Com.ana. Modulacao

Modulação em Amplitude 1.

Definição: A finalidade da modulação é deslocar um sinal que contém frequências baixas para uma faixa de frequências muita mais alta do que o sinal tinha anteriormente. Esse processo também pode ser entendido como uma maneira de se “casar” o sinal a ser transmitido com o meio de propagação das ondas eletromagnéticas. O meio de propagação pode ser o espaço livre (ionosfera – parte superior da camada atmosférica), uma linha de transmissão (um par trançado ou um cabo coaxial), uma fibra ótica, um guia de onda, etc. O processo inverso de trazer o sinal de uma faixa de frequências alta para uma faixa de frequências baixa é chamado de demodulação. De modo geral o processo de deslocamento de uma faixa de frequências para uma faixa de frequências mais alta ou para uma faixa mais baixa é chamado de conversão de frequências. Isso inclui a modulação em amplitude sem portadora, a sua demodulação, os processos de deslocamento para FI (frequência intermediária), etc. 2.

Convenções: 2.1. v(t) - sinal que se quer transmitir, também chamado de sinal modulante ou de modulador (exemplo: sinal de voz, sinal de imagem) que tem frequências baixas em relação à frequência da portadora. Freq. máxima do sinal v(t) é igual a W Hertz. 2.2. x(t) - sinal modulado, de frequências altas, função de v(t). 2.3. A cos( 2 π fc t ) - sinal da portadora ou simplesmete portadora. O valor A é a amplitude da portadora, medida usualmente em Volts; fc é a frequência da portadora em Hertz; e t é medido em segundos. 2.4. BW é a bandapassante (BandWidth) – largura de banda de frequências de um dado sinal. A bandapassante é medida somente de um lado (positivo) no eixo das frequências. Quando o sinal tem baixas frequências, incluindo frequências próximas de zero, a BW do sinal vai de zero até a sua maior frequência (W). Nesse caso BW = W. Quando o sinal tem uma faixa de frequências que se estende de f1 (menor) a f2 (maior), f2 > f1 >> 0, tem-se BW = f2 - f1. Então, no caso presente de modulação em amplitude, BW de v(t) é igual a W e a bandapassante (BW) de x(t) será igual a B (a ser definida posteriormente), pois irá de um valor f1 até um valor f2. Afim se ter modulação deve-se ter fc > 2W. Na verdade, nos casos práticos, deve-se ter fc >> 2W.

1

3.

Modulações em Amplitude Na modulação em amplitude, o sinal modulado x(t) tem sua amplitude variando linearmente proporcional à amplitude do sinal modulante v(t). A modulação em amplitude pode ser feita de diversas maneiras, entre elas: 3.1 DSB (Double Side Band) ou DSB/SC (DSB com supressão de portadora – SC significa “Suppressed Carrier” ) 3.2 AM ( Amplitude Modulation) ou DSB/LC ( DSB com portadora – LC significa “Large Carrier”). O termo “Large” vem do fato que a potência na frequência da portadora é muito maior do que a do sinal v(t) modulado sem a portadora, como será visto adiante. 3.3 SSB ( Single Side Band) Usada em multiplex analógico e nas transmissões de Radiocidadão. pode ter ou não portadora. Logo tem-se também: SSB/SC e SSB/LC. 3.4 VSB (Vestigial Side Band) Usada para modulação de sinais de vídeo. Poderia ser vista como uma generalização de SSB.

A Seguir são descritas as técnicas dos diversos tipos de modulação em amplitude e suas respectivas demodulações: 4.

Modulação e demodulação DSB: Nesse tipo de modulação em amplitude o sinal modulado varia proporcional à amplitude do sinal de informação, ou seja, é uma modulação linear.

4.1 Processo de modulação e demodulação DSB Modulação e demodulação em amplitude (DSB) A modulação DSB, isto é, a multiplicação do sinal de baixas frequências v(t) por uma portadora (sinal de alta frequência), translada o espectro de frequências de v(t) para uma faixa bem mais alta situada entre f1 = (fc – W) e f2 = (fc + W), ou seja, a bandapassante será: BW = B = (fc + W) – (fc – W) = 2W Hertz A expressão que representa essa modulação é dada pela Equação 1, onde A e fc são valores constantes. x(t) = A v(t) cos(2 π fc t)

(1)

Nessa modulação, o sinal modulado pode ter sua amplitude alterada diretamante pelo ruido aditivo que é a mais comum das interferências em sistema de comunicação. Em termos de 2

gráfico no tempo e na frequência vemos na Figura 1 o sinal v(t) como uma cossenoide de baixa frequência; a portadora assim como o sinal modulado resultante xDSB(t) nas escalas de tempo. Na Figura 2(a) temos outro sinal v(t) representando uma sequência de pulsos onde o bit 0 é simbolizando com o valor de 0,1 Volt e o bit 1 com o valor 1 Volt. Vemos também na Figura 2, o sinal modulado. A portadora usada na modulação dos pulsos binários é a mesma representada na Figura 1 (b). 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Figura 1 (a) - Sinal cossenoidal modulante v(t)

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Figura 1 (b) Sinal Cossenoidal da portadora

0.25

0.3

0.35

A cos(2 pi fc t)

3

2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

0

0.05 Figura 1 (c) -

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Sinal v(t) modulado xDSB (t)

1.5

1

0.5

0

-0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Figura 2 (a) Sequência binária v (t)

0.25

0.3

4

2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Figura 2 (b) - Sequência binária modulada em amplitude

A simbologia do processo de modulação é mostrada na Figura 3.

xDSB (t) = A v(t) cos(2 π fc t )

v(t) X

A cos(2 π fc t ) Figura 3 – Transmissão: Processo de modulação DSB 5

Um sinal genérico v(t) e o modulado xDSB(t) estão representados na escala de frequências por V(f) e XDSB(f) como mostrado na Figura 4. Conforme visto nessa Figura 1a, o sinal v(t) tem frequência máxima igual a W, considerada frequência baixa; enquanto o sinal modulado xDSB(t) tem frequências altas, considerando-se que fc >> W. A faixa de frequências do sinal modulado vai de fc - W a fc + W, fazendo com que a banda passante seja igual a 2 W. Nesse caso, conforme convenção do item 2, B = 2 W.

V(f)

Y(f) A

1

2

f (Hz) -W

0

W

(a)

fc

0 (b)

Figura 4 – Espectro de frequência (a) do sinal modulante v(t)

V(f )

f (Hz) fc

(b) do sinal modulado xDSB(t)

Observação: Quando o processo de modução é uma transferência de uma faixa de frequências alta para outra faixa, mais baixa ou mais alta que a original, chamamos esse processo de translação ou conversão de frequências. 4.2 Demodulação DSB: Uma perfeita demodulação DSB, isto é, a perfeita restauração de v(t) só pode ser feita com o demodulador (receptor) sincronizado (synchronized) com o modulador (transmissor), isto é, deverá existir no demodulador, um sinal de portadora cuja frequência e fase sejam idênticos ao do sinal de portadora gerado no transmissor. Caso contrário haverá distorção do sinal demodulado. Dessa forma, o gerador de ondas no modulador ter que gerar um sinal de portadora idêntico ao gerado no transmissor. A demodulação é feita da mesma maneira que a modulação, por deslocamento do espectro, ou seja, por multiplicação do sinal modulado xDSB(t) na escala de tempo pelo sinal de portadora gerado no receptor, conforme mostrado na Figuras xxx e yyy.

6

x(t) = A v(t) cos(2 π fc t )

y(t) = C x(t) cos(2 π fc t )

Filtro Passa baixa BW= W

X

k v(t)

C cos(2 π fc t ) Figura xxx - Processo de demodulação síncrona DSB

x(t) = A v(t) cos(2 π fc t )

v(t)

X

propagação no espaço livre

A cos(2 π fc t )

x’(t)

y(t)

X

Filtro Passa baixa BW= W

k v(t)

C cos(2 π fc t )

Figura yyy - Caracterização da transmissão DSB no espaço livre desde o transmissor até o receptor:

4.2.1 Demodulação DSB com sincronismo: x’(t) = A’ v(t)

cos( 2 π fc t )

onde A’ é uma constante e representa o valor atenuado de A, devido ao processo de propagação do sinal desde o transmissor até o receptor, sem levar em conta o ruido aditivo, comum no processo de transmissão. y(t) = x’(t) C cos( 2 π fc t ) y(t) = A’ v(t) cos( 2 π fc t ) C cos( 2 π fc t ) y(t) = A’ C v(t)

[ 1 + cos( 2 π 2 fc t ) ] / 2

onde A’ e C são constantes positivas quaisquer.

Espectro de y(t):

7

Espectro do sinal y(t) Y(f) f (Hertz)

-2fc-W

-2fc

-2fc+W

-W

0

W

2fc-W

2fc

2fc+W

Após a filtragem passa baixa ideal, que deixa o espectro intacto entre –W e W e corta o restante, teremos:

Sinal

de mod ulado =

A'.C 2

v(t)

De acordo com a Figura zzz que mostra o processo de demodulação, teremos que k = A.C / 2.

4.2.2 Demodulação DSB sem sincronismo Caso o gerador de ondas da portadora do transmissor não tenha a mesma fase e frequência do gerador do receptor, teremos distorção, conforme será visto a seguir. Suponha que não tivéssemos sincronismo no receptor, ou seja, a portadora tivesse a expressão C cos[ 2 π (fc + ∆f ) t + θ ] onde está se supondo que existe uma diferença entre as frequências de portadoras do transmissor e do receptor, caracterizada pelo desvio ∆f e também que as portadoras estão defasadas uma da outra de um valor θ. Com essa expressão estamos caracterizando o fato de não se conseguir na prática, dois osciladores com idênticas frequências de oscilação. Por exemplo, se desejassemos usar uma transmissão com frequência de 1 Mhertz, e caso tivéssemos um oscilador com frequência igual a 1,008 MHz e outro com uma frequência de 1,0005 MHz, isso produziria um ∆f de 7,5 kHz o que já causaria um grande problema de demodulação como veremos a seguir. A defasagem entre as portadoras, conforme será visto, só causa atenuação, o que pode ser restaurada por um amplificador.

8

Usando então um ∆f ≠ 0

e θ≠0

teríamos no receptor:

y(t) = C x(t) cos[ 2 π (fc + ∆f ) t + θ ] y(t) = A' v(t) cos( 2 π fc t )

y(t) =

A' C v(t) 2

C

cos[ 2 π (fc + ∆f ) t + θ ]

{cos[ 2 π ∆f

t + θ] + cos[2 π (2 f C + ∆f ) t + θ]}

Espectro do sinal y(t) sem sincronismo no receptor Y(f) f (Hertz)

-2fc-∆f

-W-∆f -W -W+∆f

0

W W+∆f W-∆f

2fc+∆f

Note que o espectro em torno do DC (frequência zero), que deveria ser o espectro de v(t) é a soma dos espectros mostrados na figura que aparecem sem ser somados, para melhor compreensão. A Figura zzz mostra o espectro de Y(f) onde em frequências baixas houve a soma dos espectros de V(f) deslocados de ∆f.

Y(f)

f (Hertz)

-2fc-∆f

-W-∆f -W -W+∆f

0

W W+∆f W-∆f

2fc+∆f

Figura zzz - Espectro de frequências do sinal y(t), antes do filtro passa baixa 9

Após a filtragem passa baixa ideal, que deixa o espectro intacto entre –W e W e corta o restante do conteudo de frequências, teríamos um espectro conforme mostrado na Figura vvv.

f (Hertz) W

W

Que é um espectro totalmente diferente do espectro do sinal v(t), ou seja, teríamos: I

Sinal

de mod ulado =

A .C 2

v(t)

cos [2.π.∆f .t + θ ]

O que representa um v(t) com distorção produzida pela modulação de v(t) numa frequência ∆f. Filtro pasa baixas usado para a demodulação do sinal Magnitude Response Estimate 2 1 0

Magnitude (dB)

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 0

0.05 0.1 Normalized Frequency (×π rad/sample)

0.15

10

n=10 Lowpass Elliptic Filter

Magnitude (dB)

0 -20 -40 -60 -80

0

10

20

30

40 50 60 Frequency (Hz)

70

80

90

100

0

10

20

30

40 50 60 Frequency (Hz)

70

80

90

100

Phase (degrees)

0 -200 -400 -600 -800

Sinal modulador (informação) de 10 Hz

2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

11

Sinal de 10 Hz modulado por uma portadora em 100 Hz 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Multiplicação por uma cossenoide de fequência igual a 100 Hz

2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

12

Demodulação por uma cossenoide de fequência igual a 100 Hz 1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Multiplicação por uma cossenoide de fequência igual a 101 Hz

2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Demodulação por uma cossenoide de fequência igual a 101 Hz 13

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Demodulação por uma cossenoide de fequência igual a 100 Hz e fase π/4

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Demodulação por uma cossenoide de fequência igual a 100 Hz e fase π/2 14

0.1

0.05

0

-0.05

-0.1

-0.15

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Demodulação por uma cossenoide de fequência igual a 10 Hz e fase π/4

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

O processo de demodulação síncrona DSB é realizado conforme mostra a Figura 5.

15

y(t) X

xDSB (t) = A v(t) cos(2 π fc t )

Filtro Passa Baixa H(f) BW = W

z(t) =

AC 2

v(t)

C cos(2 π fc t ) Figura 5 – Recepção: Processo de demodulação síncrona DSB

A expressão de y(t) é dada por:

⎛ 1 + cos (2 π 2f C t ) ⎞ y(t) = A . C . v(t) . cos 2 (2 π f C t ) = A . C . v(t) . ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ y(t) =

A.C A.C . v(t) + . v(t) . cos (2 π f C t ) 2 2

(2)

(3)

Após a filtragem passa baixa ideal, tem-se como resultado:

z(t) =

A.C . v(t) 2

Na figura 6 tem-se o espectro de y(t) e a resposta em frequências H(f) do filtro ideal. Na Figura 7 tem-se o resultado do processo de demodulação.

Y(f)

AC 2

- 2 fc

-W

0 (a)

W

H(f) V(f )

1 f (Hz) 2 fc

f (Hz) -W

0

W

(b)

Figura 6 – (a) Espectro de potência do sinal y(t) (b) Resposta em frquência do filtro ideal

16

AC 2

V(f )

f (Hz) -W 0 W Figura 7 - Resultado da demodulação síncrona

4 – Demodulação DSB sem sincronismo Na Figura 8 representa-se o processo de demodulação DSB onde o transmissor e o receptor não estão em sincronismo, isto é, a frequência da portadora (oscilador) do receptor é um pouco diferente da frequência (oscilador) do transmissor. Nessa Figura vê-se também o desvio de frequência ∆f da frequência do transmissor fc e uma fase θ ambos considerados como valores constantes.

y(t) X xDSB (t) = A v(t) cos(2 π fc t )

Filtro Passa Baixa H(f) BW = W

v*(t)

C cos[ 2 π (fc + ∆f ) t + θ ] Figura 8 – Recepção: Processo de demodulação DSB sem sincronismo

O sinal obtido após a multiplicação pelo sinal do oscilador na recepção que está des-sincronizado do oscilador do transmissor é dado por y(t) = A . C . v(t) . cos(2 π f C t ) . cos[2 π(f C + ∆f ) t ] =

y(t) =

A.C . v(t) { cos (2 π ∆f t + θ) + cos [2 π (2f C + ∆f ) t + θ] } 2

(4)

cuja representação na frequência está mostrada na Figura 9.

17

Y(f) f (Hz) -2fc-∆f

-W-∆f 0 -W+∆f

W W+∆f W-∆f

2fc+∆f

Figura 9 - Representação do sinal y(t) na frequência na demodulação sem sincronismo

A saida após o filtro passa baixa ideal será:

v* (t) =

A.C . v(t) . cos (2 π ∆f t + θ ) 2

(5)

estando o sinal demodulado sem sincronismo ( v*(t) ) representado em frequências na Figura 10, considerando-se θ = 0. V*(f)

f (Hz) -W 0 W Figura 10 - Resultado da demodulação sem sincronismo

Observa-se através da equação 5 ou pela representação mostrada na Figura 10 que o sinal demodulado é diferente do sinal v(t), ou seja, na demodulação o sinal v(t) aparece multiplicado por uma cossenoide de frequência ∆f, embora supondo de valor baixo, causa distorção do sinal recuperado. Caso ∆f seja zero, ou seja, a frequência do transmissor e do receptor fossem idênticas, terámos ainda uma fase θ, que se considerada constante, causaria apenas atenuação do sinal recuperado que não representaria, nesse caso, distorção. Com ∆f diferente de zero teremos distorção. 18

4.3 Geração de DSB:

4.3.1 Por chaveamento: Seja a forma de onda de v(t) dada abaixo

v(t)

t

Se passarmos v(t) por um circuito que deixa v(t) intacta durante τ segundos e corta v(t), isto é, torna a saida zero durante um intervalo de tempo T-τ, e faz isso sucessivamente, intervalo após outro, teremos a forma de onda mostrada abaixo:

v(t)

0τ

T

t

O espectro de frequências desse sinal chaveado ficará como mostrado abaixo, onde aparecerão componentes em torno de múltiplos de 1/T sem distorção, apenas com atenuação. A frequência escolhida para transmissão terá que ser um desses múltiplos de 1/T, ou seja, fc = n/T. E para sew obter o sinal modulado basta passar o sinal chaveado por filtro passa banda com frequência central em fc e banda passante igual a 2 W.

19

Espectro do sinal chaveado

f (Hertz)

-4/T

-3/T

-2/T

-1/T

-W 0 W

1/T

2/T

3/T

4/T

Circuito típico de chaveamento:

Supondo: |v(t)| <1 e A >> 10, a saida ficará chaveada com frequência igual a fc +

+ v(t)

v(t) chaveado -

+

-

A cos(2 π fc t) 4.3.2

Dispositivo não-linear:

Caso o sinal modulante v(t) somado a portadora passe por um dispositivo não linear da forma:

v(t)

+

x(t)

Dispositivo não linear

y(t) = a x(t) + b x2 (t)

A cos ( 2 π fc t)

20

Teremos:

y(t) = a [v(t) + A cos(2 π fc t) ] + b [v(t) + A cos(2 π fc t) ]2

y(t) = a [v(t) + A cos(2 π fc t) ] + + b [ v2(t) + A2 cos2(2 π fc t) + 2 v(t) A cos(2 π fc t) ] Fazendo-se uma filtragem passa banda com frequência central em fc e banda passante igual a 2 W, teremos: xDSB(t) = 2 b A v(t) cos(2 π fc t), que é o sinal modulado em DSB. 4.3.3

Por amplificadores diferenciais:

Circuitos que utilizam amplificadores diferenciais podem ser usados para se obter uma modulação DSB ou AM ( a ser vista adiante). Vide integrados MC 1496 e MC 1596 – moduladores balanceados – usados nas esperiências de Eletrônica IV.

4.4 Potência de tansmissão A potência de transmissão Px do sinal DSB será:

Px =

A

2

2

Pv

onde Pv é a potência ( ou energia ) de v(t). Costuma-se convencionar para DSB que ⏐x(t)⏐≤ 1 ∀ t Dessa forma, a potência de transmissão depende fortemente do valor de A, ou seja, quanto maior esse valor maior será a potência transmitida.

5.

Modulação e demodulação AM (DSB/LC) Idênticamente a modulação DSB, esse tipo de modulação é linear com o sinal modulante mas a maior parte da potência de transmissão está no sinal da portadora

21

5.1 Processo de modulação AM Na modulação DSB, o sinal modulado x(t) tinha a seguinte expressão: xDSB(t) = C v(t) cos( 2 π fc t ) onde C é uma constante positiva qualquer. No caso de AM, além da modulação DSB, acrescenta-se um sinal de portadora, de alta potência, como se fosse um sinal piloto para que o receptor utilize-ocomo referência na demodulação. Então o sinal x(t) modulado em AM terá a seguinte expressão: xAM(t) = C v(t) cos( 2 π fc t ) + A cos( 2 π fc t ) [ sinal da portadora de alta potência] Essa expressão pode ser colocada da seguinte forma: xAM(t) = [ C v(t) + A ] cos( 2 π fc t ) Para que tenhamos um sinal modulado em AM, a desigualdade abaixo tem que ser sempre obedecida: C v(t) + A ≥ 0 ∀t Isso quer dizer que a envoltória da modulação tem que ser sempre positiva, para que se possa demodular o sinal AM sem a necessidade de sincronismo, como veremos a seguir.

5.2 Gráficos no tempo e nas frequências do sinal modulado:

v(t) (Volts) V(f) t (seg) -W

0

W

f (Hertz)

22

A + C v(t)

envoltória

DC: A δ(f)

A

C V(f) t (seg) -W

xAM(t)

0

f (Hertz)

W

envoltória cos( 2 π fc t )

A/2 δ(f- fc)

A

C V(f- fc) 2 -fc

t (seg)

0

fc-W fc

fc+W

f (Hertz)

BW=2W

-A

Nas figuras acima temos o sinal de informação v(t) e seu espectro de frequências; temos o sinal v(t) com o DC modificado pelo valor da amplitude da portadora ( A ) de tal forma que a envoltória, que é o sinal v(t), fique sempre positiva. Na figura também mostra-se o espectro de frequências dessa envoltória (sinal v(t) + o novo DC igual a A Volts). Na figura seguinte (ainda acima) temos o sinal modulado AM representado na escala de tempo e seu espectro de frequências, onde o sinal DC da envoltória foi deslocado para a frequência da portadora. Comparando o sinal AM na escala de tempo, com o sinal DSB também na escala de tempo, vemos que a parte positiva do eixo de tensão do sinal AM (envoltória) é igual ao sinal de informação (sinal modulante) v(t). Já no caso de DSB, a envoltória não corresponde ao sinal v(t). 5.3 Diagrama de blocos da modulação AM:

C v(t)

C v(t) cos( 2 π fc t )

x(t) = [ C v(t) + A ] cos( 2 π fc t )

+

X

A cos(2 π fc t )

A X

cos(2 π fc t )

oscilador

23

Na modulação AM assim como na DSB, a bandapassante necessária para se transmitir o sinal modulado x(t) é o dobro da bandapassante do sinal modulante v(t), isto é, BW = 2W. 5.4 Índice de modulação AM Na modulação AM a forma de onda do sinal modulado tem o aspecto mostrado abaixo, onde MAX e MIN correspondem respectivamente ao máximo e mínimo da envoltória (sinal C v(t) somado com o DC de valor A):

Volts

MAX da envoltória MIN da envoltória

A

senoide com frequência e fase da portadora t (seg)

-A

Por definição, o índice de modulação m é dado por: m=

MAX − MIN MAX + MIN

onde m ≤ 1

Esse índice é um valor positivo, menor ou igual a 1 e é normalmete colocado em termos de proporção. Quanto menor esse valor, maior será o valor de A em relação à excursão do sinal v(t), ou seja, maior será a potência de transmissão do sistema AM. Quando o sinal v(t) = a cos( 2 π fm t), com C = 1, teremos como sinal modulado a expressão: x(t) = [ a cos( 2 π fm t) + A ] cos( 2 π fc t) É claro que a < A

e

fm << fc .

Nesse específico caso, MAX = A + a

e MIN = A – a,

logo m = a/A 5.5 Figura de Lissajous do sinal modulado

24

Se colocarmos o sinal modulado xAM(t) na entrada horizontal de um osciloscópio e o sinal de informação v(t) na vertical desse osciloscópio, teremos a seguinte figura de Lissajous: MAX

Varredura Vertical

Volts A

MIN

t (seg) Varredura Horizontal

-A

v(t) em Volts

t (seg)

25

Modulação em frequência e em fase – FM e PM Nesse tipo de modulação o sinal a ser modulado altera a frequência (FM) ou a fase (PM) do sinal da portadora. A vantagem de se enviar sinal modulado em FM ou PM é que o ruido interferente influe muito menos na frequência ou na fase do que na amplitude da portadora, como é o caso de modulação em amplitude (AM, DSB, SSB ou VSB). Por outro lado, o processo de realização da modulação em fase ou frequência é muito mais complexo e menos linear do que o da modulação em amplitude. A expressão do sinal modulado em fase é dada pela Equação 6

x PM (t) = A cos [2 π f C t + k f v(t) ]

(6)

onde kp é uma constante chamada de índice de modulação PM. Nessa modulação, a portadora tem amplitude constante igual a A e a fase da portadora é modificada diretamente pelo sinal modulante v(t). No entanto a frequência da portadora também é modificada pela variação de v(t), ou seja, a frequência é indiretamente modificada. Quando a frequência da portadora é modificada diretamente pelo sinal modulante tem-se a modulação FM. Na modulação FM tem-se também modificação da fase da portadora mas essa é feita de maneira indireta. A expressão da modificação da frequência da portadora (modulação FM) é dada pela expressão 7

f MOD = f C + 2 π k f v(t)

(7)

onde fMOD é a frequência da portadora modificada. As expressões matemáticas das modulações PM e FM são colocadas a seguir. tem-se a expressão 6 que é repetida abaixo.

x PM (t) = A cos [2 π f C t + k p v(t) ]

Para PM

(6)

A fase total instantânea da portadora PM é dada por:

θiPM (t) = 2 π f C t + k p v(t)

(8)

A frequência instantânea, ou seja, função do tempo na modulação PM é dada pela expressão 9 abaixo.

f iPM (t) =

d 1 d PM 1 ⎧ d ⎫ ⎡⎣θi (t) ⎤⎦ = ⎨2πf C t + k p [ v(t)]⎬ = 2πf C + k p [ v(t) ] dt 2π dt 2π ⎩ dt ⎭

(9)

Na modulação FM, a frequência instantânea é diretamente proporcional ao sinal v(t), obtém-se então a seguinte expresão: 26

f iFM (t) = f C + k f v(t)

(10)

onde kf é uma constante chamada de índice de modulação FM. instantânea será dada por:

θiFM (t) = 2 π ∫ f iFM (t) dt = 2 π f C t + 2 π k f

∫ v(t)

Nesse caso a expressão da fase

dt

(11)

resultando então na expressão do sinal modulado como:

x FM (t) = A cos [2 π f C t + 2 π k f

∫ v(t) dt

]

(12)

Na Figura 10 mostram-se os sinais: (a) modulado em PM, (b) o mesmo sinal quando somado a um ruido branco e (c) os sinais original e recuperado após a demodulação. 1 S in a l m o d u la d o e m fa s e 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0 . 2 -0 . 4 -0 . 6 -0 . 8 -1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(a) 2 S in a l m o d u la d o e m fa s e m a is ru id o b ra n c o 1.5

1

0.5

0

-0 . 5

-1

-1 . 5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(b) 27

2 Sinal original Sinal recuperado pós demodulação em fase

1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(c) Figura 10 – Sinal (a) modulado em PM, (b) sinal modulado somado a um ruido branco e (c) os sinais original e recuperado após a demodulação. Na Figura 11 mostram-se os sinais: (a) modulado em FM, (b) o mesmo sinal quando somado a um ruido branco e (c) os sinais original e recuperado após a demodulação. 1 S inal m odulado em frequênc ia 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(a)

28

(a) 1.5 Sinal modulado em frequência mais ruido branco

1

0.5

0

-0.5

-1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(b) 3 S inal original S inal rec uperado pós dem odulaç ão em frequênc ia 2

1

0

-1

-2

-3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(c) Figura 11 – Sinal a) modulado em FM, (b) sinal modulado somado a um ruido branco e (c) os sinais original e recuperado após a demodulação.

29