Colles Mathematiques

COLLES MATHÉMATIQUES 1)

Enoncé des propriétés d’ ∩,∪ , énoncé de démonstration des lois de Morgan et des propriétés de la distributivité.

2)

Soient f:E→F et g: F→G . Si f et g sont injectives (resp. surjectives, bijectives) alors g f l’est aussi. Tentative de réciproque.

3)

Enoncé et démonstration du théorème de la réciproque d’une bijection.

4)

Définition image directe, réciproque et propriétés.

5)

Fonction caractéristique d’une partie : propriétés.

6)

Montrer que 2 est un irrationnel.

7)

Relation d’équivalence, classes d’équivalence, partition

8)

Relation d’ordre, relation d’ordre totale.

9)

Propriétés fondamentales de IN. Théorème de récurrence : énoncé, démonstration

10)

Formule du binôme de Newton. Factorisation de bn −a n , énoncé et démonstration. Somme d’une progression arithmétique, géométrique.

11)

Borne supérieure : définition, lien avec la notion de maximum. Propriété et critère de la borne supérieure.

12)

Les parties convexes de IR sont les intervalles.

13)

Enoncé de la propriété d’Archimède. Pour a > 0 donné, décomposition unique d’un réel x sous la forme x = na+ y avec n∈Ζ , et 0 ≤ y
14)

Densité de Q et de IR-Q dans IR.

15)

Définition de la convergence d’une suite réelle. La limite, si elle existe est unique.

16)

Toute suite convergente est bornée.

17)

Toute suite de nombres réels convergeant vers un nombre réel strictement positif est minorée à partir d’un certain rang par un réel strictement positif.

18)

Définition d’une suite extraite. Lien entre convergence d’une suite et convergence de ses suites extraites.

19)

Toute suite croissante et majorée ( (un), n € IN) converge et lim un (n → +∞) = sup{(un), n € IN}. Extension au cas d’une suite croissante non majorée.

20)

Suites adjacentes. Les 2 théorèmes qui suivent.

21)

Enoncés des propriétés du module. Démonstration du module d’un produit et des inégalités triangulaires, avec cas d’égalité pour la première.

22)

Définition de ℮iӨ pour Ө IR et énoncé des propriétés. Définition de l’argument d’un complexe non nul. Module et argument de 1+ ℮iӨ.

23)

Calcul de ∑cos(a+kb) et de ∑sin(a+kb) (k=0 → n).

24)

Expression de cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos(x) et sin(x).

25)

Racines nèmes de l’unité.

26)

Définition d’une fonction définie au voisinage d’un point a € IR. Limite finie en un point a € IR. La limite si elle existe est unique.

27)

Propriété vraie au voisinage de a € IR. Une fonction qui admet une limite finie en a est bornée au voisinage de a. Soit m une réel. Une application qui admet une limite l rel="nofollow">m en a € IR est minorée par m au voisinage de a € IR.

28)

Limites infinies.

29)

Somme, produit de fonctions tendant vers 0. Combinaisons linéaires et produit de fonctions admettant une limite finie.

30)

Théorèmes de composition des limites.

31)

Fonctions monotones et limites.

32)

Fonctions lipchitziennes.

33)

Théorèmes des valeurs intermédiaires (la preuve n’est pas exigible).

34)

Réciproque d’une fonction continue.

35)

Fonctions continues sur un segment (la preuve n’est pas exigible).

36)

Fonctions uniformément continues sur I. Théorème de Heine (les preuves ne sont pas exigibles).

37)

Une fonction dérivable en un point est continue en ce point. Dérivation d’une fonction composée.

38)

Définition d’une fonction de f : R → R x → (cos (x) – 1) / x

39)

f:R→R

40)

Dérivabilité d’une bijection réciproque.

41)

Formules de Leibniz.

42)

Extremum local. Théorème de Rolle.

43)

Théorème des Accroissements Finis (+autre écriture). Application à la détermination d’un équivalent de ∑ 1/k.

44)

Théorème de la limite de la dérivée : condition suffisante de dérivabilité d’une fonction en un point + exemple.

45)

Fonctions arcsinus, arcosinus : définitions, relations fondamentales.

46)

Dérivabilité et représentations graphiques de arcos, arcsin et arctan.

47)

Fonctions hyperboliques : ch, sh et th.

48)

Définition d’un sous-groupe, détermination des sous-groupes de (Z,+).

49)

Définition du noyau et de l’image d’un morphisme de groupes. Lien avec l’injectivité et la surjectivité.

50)

Image directe, image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme de groupes. Cas particuliers du noyau et de l’image.

51)

Vocabulaire des anneaux.

52)

Inégalité de convexité : énoncé et preuve du théorème. Ex : comparaison des moyennes arithmétique et géométrique.

classe

C1.

Exemple

de

la

fonction :

x → x2 sin (1/x)

53)

Caractérisation des fonctions convexes par la croissance des pentes, des cordes : énoncé du théorème. Enoncé du corollaire + exemple.

54)

Sous-espace vectoriel : définition, test, exemples.

55)

Image directe, image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire.

56)

Somme de F+G de 2 sous-espaces vectoriels. Sous-espaces supplémentaires. Somme directe : F*G.

57)

Détermination des formes linéaires sur Kn.

58)

Intersection de famille de sous-espaces vectoriels, sous-espace vectoriel engendré par une partie : cas particulier d’un ensemble fini.

59)

Théorème de la division euclidienne.

60)

Racines d’un polynômes. Lien avec la divisibilité, généralisation au cas de p racines distinctes. Majoration du nombre de racines, condition de nullité, exemples.

61)

Racines multiples. Ordre de multiplicité d’une racine. Lien avec la divisibilité, généralisation au cas de p racines distinctes. Application au nombre de racines comptées avec leur ordre de multiplicité.

62)

Définition d’un polynôme scindé sur K. Enoncé des relations entres les coefficients et les racines.

63)

Formule de Taylor.

64)

Caractérisation de l’ordre d’une racine à l’aide des polynômes dérivés.

65)

Sous-espace vectoriel d’un K espace vectoriel de dimension finie.

66)

Existence de supplémentaires ; Dimension des supplémentaires

67)

Enoncé de la formule de GRASSMAN ; Application aux supplémentaires.

68)

Image d’une base par un isomorphisme.

69)

Détermination d’une application linéaire sur une base ; Dimension de L(E,F).

70)

Théorème du rang + Formule du rang. Caractérisation des isomorphismes.

71)

Définition de Mat(u,e,f) associée à une application linéaire u d’espace vectoriel E muni d’une base e dans un espace vectoriel F muni d’une base f ; L’application u→Mat(u,e,f) est un isomorphisme de L(E,F) sur Mn,p(K).

72)

Définition d’une matrice de présentation d’une famille de vecteurs dans une base. Condition d’inversibilité. Matrice de passage d’une base dans une autre.

73)

Effet d’un changement de base sur les coordonnées d’un vecteur.

74)

Effet d’un changement de base(s) sur la matrice d’une application linéaire et sur la matrice d’un endomorphisme.