Claudio Cpsf

JUROS COMPOSTOS Da capitalização simples, sabemos que o rendimento se dá de forma linear ou proporcional. A base de cálculo é sempre o capital inicial. No regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma exponencial. Os juros do período, são calculados com base num capital, formando um montante, que será a nova base de cálculo para o período seguinte. Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros. Sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos de capitalização; para uma capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a capitalização for semestral, será 4 , e assim sucessivamente. EXEMPLO: Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes. Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos: 1º período: 100% 102%

R$ 1.000 M

2º período: 3º período: 4º período: 5º período:

⇒ M = R$ 1.020,00 (esta é a nova base de cálculo para o período seguinte)

CAPITAL R$ 1.020,00 ⋅ 1,02 R$ 1.040,40 ⋅ 1,02 R$ 1.061,21 ⋅ 1,02 R$ 1.082,43 ⋅ 1,02

MONTANTE = R$ 1.040,40 = R$ 1.061,21 = R$ 1.082,43 = R$ 1.104,08

Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08. No cálculo, tivemos R$ 1.000 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 = R$ 1.000 ⋅ (1,02)5 = R$ 1.000 ⋅ 1,10408 = R$ 1.104,08 Observamos o fator (1,02)5. Essa potência pode ser calculada com calculadoras científicas ou com auxílio das tabelas financeiras. Generalizando, o cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na qual M é o montante, C o capital, i é a taxa de juros e n é a quantidade de capitalizações.

M = C ⋅ (1 + i)n Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear), vemos no cálculo simples: CAPITAL R$ 1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 1.000,00 ⋅ 0,02

JUROS = R$ 20,00 = R$ 20,00 = R$ 20,00 = R$ 20,00 = R$ 20,00

MONTANTE ⇒ M = R$ 1.020,00 ⇒ M = R$ 1.040,00 ⇒ M = R$ 1.060,00 ⇒ M = R$ 1.080,00 ⇒ M = R$ 1.100,00

Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00. Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros simples, apresentam valores iguais. A partir daí, o rendimento composto passa a superar o simples. EXEMPLOS RESOLVIDOS 1) Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês. Resolução: A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações. C = R$ 600 i = 4% = 0,04

n = 12 M = C ⋅ (1 + i)n ⇒ M = 600 ⋅ (1 + 0,04)12 ⇒ M = 600 ⋅ (1,04)12 ⇒ M = 600 ⋅ 1,60103 M = R$ 960,62 O fator (1,04)12 pode ser calculado com auxílio das tabelas financeiras, para n = 12 e i = 4%.

(1 + i)n n i⇒ ⇓

2%

3%

4%

5%

9

1,19509

1,30477

1,42331

1,55133

10

1,21899

1,34392

1,48024

1,62889

11

1,24337

1,38423

1,53945

1,71034

12

1,26824

1,42576

1,60103

1,79586

13

1,29361

1,46853

1,66507

1,88565

2) O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos? Resolução: C = R$ 500 i = 5% = 0,05 n = 8 (as capitalizações são mensais) M = C ⋅ (1 + i)n ⇒ M = 500 ⋅ (1,05)8 ⇒ M = R$ 738,73 O valor dos juros será: J = 738,73 – 500 J = R$ 238,73 3) Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62? Resolução: M = R$ 477,62 i = 3% = 0,03 n = 6 (as capitalizações são trimestrais) M = C ⋅ (1 + i)n 477,62 = C ⋅ (1,03)6 477,62 C= 1,19405 C = R$ 400,00

TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA É comum em algumas situações, a apresentação da taxa em uma unidade de tempo diferente da unidade do período de capitalização. Por exemplo, uma taxa anual sendo a capitalização dos juros feita mensalmente. Essa taxa anual e chamada nominal. TAXA NOMINAL: quando sua unidade de tempo difere da unidade do período de capitalização. TAXA EFETIVA: quando sua unidade de tempo coincide com a unidade do período de capitalização. A TAXA NOMINAL não é utilizada nos cálculos e sim a TAXA EFETIVA. Por convenção, a passagem da TAXA NOMINAL para TAXA EFETIVA será feita de forma proporcional. EXEMPLOS: Dada uma taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal. Temos que 36% a.a. é a taxa nominal; a taxa efetiva é portanto, 36% ÷ 12 = 3% ao mês. Para a taxa de 15% ao semestre, com capitalização mensal, temos que 15% ao semestre é a taxa nominal; a taxa efetiva será 15% ÷ 6 = 2,5% ao mês.

TAXAS EQUIVALENTES Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo rendimento.

Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Na capitalização composta, não. No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa o rendimento, em um trimestre, de: Atribuindo um capital R$ 100, temos: M = 100(1,1)3 ⇒ M = 10 ⋅ 1,331 ⇒ M = R$ 133,10. Portanto o rendimento no trimestre foi de 33,1%. Logo, 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas; são efetivas. Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim: Equivalência entre ANO e MÊS: 1 + ia = (1 + im)12

+ ia = (1 + it)4 Equivalência entre SEMESTRE e MÊS: (1 + im)6 = 1 + is Equivalência entre ANO e TRIMESTRE: 1

Observamos que o lado da igualdade que contém a menor das unidades de tempo envolvidas, fica elevado ao expoente igual a quantas vezes a menor unidade “cabe” na maior. EXEMPLOS RESOLVIDOS 1) Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, durante 1 ano. Resolução: Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal. A taxa efetiva é, portanto, 60% ÷ 12 = 5% ao mês. C = R$ 1.500 i = 5% = 0,05 n = 12 M = C ⋅ (1 + i)n M = 1.500 ⋅ (1,05)12 M = 1.500 ⋅ 1,79586 M = R$ 2.693,78 2) Aplicando R$ 800,00 à taxa de juros de 12% ao ano, com capitalização bimestral, durante um ano e meio, qual o valor do montante? Resolução: Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral. A taxa efetiva é, portanto, 12% ÷ 6 = 2% ao bimestre. C = R$ 800 i = 2% = 0,02 n=9 M = C ⋅ (1 + i)n M = 800 ⋅ (1,02)9 M = 800 ⋅ 1,19509 M = R$ 956,07 3) Um capital, após 5 anos de investimento, à taxa de 12% ao ano, capitalizada semestralmente, eleva-se a R$ 1.969,93. Qual o valor desse capital? Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é semestral. A taxa efetiva é, portanto, 12% ÷ 2 = 6% ao semestre. M = R$ 1.969,93 C = 1.969,93 ⋅ (1,06)-10 i = 6% = 0,06 C = 1.969,93 ⋅ 0,55839 n = 10 C = R$ 1.100,00 C = M ⋅ (1 + i)-n 4) Qual a taxa anual equivalente a: a) 3% ao mês; b) 30% ao semestre com capitalização bimestral Resolução: a) ia = ?; im = 3% Para a equivalência entre ANO e MÊS, temos:

1 + ia = (1 + im)12 1 + ia = (1,03)12 1 + ia = 1,42576

ia = 1,42576 - 1 ia = 0,42576 = 42,57% b) 30% ao semestre é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral. A taxa efetiva é, portanto, 30% ÷ 3 = 10% ao bimestre. Para a equivalência entre ANO e BIMESTRE, temos:

1 + ia = (1 + ib)6 1 + ia = (1,1)6 1 + ia = 1,77156 ia = 1,77156 - 1 ia = 0,77156 = 77,15% 5) A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalente a que taxa mensal? Resolução: Para a equivalência entre MÊS e SEMESTRE, temos:

(1 + im)6 = 1 + is (1 + im)6 = 1,9738 im = 12%

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO Calcular o desconto racional composto sobre um valor nominal N, obtendo o respectivo valor atual A, é o mesmo que obter o capital C, de um montante M, a juros compostos. Então, por analogia

CAPITAL MONTANTE Se para o cálculo do montante composto dizemos que M compostos, vamos dizer que:

N = A ⋅ (1 + i)n ⇒ A =

⇒ VALOR ATUAL ⇒ VALOR NOMINAL = C ⋅ (1 + i)n , então, para o cálculo do valor atual racional

N

1 ⇒A= N ou ainda A = N ⋅ (1 + i)-n n ( 1+ i ) n (1+ i )

EXEMPLOS RESOLVIDOS 1) Um título de R$ 1.000,00 é descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa racional composta de 10% ao mês. Qual o valor atual? Resolução: N = R$ 1.000 n=3 i = 10% = 0,1 N Substituindo os dados do problema em A = ou A = N ⋅ (1 + i)-n , temos: (1 + i) n A = N ⋅ (1 + i)-n A = N ⋅ (1,1)-3 A = 1.000 ⋅ 0,75131 A = R$ 751,31 2) Resgata-se um título por R$ 1.645,41, com 4 meses de antecedência. Qual o valor nominal do título, sendo a taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, e o critério do desconto racional composto? Resolução: A = R$ 1.645,41 n=4 i = 5% = 0,05 N Substituindo os dados em A = , temos: (1 + i) n A=

N (1 + i) n

1.645,41 =

N (1,05) 4

N 1,21551 N = R$ 2.000,00 1.645,41 =

Exercícios sobre juros compostos: 1) Um capital de R$ 300,00 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de 10% ao mês. Calcule o Montante desta aplicação após dois meses. Em todas as ocasiões que se pede será escrito a fórmula para fixação M = P . (1 + i)n Resumindo os dados do problema: Capital ou Principal - P = 300 Taxa – i = 10% = 0,1 Períodos de Capitalização – n = 2 Primeiramente calcule o montante: Substituindo temos : M = 300 . (1 + 0,1)² M = 300 . (1,1) ² M = 300 . (1,21) M = 300 . 1,21 = 363,00 Então, o Montante da aplicação fornecida neste problema após 02 meses é de R$ 363,00. 2) Um dono de empresa consegue um empréstimo de R$ 30.000,00 que deverá ser pago, no fim de um ano, acrescidos de juros compostos de 3% ao mês. Quanto o dono da empresa deverá pagar ao final do prazo estabelecido. Em todas as ocasiões que se pede será escrito a fórmula para fixação M = P . (1 + i)n Resumindo os dados do problema: Capital ou Principal - P = 30.000,00 Taxa – i = 3% = 0,03 Períodos de Capitalização – n = 12 Primeiramente calcule o montante: Substituindo temos : M = 30.000 x (1 + 0,03)12 M = 30.000 x (1,03) 12 M = 30.0000 x (1,4257) M = 30.000. x 1,4257 = 42.771 Então, o dono da empresa deverá pagar ao final do prazo o valor de R$ 42.771,00. 3) Calcule o capital que aplicado à taxa composta de 4% a.m. dará origem a um montante de R$ 4.650,00 no fim de 08 meses Em todas as ocasiões que se pede será escrito a fórmula para fixação M = P . (1 + i)n M = P. ( 1 + ( i . n ) ) Relembrando acima a fórmula do capital ou montante. Resumindo os dados do problema: M = 4.650 i = 4% = 0,04 n=8 Assim, é necessário calcular o capital que, isolando a partir da fórmula matriz, temos: M P = (1 + i)n Explicando a fórmula acima o Capital ou Principal é igual ao Montante dividido por (1 + i)n Substituindo os dados: P = 4.650 / (1 + 0,04)8

P = 4.650 / (1,04) 8 P = 4.650 / (1,3685) P = 4.650 / (1,3685) P = 3.397,88 Então, o capital procurado é de R$ 3.397,88