Clave-107-3-m-1-00-2018-converted.docx

Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemáticas Matemática Intermedia 1

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-107-3-M-1-00-2018

CURSO:

Matemática Intermedia 1

SEMESTRE:

Primer Semestre 2018

CÓDIGO DEL CURSO:

107

TIPO DE EXAMEN:

Tercer Parcial

FECHA DE EXAMEN:

Abril de 2018

RESOLVIÓ EL EXAMEN:

B’alam Luis Gregorio Lol Alvarez

DIGITALIZÓ EL EXAMEN:

B’alam Luis Gregorio Lol Alvarez

REVISÓ EL EXAMEN:

Inga. Vera Marroquín

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

TEMARIO A Tema 1 (10 Puntos): Encuentre el intervalo abierto y radio de convergencia de Tema 2 (10 Puntos): Haciendo uso de ∑∞𝑛=0

(−1)𝑛

∑∞

𝑛(𝑛) = 𝑛

𝑛=1

10𝑛

𝑛

(𝑛 − 5) .

𝑛 encuentre una serie de potencias para 1−𝑛

𝑛(𝑛) =

3 4−𝑛 2

centrada en 0. Tema 3 (12 puntos) a) Encuentre utilizando Maclaurin una serie de potencias para la función constancia del procedimiento .

𝑛(𝑛) = 𝑛 𝑛 dejando 2

b) Use la serie del inciso anterior para encontrar la serie de la integral ∫ 𝑛𝑛 𝑛 𝑛𝑛. Tema 4 (12 Puntos): Dadas las ecuaciones 𝑛 = 𝑛𝑛𝑛𝑛, 𝑛 = 𝑛𝑛𝑛2𝑛 + 1; 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑛. a) Hacer la gráfica en el intervalo establecido y colocar el direccionamiento del recorrido. b) Plantear la integral para calcular la longitud de arco del recorrido. c) Eliminar el parámetro y escribirla en forma cartesiana (rectangular). Tema 5 (12 puntos) a) Encuentre las coordenadas polares del punto (−1, −2) dado en coordenadas cartesianas (rectangulares). 2 b) Identifique y gráfica de la ecuación 𝑛 = , indicando sus partes principales. 1−𝑛𝑛𝑛 𝑛 c) Un satélite de comunicaciones se encuentra a 12,000 km sobre la tierra en su afelio. La excentricidad de su órbita es 0.2. Determine la longitud del perihelio. Tema 6 (18 Puntos): Grafique en un mismo plano de coordenadas, las curvas 𝑛 = 𝑛𝑛𝑛 𝑛 y

𝑛 = 2 + 𝑛𝑛𝑛

𝑛. Plantee las siguientes integrales: a) Para encontrar el área de la región dentro de la primera curva y fuera de la segunda. b) Para calcular la longitud de la primera curva que está dentro de la segunda curva. Tema 7 (8 puntos) Grafique el paralelogramo en R3 que con vértices en los puntos A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(6, 5, 2) y D(7, 7, 5), luego encuentre el área del paralelogramo y demuestre que no es un rectángulo. Tema 8 (8 puntos) Demuestre que el plano P y la recta L son paralelos, y que la recta no está contenida en el plano, 𝑛+1 𝑛−2 𝑛+3

𝑛: 𝑛 + 𝑛 + 𝑛 = 6

𝑛:

=

1

=

2

−3

Tema 9 (10 puntos) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto P(-1,3,-1) y que contiene a la recta de

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA intersección de los planos 𝑛 − 𝑛 + 𝑛 FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

= 1 & 3𝑛 − 𝑛 = 4.

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

SOLUCIÓN Tema 1 (10 Puntos): a. Encuentre el intervalo abierto y radio de convergencia de

𝑛=1

No. Explicación

10𝑛

∞

(−1)𝑛

∑

10𝑛

𝑛=1

𝑛 𝑛𝑛+1 = Se evalúa el valor absoluto de la razón entre las dos sucesiones |

𝑛𝑛+1

| = |𝑛

𝑛𝑛

Se simplifica la expresión El valor absoluto asegura que la expresión racional siempre sea positiva por eso se simplifica el menos uno del numerador

|

𝑛𝑛+1

|= |

𝑛+1

1

∗

una constante.

(𝑛 − 5)𝑛

||

(−1)𝑛(𝑛 − 5)𝑛 10𝑛

(−1)𝑛+1(𝑛 − 5)𝑛+1 10𝑛+1

(−1)𝑛+1(𝑛− 5)𝑛+1

(−1)𝑛(−1)(𝑛 − 5)𝑛(𝑛 − 5) 10𝑛 ∗ 10

𝑛𝑛

|

𝑛𝑛+1

(−1)(𝑛 − 5)

𝑛𝑛

10

|= |

lim |

𝑛→∞

∗

10𝑛+1

𝑛𝑛

3 Se evalúa el límite tomando en cuenta que este está definido para el índice 𝑛, por eso el término |(𝑛 − 5)| se trata como

(𝑛 − 5)

𝑛𝑛+1 lim | | <1 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛→∞ 𝑛𝑛

𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 =

2

𝑛

Operatoria

1 Para determinar la convergencia de la serie se utilizara el criterio de la razón.

(−1)𝑛

∑∞

|=|

∗

(−1)𝑛(𝑛 − 5)𝑛 |

10

𝑛𝑛+1 1 | = |(𝑛 − 5)| lim n→∞ 10 𝑛𝑛

𝑛→∞

𝑛𝑛+1 | = |𝑛 − 5| ∗ 𝑛𝑛 lim |

𝑛→∞

𝑛𝑛+1 𝑛𝑛

1 10 | <1

=|

𝑛|

10𝑛

𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 1 1 lim = n→∞ 10 10

lim |

Ahora se debe comparar el resultado obtenido con el -1.

(−1)𝑛(𝑛 − 5)

(𝑛 − 5)

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 ∶

4

10𝑛

𝑛 −5 10

|

|

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

Esto produce una desigualdad lineal con valor absoluto, se reescribe la desigualdad sin el valor absoluto, y se despeja 𝑛, para hallar el intervalo de convergencia

Para determinar el radio de convergencia se calcula la mitad de la diferencia entre los extremos del intervalo de convergencia

Tema 2 (10 Puntos): Haciendo uso de ∑∞𝑛=0

𝑛(𝑛) = 𝑛

|

𝑛−5 |<1 10

−1 <

𝑛−5

<1 10 −10 < 𝑛 − 5 < 10 −5 < 𝑛 < 15 𝑛=

10 − (−5) 2

= 10

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: (−5,15) 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 10

𝑛 encuentre una serie de potencias para 1−𝑛

𝑛(𝑛) =

centrada en 0. No. Explicación Operatoria 1 Para poder escribir la función 𝑛(𝑛) como 1 3 una serie primero se debe manipularla 3 4 4 𝑛(𝑛) = ∗ = algebraicamente con el objetivo de 2 1 𝑛2 4 − 𝑛 identificar las transformaciones que se le 1 − 4 4 han hecho a la función base 2

3

Dado que la serie que se conoce es sobre la función 𝑛(𝑛) que se muestra, se deben identificar las transformaciones hechas a 𝑛(𝑛) para llegar a la función 𝑛(𝑛)

Dado que las transformaciones se aplicaron a 𝑛(𝑛) en forma de función también pueden aplicarse estas transformaciones a su representación en forma de serie

∞

1

𝑛𝑛 𝑛(𝑛) = = ∑ 𝑛𝑛 1 −𝑛 𝑛=0 𝑛2 1 𝑛( ) = 𝑛2 4 1− 4 3 3 𝑛2 4 ∗ 𝑛( ) = = 𝑛(𝑛) 𝑛2 4 4 1− 4 𝑛(𝑛) =

1 1 −𝑛

∞

= ∑ 𝑛𝑛 𝑛=0

3 4−𝑛 2

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

∞

Se toma la representación de la función base 𝑛(𝑛)

𝑛=0

Primero se evalúa 𝑛

𝑛=0

𝑛2𝑛 4𝑛

𝑛2

(

)

∞

∞

𝑛=0

𝑛=0

3 𝑛2 3 𝑛2𝑛 𝑛2𝑛 𝑛( ) = ∑ = 3∑ 4 4 4 4𝑛 4𝑛+1

4

Finalmente se multiplica por ¾ para 𝑛2 obtener la forma 3 𝑛( ) 4

∞

𝑛

𝑛2 𝑛2 𝑛 ( ) =∑ ( ) =∑ 4 4

∞

3 𝑛2 𝑛2𝑛 𝑛(𝑛) = 𝑛 ( ) = 3 ∑ 4 4 4𝑛+1

4

𝑛=0

4

Se resume el ejercicio en la siguiente tabla 𝑛(𝑛) =

1 1−𝑛

∞

= ∑ 𝑛𝑛 𝑛=0

𝑛(𝑛) → 𝑛(𝑛) 3 𝑛2 𝑛 ( ) = 𝑛(𝑛) 4 4 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 1 𝑛(𝑛)

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 1

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

1−𝑛

∑ 𝑛𝑛

2

2 𝑛 (𝑛 ) 4

3

𝑛2

3∗

4

4 1 − 𝑛2 4

3 4

𝑛(

)

1 𝑛2 1−( ) 4 1 = 3 4 − 𝑛2

∞

∞

𝑛=0

2 ∑ ( 𝑛) 4

𝑛

𝑛=0 ∞

𝑛2𝑛 ∑ 𝑛 4 4 3

𝑛=0

** Observación: dado que la representación de 𝑛(𝑛) como serie se obtiene de desarrollar la serie de Maclaurin, centro en cero, la serie resultante también estará centrada en cero

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

Tema 3 (12 puntos)

𝑛(𝑛) = 𝑛 𝑛 dejando

a) Encuentre utilizando Maclaurin una serie de potencias para la función constancia del procedimiento .

2

b) Use la serie del inciso anterior para encontrar la serie de la integral ∫ 𝑛𝑛 𝑛 𝑛𝑛.

1

𝑛𝑛(0)(𝑛)𝑛

∞

Se usará la definición de la serie de Maclaurin con la función exponencial

𝑛(𝑛) = ∑

𝑛!

𝑛=0

𝑛(𝑛) = 𝑛𝑛 2

3

4

5

Primero se obtienen algunas derivadas y se evalúa en el centro, que para Maclaurin es cero

Se desarrolla parcialmente la sumatoria para hallar un patrón y expresar de forma resumida la serie Se observa que las derivadas sucesivas evaluadas en cero siempre son iguales a uno, por eso se puede definir el patrón como se muestra

𝑛(𝑛) = 𝑛𝑛 → 𝑛(0) = 1 𝑛′(𝑛) = 𝑛𝑛 → 𝑛′(0) = 1 𝑛′′(𝑛) = 𝑛𝑛 → 𝑛′′(0) = 1 𝑛′′′(𝑛) = 𝑛𝑛 → 𝑛′′′(0) = 1

∞

∑

𝑛𝑛(0)(𝑛)𝑛 𝑛!

𝑛=0

1 ∗ 𝑛0 0!

+

=

𝑛(0)𝑛0

1∗ 𝑛 1!

0!

+

+

𝑛′(0)𝑛1

1 ∗ 𝑛2 2!

1!

+

+

𝑛′′(0)𝑛2 2!

1 ∗ 𝑛3

+ ⋯ =∑

3!

3! ∞

+⋯

𝑛𝑛

𝑛=0 𝑛!

𝑛𝑛 𝑛=0 𝑛!

∞

𝑛(𝑛) = 𝑛𝑛 2 𝑛(𝑛2) = 𝑛𝑛 2 𝑛 ∗ 𝑛(𝑛2) = 𝑛𝑛𝑛

Primero se evalúa la función en 𝑛2 y luego se multiplica por x

𝑛(𝑛) = ∑

Se debe notar que al multiplicar toda la serie por 𝑛, esta puede simplificarse con la 𝑛 dentro de la sumatoria

𝑛′′′(0)𝑛3

𝑛𝑛 = ∑

Para poder resolver la integral propuesta usando la serie se deben hacer los siguientes cambios a la función exponencial

Ahora se le aplican los mismos cambios a la representación en forma de serie

+

𝑛𝑛 𝑛=0 𝑛!

∞

(𝑛2 )

∞

𝑛(𝑛2) = ∑ 𝑛=0 ∞

𝑛2𝑛

𝑛=0

𝑛!

𝑛 ∗ 𝑛(𝑛2 ) = 𝑛 ∗ ∑

=∑

𝑛

𝑛!

∞ 𝑛=0

𝑛 ∗ 𝑛2𝑛 𝑛!

=∑

∞ 𝑛=0

𝑛2𝑛+1 𝑛!

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

6

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

Se resume la modificación de la serie en la siguiente tabla ∞

𝑛(𝑛) =

𝑛𝑛

𝑛𝑛 =∑ 𝑛! 𝑛=0

𝑛(𝑛) → 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 1 𝑛(𝑛)

2

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 ∞

∑

𝑛𝑛 𝑛!

𝑛=0

2

∞

𝑛(𝑛2) 𝑛

∑

𝑛2

𝑛2𝑛 𝑛!

𝑛=0

3

𝑛∗

∞

𝑛(𝑛2) 𝑛𝑛 𝑛

7

8

9

Ahora el integrando será la función representada como una serie Dado que se integra respecto a la variable 𝑛, la sumatoria y los subíndices 𝑛 no serán afectados por la integral, la única función que se debe integrar es 𝑛2𝑛+1 , cuya integral es la de un polinomio de grado 2𝑛 + 1 Agregando el resultado de la integral anterior en la serie se obtiene el resultado

∑

2

𝑛2𝑛+1 𝑛!

𝑛=0

∞

∫∑ 𝑛=0

𝑛2𝑛+1 𝑛𝑛 𝑛!

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: ∫𝑛𝑛 𝑛𝑛 =

∫ 𝑛2𝑛+1𝑛𝑛 =

𝑛2𝑛+1+1 (2𝑛 + 1 + 1)

=

𝑛𝑛+1 𝑛+1 𝑛2𝑛+2 +𝑛 (2𝑛 + 2)

∞

∞

∞

𝑛=0

𝑛=0

𝑛=0

𝑛2𝑛+1 𝑛2𝑛+2 ∫ 𝑛2𝑛+1 𝑛𝑛 ∫∑ 𝑛𝑛 = ∑ =∑ +𝑛 𝑛! 𝑛! (2𝑛 + 2)𝑛!

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

Tema 4 (12 Puntos): 𝑛 Dadas las ecuaciones 𝑛 = 𝑛𝑛𝑛𝑛, 𝑛 = 𝑛𝑛𝑛2𝑛 + 1; 0 ≤ 𝑛 ≤ . 2

a) Hacer la gráfica en el intervalo establecido y colocar el direccionamiento del recorrido. b) Plantear la integral para calcular la longitud de arco del recorrido. c) Eliminar el parámetro y escribirla en forma cartesiana (rectangular).

No. Explicación Operatoria 1 Para hacer la gráfica de la curva paramétrica se plotean algunos puntos, t con la ayuda de la tabla mostrada 0

X(t)

Y(t)

𝑛 4 𝑛 2

2

Grafica:

3

Para determinar la longitud de arco se utiliza la siguiente integral

0 √2

1 3

2 1

2 2

𝑛

𝑛 = ∫ √(𝑛′(𝑛))2 + (𝑛′(𝑛))2 𝑛𝑛 𝑛

𝑛(𝑛) = 𝑛𝑛𝑛(𝑛) 𝑛 ′ (𝑛) = 𝑛𝑛𝑛(𝑛) Se deriva cada ecuación paramétrica de las componentes

𝑛(𝑛) = 𝑛𝑛𝑛2(𝑛) + 1 𝑛 ′ (𝑛) = 2𝑛𝑛𝑛(𝑛)𝑛𝑛𝑛(𝑛)

Punto (x,y) (0 ,1) √2 3 ( , ) 2 2 (1 ,2)

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

4

Se sustituye en la integral, los límites de integración deben ser los valores de 𝑛 que dibujan la grafica Se simplifica el integrando

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL 𝑛 2

2

2

𝑛 = ∫ √(𝑛𝑛𝑛(𝑛)) + (2𝑛𝑛𝑛(𝑛)𝑛𝑛𝑛(𝑛)) 𝑛𝑛 0

𝑛 2

𝑛 = ∫ √𝑛𝑛𝑛2(𝑛)+ 4𝑛𝑛𝑛2(𝑛)𝑛𝑛𝑛2(𝑛) 𝑛𝑛 0

𝑛 2

𝑛 = ∫ √𝑛𝑛𝑛2(𝑛)(1 + 4𝑛𝑛𝑛2(𝑛)) 𝑛𝑛 0

𝑛 2

𝑛 = ∫ 𝑛𝑛𝑛(𝑛)√1 + 4𝑛𝑛𝑛2(𝑛) 𝑛𝑛 0

5

Al pasar las ecuaciones paramétricas de una curva a su forma rectangular se busca manipularlas de tal forma que con ayuda de alguna identidad o en este caso con la exponenciación y operación entre ecuaciones dé como resultado una constante

𝑛(𝑛) = 𝑛𝑛𝑛(𝑛) 𝑛(𝑛) = 𝑛𝑛𝑛2(𝑛) + 1 2

𝑛𝑛: (𝑛(𝑛)) = 𝑛𝑛𝑛2(𝑛) 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 2

𝑛(𝑛) − (𝑛(𝑛)) = 𝑛𝑛𝑛2(𝑛) + 1 − 𝑛𝑛𝑛2(𝑛) = 1 𝑛 − 𝑛2 = 1 𝑛 = 1 + 𝑛2

Se eleva la ecuación de 𝑛(𝑛) al cuadrado y luego se le resta a la ecuación de 𝑛(𝑛)

Tema 5 (12 puntos) a) Encuentre las coordenadas polares del punto (−1, −2) dado en coordenadas cartesianas (rectangulares). 2 b) Identifique la gráfica de la ecuación 𝑛 = , indicando sus partes principales. 1−𝑛𝑛𝑛 𝑛 c) Un satélite de comunicaciones se encuentra a 12,000 km sobre la tierra en su afelio. La excentricidad de su órbita es 0.2. Determine la longitud del perihelio. No. Explicación Operatoria 1 a) Se utilizan las siguientes ecuaciones para determinar las coordenadas polares, (𝑛, 𝑛), de un punto en forma cartesiana, (𝑛, 𝑛)

𝑛𝑛𝑛𝑛 (−1,−2) 𝑛 = −1 𝑛 = −2 𝑛 = ±√𝑛2 + 𝑛2 𝑛 = ±√(−1)2 + (−2)2 = ±√5

𝑛 ) ( 𝑛−2 𝑛 = tan−1 = 1.107 ≈ 63.42𝑛 ( ) −1

𝑛 = tan−1

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

2

Dado que el punto (−1, −2) se encuentra en el 3er cuadrante el angulo si se escribe como un ángulo positivo debería tener valores entre 180𝑛 y 270𝑛 Pero el ángulo obtenido es menor a 90𝑛, dado esto se utilizará el radio negativo que se obtuvo

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: (√5 , 1.107𝑛𝑛𝑛)

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: (−√5 , 1.107𝑛𝑛𝑛)

Entonces para que el punto en coordenadas polares quede en el cuadrante correcto debe ser:

3

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛(𝑛) = 1 ± 𝑛 𝑛𝑛𝑛(θ) 2 𝑛(𝑛) = 1 − 𝑛𝑛𝑛(θ)

b)Dada la ecuación de la cónica en forma polar, se observa que ya se encuentra en forma estándar. Por el valor de la excentricidad se concluye que se trata de una parábola

𝑛𝑛 𝑛 = 1 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 Dado que se conoce la excentricidad es posible saber el valor de la directriz Se grafica ploteando algunos puntos, como se muestran en la siguiente tabla Por la forma de la gráfica y además de conocer que la directriz está a "𝑛" unidades de distancia del foco se puede determinar la ecuación de la directriz

𝑛 𝑛 3𝑛 2 2𝑛

𝑛𝑛 = 2 → 𝑛 = 2 𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝑛,𝑛) 2 (2 , 𝑛) 3𝑛 1 (1 , ) 2 2 (2 , 2𝑛) 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 𝑛 = −2

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

4

Grafica:

5

c)Dado que excentricidad de la curva que describe la trayectoria del satélite es menor a 1 se debe trabajar como una elipse. Se puede trabajar con cualquier tipo de ecuación para representar una cónica en polares, sin ninguna razón en particular se elige la siguiente forma de la ecuación de una elipse 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛 < 1

6

Según la forma de la ecuación que se plantea el afelio se da cuando se evalúa el ángulo 𝑛 en la ecuación de la cónica, entonces en la gráfica de la parábola debe estar el siguiente punto También se conoce el valor de la excentricidad

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛 = 𝑛 𝑛𝑛(12,000 , 𝑛 )

𝑛𝑛 𝑛(𝑛) = 1 + 𝑛 𝑛𝑛𝑛(θ) 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 12 000 =

0.2𝑛 1 + 0.2 𝑛𝑛𝑛(𝑛)

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

Para encontrar la ecuación de la elipse que describe la trayectoria del satélite, se sustituye el Punto A y el valor de la excentricidad para hallar la directriz 𝑛 7

Ahora se conoce la ecuación de la elipse que describe la trayectoria del satélite De la gráfica inicial, aunque no se conozca de forma exacta, se puede ver que el perihelio se encuentra al evaluar 𝑛=0 Evaluando el ángulo cero se obtiene la longitud del perihelio

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

(12000)(1 − 0.2) = 0.2𝑛 48000 = 𝑛

9600 𝑛(𝑛) = 1 + 0.2 𝑛𝑛𝑛(θ) 𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛 = 0

𝑛(0) =

9600 1 + 0.2 cos(0)

𝑛𝑛𝑛𝑛ℎ 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛(0) = 8000𝑛𝑛

Tema 6 (18 Puntos): Grafique en un mismo plano de coordenadas, las curvas 𝑛 = 𝑛𝑛𝑛 𝑛 y

𝑛 = 1 + 𝑛𝑛𝑛

𝑛. Plantee las siguientes integrales: c) Para encontrar el área de la región dentro de la primera curva y fuera de la segunda. d) Para calcular la longitud de la primera curva que está dentro de la segunda curva. No 1

Explicación Operatoria Se identifican cada una de las dos curvas polares, la primera es un 𝑛 circulo trasladado de diámetro igual a uno que tiene simetría respecto al 0 semieje 𝑛. La segunda es un cardiode 2 𝑛 que toca el polo y no tiene lazo. 4 𝑛 2 3𝑛 Sabiendo estas características para 4 graficar un circulo solo es necesario plotear 4 puntos y de igual forma para un cardiode, como se muestra en la tabla

𝑛𝑛𝑛(𝑛 ) 0

𝑛

√2 2

0 𝑛 2

1

𝑛

√2 2

3𝑛 2

1 + 𝑛𝑛𝑛(𝑛) 2 1 0 1

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

2

Grafica:

3

Para poder plantear el área dentro del circulo y fuera del cardioide primero se encuentran los puntos de intersección, esto se hace igualando ambas ecuaciones

Se elevan ambos lados de la ecuación al cuadrado y luego se utiliza una identidad para poner toda la ecuación en términos de la misma función trigonométrica

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛ó𝑛: 𝑛 = 𝑛 𝑛𝑛𝑛(𝑛) = 1 + 𝑛𝑛𝑛(𝑛) 2

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 𝑛𝑛𝑛2 (𝑛) = 1 − 𝑛𝑛𝑛2 (𝑛) 1 − 𝑛𝑛𝑛2(𝑛) = 1 + 2𝑛𝑛𝑛(𝑛) + 𝑛𝑛𝑛2(𝑛) 0 = 2𝑛𝑛𝑛(𝑛) + 2𝑛𝑛𝑛2(𝑛) = 2𝑛𝑛𝑛(𝑛)(1 + 𝑛𝑛𝑛(𝑛))

0 = 2𝑛𝑛𝑛(𝑛) 𝑛 = 𝑛𝑛𝑛−1(0) =

Se factoriza y se iguala cada factor a cero

2

(𝑛𝑛𝑛(𝑛)) = (1 + 𝑛𝑛𝑛(𝑛)) 𝑛𝑛𝑛 2 (𝑛) = 1 + 2𝑛𝑛𝑛(𝑛) + 𝑛𝑛𝑛 2 (𝑛)

𝑛 3𝑛 , … 2 2

1 + 𝑛𝑛𝑛(𝑛) = 0 𝑛𝑛𝑛(𝑛) = −1 𝑛 = 𝑛𝑛𝑛−1(−1) = 𝑛, 3𝑛, …

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

Con esta información y con la ayuda de la gráfica se establecen los puntos de intersección 4

Dado que el área que se necesita calcular está dentro de un curva pero fuera de la otra, se plantea una resta de áreas, el área que está dentro del circulo menos el área que está dentro del cardioide, ambas áreas limitadas por los puntos de intersección

( 1,

)

2

𝑛=

1 2

𝑛

𝑛

(0, 𝑛)

2

∫ (𝑛(𝑛)) 𝑛𝑛 𝑛

1 𝑛 2 2 ( )) 𝑛 = ∫ (𝑛𝑛𝑛 𝑛 𝑛𝑛 − ∫ (1 + 𝑛𝑛𝑛(𝑛)) 2 𝑛/2 𝑛𝑛 2 𝑛/2 1

5

Verificando la integral con ayuda de un programa:

6

Se observa en la grafica que la parte de la primera curva, el circulo, que esta dentro de la segunda, el cardioide, es exactamente la mitad del círculo. Se usa la integral de longitud de arco para coordenadas polares, usando la ecuación del circulo y como límites de integración los ángulos en donde empieza el circulo, cero, hasta el primer ángulo en el que se intercepta con el cardioide:𝑛 2

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛 = ∫ √[𝑛(𝑛)]2 + [𝑛′(𝑛)]2 𝑛𝑛 𝑛

𝑛(𝑛) = 𝑛𝑛𝑛(𝑛) 𝑛′(𝑛) = 𝑛𝑛𝑛(𝑛)

𝑛 =0 𝑛 𝑛= 2 𝑛 2

𝑛 = ∫ √[𝑛𝑛𝑛(𝑛)]2 + [𝑛𝑛𝑛(𝑛)]2 0

𝑛𝑛

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

Tema 7 (8 puntos) Grafique el paralelogramo en R3 que con vértices en los puntos A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(6, 5, 2) y D(7, 7, 5), luego encuentre el área del paralelogramo y demuestre que no es un rectángulo. No. Explicación Operatoria 1 Se grafican los puntos y se unen para formar el paralelogramo

2

Para determinar el área del paralelogramo se necesitan formar dos vectores que delimiten el los lados del paralelogramo y que tengan un punto en común. Se forman estos dos vectores con los puntos A, B y C, tomando como punto común el punto A

𝑛 = 𝑛𝑛 𝑛 = 〈 6 − 1,5 − 1,2 − 1〉 = 〈 5,4,1〉 𝑛 = 𝑛𝑛 𝑛 = 〈 2 − 1,3 − 1,4 − 1〉 = 〈 1,2,3〉

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

3 𝑛 = |𝑛× 𝑛|

Para determinar el área del paralelogramo se obtiene la magnitud del producto cruz éntrelos dos vectores que se formaron en los lados de este

𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 × 𝑛= |5 4 1| 1 2 3 𝑛× 𝑛= 𝑛( 4 ∗ 3 − 2 ∗ 1) − 𝑛(5 ∗ 3 − 1 ∗ 1) + 𝑛(5 ∗ 2 − 4 ∗ 1) 𝑛× 𝑛= 10𝑛 − 14𝑛 + 6𝑛 |𝑛× 𝑛| = √(10) 2 + (−14)2 + (6)2 = 2√83 𝑛𝑛𝑛𝑛 = 2√83 𝑛2

4

Para verificar si el paralelogramo formado es un rectángulo se debe verificar si el ángulo que existe entre sus lados es igual a noventa, es decir si estos son perpendiculares.

𝑛 . 𝑛 = (5 ∗ 1 + 4 ∗ 2 + 1 ∗ 3) = 16 𝑛.𝑛≠0

𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

Para ellos se hace el producto punto entre los dos vectores que forman sus lados, si el producto punto es igual a cero entonces los vectores son perpendiculares y el paralelogramo es un rectángulo Tema 8 (8 puntos) Demuestre que el plano P y la recta L son paralelos, y que la recta no está contenida en el plano, 𝑛+1 𝑛−2 𝑛+3

𝑛: 𝑛 + 𝑛 + 𝑛 = 6

𝑛:

=

1

=

2

−3

No. Explicación Operatoria 1 Para demostrar que un plano y una 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: recta son paralelos se debe verificar 𝑛 + 1 𝑛 − 2 𝑛 +3 que el vector director de la recta sea = = =𝑛 1 2 −3 perpendicular al vector normal del plano. Recordar que le vector 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 normal forma 90 grados con la 𝑛+1 =𝑛→𝑛=𝑛+1 superficie del plano 1 Primero se identifica el vector director de la recta, llevándola a su forma paramétrica

𝑛−2 = 𝑛 → 𝑛 = 2𝑛 + 2 2 𝑛+3 = 𝑛 → 𝑛 = −3𝑛 − 3 −3

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 𝑛= 〈 1,2,−3〉

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

2

3

Luego se identifica el vector normal del plano, sabiendo que sus componentes son los coeficientes de cada variable en la ecuación del plano Para verificar que ambos vectores sean perpendiculares, se hace el producto punto entre ellos. Dado que el producto punto es cero, entonces el vector normal del plano y el vector director de la recta son perpendiculares y por tanto el plano y la recta son perpendiculares Para verificar que la recta está contenida en el plano, al encontrar los puntos de intersección entre el plano y la recta deberían quedar infinitos valores, puesto que todos los puntos de la recta están en el plano Se sustituyen las ecuaciones paramétricas dentro de la ecuación del plano y se resuelve para 𝑛 Al resolver se encontró una contradicción, esto indica que no hay puntos de intersección entre el plano y la recta, si no hay puntos de intersección la recta esta no puede estar contenida en el plano.

4

Grafica:

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 𝑛+𝑛+𝑛=6 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 𝑛= 〈 1,1,1〉

𝑛 . 𝑛= (1)(1) + (1)(2) + (1)(−3) = 0 𝑛 . 𝑛= 0 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 𝑛=𝑛+1 𝑛 = 2𝑛 + 2 𝑛 = −3𝑛 − 3 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 𝑛+𝑛+𝑛=6 𝑛 + 1 + 2𝑛 + 2 − 3𝑛 − 3 = 6 −2 ≠ 6 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

Tema 9 (10 puntos) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto P(-1,3,-1) y que contiene a la recta de intersección de los planos 𝑛 − 𝑛 + 𝑛 = 1 & 3𝑛 − 𝑛 = 4. No. Explicación Operatoria 1 Para formar la ecuación de un plano 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛ó𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: se necesitan 2 cosas: un punto 𝑛(𝑛 − 𝑛0) + 𝑛(𝑛 − 𝑛0) + 𝑛(𝑛 − 𝑛0) = 0 sobre el plano y el vector normal 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝑛 ) = 〈 𝑛, 𝑛, 𝑛〉 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝑛) = (𝑛0, 𝑛0, 𝑛0) 2 El Punto, P, en el plano ya se 𝑛 = (−1,3,−1) conoce, el ejercicio se centra entonces en hallar el vector Normal Se sabe que el vector normal es perpendicular a la superficie del plano, por lo tanto también es perpendicular a cualquier vector que esté contenido en el plano

Debido a ello basta con encontrar dos vectores contenidos en el plano y luego hacer el producto cruz entre ellos para obtener en vector normal Se debe recordar que el producto cruz entre dos vectores produce un nuevo vector que es perpendicular a estos dos vectores al mismo tiempo, justo la característica que debe cumplir el vector normal: Perpendicular a la superficie del plano y por lo tanto perpendicular a dos vectores en el plano

3

Para obtener el primer vector en el plano se obtiene la recta de intersección de los dos planos dados.

𝑛𝑛1: 𝑛 − 𝑛 + 𝑛 = 1 𝑛𝑛: 3𝑛 − 𝑛 = 4 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 𝑛 − 𝑛 + 𝑛 = 1 3𝑛 { −𝑛 = 4

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

La recta al estar contenida en el plano que se busca también tendrá su vector director 𝑛 contenido en el plano. Para encontrar la recta de intersección se resuelven simultáneamente las ecuaciones de ambos planos Del Segundo plano se despeja 𝑛 y luego se sustituye enla ecuación del primer plano para luego despejar 𝑛 Dado que tanto la variable 𝑛 como la variable 𝑛 están en términos de 𝑛 se pude expresar a 𝑛 como el parámetro 𝑛 de las ecuaciones paramétricas de la recta

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛2: 𝑛 = 3𝑛 − 4 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛1 𝑛 − (3𝑛 − 4) + 𝑛 = 1 𝑛 = 2𝑛 − 3 𝑛𝑛 𝑛 = 𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 𝑛=𝑛 𝑛 = 3𝑛 − 4 𝑛 = 2𝑛 − 3 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 𝑛 = 〈 1,3,2〉 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝑛𝑛𝑛 𝑛 = 0): 𝑛2 = (0, −4, −3)

4

5

Se identifica el vector director de la recta, este está contenido en el plano Para hallar un segundo vector en el plano se pueden usar dos puntos que también estén en el plano y luego formar un vector entre ellos, del enunciado se conoce el punto 𝑛, y debido a que la recta de intersección entre los dos planos que da el enunciado está contenida en el 3er plano que se busca, el punto 𝑛2, también debe estar en el plano que se busca Se forma un nuevo vector con estos dos puntos. Para hallar el vector normal del plano que se busca se hace el producto cruz entre el vector 𝑛 y el vector 𝑛, puesto que ambos están contenidos en el plano, producirán

𝑛= 𝑛 → 𝑛2 𝑛= 〈 0 − (−1), −4 − 3, −3 − (−1)〉 𝑛= 〈 1, −7, −2〉

𝑛× 𝑛= 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛= |1 3 2| 1 −7 −2 𝑛= 𝑛((3)(−2) − (2)(−7)) − 𝑛((1)(−2) − (2)(1)) + 𝑛((1)(−7) − (3)(1))

UNIVERSIDAD SAN CARLOS GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO MATEMÁTICA MATEMATICA INTERMEDIA 1 TERCER EXAMEN PARCIAL

un vector perpendicular a este, el vector normal que se busca 6

Se sustituyen las coordenadas del punto 𝑛 que está en el plano y las componentes del vector normal, para formar la ecuación del nuevo plano que se busca

𝑛= 8𝑛 + 4𝑛 − 10𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛ó𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 𝑛(𝑛 − 𝑛0) + 𝑛(𝑛 − 𝑛0) + 𝑛(𝑛 − 𝑛0) = 0 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛: 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝑛 ) = 〈 8,4, −10〉 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 (𝑛) = (−1,3, −1) 8(𝑛 + 1) + 4(𝑛 − 3) − 10(𝑛 + 1) = 0 8𝑛 + 4𝑛 − 10𝑛 = 14

7

Grafica:

Dudas u observaciones al correo: [email protected]