamaño total de la muestra.

   Nivel de significancia para la prueba Sidak. Región de aceptación de Ho Región de

Región de

rechazo de Ho

rechazo de Ho

1  2

 2

t gle ;  2

t gle ;  2 32

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

4)

ANÁLISIS DE VARIANZA

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

Xi  X j tc  ˆ X  X i

j

Donde:

1 1    n  i nj 

ˆ X  X  ˆ e   i

j

1 1  ,  n  i nj 

 CME  

Cuando las varianzas

son iguales. K

  n  1 S

ˆ e 

i

i 1

2 i

K

n  K i

i 1

Tk2 CME   X   i 1 k 1 k 1 nk n

K

K

2 ik

(Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro

ANVA) 5)

CONCLUSIONES: 

Si

tgle ;  2  tc  tgle ;  2 ,

entonces

se

acepta

Ho,

es

decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % . 

Si

tc  t gle ;  2  tc  t gle ;  2 ,

entonces se acepta Ha, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    %  % ).

33

(es significativa al

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PROBABILIDAD DE t c (Significancia): 

Si



1  1  2 P t  tc gle  n  K 

C

es decir,



Si



, entonces se acepta Ho,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % .



1  1  2 P t  tc gle  n  K 

C

 

, entonces se acepta Ha,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % ficativa al  % ). es decir,

INTERVALO DE CONFIANZA PARA

IC  i   j 

1 %

X

i

(es signi-

    : i

j

  X i  X j   ˆ X i  X j t gle ;  2

 X j   ˆ X i  X j t gle ;  2   i   j 

1 %

34

  X i  X j   ˆ X i  X j t gle ;  2

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

EJEMPLO: X1

X2

X3

X4

4.2

4

8.3

3.8

2.9

4.5

7.2

4.2

4.1

5.9

5.9

2.2

2.7

6.8

7.5

7.2

4.5

8.1

4 3.8

nk

4

6

7

3

Sk

0.78

1.59

1.83

1.06

Xk

3.48

6.08

5.89

3.40

n  20

K 4

C

4! 6 2! 4  2 !

gle  20  4  16

  0.05

   0.0085

 4  1 0.78   6  11.59   7  11.83  3  11.06  2

ˆ e 

2

2

4  6  7 3 4

35

2

 1.5163

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS: i

j

Xi

Xj

Xi  X j

ni

nj

ˆ X  X

2

3

6.08

5.89

0.20

6

7

2

1

6.08

3.48

2.61

6

2

4

6.08

3.40

2.68

3

1

5.89

3.48

3

4

5.89

1

4

3.48

tc

t16;0.0085 2

Sig.

0.8436

0.23

3.00

1.0000

4

0.9787

2.66

3.00

0.0974

6

3

1.0722

2.50

3.00

0.1332

2.41

7

4

0.9504

2.54

3.00

0.1249

3.40

2.49

7

3

1.0463

2.38

3.00

0.1688

3.40

0.08

4

3

1.1581

0.06

3.00

1.0000

i

j

* Significante al 5%

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS 95% Interv. Conf . i

j

Xi

Xj

Xi  X j

nj

ni

ˆ X  X i

j

t16;0.0085 2 Inf .

Sup.

2

3

6.08

5.89

0.20

6

7

0.8436

3.00

-2.3315

2.7267

2

1

6.08

3.48

2.61

6

4

0.9787

3.00

-0.3261

5.5427

2

4

6.08

3.40

2.68

6

3

1.0722

3.00

-0.5311

5.8978

3

1

5.89

3.48

2.41

7

4

0.9504

3.00

-0.4386

5.2600

3

4

5.89

3.40

2.49

7

3

1.0463

3.00

-0.6513

5.6227

1

4

3.48

3.40

0.08

4

3

1.1581

3.00

-3.3970

3.5470

36

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA DE SCHEFFÉ: Este método basado en la distribución F, permite controlar la tasa de error para el conjunto total de comparaciones que es posible diseñar con K medias (una con otra, una con todas las demás, dos con dos, etc…). Utilizada sólo para efectuar sólo con comparaciones por pares, es un procedimiento muy conservador: tiende a considerar significativas menos diferencias de las que debiera. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA 1)

Ho:

i   j  0

Ha:

i   j  0

   : i

j

2)

  0.01, 0.05, 0.10, etc.

3)

PUNTO CRÍTICO:

gl1  K  1 gl2  n  K Donde:

K  Número de medias a analizar. n  Tamaño total de la muestra. Región de Aceptación de Región de

H0 Región de

Rechazo de

H0

Rechazo de

H0

1  2

 2



 K  1 Fgl ;gl ;

 K  1 Fgl ;gl ; 1

1

2

37

2

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

4)

ANÁLISIS DE VARIANZA

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

tc 

Xi  X j ˆ X  X i

j

Donde:

ˆ X  X i

1 1  ˆ     n n  j   i

j

1 1  CME     , Cuando las varianzas son  ni n j 

iguales. K

  n  1 S

ˆ 

i

i 1

2 i

K

n  K i 1

i

Tk2 CME   X   i 1 k 1 k 1 nk n

K

K

2 ik

(Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro

ANVA) 5)

CONCLUSIONES: 

Si



 K  1 Fgl ;gl ; 1

Ho, es decir, 

Si tc



2

 tc 

 K  1 Fgl ;gl ; 1

2

, entonces se acepta

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % .

 K  1 Fgl ;gl ;

acepta Ha, es decir,

1

2

 tc 

i   j  0 ,

 K  1 Fgl ;gl ; 1

2

, entonces se

a un nivel de confianza del

1    % (es significativa al  % ).

38

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PROBABILIDAD DE t c (Significancia):



  tc2 P F  gl  K  1; gl  n  K 1 2    , Si K  1   acepta Ho, es decir, i   j  0 , a un nivel de

entonces

se

confianza del

1    % . 

  tc2 P F  gl  K  1; gl  n  K  , 1 2   Si K 1   acepta Ha, es decir, i   j  0 , a un nivel de

entonces

se

confianza del

1    % (es significativa al  % ). INTERVALO DE CONFIANZA PARA

IC  i   j 

1 %

X

i

 X j   ˆ X i  X j

    : i

j

  X i  X j   ˆ X i  X j

 K  1 Fgl ;gl ; 1

2

 K  1 Fgl ;gl ;   i   j 1 %   X i  X j   ˆ X  X  K  1 Fgl ;gl ; 1

2

i

39

j

1

2

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

EJEMPLO: X1

X2

X3

X4

4.2

4

8.3

3.8

2.9

4.5

7.2

4.2

4.1

5.9

5.9

2.2

2.7

6.8

7.5

7.2

4.5

8.1

4 3.8

nk

4

6

7

3

Sk

0.78

1.59

1.83

1.06

Xk

3.48

6.08

5.89

3.40

n  20 K 4   0.05 gl1  4  1  3 gl2  20  4  16

 4  1 0.78   6  11.59   7  11.83  3  11.06  2

ˆ 

2

2

4  6  7 3 4

40

2

 1.5163

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS: i

j

Xi

Xj

Xi  X j

ni

nj

ˆ X  X

2

3

6.08

5.89

0.20

6

7

2

1

6.08

3.48

2.61

6

2

4

6.08

3.40

2.68

3

1

5.89

3.48

3

4

5.89

1

4

3.48

tc

 K  1 F3;16;0.05

Sig.

0.8436

0.23

3.12

0.9965

4

0.9787

2.66

3.12

0.1092

6

3

1.0722

2.50

3.12

0.1421

2.41

7

4

0.9504

2.54

3.12

0.1346

3.40

2.49

7

3

1.0463

2.38

3.12

0.1734

3.40

0.08

4

3

1.1581

0.06

3.12

0.9999

i

j

* Significante al 5%

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS 95% Interv. Conf . i

j

Xi

Xj

Xi  X j

nj

ni

ˆ X  X i

j

 K  1 F3;16;0.05

Inf .

Sup.

2

3

6.08

5.89

0.20

6

7

0.8436

3.12

-2.4319

2.8271

2

1

6.08

3.48

2.61

6

4

0.9787

3.12

-0.4425

5.6592

2

4

6.08

3.40

2.68

6

3

1.0722

3.12

-0.6587

6.0254

3

1

5.89

3.48

2.41

7

4

0.9504

3.12

-0.5517

5.3731

3

4

5.89

3.40

2.49

7

3

1.0463

3.12

-0.7758

5.7472

1

4

3.48

3.40

0.08

4

3

1.1581

3.12

-3.5348

3.6848

41

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA DE DUNCAN: Prueba del rango múltiple de Duncan. Método de comparación por pasos basado en la distribución del rango estudentizado. Controla la tasa de error utilizando, para el conjunto de medias separadas r pasos, un nivel de significación

   1  1   

r 1

.

Cuando más pasos existen entre dos medias, mayor es la diferencia mínima con la que vamos a considerar que esas medias difieren significativamente.

   :

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA 1)

Ho:

i   j  0

Ha:

i   j  0

i

j

2)

  0.01, 0.05, 0.10, etc.

3)

PUNTO CRÍTICO:

K r

gle  n  K Donde:

r  Número de pasos entre medias a analizar.

K  Número de medias a analizar. n  Tamaño total de la muestra. Región de aceptación de Ho Región de

Región de

rechazo de Ho

rechazo de Ho

1  2

 2

 Dr ; gle ;

Dr ; gle ;

42

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

4)

ANÁLISIS DE VARIANZA

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

Dc 

Xi  X j ˆ X  X i

j

Donde:

ˆ X  X i

1 1  ˆ     n n  j   i

j

1 1  CME     , Cuando las varianzas son  ni n j 

iguales. K

  n  1 S

ˆ 

i

i 1

2 i

K

n  K i 1

i

Tk2 CME   X   i 1 k 1 k 1 nk n

K

K

2 ik

(Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro

ANVA) 5)

CONCLUSIONES: 

Si

 Dr ; gle ;  Dc  Dr ; gle ; ,

entonces se acepta Ho, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % . 

Si

Dc   Dr ; gle ;  Dc  Dr ; gle ; , entonces se acepta Ha, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    %  % ).

43

(es significativa al

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

PROBABILIDAD DE





qc

(Significancia):

1   r 1   1  P q  D r ; gl  n  K     c e  Si  , entonces se acepta   Ho, es decir, i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % . 1   r 1   1  P q  D r ; gl  n  K     c e  Si  , entonces se acepta   Ha, es decir, i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % (es significativa al  % ).

INTERVALO DE CONFIANZA PARA

IC  i   j 

   :

1 %

X

i

ANÁLISIS DE VARIANZA

i

j

  X i  X j   ˆ X i  X j Dr ; gle ;

 X j   ˆ X i  X j Dr ; gle ;   i   j 

1 %

44

  X i  X j   ˆ X i  X j Dr ;gle ;

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

EJEMPLO: X1

X2

X3

X4

4.2

4

8.3

3.8

2.9

4.5

7.2

4.2

4.1

5.9

5.9

2.2

2.7

6.8

7.5

7.2

4.5

8.1

4 3.8

nk

4

6

7

3

Sk

0.78

1.59

1.83

1.06

Xk

3.48

6.08

5.89

3.40

n  20 K 4   0.05 gle  20  4  16

 4  1 0.78   6  11.59   7  11.83  3  11.06  2

ˆ e 

2

2

4  6  7 3 4

45

2

 1.5163

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS: i

j

Xi

Xj

Xi  X j

ni

nj

r

ˆ X  X

2

3

6.08

5.89

0.20

6

7

2

2

1

6.08

3.48

2.61

6

4

2

4

6.08

3.40

2.68

6

3

1

5.89

3.48

2.41

3

4

5.89

3.40

1

4

3.48

3.40

Dc

Dr ;16;0.05

Sig.

0.8436

0.23

3.00

1.0000

3

0.9787

2.66

3.14

0.0924

3

4

1.0722

2.50

3.23

0.1222

7

4

2

0.9504

2.54

3.00

0.0914

2.49

7

3

3

1.0463

2.38

3.14

0.1293

0.08

4

3

2

1.1581

0.06

3.00

1.0000

i

j

* Significante al 5%

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS 95% Interv. Conf . i

j

Xi

Xj

Xi  X j

nj

ni

r

ˆ X  X i

j

Dr ;16;0.05 Inf .

Sup.

2

3

6.08

5.89

0.20

6

7

2

0.8436

3.00

-2.3314

2.7266

2

1

6.08

3.48

2.61

6

4

3

0.9787

3.14

-0.4686

5.6853

2

4

6.08

3.40

2.68

6

3

4

1.0722

3.23

-0.7850

6.1517

3

1

5.89

3.48

2.41

7

4

2

0.9504

3.00

-0.4385

5.2599

3

4

5.89

3.40

2.49

7

3

3

1.0463

3.14

-0.8037

5.7751

1

4

3.48

3.40

0.08

4

3

2

1.1581

3.00

-3.3969

3.5469

46

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA DE TUKEY: Diferencia honestamente significativa de Tukey. Equivale a utilizar el método de Student-Newman-Keuls con K  Número de medias. Por tanto, todas las comparaciones son referidas a una misma diferencia mínima. Es uno de los métodos de mayor aceptación. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA 1)

Ho:

i   j  0

Ha:

i   j  0

   : i

j

2)

  0.01, 0.05, 0.10, etc.

3)

PUNTO CRÍTICO:

K

gle  n  K Donde:

K  Número de medias a analizar. n  Tamaño total de la muestra. Región de Aceptación de Región de

H0 Región de

Rechazo de

H0

Rechazo de

H0

1  2

 2

qK ; gle ;

qK ; gle ;

47

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

4)

ANÁLISIS DE VARIANZA

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

Xi  X j ˆ X  X

qc 

i

j

Donde:

ˆ X  X i

 1  1 1   ˆ        2   ni n j 

j

 1  1 1   CME       , Cuando las va 2   ni n j 

rianzas son iguales. K

  n  1 S

ˆ 

i

i 1

2 i

K

n  K i 1

i

Tk2 CME   X   i 1 k 1 k 1 nk n

K

K

2 ik

(Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro

ANVA) 5)

CONCLUSIONES: 

Si

qK ; gle ;  qc  qK ; gle ; ,

entonces

se acepta Ho,

es

decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % . 

Si

qc  qK ; gle ;  qc  qK ; gle ; ,

entonces se acepta Ha, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    %  % ).

48

(es significativa al

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

PROBABILIDAD DE 

Si

qc

ANÁLISIS DE VARIANZA

(Significancia):

P  q  qc K ; gle  n  K    , entonces se acepta Ho, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % . 

Si

P  q  qc K ; gle  n  K    , entonces se acepta Ha, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    %  % ). INTERVALO DE CONFIANZA PARA

IC  i   j 

   :

1 %

X

i

(es significativa al

i

j

  X i  X j   ˆ X i  X j qK ; gle ;

 X j   ˆ X i  X j qK ; gle ;   i   j 

1 %

49

  X i  X j   ˆ X i  X j qK ;gle ;

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

EJEMPLO: X1

X2

X3

X4

4.2

4

8.3

3.8

2.9

4.5

7.2

4.2

4.1

5.9

5.9

2.2

2.7

6.8

7.5

7.2

4.5

8.1

4 3.8

nk

4

6

7

3

Sk

0.78

1.59

1.83

1.06

Xk

3.48

6.08

5.89

3.40

n  20 K 4   0.05 gle  20  4  16

 4  1 0.78   6  11.59   7  11.83  3  11.06  2

ˆ e 

2

2

4  6  7 3 4

50

2

 1.5163

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS: i

j

Xi

Xj

Xi  X j

ni

nj

ˆ X  X

2

3

6.08

5.89

0.20

6

7

2

1

6.08

3.48

2.61

6

2

4

6.08

3.40

2.68

3

1

5.89

3.48

3

4

5.89

1

4

3.48

qc

q4;16;0.05

Sig.

0.5965

0.33

4.05

1.0000

4

0.6921

3.77

4.05

0.0728

6

3

0.7581

3.54

4.05

0.0978

2.41

7

4

0.6720

3.59

4.05

0.0924

3.40

2.49

7

3

0.7399

3.36

4.05

0.1226

3.40

0.08

4

3

0.8189

0.09

4.05

1.0000

i

j

* Significante al 5%

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS 95% Interv. Conf . i

j

Xi

Xj

Xi  X j

nj

ni

ˆ X  X i

j

q4;16;0.05 Inf .

Sup.

2

3

6.08

5.89

0.20

6

7

0.5965

4.05

-2.2158

2.6111

2

1

6.08

3.48

2.61

6

4

0.6921

4.05

-0.1919

5.4085

2

4

6.08

3.40

2.68

6

3

0.7581

4.05

-0.3841

5.7508

3

1

5.89

3.48

2.41

7

4

0.6720

4.05

-0.3083

5.1297

3

4

5.89

3.40

2.49

7

3

0.7399

4.05

-0.5078

5.4792

1

4

3.48

3.40

0.08

4

3

0.8189

4.05

-3.2382

3.3882

51

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

GAMES-HOWELL: Método similar al de Tukey. Se basa en la distribución del rango estudentizado y en un estadístico T en el que, tras estimar las varianzas poblacionales suponiendo que son distintas, se corrigen los grados de libertad mediante la ecuación de Welch. En términos generales de los tres métodos para varianzas heterogéneas, este es el que mejor controla la tasa de error en diferentes situaciones. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA 1)

Ho:

i   j  0

Ha:

i   j  0

   : i

2)

  0.01, 0.05, 0.10, etc.

3)

PUNTO CRÍTICO:

j

K 2

 Si2 S 2j     ni n j  gl   2 2 2  Si2   S j     n   ni    j  ni  1 n j 1 Donde:

K  Número de medias a analizar. n  Tamaño total de la muestra. Región de aceptación de Ho Región de

Región de

rechazo de Ho

rechazo de Ho

1  2 

 2 qk ; gl ;

qk ; gl ;

2

2 52

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

4)

ANÁLISIS DE VARIANZA

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

qc 

Xi  X j ˆ X  X i

j

Donde:

ˆ X  X i

5)

j

 Si2 S 2j      , Cuando las varianzas no son iguales. n n  j   i

CONCLUSIONES:







qK ; gl ;

qK ; gl ;

 qc  , entonces se acepta 2 2 i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % .

Si

Si

qc  

qK ; gl ; 2

 qc 

qK ; gl ; 2

, entonces se acepta Ha, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    %  % ). PROBABILIDAD DE 

Si

qc

Ho, es decir,

(es significativa al

(Significancia):

P q  2 qc K ; gl    ,

entonces se acepta Ho, es decir,

P q  2 qc K ; gl    ,

entonces se acepta Ha, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % . 

Si

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    %  % ).

53

(es significativa al

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

INTERVALO DE CONFIANZA PARA

   :

IC  i   j 

1 %

 X i  X j   ˆ Xi  X j

qK ; gl ; 2

ANÁLISIS DE VARIANZA

i

j

  X i  X j   ˆ X i  X j

qK ; gl ; 2

  i   j 

  X i  X j   ˆ X i  X j

Facultad de Ingeniería en Informática y Sistemas

Facultad de Industrias Alimentarías

Facultad de Ciencias Económicas

1 %

qK ; gl ; 2

EJEMPLO: Facultad de Ciencias Agrícolas

52

37

24

18

37

43

19

13

31

22

16

19

40

40

26

21

72

24

22

24

51

35

31

26

36

17

20

30

49

33

13

24

39

88

23

24

36

69

12

12

15

18

24

55

16

32

35

40

30

26

nk

10

12

15

13

Sk

41.80

21.08

40.87

21.15

Xk

22.74

4.23

11.47

7.53

n  20 K 4   0.05

54

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS: Xi

Xj

Xi  X j

ni

nj

Si

Sj

3

41.80

40.87

0.93

10

15

22.74

11.47

1

4

41.80

21.15

20.65

10

13

22.74

1

2

41.80

21.08

20.72

10

12

3

4

40.87

21.15

19.71

15

3

2

40.87

21.08

19.78

4

2

21.15

21.08

0.07

i

j

1

ˆ X  X

q4; gl ;0.05

Sig.

qc

gl

7.7781

0.12

12.09

2.97

0.9993

7.53

7.4891

2.76

10.52

3.03

0.0780

22.74

4.23

7.2953

2.84

9.52

3.09

0.0733

13

11.47

7.53

3.6231

5.44

24.35

2.76

0.0001*

15

12

11.47

4.23

3.2034

6.18

18.49

2.82

0.0000*

13

12

7.53

4.23

2.4184

0.03

19.17

2.81

1.0000

i

j

2

* Significante al 5%

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS

i

j

Xi

Xj

Xi  X j

ni

nj

Si

Sj

ˆ X  X i

j

gl

q4; gl ;0.05 2

95% Interv. Conf . Inf .

Sup.

1

3

41.80

40.87

0.93

10

15

22.74

11.47

7.7781

12.09

2.97

-22.1343

24.0010

1

4

41.80

21.15

20.65

10

13

22.74

7.53

7.4891

10.52

3.03

-2.0602

43.3525

1

2

41.80

21.08

20.72

10

12

22.74

4.23

7.2953

9.52

3.09

-1.8072

43.2405

3

4

40.87

21.15

19.71

15

13

11.47

7.53

3.6231

24.35

2.76

9.7285

29.6972

3

2

40.87

21.08

19.78

15

12

11.47

4.23

3.2034

18.49

2.82

10.7527

28.8139

4

2

21.15

21.08

0.07

13

12

7.53

4.23

2.4184

19.17

2.81

-6.7241

6.8651

55

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA T2 DE TAMHANE: Método basado en la distribución de t de Student. Controla la tasa de error evaluando cada comparación con un nivel de significación PRUEBA DE HIPOTESIS PARA 1)

Ho:

i   j  0

Ha:

i   j  0

   1  1   

1C

.

   : i

2)

  0.01, 0.05, 0.10, etc.

3)

PUNTO CRÍTICO:

j

K C

K  K  1 2

Donde:

K  Número de medias a analizar. C  Número de combinaciones ha analizar.

n  Tamaño total de la muestra.

   Nivel de significancia para la prueba de Tamhane. Región de aceptación de Ho Región de

Región de

rechazo de Ho

rechazo de Ho

1  2

 2

t gl ; ´ 2

t gl ; ´ 2

56

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

2

 Si2 S 2j     ni n j  gl   2 2 2  Si2   S j     n   ni    j  ni  1 n j 1 4)

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

tc 

Xi  X j ˆ X  X i

j

Donde:

ˆ X  X i

5)

j

 Si2 S 2j       , Cuando las varianzas no son iguales. n n  j   i

CONCLUSIONES: 

t gl ; ´ 2  tc  t gle ; ´ 2 ,

Si

entonces

se

acepta

Ho,

es

decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % . 

Si

tc  tgl ; ´ 2  tc  tgl ; ´ 2 ,

entonces se acepta Ha, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    %  % ).

(es significativa al

PROBABILIDAD DE t c (Significancia): 

Si



1  1  2 P t  tc gl 

C

 

, entonces se acepta Ho, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % .

57

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

Si



ANÁLISIS DE VARIANZA



1  1  2 P t  tc gl 

C

 

, entonces se acepta Ha, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    %  % ). INTERVALO DE CONFIANZA PARA

   :

IC  i   j 

i

1 %

X

i

(es significativa al

j

  X i  X j   ˆ X i  X j t gl ; ´ 2

 X j   ˆ X i  X j t gl ; ´ 2   i   j 

1 %

  X i  X j   ˆ X i  X j t gl ; ´ 2

EJEMPLO: Facultad de Ciencias Agrícolas

Facultad de Ingeniería en Informática y Sistemas

Facultad de Industrias Alimentarías

Facultad de Ciencias Económicas

52

37

24

18

37

43

19

13

31

22

16

19

40

40

26

21

72

24

22

24

51

35

31

26

36

17

20

30

49

33

13

24

39

88

23

24

36

69

12

12

15

18

24

55

16

32

35

40

30

26

nk

10

12

15

13

Sk

41.80

21.08

40.87

21.15

Xk

22.74

4.23

11.47

7.53

n  20 K 4   0.05

58

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

C

ANÁLISIS DE VARIANZA

 4  4  1  6 2

1 6

´ 1  1     0.0085 PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS: i

j

Xi

Xj

Xi  X j

ni

nj

Si

Sj

1

3

41.80

40.87

0.93

10

15

22.74

11.47

1

4

41.80

21.15

20.65

10

13

22.74

1

2

41.80

21.08

20.72

10

12

3

4

40.87

21.15

19.71

15

3

2

40.87

21.08

19.78

4

2

21.15

21.08

0.07

ˆ X  X

tc

gl

t gl ; ´ 2

Sig.

7.7781

0.12

12.09

3.14

1.0000

7.53

7.4891

2.76

10.52

3.23

0.1107

22.74

4.23

7.2953

2.84

9.52

3.30

0.1054

13

11.47

7.53

3.6231

5.44

24.35

2.86

0.0001*

15

12

11.47

4.23

3.2034

6.18

18.49

2.94

0.0000*

13

12

7.53

4.23

2.4184

0.03

19.17

2.93

1.0000

i

j

* Significante al 5%

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS 95% Interv. Conf . i

j

Xi

Xj

Xi  X j

ni

nj

Si

Sj

ˆ X  X i

j

gl

t gl ; ´ 2 Inf .

Sup.

1

3

41.80

40.87

0.93

10

15

22.74

11.47

7.7781

12.09

3.14

-23.4662

25.3328

1

4

41.80

21.15

20.65

10

13

22.74

7.53

7.4891

10.52

3.23

-3.5186

44.8109

1

2

41.80

21.08

20.72

10

12

22.74

4.23

7.2953

9.52

3.30

-3.3801

44.8134

3

4

40.87

21.15

19.71

15

13

11.47

7.53

3.6231

24.35

2.86

9.3422

30.0835

3

2

40.87

21.08

19.78

15

12

11.47

4.23

3.2034

18.49

2.94

10.3539

29.2128

4

2

21.15

21.08

0.07

13

12

7.53

4.23

2.4184

19.17

2.93

-7.0185

7.1595

59

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA T3 DE DUNNETT: Modificación propuesta por Dunnett al estadístico T2 de Tamhane. Se basa en la distribución del Módulo máximo estudentizado. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA 1)

Ho:

i   j  0

Ha:

i   j  0

   : i

2)

  0.01, 0.05, 0.10, etc.

3)

PUNTO CRÍTICO:

j

K C

K  K  1 2

Donde:

K  Número de medias a analizar. C  Número de combinaciones ha analizar.

n  Tamaño total de la muestra.

Región de aceptación de Ho Región de

Región de

rechazo de Ho

rechazo de Ho

1  2

 2

M C ; gl ;

M C ; gl ;

60

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

2

 Si2 S 2j     ni n j  gl   2 2 2  Si2   S j     n   ni    j  ni  1 n j 1 4)

ESTADÍSTICO ESTIMADO:

Xi  X j ˆ X  X

Mc 

i

j

Donde:

ˆ X  X i

5)

j

 Si2 S 2j       , Cuando las varianzas no son iguales. n n  j   i

CONCLUSIONES: 

Si

M C ; gl ;  M c  M C ; gl ; ,

entonces se acepta Ho, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % . 

Si

M c  M C ; gl ;  M c  M C ; gl ; , entonces se acepta Ha, es de-

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % va al  % ). cir,

PROBABILIDAD DE 

Si

Mc

(es significati-

(Significancia):

P  M  M c C ; gl    ,

entonces se acepta Ho, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    % . 

Si

P  M  M c gl ; C    ,

entonces se acepta Ha, es decir,

i   j  0 , a un nivel de confianza del 1    %  % ).

61

(es significativa al

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

INTERVALO DE CONFIANZA PARA

   :

IC  i   j 

1 %

X

i

ANÁLISIS DE VARIANZA

i

j

  X i  X j   ˆ X i  X j M C ; gl ;

 X j   ˆ X i  X j M C ; gl ;   i   j 

1 %

  X i  X j   ˆ X i  X j M C ; gl ;

EJEMPLO: Facultad de Ciencias Agrícolas

Facultad de Ingeniería en Informática y Sistemas

Facultad de Industrias Alimentarías

Facultad de Ciencias Económicas

52

37

24

18

37

43

19

13

31

22

16

19

40

40

26

21

72

24

22

24

51

35

31

26

36

17

20

30

49

33

13

24

39

88

23

24

36

69

12

12

15

18

24

55

16

32

35

40

30

26

nk

10

12

15

13

Sk

41.80

21.08

40.87

21.15

Xk

22.74

4.23

11.47

7.53

n  20 K 4   0.05 C

 4  4  1  6 2

62

Daniel Guzmán Rojas

COMPARACIONES MÚLTIPLES ENTRE MEDIAS

ANÁLISIS DE VARIANZA

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS: i

j

Xi

Xj

Xi  X j

ni

nj

Si

Sj

1

3

41.80

40.87

0.93

10

15

22.74

11.47

1

4

41.80

21.15

20.65

10

13

22.74

1

2

41.80

21.08

20.72

10

12

3

4

40.87

21.15

19.71

15

3

2

40.87

21.08

19.78

4

2

21.15

21.08

0.07

ˆ X  X

Mc

gl

M gl ;C ;

Sig.

7.7781

0.12

12.09

3.09

1.0000

7.53

7.4891

2.76

10.52

3.17

0.0989

22.74

4.23

7.2953

2.84

9.52

3.23

0.0929

13

11.47

7.53

3.6231

5.44

24.35

2.85

0.0001*

15

12

11.47

4.23

3.2034

6.18

18.49

2.92

0.0000*

13

12

7.53

4.23

2.4184

0.03

19.17

2.91

1.0000

i

j

* Significante al 5%

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS 95% Interv. Conf . i

j

Xi

Xj

Xi  X j

ni

nj

Si

Sj

ˆ X  X i

j

gl

M gl ;C ; Inf .

Sup.

1

3

41.80

40.87

0.93

10

15

22.74

11.47

7.7781

12.09

3.09

-23.1073

24.9740

1

4

41.80

21.15

20.65

10

13

22.74

7.53

7.4891

10.52

3.17

-3.0756

44.3679

1

2

41.80

21.08

20.72

10

12

22.74

4.23

7.2953

9.52

3.23

-2.8603

44.2937

3

4

40.87

21.15

19.71

15

13

11.47

7.53

3.6231

24.35

2.85

9.3966

30.0290

3

2

40.87

21.08

19.78

15

12

11.47

4.23

3.2034

18.49

2.92

10.4269

29.1398

4

2

21.15

21.08

0.07

13

12

7.53

4.23

2.4184

19.17

2.91

-6.9664

7.1075

63

Daniel Guzmán Rojas