Coefficients Non Constants

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

EQUATIONS DU PREMIER ORDRE

 1 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Groupement B 1999 Équations différentielles (TP1)

Dans cette question, on se propose de résoudre sur l'intervalle ]0, +∞[ l'équation différentielle du premier ordre : (E1)

:

t x′ − 2x = 0

où x désigne une fonction inconnue de la variable réelle strictement positive t. 1° Déterminer sur l'intervalle ]0, +∞[ une primitive de la fonction f définie, pour t > 0, par f(t) =

2 . t

2° Résoudre l'équation différentielle (E1). 3° Déterminer la solution de (E1) vérifiant la condition : x = 1 pour t = 1.

 Exploitation des véhicules à moteur Équations différentielles (TP1)

Soit (E) l'équation différentielle : xy ′ ln x = ( ln ( x ) + 2) y où y est une fonction de x définie sur ]1, +∞[. 1° Calculer, sur l'intervalle ]1, +∞[, une primitive de la fonction h définie par : h(x) =

1 (avec x > 1) x ln x

en remarquant que cette fonction est de la forme

u ′( x ) . u( x)

2° Résoudre l'équation différentielle (E). Vérifier que la fonction ƒ définie par ƒ(x) = x (ln x)2, pour x variant dans l'intervalle ]1, +∞[, est une solution particulière de cette équation.



 2 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Groupement B Équations différentielles (TP1)

Dans les régions de production, on peut contrôler le taux de sucre des melons avec un réfractomètre à mesure rapide. Pour contrôler les melons, Sophie utilise un réfractomètre dont le taux d'avarie λ 1 est constant. La fonction de fiabilité R1 de cet appareil associe à chaque réel positif t la probabilité R1 ( t ) pour que cet appareil n'ait pas de défaillance dans l'intervalle de temps [0, t]. Cette fonction est solution de l'équation différentielle suivante : y ′( t ) + λ1 y ( t ) = 0

(1)

1. Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle (1). 2. Sachant que R1 ( 0) = 1 , exprimer R1 ( t ) en fonction de λ1 et de t. Germaine utilise un autre type de réfractomètre dont le taux d'avarie λ 2 ( t ) est une fonction du temps t, (t ≥ 0). Sa fonction de fiabilité R2 est solution de l'équation différentielle suivante : 1   y ′( t ) + 1 −  y( t ) = 0  t + 2

(2)

3. Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle (2). Sachant que R2 ( 0 ) = 1 , déterminer la fonction R2 .

 Moteurs à combustion interne (extrait) Équations différentielles (TP1)

Une fonction t

x( t ) vérifie, pour tout t de l'intervalle ]0, π[ l'équation différentielle : x ′( t ) sin t − x( t ) cos t = − cos 2 t

Résoudre cette équation différentielle sur l'intervalle ]0, π[ et déterminer la solution t la condition :

x( t ) vérifiant

 π π x  = 2 2 Calculer x(0) et x(π).

  3 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Chaudronnerie et tuyauterie industrielle Équations différentielles (TP1) , calcul différentiel et intégral (TP1).

1° A l'aide d'une intégration par parties, déterminer les fonctions primitives F de la fonction ƒ définie sur R par : ƒ(x) = x cos x. 2° Déterminer toutes les fonctions y de la variable x, définies sur R*+, qui vérifient l'équation différentielle : x y′ + y = 0 où y′ désigne la dérivée première de y. 3° Soit l'équation différentielle : (E)

x y ′ + y = x cos x .

Déduire de la première question une solution particulière de l'équation (E) que l'on cherchera sous K ( x) la forme : y 0 = où K est une fonction à déterminer. x 4° Déduire des questions précédentes la solution g de l'équation différentielle (E), définie sur R*+, telle que g(π) = 0.



 4 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Groupement B Équations différentielles (TP1) ; calcul différentiel et intégral 2 (TP6)

Soit l'équation différentielle du premier ordre :

(

) (

)

x 1 + t 2 = t 1 − t 2 x′

(E)

dans laquelle x désigne une fonction de la variable réelle t et x' sa dérivée première. 1° Vérifier que la fonction constante x = 0 est une solution de (E). Déterminer sur R − {−1, 1} les nombres réels A, B et C tels que l'on ait l'identité : 1+ t2

(

t 1− t

2

)

=

A B C + + t 1− t 1+ t

et résoudre (E) sur R − {−1, 1}. 2° Déterminer la solution particulière x1 de (E) telle que x1 ( 2 ) = −

2 . 3

On considère le réel α qui satisfait, pour chaque t différent de 1 et de –1, aux conditions suivantes : tan α = t , −

π π π π <α< , α ≠ et α ≠ − 2 2 4 4

Exprimer simplement x1(t) en fonction de α.

 Informatique industrielle (extrait) 2001 Équations différentielles (TP1)

Soit (E) l'équation différentielle : t y ′ − 2 y = ln t où ln est la fonction logarithme népérien. On désigne par ƒ une fonction de la variable réelle t, définie et dérivable sur ]0, +∞[, solution de (E) et vérifiant la condition ƒ(1) = 0. On se propose de déterminer ƒ. 1° Déterminer la solution générale de l'équation différentielle : t y ′ − 2 y = 0 . 2° Vérifier que la fonction g, définie sur ]0, +∞[ par : t

1 1 g ( t ) = − ln t − est une solution de 2 4

l'équation (E). 3° En déduire la solution générale de l'équation (E). 4° Déterminer la fonction ƒ.

  5 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Groupement B 2002 Équations différentielles (TP1) ; fonctions d'une variable réelle ; calcul différentiel et intégral 1 (TP1)

(

)

1° Soit l'équation différentielle (E) : x 1 + x 2 y ′ − y = x 3 . a) Montrer qu'il existe deux constantes réelles a et b telles que, pour tout réel non nul x :

(

1

x 1 + x2

)

=

a bx + x x2 +1

(

)

b) Résoudre sur R* l'équation différentielle (Eo) : x 1 + x 2 y ′ − y = 0 c) Trouver une solution particulière de (E) de la forme y = ax + b, a et b étant des réels à déterminer. d) En déduire la solution générale de (E). e) Trouver la solution particulière ƒ de (E) vérifiant : ƒ′(0) = 2. 2° On considère la fonction ƒ de la variable réelle x définie par : ƒ(x) = x +

x 1 + x2

  Soit c la représentation graphique de ƒ dans le plan rapporté au repère orthonormal (O ; i , j ). a) Etudier la parité de ƒ. Qu'en déduit-on pour c. b) Etudier la fonction ƒ sur l'intervalle [0, +∞[. c) Montrer que la droite d'équation y = x + 1 est asymptote à c quand x tend vers +∞. d) Tracer c ainsi que les asymptotes et la tangente au point O. N.B. Les deux questions peuvent être traitées de façon indépendante.



 6 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Groupement B 2002 Équations différentielles (TP1) ; fonctions d'une variable réelle ; calcul différentiel et intégral 1 (TP1 - TP3)

1° On considère l'équation différentielle (E) : xy ′ + ( x − 1) y = x 2 , où x appartient à l'intervalle ]0, +∞[. a) Vérifier que la fonction ϕ définie sur ]0, +∞[ par ϕ( x ) = x est une solution particulière de l'équation (E). b) Résoudre l'équation (E) dans ]0, +∞[. (On commencera par résoudre l'équation sans second membre associée). c) Déterminer la solution particulière g de (E) définie sur ]0, +∞[ telle que : g (1) = 1 +

1 e

2° Dans cette question, on considère la fonction ƒ définie sur R par ƒ(x) = x + xe − x . a) Calculer f ′( x ) et f ′′( x ) . Démontrer que la fonction f ′ admet un minimum positif et en déduire le signe de f ′( x ) sur R. ex = +∞ ) x → +∞ x

b) Dresser le tableau des variations de la fonction ƒ. (On rappelle lim

  c) Soit c la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormal (O ; i , j ) (unité graphique 2 cm). Démontrer que la droite d d'équation y = x est asymptote à c et étudier la position de c par rapport à d quand x → +∞. Tracer la tangente en O à la courbe c, puis la droite d et la courbe c. d) Soit G définie sur R par G(x) = ( ax + b ) e − x . Déterminer les réels a et b tels que G ′( x ) = xe − x . Calculer alors, en cm2, l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe c, la droite d et la droite d'équation x = 2.



 7 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Groupement B (Nouméa - septembre 1999) Équations différentielles (TP1) ; fonctions d'une variable réelle ; calcul différentiel et intégral 2 (TP1 - TP7 - TP9)

Cet exercice a pour but d'étudier une solution sur R de l'équation différentielle : 4 xy + y ′ = e − 2 x

2

(E)

1° Résolution de l'équation différentielle. 2

a) Vérifier que la fonction numérique ƒ définie sur R par f ( x ) = xe − 2 x est solution de (E). b) Déterminer la solution générale sur R de l'équation différentielle : 4 xy + y ′ = 0 . c) En déduire la solution générale de l'équation (E). 2° Etude de la fonction ƒ définie au 1° a). a) Étudier les variations de ƒ et préciser ses limites aux bornes de son ensemble de définition.   b) Soit c la courbe représentative de ƒ dans le plan muni d'un repère orthonormal (O ; i , j ), (unité : 8 cm). Déterminer une équation de la tangente t à la courbe c au point d'abscisse 0. Quelle est la position de c par rapport à t ? c) Tracer la droite t et la courbe c. 3° Calcul d'aire a) Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par la courbe c, les axes du repère et la droite d'équation x = a, a étant un réel strictement positif. b) Déterminer la limite de cette aire quand a tend vers +∞.



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Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Groupement B 2003 Équations différentielles (TP1) ; calcul différentiel et intégral 1 (TP2 + intégration par parties)

1° a) Résoudre sur ]0, +∞[ l'équation différentielle : xy ′ + 2 y = 0 . b) Résoudre sur ]0, +∞[ l'équation différentielle : xy ′ + 2 y =

x 1 + x2

solution particulière g de l’équation (E) de la forme : g ( x ) =

(E). k ( x) x2

On

cherchera

une

, où k est une fonction à

déterminer, dérivable sur ]0, +∞[. c) Déterminer la solution particulière ƒ de (E) telle que ƒ(1) = 1 –

π . 4

2° La fonction ƒ étant solution de (E) : a) Montrer que

∫1

3

x f ′( x) dx =

∫1

3

x 1 + x2

dx − 2

∫1

3

f ( x) dx .

b) En intégrant par parties, et après justification, montrer que :

∫1

3

f ( x) dx = 3 f

( 3 ) − f (1) − ∫1 3 x

f ′( x) dx

c) La fonction ƒ étant la solution particulière de (E) déterminée au 1° b), déduire de 2 a) et b) que :

∫1

3

f ( x) dx = f (1) − 3 f

( 3 ) + ∫1 3 x 2 dx 1+ x

Indiquer une valeur exacte de cette intégrale, puis une valeur approchée par excès à 10 −3 .



 9 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Groupement B (Nouméa 2003) Équations différentielles (TP1) - calcul différentiel et intégral 1 (TP1 - TP3)

A - Équation différentielle. On considère l'équation différentielle (E) suivante, où y désigne une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur l'intervalle ]0, +∞[ et où ln désigne la fonction logarithme népérien : (E)

xy ′ − y = ln x .

1) Résoudre, sur l'intervalle ]0, +∞[ l'équation différentielle : xy ′ − y = 0 . 2) Vérifier que la fonction h, définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0, +∞[ par h( x) = − ln x − 1 , est une solution particulière de (E). En déduire l'ensemble des solutions de (E). 3) Déterminer la solution f de (E) qui vérifie f(l) = 1. B - Étude d'une fonction. Soit la fonction f, définie sur l'intervalle ]0, +∞[ par f(x) = 2x – 1 – ln x. 1) Déterminer la limite de f en 0 et montrer que la limite de f en +∞ est +∞. 2) Calculer la fonction dérivée f ′ de f.

En déduire les variations de f sur l'intervalle ]0, +∞[. C - Représentation graphique ; calcul d'aire.   On note c la courbe d'équation y = f (x) dans un repère orthonormal (O ; i , j ) du plan. 1) Étudier la position de c par rapport à la droite d d'équation : y = 2x – 1. 2) Tracer la partie de la courbe c pour 0 < x ≤ 3 ainsi que la droite d. (Unité graphique : 4 cm). 3) a) Vérifier que la fonction H : x ln x . fonction x

x ln x − x est une primitive sur l'intervalle ]0, +∞[ de la

b) Représenter sur le graphique le domaine délimité par la courbe c, la droite d et les droites ∆ et ∆ 1 ′ d'équations respectives : x = et x = 1. 2 c) Calculer, en cm 2 , l'aire de ce domaine. (On en donnera une valeur décimale approchée par excès à 10 −2 près).



 10 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Chaudronnerie et tuyauterie industrielle Calcul différentiel et intégral 2 (TP1 - TP5 - TP8 - TP9) ; fonction d'une variable réelle ; équations différentielles (TP1)

Partie A : Résolution d'une équation différentielle. On considère l'équation différentielle : xy ′ + y = 1 + ln x (1) où y désigne une fonction de x définie sur ]0, +∞[. 1° Résoudre l'équation différentielle : xy ′ + y = 0 . 2° Vérifier que la fonction g définie sur ]0, +∞[ par g(x) = ln x est solution de l'équation (1). 3° a) Déduire des deux questions précédentes la forme générale des solutions de l'équation (1). b) Déterminer parmi les solutions de l'équation (1) la solution ƒ vérifiant ƒ(1) = 1. Partie B : Soit ƒ la fonction définie sur ]0, +∞[ par ƒ(x) =

1 + ln x . x

  On désigne par c la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormal (O ; i , j ) d'unité graphique 2 cm. I - Étude d'une fonction 1° a) Etudier le sens de variation de ƒ sur ]0, +∞[.

( x ln x ) = 0 , étudier la limite de ƒ(x) quand x tend vers 0. b) Sachant que xlim →0 Étudier la limite de ƒ(x) quand x tend vers +∞. c) Établir le tableau de variation de ƒ. 2° a) Calculer la dérivée seconde de ƒ et étudier son signe suivant les valeurs de x. b) Soit I le point de c en lequel la dérivée seconde s'annule. Calculer les coordonnées de I et déterminer une équation de la tangente t à c au point I. 3° Tracer t et c en plaçant en particulier sur c les points d'abscisses 4 et 6. II - Calcul d'aire et de volume 1° a) En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : J1 =

2

∫1

ln x dx

b) En déduire une valeur approchée à 10 −2 près en cm 2 de l'aire du domaine limité par la courbe c tracée au B - I - 3°, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = 2. 1

2 2° a) Calculer l'intégrale : J 2 = 1 x f ′( x ) dx .

∫

2

 11 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

1 , A′ et B′ étant leurs 2 projections respectives sur l'axe des ordonnées, on appelle d le domaine limité par les segments ∩ [ AA′] , [ B ′A′] , [ B ′B] et l'arc AB de c.

b) A et B étant les points de la courbe c d'abscisses respectives 1 et

Déduire du a) ci-dessus une mesure, en cm 3 , du volume engendré par la rotation du domaine d autour de l'axe des ordonnées.



 12 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Microtechnique 2000 (Extraits) Équations différentielles (TP1) ; fonctions d'une variable réelle ; calcul différentiel et intégral 2 (TP1 - TP3)

1° Déterminer toutes les fonctions y de la variable x, définies sur ]0, +∞[ qui vérifient l'équation différentielle : xy′ − 2y = 0 où y' désigne la dérivée première de y. Soit l'équation différentielle (E) : xy′ − 2y = ln x, définie sur ]0, +∞[. On pose g(x) = x2 × h(x). Déterminer la fonction h telle que g soit solution de l'équation différentielle (E). Déduire de ce qui précède la solution Y de l'équation différentielle (E), définie sur ]0, +∞[, telle que Y(1) = 0. 2° Soit ƒ la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par : ƒ(x) =

 1  x 2 − 1 − ln x  .  2  2 

Étudier les variations de ƒ quand x décrit ]0, +∞[.   3° Dans le plan rapporté au repère orthonormal (O ; i , j ) l'unité étant 2 cm, tracer très soigneusement la représentation graphique Γ de la fonction ƒ. 4° En posant u = x − 1, donner le développement limité à l'ordre 3 de ƒ(x), au voisinage de x = 1. En déduire, au voisinage de 1, la position de la courbe Γ par rapport à la parabole d'équation : 2y = ( x − 1) 2



 13 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Groupement B Équations différentielles (TP1) ; fonctions d'une variable réelle ; calcul différentiel et intégral 1 (TP1 - TP9 - TP10)

Partie I Soit l'équation différentielle : (E)

(1 + x2) y′ + xy = 2x

1° Déterminer les fonctions ϕ définies sur R, solutions de l'équation différentielle (E') : (E')

(1 + x2) y′ + xy = 0

2° a) Vérifier que l'équation (E) admet pour solution une fonction g telle que pour tout x réel, g ( x ) = k , k étant un nombre réel à déterminer. b) En déduire la solution générale de l'équation différentielle (E). c) Déterminer la fonction h, solution de (E), qui vérifie la condition : h(0) = 0 Partie II On considère la fonction ƒ, définie sur R, par : ƒ(x) = 2 −

2 1 + x2

1° a) Étudier la parité de la ƒonction ƒ. b) Déterminer la limite de la fonction ƒ en +∞ ; interpréter géométriquement le résultat obtenu. c) Étudier les variations de ƒ sur [0, +∞[. 2° Tracer la courbe c représentative de la fonction ƒ dans un repère r orthogonal d'unités graphiques (en abscisse 2 cm, en ordonnées 5 cm). 3° On note d la portion de plan, ensemble des points M(x, y) vérifiant les deux conditions : 0≤x≤

et

0 ≤ y ≤ ƒ(x)

On se propose de déterminer une valeur approchée de l'aire A de d, exprimée en unités d'aire. a) Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant : x

0

valeur approchée de ƒ(x) à 0,01 près par défaut valeur approchée de ƒ(x) à 0,01 près par excès b) On considère les sommes : S1 =

 3       3   + ƒ  2 3  + ƒ  3 3  + ƒ 4 3   ƒ (0) + ƒ    5   5   5  5   5       

S2 =

 2 3     3   3    + ƒ  3 3  + ƒ 4 3  + ƒ 3  ƒ + ƒ  5   5   5   5   5        

( )

 14 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Interpréter les sommes S1 et S2 comme sommes d'aires de rectangles que l'on représentera sur le graphique de la question Partie II - 2°. Justifier, à l'aide de considérations géométriques, l'encadrement suivant : S1 ≤

∫0

3

ƒ ( x) dx ≤ S2

c) En utilisant les résultats notés dans le tableau de la question Partie II - 3° a) déterminer un encadrement de A.



 15 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Constructions métalliques Équations différentielles (TP1) ; calcul différentiel et intégral 2 (TP1 - TP3 - TP4) ; fonctions d'une variable réelle.

Partie A : On considère l'équation différentielle, définie sur ]-1, +∞[ : (E)

( x + 2) y ′ + y =

1 . x +1

1° a) Intégrer l'équation : ( x + 2) y ′ + y = 0 sur ]-1, +∞[. b) Intégrer l'équation (E). 2° Déterminer la solution ƒ de (E) qui vérifie ƒ(0) = 0. Partie B : Soit la fonction ƒ définie sur ]-1, +∞[ par : ƒ ( x ) =

ln ( x + 1) . x+2

  0n note c sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; i , j ), (unité graphique : 2 cm). 1° Calculer la dérivée f ′ de ƒ. 2° Étudier les variations de la fonction g, définie sur ]-1, +∞[ par : g ( x ) =

x+2 − ln ( x + 1) . x +1

Dresser son tableau de variation (on ne demande pas de construire la courbe représentative de g). Montrer en particulier que g s'annule pour une seule valeur α > 0. Montrer que 2,5 ≤ α ≤ 2,6. En déduire le signe de g, puis de f ′ . 3° Déterminer les limites de ƒ en -1 et en +∞. En déduire la nature des branches infinies de c. 4° Dresser le tableau des variations de ƒ. 5° Déterminer un développement limité d'ordre 2 de ƒ(x) au voisinage de 0. En déduire la position de c par rapport à la tangente en O au voisinage de ce point. 6° Tracer la courbe c.



 16 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Groupement B (Nouméa 2001) Calcul différentiel et intégral 2 (TP1 - TP3) ; équations différentielles (TP1) ; fonction d'une variable réelle

On note I l'intervalle ]0, 1[ de R. Soit (E) l'équation différentielle définie sur I par : xy ′ + y =

1 1− x2

dans laquelle y est une fonction numérique dérivable de la variable réelle x. 1° Résoudre (E). 2° Soit la fonction numérique ƒ de la variable réelle x définie sur l'intervalle J = ]-1, +1[ par : 1 1 + x  ln  si x ≠ 0 et ƒ(0) = 1. 2x  1 − x    et c sa courbe représentative dans le repère orthonormal (O ; i , j ). ƒ( x) =

On prendra 4 cm comme unité. a) Étudier la parité de ƒ. b) Donner le développement limité à l'ordre 5 au voisinage de 0 de la fonction g définie sur J par : g ( x ) = ln (1 + x ) − ln (1 − x ) . En déduire le développement limité à l'ordre 4 de ƒ en 0. c) Montrer que ƒ est dérivable en zéro et que la courbe représentative c de ƒ et la parabole P 1 d'équation : y = 1 + x 2 ont une tangente commune t au point A de coordonnées (0, 1) et 3 préciser les positions relatives de c et de t. 3° Soit h la fonction numérique de la variable réelle x définie sur I par : h( x ) =

x 1− x

2

−

1 1 + x  ln . 2 1 − x 

Étudier les variations de h et montrer que la fonction h ne prend que des valeurs strictement positives sur I (on ne demande pas la représentation graphique de la fonction h). 4° Calculer ƒ′ sur I et montrer que : ƒ ′( x ) =

h( x ) x2

.

En déduire le tableau de variation de ƒ et construire les courbes c et P.



 17 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Groupement B Fonctions d'une variable réelle - Calcul différentiel et intégral 2 (TP1 - TP3 - TP7 - TP9) - Équations différentielles (TP1)

Partie A On considère l'équation différentielle (E) : xy ′ − 2( x + 1) y = 2e 2 x où y désigne une fonction numérique de la variable réelle x, définie et dérivable sur ]0, +∞[. 1° Résoudre sur ]0, +∞[ l'équation différentielle (E′) : xy ′ − 2( x + 1) y = 0 . 2° Déterminer le réel α tel que la fonction g définie par g ( x ) = αe 2 x soit solution de (E). 3° En déduire, sur ]0, +∞[, la solution générale de (E). 4° Déterminer la solution f de (E) vérifiant f (1) =

− 3e 2 . 4

Partie B   Le plan est muni d'un repère orthogonal (O ; i , j ) où les unités graphiques sont 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.  x2   ( ) f x = − 1 e 2 x et c sa courbe représentative dans Soit f la fonction définie sur [-1, +∞[ par  4      (O ; i , j ). c est représentée ci-dessous. 1° Déterminer le développement limité de f à l'ordre 2 au voisinage de 0. 2° En déduire une équation de la tangente t à c au point A d'abscisse 0 ; puis étudier la position de c par rapport à t au voisinage du point A. Partie C

c

6

On se propose de calculer la valeur exacte en cm 2 de l'aire A de la partie du plan limitée par c, l'axe des abscisses, les droites d'équations respectives x = 0 et x = 2. 2

⌠  x2  1° Calculer l'intégrale   − 1 e 2 x dx .    4 ⌡0  

1

0

1

2

On pourra déterminer les réels a, b et c tels que la fonction F définie sur [-1, +∞[ par F ( x ) = ax 2 + bx + c e 2 x soit une primitive de f.

(

)

2° Donner la valeur exacte de A. 3° Donner une valeur approchée de A à 0,1 près. -8

Les parties A, B et C sont indépendantes.

-10

 18 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

 Informatique industrielle Équations différentielles (TP1) ; calcul différentiel et intégral 2 (TP1 - TP9) ; fonctions d'une variable réelle

Les parties A, B, C sont indépendantes. xy ′ + y = −

A - On considère l'équation différentielle :

1

(E)

x2

où y est une fonction numérique de la variable réelle x, définie et dérivable sur ]0, +∞[ et y′ sa fonction dérivée. 1° Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle xy ′ + y = 0 . 1 2° a) Vérifier que la fonction g définie sur ]0, +∞[ par g ( x ) = 2 est solution de (E). x b) Déterminer la solution générale de (E). c) En déduire la solution particulière u de (E) telle que u(1) = 0. B - Soit ƒ la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ]1, +∞[ par : ƒ( x) =

1

( ln x )

2

−

1 ln x

1° Déterminer les limites de ƒ en 1 et en +∞. 2° Calculer la dérivée ƒ′ de ƒ et montrer que ƒ ′( x ) =

ln x − 2

x( ln x ) 3

.

3° Étudier les variations de ƒ. 4° Représenter graphiquement ƒ dans le plan rapporté à un repère orthogonal. (unités graphiques : 1 cm en abscisse et 10 cm en ordonnée). C - 1°

Soit la fonction numérique h de la variable réelle x définie sur ]1, +∞[ par : h( x ) =

x ln x

a) Calculer la dérivée h′ de h. b) Déterminer une primitive F de ƒ sur ]1, +∞[.

[

]

2° On désigne par v n la valeur moyenne de ƒ sur e n , e n +1 , c'est-à-dire le réel : vn =

1

∫

e n +1

n e n +1 − e n e

f ( x ) dx , où n est un entier.

a) Calculer v n en fonction de e et n. b) En déduire la limite de v n lorsque n tend vers +∞.

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Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

 Maintenance Équations différentielles (TP1) ; calcul différentiel et intégral 2 (TP1 - TP4) ; calcul des probabilités 2 (TP3).

Partie A  1   où y est une fonction de la variable réelle Soit l'équation différentielle (E) : (1 + x ) y ′ − y = ln 1 + x  x, définie et dérivable sur [0, +∞[. (ln désigne la fonction logarithme népérien). 1° Donner la solution générale de l'équation différentielle (E') : (1 + x ) y ′ − y = 0 . 2° Calculer la fonction ƒ, solution particulière de l'équation (E), définie sur [0, +∞[ par : ƒ ( x ) = ln (1 + x ) + C , où C est une constante réelle à déterminer. 3° En déduire la solution générale de l'équation (E). 4° Calculer la fonction ϕ, solution de l'équation (E) vérifiant : ϕ(0) = 0. Partie B On considère une variable aléatoire X suivant une loi de Poisson de paramètre λ inconnu telle que : P( X ≤ 1) = 0,95 . 1° Démontrer que λ est solution de l'équation : ln (1 + x ) − x = ln ( 0,95) . 2° Étudier les variations de la fonction ϕ définie sur [0, +∞[ par : ϕ(x) = ln(1 + x) − x. En déduire que l'équation du 1° admet une solution unique, λ, dans [0, +∞[. Déterminer un encadrement d'amplitude 10 −1 de λ en indiquant la méthode utilisée (graphique à l'aide d'une calculatrice ou méthode de dichotomie).



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Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Groupement B 2004 Fonctions d'une variable réelle - Calcul différentiel et intégral 2 (TP1 - TP3 - TP5 - TP7 - TP8 - TP9) Équations différentielles (TP1)

Les parties A et B sont indépendantes -AOn veut résoudre sur [-1, +∞[ l'équation différentielle (E) : (1 + x ) y ′ − 2 y = ln (1 + x ) , où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur [-1, +∞[. 1. Résoudre sur [-1, +∞[ l'équation différentielle : (1 + x ) y ′ − 2 y = 0 . 1 1 2. Vérifier que la fonction g, définie sur [-1, +∞[ par g ( x ) = − ln (1 + x ) − est une solution de (E). 2 4 3. Déduire des deux questions précédentes la solution générale de (E). 4. Déterminer la fonction ƒ, définie et dérivable sur [-1, +∞[, solution de (E) et vérifiant la condition ƒ (0) = 0. -Bx2 x 1 + − ln(1 + x ) et sa courbe 4  2 2  représentative c dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j ) (unité graphique : 2 cm). On considère la fonction h définie sur [-1, +∞[

par h( x ) =

1. a) Déterminer la limite de h en -1. b) Étudier les variations de h. 2. Calculer le développement limité de h à l'ordre 3 au voisinage de 0. En déduire la position de c par rapport à la parabole p d'équation y =

x2 au voisinage de l'origine. 2

3. Construite les arcs de la parabole p et de la courbe c dans le même repère, pour x variant dans l'intervalle ]-1, 3]. 4. Dans le demi-plan défini par x ≥ 0, soit d le domaine limité par c, p et la droite d'équation x = 2. a) Déterminer les réels a et b tels que, pour tout réel x :

x b =a+ . 1+ x 1+ x

b) En déduire, à l'aide d'une intégration par parties, la valeur exacte de l'intégrale c)

2 ∫0 ln(1 + x ) dx .

Utiliser ce résultat pour donner une valeur approchée à 10 −2 en cm 2 de l'aire de d.

  21 

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Maintenance Fonctions d'une variable réelle - Calcul différentiel et intégral 2 (TP1 - TP3) - Équations différentielles (TP1)

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. Soit (E) l'équation différentielle : y ′ + xy = x 2 e − x , où y est une fonction de la variable x, définie et dérivable sur R et où y′ est la fonction dérivée de y . Partie A 1. Résoudre l'équation différentielle (E0) : y ′ + xy = 0 . 2. Déterminer deux nombres réels a et b pour que la fonction h définie sur R par h( x ) = ( ax + b ) e − x soit une solution particulière de l'équation (E). 3. Déduire du 1. et du 2. la solution générale de l'équation (E). Partie B Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = ( x + 1) e − x et c sa courbe représentative dans le repère   orthonormal (O ; i , j ). 1. Écrire le développement limité d'ordre 2 de la fonction f au voisinage de 0. 2. En déduire une équation de la tangente t à la courbe c au point d'abscisse 0 et la position relative de c et de t au voisinage de ce point.



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Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Informatique industrielle Équations différentielles (TP1) ; fonctions d'une variable réelle ; calcul différentiel et intégral 2 (TP1 - TP3)

Cet exercice a pour but : dans la partie II, l'étude d'une fonction solution d'une équation différentielle; dans la partie III, la détermination d'une approximation locale de cette fonction. Les parties I, II et III peuvent se traiter indépendamment l'une de l'autre. Partie I On veut résoudre sur R l'équation différentielle : y ′ − 2 y = −2 x 2 − 2 x

(1)

c'est-à-dire que l'on cherche les fonctions y de la variable réelle x, définies et dérivables sur R, et telles que, pour tout réel x, on ait : y ′( x ) − 2 y ( x ) = −2 x 2 − 2 x .

1° a) Vérifier que la fonction ϕ définie sur R par ϕ(x) = (x + 1)2 est une solution particulière de (1). b) Déterminer la solution générale de l'équation (1). 2° Déterminer la solution particulière de l'équation (1) qui s'annule pour x = 0. Partie II 1° On considère la fonction numérique ƒ définie sur par : f ( x) = x + 1 − e 2 x .

On donne le tableau de variation de ƒ′ :

x

−∞

−

α

ƒ′(x)

+

ƒ(x)

0

ln 2 2 0 M

0

+∞

0

−∞

−∞ avec − 0,80 < α < − 0,79

Déterminer, selon les valeurs de x, le signe de ƒ(x). 2° Soit la fonction numérique g définie sur R par : g ( x) = ( x + 1) 2 − e 2 x .

a) Déterminer la limite de g en −∞ (on admet que lim g = −∞). +∞ b) Étudier les variations de g et établir son tableau de variations. c) Tracer la courbe c représentative de g, dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 4 cm).

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Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants avec second membre

Partie III 1° a) Donner le développement limité à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction x

e 2x .

b) En déduire le développement limité à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction g.

 1 1 2° On considère les fonctions h et k, définies sur I =  − ,  par :  2 2 h( x ) = − x 2 −

4 3 x 3

et

k ( x ) = g ( x ) − h( x ) =

4 3 x + 2x 2 + 2x + 1 − e 2x . 3

On désigne par k ′ et k ′′ les fonctions dérivées première et seconde de la fonction k. a) Calculer k ′( x ) et k ′′( x ) en fonction de x. b) On admet que pour tout x réel non nul, le réel 2x + 1 − e 2 x est strictement négatif. Étudier les variations de k ′ sur I. En déduire le signe de k ′ sur I, puis les variations de k sur I. c) En déduire que pour tout x de I, on a : − 0,052 ≤ k(x) ≤ 0. d) La fonction h est une fonction polynôme qui approche la fonction g sur l'intervalle I. Justifier que la fonction h majore la fonction g sur I. Donner un majorant de l'erreur commise en remplaçant g(x) par h(x) sur I.



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