Clase6

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FACULTAD DE MEDICINA BIOESTADÍSTICA SEMESTRE 2007 - II

CESAR L. MALPARTIDA PORRAS [email protected]

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Distribución Binomial Distribución Normal Aplicaciones al área de la Salud

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PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD A.- DISTRIBUCIONES DE VARIABLES DISCRETAS • DISTRIBUCION BINOMIAL • DISTRIBUCION POISSON • DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA B.- DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS • DISTRIBUCION NORMAL •APROXIMACION DE LA Distribución BINOMIAL A LA NORMAL •APROXIMACION DE LA Distribución POISSON A LA NORMAL

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DISTRIBUCION BINOMIAL Se tiene experimentos aleatorios secuenciales cuyas características son: · En cada ensayo hay sólo dos resultados posibles “mutuamente excluyentes”. Por conveniencia se denominará “ÉXITO = 1” o resultado favorable y “FRACASO = 0” o resultado desfavorable. · La probabilidad de obtener un éxito en cada uno de los ensayos es P y se “mantiene constante” de un ensayo a otro ensayo. · Se realizan “n ensayos repetidos en forma independiente”.

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La probabilidad de lograr “x éxitos” en los “n ensayos” se encuentra dado por:

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Ejemplo: La probabilidad que un día cualquiera la agencia de viajes LAS DUNAS “venda pasajes a Lima” es P=0.20 y la agencia trabaja 3 días. Si la atención de cada día es independiente a la atención de los días siguientes: Esquema del experimento: S = Si vende; N = No vende pasajes a Lima

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Se define la variable aleatoria: Xi : Número de días que la agencia vende pasajes a Lima: En este experimento aleatorio: N = 3 Días de atención independientes (ensayos) P = 0.20 Probabilidad de vender pasajes a Lima en un día cualquiera X = 0,1,2,3 Días que vende pasajes a Lima en los 3 días de atención

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La distribución de Probabilidades de la variable aleatoria X:

X: Días que vende pasajes a Lima © Cesar Malpartida

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¿Cuál es la probabilidad que durante los próximos 3 días de trabajo, la agencia “venda pasajes a Lima” en exactamente 3 días?

¿Cuál es la probabilidad que en los próximos 3 días de trabajo, la agencia “venda pasajes a Lima” en 2 ó más días?.

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EJERCICIOS En cierta población el 51% de todos los nacimientos registrados son varones. Si se seleccionan aleatoriamente cinco registros de nacimientos ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los registros sea varón?, y ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los registros sean varones?

n=5 x = 0, 2 p = 0,51 (1-p) = 0,49

P (x=0) = 5C0 * (0.51)0 * (0.49)5-0 = 1 * 1 * (0.49)5 = 0.028 P (x=2) = 5C2 * (0.51)2 * (0.49)5-2 = 10 * (0.51)2 * (0.49)3 = 0.306 © Cesar Malpartida

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La proporción de fumadores en una ciudad es 4 de cada 10 personas. Si de esta ciudad se seleccionan aleatoriamente diez personas ¿Cuál es la probabilidad de que 3 o menos personas sean fumadores?, y ¿Determinar el número esperado de personas que fuman?

P (x=0) = 10C0 * (0.4)0 * (0.6)10 = 0.006 P (x=1) = 10C1 * (0.4)1 * (0.6)9 = 0.040 n = 10 x ≤ 3 (0+1+2+3) p = 0,40 (1-p) = 0,60

P (x=2) = 10C2 * (0.4)2 * (0.6)8 = 0.121 P (x=3) = 10C3 * (0.4)3 * (0.6)7 = 0.215

P (x ≤ 3) = 0.006 + 0.040 + 0.121 + 0.215= 0.382 © Cesar Malpartida

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APLICACIONES AL ÁREA DE LA SALUD ¿Cuál es la probabilidad de al menos 7 acuerdos, donde participan 8 jueces evaluadores, respecto a la aprobación de un Protocolo de Atención en Neumonía?

De la tabla Binomial = 0.996 n = 8 jueces x=7 p = 0,5 (1-p) = 0,5

α = 0.004 Es significativo, por ser α < 0.05

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DISTRIBUCION NORMAL Si Xi es una variable aleatoria continua que describe valores de “ocurrencia normal”, entonces su función de probabilidad es:

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Para establecer las probabilidades asociadas a cualquier evento se deberá determinar las correspondientes áreas comprendidas bajo esta función, para lo cual será necesario trabajar con cálculo integral o utilizar la distribución normal estándar (Estandarizar variables).

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Distribución Normal Estandarizada Para una variable Xi que tiene una distribución normal se define la transformación: cuya distribución será:

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Cálculo de Áreas bajo la Curva Normal Estandarización de variables

Las áreas bajo la curva normal estandarizada se determinan con la tabla Z

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0.9940

0.0060

0.9684 0.0060 0.9744

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0.007 0.9922 0.9992

0.0256 0.9744

0.9875

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Ejercicio: Las remuneraciones de 10 000 empleados de una EPS de tiene distribución normal con promedio $ 500 mensual y desviación estándar $ 100.

¿Cuál es la probabilidad de encontrar empleados con sueldo menor a $ 600?

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¿Cuántos empleados con sueldo menor a $ 600 esperaría encontrar?

¿Cuántos empleados con sueldos entre $ 400 y $ 600 esperaría encontrar?

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Percentiles de variables con Distribución Normal

Determinar el percentil 90 de las remuneraciones mensuales

El 90% de los empleados tendrán sueldos de $ 628 ó menos

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Determinar el tercer cuartil de las remuneraciones mensuales

El 75% de los empleados tendrán sueldos de $ 567 ó menos

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Determinar el primer cuartil de las remuneraciones mensuales

El 25% de los empleados tendrán sueldos de S/ 433 ó menos

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