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Sommaire Introduction Modulations num´eriques : pourquoi ? Modulations num´eriques : comment ?

Communications num´eriques

Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK) Principe Modulation OOK Modulations M-ASK sym´etriques R´ealisation physique et performances

Modulations num´eriques

Laurent Oudre [email protected]

Modulation par d´eplacement de phase (PSK) Principe Modulations M-PSK R´ealisation physique et performances Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK) Principe Modulations QAM R´ealisation physique et performances

Universit´ e Paris 13, Institut Galil´ ee Ecole d’ing´ enieurs Sup Galil´ ee Parcours Informatique et R´ eseaux Alternance - 2`eme ann´ ee 2015-2016

Modulation par d´eplacement de fr´equence (FSK) Principe Modulations FSK et CPFSK Modulation MSK

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

1 / 68

Laurent Oudre [email protected]

Introduction

Introduction

Sommaire

2015-2016

2 / 68

Modulations num´ eriques : pourquoi ?

Transmission en bande de base ◮

Introduction Modulations num´eriques : pourquoi ? Modulations num´eriques : comment ?

Pour le moment, tous les signaux physiques g´en´er´es ont une largeur de bande que l’on peut ´ecrire : ◮ ◮ ◮

Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK) ◮

Modulation par d´eplacement de phase (PSK)

◮

Modulation par d´eplacement de fr´equence (FSK)

Communications num´ eriques

2015-2016

3 / 68

filtre NRZ : B ≈ T1 filtre RZ : B ≈ T2 filtre biphase Manchester : B ≈ T2 filtre en racine de cosinus surelev´e : B = 1+β 2T 1 largeur de bande minimale (Nyquist) : B = 2T

◮

On a vu en TP que B d´ependait du filtre de mise en forme he (t), du d´ebit binaire Db , et de la taille M de l’alphabet utilis´e

◮

Les densit´es spectrales de puissance des signaux en bande de base sont centr´ees sur la fr´equence f0 = 0.

◮

Si le canal a une bande passante limit´ee, on cale la largeur de bande occup´ee du signal sur les caract´eristiques du canal : on utilise toute la bande passante disponible.

Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

4 / 68

Introduction

Modulations num´ eriques : pourquoi ?

Introduction

Limites de la bande de base

◮

◮

◮

Bande de base vs. Modulation

Impossible de diviser le canal en sous-canaux pour transmettre plusieurs communications `a la fois (multiplexage fr´equentiel) Impossible de cr´eer une onde ´electromagn´etique pour la transmission sans fil (si on ´emet une onde `a 30 Hz, on a une longueur d’onde de 10000 km !) Chaque type de communication correspond `a une bande de fr´equence r´epertori´ee : ◮ ◮

◮

◮ ◮

◮

◮

◮

N´ecessit´e de pouvoir cr´eer des signaux dans une bande de fr´equence donn´ee

◮

Les caract´eristiques de cette bande d´ependent du canal o`u l’on veut transmettre et du type de communication

Introduction

2015-2016

5 / 68

Transmission des signaux dans leur bande de fr´equence originale Utilisation de la totalit´e de la bande passante du canal BP Signaux ´electriques et lumineux : cˆ ables USB, Ethernet, fibres optiques, etc...

Bande transpos´ee (ou large de bande) ◮

◮

Communications num´ eriques

Bande de base ◮

TNT terrestre : 470 MHz ` a 830 MHz GSM (900) : 880 MHz ` a 960 MHz

Laurent Oudre [email protected]

Modulations num´ eriques : pourquoi ?

Transmission des signaux dans une bande de fr´equence donn´ee Eventuellement, division de la bande passante disponible en plusieurs canaux Ondes ´electromagn´etiques, signaux ´electriques et optiques : r´eseau hertzien, infra-rouge, laser, cˆ ables ADSL, etc...

Modulation : transformation du signal en bande de base pour l’adapter au canal de transmission

Laurent Oudre [email protected]

Modulations num´ eriques : pourquoi ?

Communications num´ eriques

Introduction

Bande de base vs. Modulation

2015-2016

6 / 68

Modulations num´ eriques : pourquoi ?

Bande de base vs. Modulation

Imaginons que l’on souhaite envoyer un signal dans une bande de fr´equence [BPmin BPmax ] : ◮

◮

On veut cr´eer un signal modul´e ayant comme largeur de bande (en bande max modul´ee) BMOD = BPmax − BPmin et centr´e sur la fr´equence f0 = BPmin +BP 2 Cela revient `a cr´eer un signal en bande de base ayant comme largeur de bande min puis translater son spectre de f0 (en bande de base) BMOD = BPmax −BP 2

Attention, si la largeur de bande en bande de base est (par exemple) T1 , alors en bande modul´ee, cela correspond `a une largeur de bande T2 (et inversement) BMOD = 2BBB

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

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Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

8 / 68

Introduction

Modulations num´ eriques : comment ?

Introduction

Modulations num´eriques dn

Conversion bits/symboles

ak

Filtre de mise en forme he (t)

Principe de la modulation

x(t)

e(t)

e(t)

Modulation

Filtre de canal hc (t)

Emetteur

e ′ (t)

Bruit additif b(t)

Imaginons que l’on ait un signal x(t) avec une densit´e spectrale de puissance Γx (f ) centr´ee en f = 0. Comment la translater pour la centrer en f = f0 ?  ◮ cf TD 1 : T F x(t)e 2πjf0 t = X (f − f0 )

r (t)

Canal de transmission

◮

r (t)

D´ emodulation

y (t)

Filtre de r´ eception hr (t)

z(t)

Echantillonage

◮

zk = z(kT )

dˆn

D´ ecodage

ak ˆ

Proposition : prendre e(t) = x(t)e 2πjf0 t ? ? Probl`eme : dans ce cas, e(t) est complexe, ce qui n’est pas possible (ce doit ˆetre un signal physique)

D´ ecision

 e(t) = Re x(t)e 2πjf0 t

R´ ecepteur

◮

◮

Modulation : partir d’un signal x(t) en bande de base, et le transformer en signal e(t) en bande modul´ee, donc la largeur de bande sera centr´ee sur f0 . D´emodulation : processus inverse

Laurent Oudre [email protected]

Modulations num´ eriques : comment ?

Communications num´ eriques

2015-2016

◮ ◮

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e 2πjf0 t : porteuse x(t) : signal en bande de base (dans ce cours : filtre d’´emission NRZ)

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Modulation par d´ eplacement d’amplitude (ASK)

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement d’amplitude (ASK)

Sommaire

2015-2016

10 / 68

Principe

Modulation par d´eplacement d’amplitude : ASK On modifie l’amplitude de la porteuse : Amplitude Shift Keying  e(t) = Re x(t)e 2πjf0 t

Introduction

Si on suppose que les ak sont r´eels, et que he (t) est r´eelle (c’est le cas si on consid`ere un filtre NRZ), alors x(t) est r´eel et :

Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK) Principe Modulation OOK Modulations M-ASK sym´etriques R´ealisation physique et performances

e(t) = x(t) cos(2πf0 t) X e(t) = ak he (t − kT ) cos(2πf0 t)

Modulation par d´eplacement de phase (PSK)

k∈Z

Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulation par d´eplacement de fr´equence (FSK)

◮

On ne transforme pas notre signal en bande de base, on le multiplie juste par un cosinus

◮

Chaque symbole ak modifie l’amplitude de la porteuse durant une dur´ee T : ak correspond `a l’amplitude de la porteuse pour kT ≤ t < (k + 1)T

◮

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

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En fait, tous les codages en ligne que l’on a vu en bande de base ´etaient des modulations ASK avec f0 = 0 !

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

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Modulation par d´ eplacement d’amplitude (ASK)

Modulation OOK

Modulation par d´ eplacement d’amplitude (ASK)

Modulation OOK

Modulation OOK

OOK - Filtre NRZ

x(t)

1 0.5

Im(.)

0

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6 Temps (s)

0.8

1

1.2

0

cos(2 f t)

0

0 1

✂

Re(.) -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

0

2

3

4

5

6

7

0

1

0

e(t)=x(t)cos(2 f t)

✁1 ✂

◮ ◮

x(t) cod´e avec un dictionnaire binaire unipolaire OOK : On Off Keying (en fran¸cais : Tout ou Rien)

0

✁1

Dictionnaire binaire unipolaire - Filtre NRZ dn = ak = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement d’amplitude (ASK)

2015-2016

13 / 68

Laurent Oudre [email protected]

Modulation OOK

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement d’amplitude (ASK)

OOK - Filtre NRZ

2015-2016

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Modulations M-ASK sym´ etriques

Modulation M-ASK sym´etriques Im(.)

M=2 DSP x(t) (dB)

0

0

1 Re(.)

−20

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

4

5

6

7

−40 −60 −30

−20

−10

0

10

20

Im(.)

M=4

30

00

01

11

10 Re(.)

DSP e(t) (dB)

0

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

−20

−60 −30

000 −20

−10

0 Frequence (Hz)

10

20

011

010

110

111

101

100 Re(.)

Dictionnaire binaire unipolaire - Filtre NRZ f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde Communications num´ eriques

001

30

-7

Laurent Oudre [email protected]

Im(.)

M=8

−40

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

−→ x(t) cod´ e avec un dictionnaire M-aire antipolaire

2015-2016

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Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

16 / 68

Modulation par d´ eplacement d’amplitude (ASK)

Modulations M-ASK sym´ etriques

Modulation par d´ eplacement d’amplitude (ASK)

2-ASK sym´etrique - Filtre NRZ

8-ASK sym´etrique - Filtre NRZ 5 x(t)

x(t)

1 0

0 5

1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6 Temps (s)

0.8

1

1.2

0

cos(2 f t)

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1

1.2 e(t)=x(t)cos(2 f t)

1 1

0

0

0 1

0

cos(2 f t)

1

e(t)=x(t)cos(2 f t)

Modulations M-ASK sym´ etriques

0 1 0

0.2

0.4

0.6 Temps (s)

0.8

1

1.2

dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 −→ ak = -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement d’amplitude (ASK)

2015-2016

5 0 5

dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 −→ ak = -1 -3 7 -3 f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde 17 / 68

Laurent Oudre [email protected]

R´ ealisation physique et performances

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement d’amplitude (ASK)

Modulateur

2015-2016

18 / 68

R´ ealisation physique et performances

D´emodulateur

cos(2πf0 t)

◮

A la sortie du canal (sans bruit), on a r (t) = e(t) = x(t) cos(2πf0 t)

◮

Comment retrouver x(t) `a partir de r (t) ? On utilise 2 cos(2πf0 t)r (t) = 2 cos2 (2πf0 t)x(t) = x(t) + x(t) cos(4πf0 t)

◮ Filtre de mise en forme he (t)

ak

◮ x(t)

e(t)

Avec un filtrage passe-bas, on peut r´ecup´erer x(t) !

× 2 cos(2πf0 t)

e(t) = x(t) cos(2πf0 t) X e(t) = ak he (t − kT ) cos(2πf0 t)

r (t) ×

k∈Z

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

19 / 68

Laurent Oudre [email protected]

Filtre passe bas

y (t)

Communications num´ eriques

Filtre de r´ eception hr (t) = he (−t)

z(t)

2015-2016

20 / 68

Modulation par d´ eplacement d’amplitude (ASK)

R´ ealisation physique et performances

Modulation par d´ eplacement d’amplitude (ASK)

Energie moyenne par bit

Probabilit´e d’erreur binaire

Dictionnaire `a M ´el´ements a1 , · · · , aM Rappel : Esym =

Si on utilise un codage de Grey et si le r´ecepteur est optimal, on peut montrer que ! r M −1 2Ebit 3 log2 M TEB ≈ 2 Q M log2 M N0 M 2 − 1

M 1 X 2 |ai | Ehe M i =1

M X 1 |ai |2 Ehe M log2 M

Ebit =

◮

i =1

Pour une modulation M-ASK sym´etrique on a Ebit =

Laurent Oudre [email protected]

◮

M2 − 1 Eh 3 log2 M e

Communications num´ eriques

2015-2016

21 / 68

Si on utilise un filtre NRZ, alors BMOD = 2BBB = T2 (attention, on n’est plus en bande de base !), et on a donc η = log22 M . Plus M augmente, plus η augmente. En revanche, quand M augmente, le TEB augmente. Il y a donc un compromis `a r´ealiser.

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Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

Sommaire

2015-2016

22 / 68

Principe

Modulation par d´eplacement de phase : PSK

Introduction

◮

Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK) Modulation par d´eplacement de phase (PSK) Principe Modulations M-PSK R´ealisation physique et performances

X k∈Z

◮ ◮

Modulation par d´eplacement de fr´equence (FSK) ◮ ◮

Communications num´ eriques

Pour la modulation ASK on a modifi´e l’amplitude de la porteuse  e(t) = Re x(t)e 2πjf0 t e(t) =

Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

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R´ ealisation physique et performances

2015-2016

23 / 68

ak he (t − kT ) cos(2πf0 t)

ak correspond `a l’amplitude de la porteuse pour kT ≤ t < (k + 1)T Et si on modifiait la phase au lieu de l’amplitude ? PSK : Phase Shift Keying On fait passer le signal x(t) sur la phase de la porteuse

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

24 / 68

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

Principe

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

Modulation par d´eplacement de phase : PSK

Choix des symboles

o n e(t) = Re e 2πjf0 t+jx(t) ◮

Si on suppose que les ak sont r´eels, et que he (t) est r´eelle (c’est le cas si on consid`ere un filtre NRZ), alors x(t) est r´eel et : e(t) = cos(2πf0 t + x(t)) e(t) = cos 2πf0 t +

X k∈Z

◮ ◮

Principe

!

ak he (t − kT )

Les ak repr´esentent ici une phase et il est courant de les renormaliser entre 0 et 2π. Au lieu de prendre les dictionnaires unipolaire et antipolaires classiques, on va prendre ◮ soit 2π ak ∈ {0, 1, · · · , M − 1} (unipolaire) M ◮ soit ak ∈

π {−(M − 1), · · · , −3, −1, 1, 3, · · · , M − 1} (antipolaire) M

ak correspond `a la phase de la porteuse pour kT ≤ t < (k + 1)T

L’amplitude de la porteuse reste constante, mais la phase change toutes les T secondes

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

2015-2016

25 / 68

Principe

X k∈Z

X k∈Z

e(t) =

26 / 68

Principe

X

cos(ak )he (t − kT ) cos(2πf0 t) −

k∈Z

X

sin(ak )he (t − kT ) sin(2πf0 t)

k∈Z

e(t) est la somme de deux signaux ASK :

!

ak he (t − kT )

◮ Un premier signal

X

I (t) =

cos(ak )he (t − kT )

k∈Z

modul´ e par une porteuse cos(2πf0 t) (les symboles sont ici les cos(ak ))

cos(2πf0 t + ak )he (t − kT )

◮ Un deuxi` eme signal

Q(t) =

Avec des formules de trigonom´etrie, cela peut s’´ecrire X X e(t) = cos(ak )he (t − kT ) cos(2πf0 t) − sin(ak )he (t − kT ) sin(2πf0 t) k∈Z

2015-2016

Modulation ASK ´equivalente

Comme he (t) est un filtre NRZ, on peut montrer que :

e(t) =

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

Modulation ASK ´equivalente

e(t) = cos 2πf0 t +

Laurent Oudre [email protected]

X

sin(ak )he (t − kT )

k∈Z

modul´ e par une porteuse − sin(2πf0 t) = cos(2πf0 t +

π ) 2

(les symboles sont ici les sin(ak ))

◮ I (t) : composante en phase (Inphase), Q(t) : composante en quadrature de phase

k∈Z

(Quadrature) e(t) = I (t) cos(2πf0 t) − Q(t) sin(2πf0 t)

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

27 / 68

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

28 / 68

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

Principe

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

Modulation ASK ´equivalente ◮

◮

Constellation

On peut montrer que

Or

 e(t) = I (t) cos(2πf0 t) − Q(t) sin(2πf0 t) = Re (I (t) + jQ(t))e 2πjf0 t I (t) + jQ(t) =

X k∈Z

◮

Principe

Donc

e(t) = Re

(

Constellation : repr´esentation des symboles αk ´equivalents en modulation ASK dans le plan complexe

(cos(ak ) + j sin(ak ))he (t − kT )

X k∈Z

e jak he (t − kT )e 2πjf0 t

)

◮

Cette modulation PSK avec les symboles ak est math´ematiquement ´equivalente `a une modulation ASK avec les symboles αk = e jak

◮

αk : symboles ´equivalents en modulation ASK

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Constellation

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

2015-2016

29 / 68

Modulations M-PSK

◮

Dans le cas ASK, on a αk = ak et les αk sont r´eels

◮

Dans le cas PSK, les αk = e jak sont sur le cercle unit´e

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

2-PSK ou BPSK

2015-2016

30 / 68

2015-2016

32 / 68

Modulations M-PSK

BPSK - Filtre NRZ Im(.) x(t)

3 2 1 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6 Temps (s)

0.8

1

1.2

r =1

0

0

cos(2 f t)

1

1 Re(.)

0

1

0

e(t)=cos(2 f t + x(t))

1

Exactement pareil qu’une modulation 2-ASK sym´etrique ! Communications num´ eriques

1

dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 ak = π 0 π π 0 0 0 π π π 0 0 αk = 1−11−1−1−111−11 f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde

ak ∈ {0, π} −→ αk = ±1

Laurent Oudre [email protected]

0

2015-2016

31 / 68

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

Modulations M-PSK

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

4-PSK ou QPSK

Modulations M-PSK

QPSK - Filtre NRZ Im(.)

01

x(t)

2

11

0 2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6 Temps (s)

0.8

1

1.2

1 0

cos(2 f t)

r =1 Re(.)

0

1

0

e(t)=cos(2 f t + x(t))

1

00

10

0 1

√ √   3π π π 3π 2 2 ak ∈ − , − , , −→ αk = ± ±j 4 4 4 4 2 2

Ici on a utilis´e le dictionnaire antipolaire : on obtient le dictionnaire unipolaire en faisant tourner la constellation de − π4 . Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

2015-2016

33 / 68

αk =

−

√

2+j 2

√

dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 −3π π −π −3π π ak = 3π 4 4 4 4 4 4 2 −

√

2−j 2

√

2

√ √ √ √ √ √ √ √ 2+j 2 2−j 2 − 2−j 2 2+j 2 2 2 2 2

f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde

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Modulations M-PSK

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

4-PSK ou QPSK : interpr´etation

2015-2016

34 / 68

Modulations M-PSK

8-PSK Im(.) 010

Im(.)

01

110

11

r =1

011

111

Re(.)

r =1 Re(.) 00

dn 0 0 1 1

dn+1 0 1 0 1

10

α √ k √ 2 -√22 -j √ 2 - 2√2 +j √22 2 +√22 -j √ 2 + 22 +j 22

√ 2 Re(αk ) -1 -1 1 1

√ 2 Im(αk ) -1 1 -1 1

001

000

Comme si les bits pairs avaient servi `a coder la partie r´eelle, et les bits impairs la partie imaginaire Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

101

2015-2016

35 / 68

100

  7π 5π 3π π π 3π 5π 7π , , ak ∈ − , − , − , − , , 8 8 8 8 8 8 8 8

Ici on a utilis´e le dictionnaire antipolaire : on obtient le dictionnaire unipolaire en faisant tourner la constellation de − π8 . Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

36 / 68

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

R´ ealisation physique et performances

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

Modulateur

R´ ealisation physique et performances

D´emodulateur 2 cos(2πf0 t) cos(2πf0 t)

cos(ak ) = Re(αk )

Filtre de mise en forme he (t)

I (t)

Filtre passe bas

×

Filtre passe bas

ˆI (t)

Filtre de r´ eception hr (t) = he (−t)

zI (t)

ˆ Q(t)

Filtre de r´ eception hr (t) = he (−t)

zQ (t)

×

αk = e jak

+

sin(ak ) = Im(αk )

×

Filtre de mise en forme he (t)

r (t)

e(t)

Q(t) ×

− sin(2πf0 t) −2 sin(2πf0 t)

I (t) =

X

cos(ak )he (t − kT )

Q(t) =

k∈Z

X

2 cos(2πf0 t)r (t) = I (t) + I (t) cos(4πf0 t) − Q(t) sin(4πf0 t) −2 sin(2πf0 t)r (t) = Q(t) − I (t) sin(4πf0 t) − Q(t) cos(4πf0 t) Apr` es un filtrage passe-bas, on retrouve I (t) et Q(t), puis en ´ echantillonant cos(ak ) et sin(ak ), et enfin ak

sin(ak )he (t − kT )

k∈Z

e(t) = I (t) cos(2πf0 t) − Q(t) sin(2πf0 t) Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

2015-2016

37 / 68

Laurent Oudre [email protected]

R´ ealisation physique et performances

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

2015-2016

38 / 68

R´ ealisation physique et performances

Energie moyenne par bit

Probabilit´e d’erreur binaire

On la calcule non pas avec les symboles ai , mais avec les symboles αi ´equivalents en modulation ASK. Pour une modulation M-PSK on a |αi |2 = 1 pour tous les symboles donc

Si on utilise un codage de Grey et si le r´ecepteur est optimal, on peut montrer que ! r π 2 2 log2 MEbit TEB ≈ Q sin log2 M N0 M

Ebit =

1 Eh log2 M e

◮

◮

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

39 / 68

Si on utilise un filtre NRZ, alors B = T2 (attention, on n’est plus en bande de log M base !), et on a donc η = 22 . Plus M augmente, plus η augmente. En revanche, quand M augmente, le TEB augmente.

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

40 / 68

Modulation par d´ eplacement de phase (PSK)

R´ ealisation physique et performances

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

Sommaire

Comparaison ASK / PSK Taux d’erreur binaire pour des modulations M−ASK symétriques

0

10

−2

−2

10

10

−4

TEB

TEB

10

−6

10

2−ASK 4−ASK 8−ASK 16−ASK 32−ASK

−8

10

−10

10

◮

Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK)

−6

10

Modulation par d´eplacement de phase (PSK) 2−PSK 4−PSK 8−PSK 16−PSK 32−PSK

−8

10

−10

10

−12

◮

Introduction

−4

10

10

Taux d’erreur binaire pour des modulations M−PSK

0

10

Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK) Principe Modulations QAM R´ealisation physique et performances

−12

0

5

10

15 Ebit/N0 (en dB)

20

25

30

10

0

5

10

15 Ebit/N0 (en dB)

20

25

30

A TEB fix´e, on peut transmettre avec M plus grand avec une M-PSK qu’avec une M-ASK En revanche, les modulateurs et d´emodulateurs sont plus complexes `a r´ealiser avec une M-PSK

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

2015-2016

41 / 68

◮

◮

◮

◮

◮

42 / 68

Principe

A chaque p´eriode symbole T , on change l’amplitude mk et la phase Φk de la porteuse e(t) = m(t) cos (2πf0 t + Φ(t))

ak modifie l’amplitude toutes les T secondes Symboles ´equivalents en modulation ASK : αk = ak r´eels

◮

ak modifie la phase toutes les T secondes Symboles ´equivalents en modulation ASK : αk = e jak sur le cercle unit´e

Communications num´ eriques

2015-2016

m(t) =

X k∈Z

◮

Si l’on veut modifier simultan´ement l’amplitude et la phase toutes les T secondes ? Amplitude and Phase Shift Keying (APSK)

Laurent Oudre [email protected]

2015-2016

Modulations APSK : principe

Modification de la phase (PSK) : ◮

Communications num´ eriques

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

Modification de l’amplitude (ASK) : ◮

Laurent Oudre [email protected]

Principe

Modulations APSK

◮

Modulation par d´eplacement de fr´equence (FSK)

Φ(t) =

X k∈Z

mk he (t − kT ) Φk he (t − kT )

A chaque p´eriode symbole T on agit sur deux param`etres au lieu d’un, ce qui revient `a une mise au carr´e du nombre de symboles possibles

43 / 68

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

44 / 68

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

Principe

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

Principe

Modulations APSK : constellation

Modulations APSK : composantes en phase et en quadrature de phase

Modification conjointe de l’amplitude et de la phase : peut ˆetre vue math´ematiquement comme la transmission de symboles αk complexes en ASK tels que αk = mk e jφk

Par d´efinition des symboles ´equivalents en modulation ASK, ( ) X 2πjf0 t e(t) = Re αk he (t − kT )e

Im(.)

k∈Z

Et on a par d´efinition de I (t) et Q(t)

3

e(t) = I (t) cos(2πf0 t) − Q(t) sin(2πf0 t)

mk 1 -3

-1

0 -1

On peut montrer alors que :

Φk Re(.) 1

3

X

I (t) =

k∈Z

Q(t) =

-3

Re(αk )he (t − kT )

X k∈Z

Remarque : ASK revient `a mk = ak , Φk = 0 et PSK `a mk = 0, Φk = ak

◮ ◮

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

2015-2016

45 / 68

Modulations QAM

I (t) transmet la partie r´eelle du symbole Q(t) transmet la partie imaginaire du symbole

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

Modulations QAM

αk ∈ {±1 ± j, ±1 ± 3j, ±3 ± j, ±3 ± 3j, ...}

◮

2015-2016

48 / 68

Modulations QAM

3

Communications num´ eriques

1

01

2015-2016

47 / 68

0

11 Re(.)

-3

√ Si chaque dictionnaire contient M symboles r´eels, cela fait M symboles complexes ! √ Comme si on√transmettait simultan´ement un signal M-ASK sym´etrique r´eel et un signal M-ASK sym´etrique imaginaire pur √ Deux signaux M-ASK sym´etriques I (t) et Q(t) en quadrature de phase : d’ou le nom Quadrature Amplitude Modulation

Laurent Oudre [email protected]

46 / 68

Im(.)

n √ o √ Im(αk ) ∈ −( M − 1), · · · , −3, −1, 1, 3, · · · , M − 1 dictionnaire antipolaire

◮

2015-2016

Modulation 4-QAM

Cas particulier courant : o n √ √ Re(αk ) ∈ −( M − 1), · · · , −3, −1, 1, 3, · · · , M − 1 dictionnaire antipolaire

◮

Im(αk )he (t − kT )

-1

1

3

-1

00

10

-3

αk = ±1 ± j code la partie r´eelle - code la partie imaginaire Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

Modulations QAM

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

4-QAM - Filtre NRZ - m(t)/Φ(t)

Modulations QAM

4-QAM - Filtre NRZ - I (t)/Q(t)

2

0

I(t)

m(t)

1 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6 Temps (s)

0.8

1

1.2

1

0

Q(t)

Φ(t)

0 −1

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−1

1.2

1

1

0

e(t)

e(t)=m(t)cos(2π f0 t + Φ(t))

−2

−1

0 −1

0

0.2

0.4

0.6 Temps (s)

0.8

1

1.2

dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 αk = -1+j√ -1-j√ 1+j 1-j √-1-j√ 1+j √ √ mk = 2 2 2 2 2 2 −3π π −π −3π π Φk = 3π 4 4 4 4 4 4 f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

e(t) = I (t) cos(2πf0 t) − Q(t) sin(2πf0 t) dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 αk = -1+j -1-j 1+j 1-j -1-j 1+j f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde

2015-2016

49 / 68

Modulations QAM

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

Modulation 16-QAM

2015-2016

50 / 68

2015-2016

52 / 68

Modulations QAM

16-QAM - Filtre NRZ - m(t)/Φ(t) 4

Im(.) m(t)

2

3

0010

0110

1110

0 −2

1010

−4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6 Temps (s)

0.8

1

1.2

Φ(t)

2

1

0111

-3

-1

0 1111

1011 Re(.) 3

0

1 -1

0001

0101

1101

1001

-3

0000

0100

1100

code la partie r´eelle - code la partie imaginaire Communications num´ eriques

2 0 −2

dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 αk = -1-3j 1+3j √ √ √-3+j mk = 10 10 10 1 π 1 1 Φk = −π 2 − atan( 3 ) 2 − atan( 3 ) π − atan( 3 ) f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde

1000

αk ∈ {±1 ± j, ±1 ± 3j, ±3 ± j, ±3 ± 3j}

Laurent Oudre [email protected]

0 −2

e(t) = m(t) cos(2π f t + Φ(t))

0011

2015-2016

51 / 68

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

Modulations QAM

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

16-QAM - Filtre NRZ - I (t)/Q(t)

R´ ealisation physique et performances

Modulateur cos(2πf0 t)

I(t)

2 0 −2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Re(αk )

Q(t)

2

Filtre de mise en forme he (t)

I (t) ×

0 −2

αk 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

e(t)

+

1.2

e(t)

2 0

Im(αk )

−2 0

0.2

0.4

0.6 Temps (s)

0.8

1

Filtre de mise en forme he (t)

Q(t) ×

1.2

e(t) = I (t) cos(2πf0 t) − Q(t) sin(2πf0 t) dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 αk = -1-3j 1+3j -3+j f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde

− sin(2πf0 t)

I (t) =

X

Re(αk )he (t − kT )

Q(t) =

k∈Z

X

Im(αk )he (t − kT )

k∈Z

e(t) = I (t) cos(2πf0 t) − Q(t) sin(2πf0 t) Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

2015-2016

53 / 68

R´ ealisation physique et performances

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

D´emodulateur

2015-2016

54 / 68

R´ ealisation physique et performances

Energie moyenne par bit 2 cos(2πf0 t)

×

Filtre passe bas

ˆI (t)

Filtre de r´ eception hr (t) = he (−t)

zI (t)

Une modulation M-QAM correspond `a deux modulations en parall`ele :

r (t)

Ebit = ×

Filtre passe bas

ˆ Q(t)

Filtre de r´ eception hr (t) = he (−t)

√ M-ASK sym´etriques

2(M − 1) Eh 3 log2 M e

zQ (t)

−2 sin(2πf0 t)

2 cos(2πf0 t)e(t) = I (t) + I (t) cos(4πf0 t) − Q(t) sin(4πf0 t) −2 sin(2πf0 t)e(t) = Q(t) − I (t) sin(4πf0 t) − Q(t) cos(4πf0 t) Apr` es un filtrage passe-bas, on retrouve I (t) et Q(t), puis en ´ echantillonant Re(αk ) et Im(αk ), et enfin αk Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

55 / 68

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

56 / 68

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

R´ ealisation physique et performances

Modulations par d´ eplacement d’amplitude et de phase (APSK)

Probabilit´e d’erreur binaire

R´ ealisation physique et performances

Comparaison ASK / QAM Taux d’erreur binaire pour des modulations M−ASK symétriques

0

10

−2

◮ ◮

◮

Comme si on avait deux modulations

√ M-ASK ind´ependantes !

−4

−4

10

TEB

10

−6

10

2−ASK 4−ASK 8−ASK 16−ASK 32−ASK

−8

10

−10

En revanche, quand M augmente, le TEB augmente.

◮

2015-2016

57 / 68

−8

4−QAM 16−QAM 64−QAM 256−QAM 1024−QAM

−10

10

−12

0

5

10

15 Ebit/N0 (en dB)

20

25

30

10

0

5

10

15 Ebit/N0 (en dB)

20

25

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de fr´ equence (FSK)

2015-2016

58 / 68

Principe

Sommaire

Modulation par d´eplacement de fr´equence : FSK

Introduction

On a d´ej`a modifi´e l’amplitude et la phase de la porteuse, cette fois ci on va modifier la fr´equence fondamentale de la porteuse : Frequency Shift Keying n o e(t) = Re e 2πjt(f0 +x(t))

Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK)

30

On peut√transmettre avec une M-QAM pour le mˆeme taux d’erreur binaire qu’une M-ASK sym´etrique ! En revanche, les modulateurs et d´emodulateurs sont plus complexes `a r´ealiser avec une M-QAM

Laurent Oudre [email protected]

Modulation par d´ eplacement de fr´ equence (FSK)

−6

10

10

−12

10

◮

Communications num´ eriques

10

10

Si on utilise un filtre NRZ, alors B = T2 (attention, on n’est plus en bande de base !), et on a donc η = log22 M . Plus M augmente, plus η augmente.

Laurent Oudre [email protected]

−2

10

TEB

Si on utilise un codage de Grey et si le r´ecepteur est optimal, on peut montrer que s √ √  M −1 2E 3 log bit 2 M √ Q TEB ≈ 2 √ N M −1 M log2 M 0

Taux d’erreur binaire pour des modulations M−QAM

0

10

Ce qui revient `a

Modulation par d´eplacement de phase (PSK)

e(t) = cos (2π (f0 + x(t)) t)

Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulation par d´eplacement de fr´equence (FSK) Principe Modulations FSK et CPFSK Modulation MSK

◮

Dans le cas d’un filtre de mise en forme he (t) NRZ, cela devient X e(t) = cos (2π (f0 + ak ) t) he (t − kT ) k∈Z

◮

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

59 / 68

On change la fr´equence fondamentale de la porteuse tous les T , en fonction des symboles ak : la fr´equence fondamentale pour kT ≤ t < (k + 1)T est f0 + ak

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

60 / 68

Modulation par d´ eplacement de fr´ equence (FSK)

Principe

Modulation par d´ eplacement de fr´ equence (FSK)

Choix des symboles

Modulation FSK

◮

Dans le cas d’une modulation FSK `a M symboles, les ak doivent ˆetre homog`enes `a une fr´equence et on choisit un dictionnaire antipolaire :

◮

Dans la suite du cours on suppose que M = 2 (cas 2-FSK, souvent appel´e simplement FSK) On a donc 2 fr´equences fondamentales possibles : ◮

ak ∈

Modulations FSK et CPFSK

∆f {−(M − 1), · · · , −3, −1, 1, 3, · · · , M − 1} 2

◮

f0 est donc la fr´equence centrale

◮

∆f est l’excursion de fr´equence

Laurent Oudre [email protected]

◮

◮

f1 = f0 − f2 = f0 +

∆f 2 ∆f 2

On a donc f2 − f1 = ∆f

◮

Plus on r´eduit ∆f , moins on utilise de bande passante Indice de modulation µ = ∆f T

◮

Plus µ est petit, moins on utilise de bande passante

◮

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de fr´ equence (FSK)

2015-2016

61 / 68

Laurent Oudre [email protected]

Modulations FSK et CPFSK

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de fr´ equence (FSK)

FSK non coh´erente

2015-2016

62 / 68

Modulations FSK et CPFSK

FSK coh´erente et non coh´erente e(t)

1 0.8 0.6

◮

Probl`eme : il y a un saut tous les T quand la fr´equence change : FSK non coh´erente

◮

Ces sauts cr´eent des fr´equences parasites sur le spectre du signal modul´e On peut transformer x(t) pour que la phase soit continue dans le temps : FSK coh´erente (ou CPFSK)

0.4 0.2 0

◮

−0.2 −0.4 −0.6

◮

−0.8

◮

−1

0

0.2

0.4

0.6 Temps (s)

0.8

1

Plus difficile ` a r´ealiser en pratique Permet de r´eduire l’occupation spectrale

1.2

dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 f0 = 13 Hz, Db=10 bits/seconde, ∆f = 6 Hz (f1 = 10 Hz, f2 = 16 Hz)

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

63 / 68

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

64 / 68

Modulation par d´ eplacement de fr´ equence (FSK)

Modulations FSK et CPFSK

Modulation par d´ eplacement de fr´ equence (FSK)

FSK coh´erente ◮

2-FSK coh´erente e(t)

Pour une FSK non coh´erente, on a

1 0.8

e(t) = cos(2πf0 t + φ(t))

0.6 0.4

avec

0.2

φ(t) = 2πak t pour t ∈ [kT ; (k + 1)T [ ◮

0

Pour une FSK coh´erente, on va poser

−0.2 −0.4

φ(t) = 2πak (t − kT ) + φk pour t ∈ [kT ; (k + 1)T [ ◮

Modulations FSK et CPFSK

−0.6 −0.8

La condition de continuit´e donne

−1

2πak+1 ((k + 1)T − (k + 1)T ) + φk+1 = 2πak ((k + 1)T − kT ) + φk

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de fr´ equence (FSK)

2015-2016

0.2

0.4

0.6 Temps (s)

0.8

1

1.2

dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 f0 = 13 Hz, Db=10 bits/seconde, ∆f = 6 Hz (f1 = 10 Hz, f2 = 16 Hz)

φk+1 = 2πak T + φk

Laurent Oudre [email protected]

0

65 / 68

Laurent Oudre [email protected]

Modulation MSK

Communications num´ eriques

Modulation par d´ eplacement de fr´ equence (FSK)

Modulation MSK

2015-2016

66 / 68

Modulation MSK

MSK e(t) 1 0.8 0.6

Rappel : ◮ Plus µ est petit, moins on utilise de bande passante ◮ ◮

◮

0.4 0.2

Avec une CPFSK, on diminue la largeur de la bande passante Minimum Shift Keying (MSK) : plus petite valeur de µ permettant une probabilit´e d’erreur optimale (µ = 0.5). MSK : CPFSK (coh´erente) avec un filtre NRZ et ∆f =

0 −0.2 −0.4 −0.6

1 2T

−0.8 −1

0

0.2

0.4

0.6 Temps (s)

0.8

1

1.2

dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 f0 = 13 Hz, Db=10 bits/seconde, ∆f = 2T = 5 Hz (f1 = 10.5 Hz, f2 = 15.5 Hz)

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

67 / 68

Laurent Oudre [email protected]

Communications num´ eriques

2015-2016

68 / 68