Com Pi Ti 2006

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Corso di Elaborazione Statistica dei Segnali (6 CFU) Prova scritta 07.02.2006

Tempo a disposizione 2 ore. Non e` possibile consultare libri n´e appunti. Completezza delle risposte, chiarezza e sinteticit`a espositiva sono elementi di valutazione della prova scritta.

Ex. 1 Si considerino gli osservabili Y (n) = A cos(2πν0 n + ϕ) + W (n) = A cos(ϕ) cos(2πν0 n) − A sin(ϕ) sin(2πν0 n) + W (n) | {z } | {z } θ(0)

θ(1)

con W(n) e` AWGN. Mostrare che gli osservabili sono modellabili come Y = Hθ + W

(modello lineare)

e determinare la matrice d’osservazione H. Determinare lo stimatore ML θ ed analizzarne le prestazioni. Determinare inoltre lo stimatore ML di   A α , ϕ

Ex. 2 Si consideri il seguente problema di rivelazione binaria:  H1 : Y = X 1 + W H0 : Y = X 0 + W ove W e` AWGN di potenza nota σ 2 , X1 e X0 sono due vettori gaussiani indipendenti dal rumore, precisamente si ha: X0 ∼ N(0, C0 )

X1 ∼ N(0, C1 )

Determinare la struttura del Rivelatore ottimo secondo NP. Mostrare che il ricevitore e` interpretabile come un ricevitore a correlatori che correla il segnale osservato con stime dei segnali utili.

1

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Corso di Elaborazione Statistica dei Segnali (6 CFU) Prova scritta 16.02.2006

Tempo a disposizione 2 ore. Non e` possibile consultare libri n´e appunti. Completezza delle risposte, chiarezza e sinteticit`a espositiva sono elementi di valutazione della prova scritta.

Ex. 1 Si deve stimare la frequenza ν di una sinusoide a partire dalla sua versione rumorosa: Y (n) = AR cos[2πνn + Θ] + W (n) ove: 1 W (n) e` AWGN di potenza σ 2 nota; 3 AR e` un parametro positivo noto; 4 Θ e` una v.a. U(0, 2π) indipendente da W (n). Determinare lo stimatore ML di ν.

Ex. 2 In un sistema radar, allo scopo di migliorare la rivelazione, si trasmettono N impulsi opportunamente distanziati (diversit`a temporale). In ricezione si opera in due stadi: innanzi tutto si prendono le N decisioni relative ai singoli ritorni e successivamente si combinano tali decisioni. Lo stadio di combinazione comporta il seguente test: n = 0, 1, . . . , N − 1, m = 0, 1

Hm : Y (n) v.a. iid B(1, pm )

ove p0 e p1 sono rispettivamente la probabilit`a di falso allarme e quella di rivelazione relative alla decisione sul singolo impulso. Determinare la regola di combinazione ottima ed analizzarne le prestazioni.

2

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Corso di Elaborazione Statistica dei Segnali (6 CFU) Prova scritta 21.02.2006

Tempo a disposizione 2 ore. Non e` possibile consultare libri n´e appunti. Completezza delle risposte, chiarezza e sinteticit`a espositiva sono elementi di valutazione della prova scritta.

Ex. 1 Si considerino gli osservabili N = 0, 1, . . . N − 1

Y (n) = X + W (n)

ove W (n) e` AWGN di potenza nota ed X e una v.a. Ex(λ) indipendente da W. Determinare lo stimatore MAP di X.

Ex. 2 Si consideri la trasmissione di uno tra M segnali xm , precisamente il segnale ricevuto e` : Hm :

m = 0, 1, . . . M − 1 su canale AWGN incoerente;

Y (n) = AR cos(2πνm n + Θ) + W (n)

m = 0, 1, . . . M − 1

ove: 1 W (n) e` AWGN di potenza σ 2 nota; 2 νm ,

m = 0, 1, . . . M − 1 sono frequenze note armoniche di 1/N ;

3 AR e` un parametro positivo non noto; 4 Θ e` una v.a. U(0, 2π) indipendente da W (n). Stabilire se esiste il ricevitore uniformemente ML rispetto al parametro non noto AR , altrimenti determinare il ricevitore secondo il criterio della massima verosimiglianza generalizzata.

3

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Corso di Elaborazione Statistica dei Segnali (6 CFU) Prova scritta 02.03.2006

Tempo a disposizione 2 ore. Non e` possibile consultare libri n´e appunti. Completezza delle risposte, chiarezza e sinteticit`a espositiva sono elementi di valutazione della prova scritta.

Ex. 1 Sia X(n) un segnale aleatorio SSL a media nulla e funzione di autocovarianza: 2

cXX (m) = σ 2 ρm

Determinare il predittore LMMSE di ordine 2 del campione corrente X(n) e valutarne valutarne le prestazioni (valore ms dell’errore di stima). Particolarizzare il risultato per ρ = 0, 9

Ex. 2 Si consideri la trasmissione di uno tra M segnali xm , m = 0, 1, . . . M − 1 su un canale additivo; il segnale ricevuto vale: Hm : Y (n) = xm (n) + W (n) m = 0, 1, . . . M − 1 ove W (n),

n = 0, 1, . . . N − 1 sono v.a. iid di tipo Laplace, aventi cio`e pdf:   |x| 1 , a>0 exp − fW (x) = 2a a

(rumore di tipo Laplace di potenza nota). Determinare i ricevitori MAP e ML. Stabilire se il ricevitore ML e` un ricevitore a minima distanza secondo un’opportuna metrica.

4

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Corso di Elaborazione Statistica dei Segnali (6 CFU) Prova scritta 09.03.2006

Tempo a disposizione 2 ore. Non e` possibile consultare libri n´e appunti. Completezza delle risposte, chiarezza e sinteticit`a espositiva sono elementi di valutazione della prova scritta.

Ex. 1 Enunciare il Teorema dell’ Invertibilit`a. Utilizzare tale teorema per derivare lo stimatore ML di θ nel caso di modello lineare: Z ∼ N(0, CZ )

Y = Hθ + Z, Valutare le prestazioni di tale stimatore.

Ex. 2 Si consideri la rivelazione di un segnale in AWGN di potenza non nota; Precisamente: H1 : Y H0 : Y

= AR p + W = W

ove AR e` un parametro reale positivo non noto. Stabilire se esiste un test UMP.

5

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Corso di Elaborazione Statistica dei Segnali (6 CFU) Prova scritta 29.03.2006

Tempo a disposizione 2 ore. Non e` possibile consultare libri n´e appunti. Completezza delle risposte, chiarezza e sinteticit`a espositiva sono elementi di valutazione della prova scritta.

Ex. 1 Siano

   Yn =  



Yn (0) Yn (1) .. .

   ∼ N(0, Σ), 

n = 0, 1, . . . N − 1

Yn (M − 1) N vettori aleatori gaussiani iid, con matrice di covarianza diagonale, i.e., 2 Σ = E[Yn YnT ] = diag(σ02 , . . . , σM −1 )

n = 0, 1, . . . N − 1

Determinare lo stimatore ML di Σ e valutarne la polarizzazione.

Ex. 2 Sia

 Y=

Y (0) Y (1)



∼ N(0, M)

un vettore aleatorio gaussiano reale con vettore delle medie nullo e matrice di covarianza   1 0, 5 M= . 0, 5 1 Determinare una trasformazione lineare A tale che W = AY sia un vettore aleatorio a componenti indipendenti.

6

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Corso di Elaborazione Statistica dei Segnali (6 CFU) Prova scritta 15.06.2006

Tempo a disposizione 2 ore. Non e` possibile consultare libri n´e appunti. Completezza delle risposte, chiarezza e sinteticit`a espositiva sono elementi di valutazione della prova scritta.

Ex. 1 Sia X(n) un segnale aleatorio SSL a media nulla e funzione di autocovarianza: 2

cXX (m) = σ 2 ρm

Determinare il predittore LMMSE di ordine 2 del campione corrente X(n) e valutarne valutarne le prestazioni (valore ms dell’errore di stima normalizzato a σ 2 ) in dB. Particolarizzare il risultato per ρ = 0, 95

Ex. 2 Sia

 Y=

Y (0) Y (1)



∼ N(0, C)

un vettore aleatorio gaussiano reale con vettore delle medie nullo e matrice di covarianza   1 0, 8 C= . 0, 8 1 Determinare la Trasformazione di Karnounen Loeve (KLT), cio`e la trasformazione decorrelante, del vettore Y. Discutere gli eventuali necessari cambiamenti qualora il vettore Y non fosse gaussiano.

7

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Corso di Elaborazione Statistica dei Segnali (6 CFU) Prova scritta 13.07.2006

Tempo a disposizione 2 ore. Non e` possibile consultare libri n´e appunti. Completezza delle risposte, chiarezza e sinteticit`a espositiva sono elementi di valutazione della prova scritta.

Ex. 1 Siano

   Y= 



Y (0) Y (1) .. .

   

n = 0, 1, . . . N − 1

Y (N − 1) N variabil aleatorie iid con pdf:  fY (n) [y(n); θ] =

exp{−y(n) − θ} se y(n) > θ 0 se y(n) < θ

Determinare una statistica sufficiente per θ. Determinare inoltre la stima ML di θ e verificare che dipende dagli osservabili solo tramite la statistica sufficiente individuata.

Ex. 2 Si consideri il seguente test di ipotesi composte:  Y ∼ N(0, σ02 ) Y ∼ N(0, σ12 ) ove σ02 e` nota e σ12 = σ02 + σ 2 con σ) costante non nota. Stabilire se esiste un test UMP. In caso affermativo determinare le ROC, altrimenti determinare il GLRT e valutarne le prestazioni.

8

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Corso di Elaborazione Statistica dei Segnali (6 CFU) Prova scritta 04.09.2006

Tempo a disposizione 2 ore. Non e` possibile consultare libri n´e appunti. Completezza delle risposte, chiarezza e sinteticit`a espositiva sono elementi di valutazione della prova scritta.

Ex. 1 Ex. 1 Si considerino gli osservabili: Y (n)

n = 0, 1 . . . N − 1

ove Le Y (n) sono v.a. IID binomiali B(L, p) con L noto. Determinare lo stimatore MVU di p ed analizzarne le prestazioni. Stabilire inoltre se tale stimatore e` consistente e/o efficiente.

Ex. 2 Si consideri il seguente problema di rivelazione binaria:   H1 : Y = Hp + W  H0 : Y = W ove W e` AGN a media nulla e matrice di covarianza C ed H e` una matrice N × K, con N > K di rango K. Derminare il ricevitore ottimo NP nell’ipotesi C = σ 2 I con I matrice identica e valutarne le prestazioni. Estendere l’analisi, utilizzando il teorema dell’invertibilit`a, al caso di C arbitraria.

9

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Corso di Elaborazione Statistica dei Segnali (6 CFU) Prova scritta 30.09.2006

Tempo a disposizione 2 ore. Non e` possibile consultare libri n´e appunti. Completezza delle risposte, chiarezza e sinteticit`a espositiva sono elementi di valutazione della prova scritta.

Ex. 1 Ex. 1 Si deve stimare la frequenza ν di una sinusoide a partire dalla sua versione rumorosa: Y (n) = AR cos[2πνn + Θ] + W (n) ove: 1 W (n) e` AWGN di potenza σ 2 nota; 3 AR e` un parametro positivo noto; 4 Θ e` una v.a. U(0, 2π) indipendente da W (n). Determinare lo stimatore ML di ν. Stabilire inoltre cosa cambia se anche AR e` non noto.

Ex. 2 Si consideri la rivelazione di un segnale antipodale distorto in AWGN; precisamente si ha: Hm : Y (n) = (−1)m AR p(n) ∗ h(n) + W (n),

n = 0, 1, . . . N − 1

m = 0, 1

ove AR e` una costante positiva non nota, p(n) n = 0, 1, . . . K − 1 e` una segnale noto e h(n),

n = 0, 1, . . . L − 1

e` la risposta impulsiva del canale distorcente, anch’essa nota. Determinare: • la lunghezza N del segnale utile ricevuto; • il ricevitore chiaroveggente ML; • le prestazioni di tale ricevitore. Stabilire infine se il esiste il ricevitore uniformemente ML e, in caso negativo, sintetizzare il ricevitore ML generalizzato.

10

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Corso di Elaborazione Statistica dei Segnali (6 CFU) Prova scritta 08.11.2006

Tempo a disposizione 2 ore. Non e` possibile consultare libri n´e appunti. Completezza delle risposte, chiarezza e sinteticit`a espositiva sono elementi di valutazione della prova scritta.

Ex. 1 Si definisce u-quantile di una v.a. X il numero reale Xu che non e` superato con probabilit`a u e superato con probabilit`a 1 − u. Determinare lo stimatore ML di Yu relativo ad una v.a. esponenziale a partire dagli osservabili: Y (n),

n = 0, 1, . . . N − 1

v.a. iid

Ex(λ)

verificare se e` efficiente ed analizzarne le prestazioni. Stabilire inoltre quale dei seguenti stimatori, a parit`a di osservabili, ha prestazioni migliori • Stimatore del 10 quantile (X0.25 ) • Stimatore del valore mediano (X0.50 ) • Stimatore del 30 quantile (X0.75 ).

Ex. 2 Ex. 2 Si consideri il seguente test di ipotesi composte:  H1 : Y ∼ N(0, σ12 I2 ) H0 : Y ∼ N(0, σ02 I2 ) ove I2 e` la matrice identica di ordine 2, σ02 e` nota e σ12 = σ02 + σ 2 con σ 2 parametro non noto. Stabilire se esiste un test UMP. In caso affermativo determinare le ROC, altrimenti determinare il GLRT e valutarne le prestazioni.

11