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SISTEMAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES FMM312 Clase 4: Transformadas de Laplace

Prof. Gabriel Aguilera C. Universidad Andrés Bello Campus Concepción

Primer Semestre 2015

Transformada de Laplace En esta unidad, conoceremos la Transformada de Laplace, método que nos permitirá resolver ciertas EDO con condiciones iniciales de manera rápida y algebraica.

Definición 1 Sea f (t) una función definida para t ≥ 0. Se define la Transformada de Laplace de f , como la función definida por la integral Z +∞ e−st f (t) dt := L {f (t)} = F (s) (1) 0

para aquellos valores de s tales que la integral impropia converge. La transformada de Laplace es una de las muchas transformadas integrales que aparecen en matemática aplicada, y que nos permiten comparar funciones con otra dada. La T. de Laplace nos permite analizar el crecimiento de f (t) comparándola con e−st .

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Cálculo de la Transformada de Laplace Usaremos la definición para hallar la Transformada de Laplace de funciones elementales

Transformada de f (t) = 1 Por definición: L {1} =

+∞

Z

e−st dt = l´ım

b→+∞

0

b

Z

e−st dt

0

b −e−st b→+∞ s 0  −sb  −e 1 = l´ım + b→+∞ s s = l´ım

Observamos que e−sb → 0 si b → +∞ y s > 0. Así, el primer sumando tiende a cero, y L {1} =

1 , s

s>0

Notar que no hay transformada si s ≤ 0, caso en el que el límite no existe. En todas las Transformadas que obtendremos, nos encontraremos con restricciones de este tipo para s. Prof. Gabriel Aguilera C., UNAB

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Cálculo de la Transformada de Laplace Transformada de f (t) = eat Por definición: L {eat } =

+∞

Z

e−st eat dt

0 b

Z = l´ım

b→+∞

e−(s−a)t dt

0

b −e−(s−a)t b→+∞ s − a 0  −(s−a)b  −e 1 = l´ım + b→+∞ s−a s−a

= l´ım

Por analogía con la transformada de la página anterior, el primer sumando tiende a cero (siempre que s > a), y: 1 L {eat } = , s>a s−a

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Cálculo de la Transformada de Laplace Transformada de f (t) = t Por definición: L {t} =

Z

+∞

e−st t dt

0 b

Z = l´ım

b→+∞

= l´ım

b→+∞

=0+

e−st t dt

0

! b Z 1 b −st −te−st + e dt (Integración por partes) s 0 s 0

1 s2

siempre que s > 0

y así: 1 , s>0 s2 = 0, por la Regla de L’Hôpital. L {t} =

Notar que l´ım −be−sb b→+∞

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Cálculo de la Transformada de Laplace Transformada de f (t) = tn , n ∈ N Por definición: Z b e−st tn dt = l´ım e−st tn dt b→+∞ 0 0 " b # Z n ∞ −st n−1 −tn e−st + = l´ım e t dt(Integración por partes) b→+∞ s s 0 0 n siempre que s > 0 = 0 + L {tn−1 } s

L {tn } =

Z

+∞

Este resultado implica que: L {tn } =

n(n − 1) n n! L {tn−1 } = L {tn−2 } = . . . = n L {t0 } s s2 s

y como L {t0 } = L {1} =

1 , se obtiene: s L {tn } =

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n! , sn+1

s>0

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Cálculo de la Transformada de Laplace Transformadas de f (t) = sen at y f (t) = cos at Por definición: L {sen at} =

+∞

Z

e−st sen at dt

0

+∞ Z −e−st sen at a +∞ −st e cos at dt + s s 0 0 ! +∞ Z a −e−st cos at a +∞ −st = e sen at dt + s s s 0 0 =

=

a a2 − 2 L {sen t} 2 s s

Se usó el hecho que e−st sen at y e−st cos at tienden a 0 cuando t → +∞, siempre que s > 0. Despejando la transformada en la última línea, obtenemos: a , s>0 L {sen at} = 2 s + a2 Un cálculo análogo al anterior permite mostrar que: s L {cos at} = 2 , s + a2 Prof. Gabriel Aguilera C., UNAB

s>0

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Cálculo de la Transformada de Laplace Para funciones definidas por tramos, la Transformada de Laplace se obtiene descomponiendo la función en las funciones correspondientes a cada uno de los tramos determinados por los saltos existentes.

Ejemplo (Funciones definidas por tramos) Para calcular L {f (t)}, donde   2, 0, f (t) =  4t e ,

0 ≤ t ≤ 5; 5 ≤ t ≤ 10; 10 ≤ t.

tenemos: L {f (t)} =

5

Z

e−st · 2 dt +

0 5

Z 0

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e−st · 0 dt +

5

=2 =

10

Z

e−st dt + l´ım

b→+∞

+∞

Z

e−(s−4)t dt

10

Z

b

e−(s−4)t dt

10 −10(s−4)

2 2e−5s e − + s s s−4

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Funciones continuas por tramos El ejemplo anterior muestra que en algunas oportunidades necesitaremos trabajar con funciones definidas por tramos. Nos será útil, entonces, definir una continuidad un poco menos rigurosa que la usual, que considere funciones con cierto tipo de discontinuidades.

Definición 2 Una función f definida sobre un intervalo [a, b] ⊆ R se dice que es continua por tramos (o seccionalmente continua), si: a) [a, b] puede dividirse en un número finito de subintervalos en los cuales f es continua. b) Si ti ∈ [a, b] representa a los extremos de los subintervalos del punto anterior, existen l´ım f (x) := f (t− ım f (x) := f (t+ i ) y l´ i ), no siendo necesariamente iguales. x→t− i

x→t+ i

y

Es decir, una función SC sólo tendrá un número finito de discontinuidades, las cuales serán siempre de salto finito. La magnitud del salto en ti es el número − ς = f (t+ i ) − f (ti ). a

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b

x

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Funciones continuas por tramos Ejemplos 1. Cualquier función continua en un intervalo es automáticamente SC en dicho intervalo. 2. La función

  2, 0, f (t) =  4t e ,

0 ≤ t ≤ 5; 5 ≤ t ≤ 10; 10 ≤ t.

del ejemplo anterior, es SC en [0, +∞[, como puede verificarse fácilmente. 1 3. f (t) = no es SC en intervalo alguno que contenga a t = 0, pues l´ım f (t) = +∞ t t→0+ y l´ım f (t) = −∞. t→0−

La mayoría de las funciones que tienen transformada de Laplace, se caracterizarán por, además de ser continuas por partes, no crecer más rápido que una función exponencial. La siguiente definición precisa este hecho.

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Funciones de orden exponencial Definición 3 Se dice que una función f es de orden exponencial c si existen constantes c, M > 0, y T > 0 tales que ∀t > T, |f (t)| ≤ M ect

Ejemplos • Cualquier función acotada es automáticamente de orden exponencial. Así, las funciones sen t, cos t y las funciones constantes son de orden exponencial. • f (t) = t3 es de orden exponencial en [0, +∞[. En efecto, usando el hecho de que si c > 0: c 2 t2 c3 t3 ect = 1 + ct + + + ... 2 6 3 3 c t deducimos que < ect . Así: 6 6 t3 < 3 ect c por lo que f (t) = t3 es de orden exponencial. En general, las funciones polinomiales son de orden exponencial. Prof. Gabriel Aguilera C., UNAB

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Funciones de orden exponencial

Ejemplos • f (t) = e3t es de orden exponencial en [0, +∞[. En efecto, con M = 1 y c ≥ 3 cualquiera, se verifica la propiedad. En general, toda exponencial f (t) = eat es de orden exponencial. 2

• Un ejemplo clásico de función que no es de orden exponencial es f (t) = et . Para demostrarlo, notemos que para cualquier valor de c > 0: 2

l´ım

t→+∞

2 et = l´ım et −ct = +∞ t→+∞ ect

2

lo que muestra que et crece más velozmente que cualquier exponencial. Por lo tanto, esta función no puede ser de orden exponencial.

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Funciones de orden exponencial

Los dos hechos anteriores, el ser SC y de orden exponencial, nos darán una caracterización que nos permitirá saber cuándo una función f tiene transformada de Laplace.

Teorema 1 Si f es SC en [0, +∞[ y de orden exponencial c, entonces L {f (t)} existe para todo s > c.

Observación El recíproco de esterteorema no es cierto. En efecto, f (t) = t−1/2 tiene transformada π de Laplace F (s) = , pero no es SC en [0, +∞[, pues l´ım t−1/2 = +∞. s t→0+

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Propiedades de la Transformada de Laplace 1) Linealidad de L Si f y g son funciones de orden exponencial y continuas por partes, a, b ∈ R, entonces: L {af (t) + bg(t)} = aL {f (t)} + bL {g(t)}

Demostración. Es inmediata de la linealidad de la integral.

Ejemplo 1 L {3t6 − t7 + 6 − 5e2t + 3 cos 6t} = L {3t6 } − L {t7 } + 6L {1}} − 5L {e2t } + 3L {cos 6t} 3 · 6! 7! 6 5 3s = 7 − 8+ − + s s s s − 2 s2 + 36

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Propiedades de la Transformada de Laplace Ejemplo 2 Recordemos que las funciones seno y coseno hiperbólicos se definen como: senh x =

ex − e−x , 2

cosh x =

ex + e−x 2

Obtengamos L {senh x} usando la linealidad de la transformada:  x  e − e−x L {senh x} = L 2 1 1  x = L {e } − L e−x 2 2 1 1 1 = − = 2 2(s − 1) 2(s + 1) s −1 Así, para s > |b|: L {senh x} =

1 s2 − 1

Un cálculo análogo muestra que, para s > |b|: L {cosh x} =

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s s2 − 1

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Propiedades de la Transformada de Laplace 2) Primera propiedad de traslación Si existe L {f (t)} = F (s) para s > b y a ∈ R, entonces: L {eat f (t)} = F (s − a)

Demostración. Por definición: L {eat f (t)} =

Z

+∞

e−st eat f (t) dt

0

Z =

+∞

e−(s−a)t f (t) dt

0

= L {f }|s−a = F (s − a) con lo que se demuestra el resultado.

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Propiedades de la Transformada de Laplace Ejemplos • Por la propiedad de traslación tenemos que:

L {e2t sen 3t} = L {sen 3t}|s−2 3 = (s − 2)2 + 9 y que L {e2t cos 3t} = L {cos 3t}|s−2 s−2 = (s − 2)2 + 9 • También L {e2t t2 } = L {t2 } = s−2



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2 (s − 2)3

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Propiedades de la Transformada de Laplace 3) Propiedad de la derivada Si f es continua para t > 0 y f 0 es de orden exponencial y SC en [0, +∞[, entonces:  L f 0 (t) = sL {f (t)} − f (0+ ) En general, si f, f 0 . . . , f (n−1) son continuas para t > 0 y de orden exponencial, y si f (n) es SC en [0, +∞[, entonces: n o L f (n) (t) = sn L {f (t)} − sn−1 f (0+ ) − sn−2 f 0 (0+ ) − . . . − f (n−1) (0) Si f es continua en t = 0, entonces f (0+ ) = f (0)

Demostración. Para el primer resultado, aplicando la definición e integrando por partes: Z +∞ L {f 0 (t)} = e−st f 0 (t) dt 0

+∞ = e−st f (t) 0 + s

+∞

Z

e−st f (t) dt

0

b obteniéndose el resultado al notar que l´ım e−st f (t) 0 = f (0) (f (0+ ) si no hay continuidad b→∞

en t = 0) por ser f de orden exponencial. Prof. Gabriel Aguilera C., UNAB

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Propiedades de la Transformada de Laplace 4) Propiedad de la integral Si a ∈ R y f es de orden exponencial y continua por partes en [0, +∞[, entonces: Z t  Z 1 1 a L f (x) dx = L {f } − f (x) dx s s 0 a Si f es continua en t = 0, entonces f (0+ ) = f (0). En particular, para a = 0: Z t  1 f (x) dx = L {f } L s 0

Demostración. Ver textos guía.

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Transformada inversa de Laplace La transformada de Laplace lleva una función de la variable t en otra de la variable s. En las aplicaciones a PVI que veremos más adelante, necesitaremos invertir este proceso.

Definición 4 Dada una función F (s), si existe una función f (t) que sea continua en [0, +∞[ y verifique que L {f (t)} = F (s) entonces decimos que f (t) es la transformada inversa de Laplace de F (s) y escribimos f (t) = L −1 {F (s)}

Observación La tabla de transformadas de Laplace nos da de inmediato una tabla de transformadas inversas. Así:   s s L −1 = cos 2t pues L {cos 2t} = 2 s2 + 4 s +4    1 1 L −1 = e−4t pues L e−4t = s+4 s+4 Además, la transformada inversa hereda la linealidad de L : L −1 {aF (s) + bG(s)} = aL −1 {F (s)} + bL −1 {G(s)}

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Transformadas inversas de Laplace ¿Toda función F (s) puede ser la inversa de alguna transformada de Laplace?. Una manera de averiguarlo es con el siguiente

Teorema 2 Si f (t) es SC y de orden exponencial en [0, +∞[, entonces: l´ım F (s) = 0

s→+∞

La gran consecuencia de este teorema es que si

l´ım F (s) 6= 0, entonces F (s) no puede ser

s→+∞

transformada de Laplace de alguna f (t). Por ejemplo, F (t) = no es transformada de función alguna f (t) pues

s s+1 l´ım F (s) = 1.

s→+∞

Teorema 3 Si f (t) y g(t) cumplen con las hipótesis del teorema anterior y L {f (t)} = L {g(t)} en [0, +∞[, entonces f (t) = g(t) en [0, +∞[, salvo en un número finito de puntos. Decimos entonces que f = g casi siempre.

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Cálculo de transformadas inversas de Laplace En base a la tabla de Transformadas, en algunos casos podemos obtener transformadas inversas de forma rápida. Sin embargo, hay casos en los que necesitaremos de otras herramientas algebraicas, como lo muestran los siguientes:

Ejemplos Calcular 1. L −1 2. L −1 3. L −1 4. L −1 5. L −1



5 (s + 2)4





s2

s−1 − 2s + 5

s+9 + 6s + 13



s2

3s + 2 + 2s + 10



s2

  



7s − 1 (s + 1)(s + 2)(s − 3)

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Propiedades de la Transformada de Laplace Propiedad 5 (Derivada de la Transformada) Si F (s) = L {f (t)} y f es de orden exponencial α y continua por partes en [0, +∞[, entonces, para s > α: dn L {tn f (t)} = (−1)n n (F (s)) ds

Demostración. Ver pág. 363 Nagle.

Ejemplo Por la propiedad:   b d L {t sen bt} = −1 · ds s2 + b2 2bs = 2 (s + b2 )2

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Resolución de PVI por Transformadas de Laplace A continuación, veremos cómo la Transformada de Laplace nos permite resolver PVI para EDOs. La Transformada de Laplace tiene la ventaja de incorporar las condiciones iniciales directamente al desarrollo del problema.

Resolución de un PVI usando Transformadas de Laplace • Aplicar la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación. • Usar las propiedades de la transformada de Laplace y las condiciones iniciales para obtener una ecuación para la transformada de Laplace de la solución. Luego, despejar la transformada en esta ecuación. • Determinar la transformada inversa de Laplace de la solución, buscándola directamente en la tabla de transformadas, o usando un método adecuado (como fracciones parciales) junto con la tabla. El método es efectivo para PVI donde la EDO es de coeficientes constantes, pero también funciona para ciertas EDO de coeficientes variables. En este último caso, por lo general, puede que la función transformada F (s) obtenida no sea posible de invertir con los métodos vistos en el capítulo, por lo cual sólo podremos resolver algunos PVI de este tipo. Prof. Gabriel Aguilera C., UNAB

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Resolución de PVI por Transformadas de Laplace

Ejemplos Resolver los PVI: 1. y 00 − 4y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 2. 2. y 00 + 4y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 2. 3. y 00 − 3y 0 + 2y = 4t − 6, y(0) = 1, y 0 (0) = 3 4. y 00 − 5y 0 + 4y = e2t , y(0) = 1, y 0 (0) = 0 5. y 00 − 2y 0 + 2y = t, y(0) = y 0 (0) = 1 6. ty 00 − ty 0 − y = 0, y(0) = 0, y 0 (0) = 3

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La convolución

En general, no es cierto que L {f · g} = L {f }L {g}. Por este motivo, crearemos una operación ∗ entre funciones tal que L {f ∗ g} = L {f }L {g}. Esta operación se da en la siguiente

Definición 5 Si f y g son SC, definimos la convolución de f (t) y g(t), que denotaremos por (f ∗g)(t), a la función Z t

(f ∗ g)(t) =

f (t − µ)g(µ) dµ 0

Dos propiedades importantes de la convolución son que es conmutativa, es decir f ∗ g = g ∗ f y también asociativa, es decir (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).

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La convolución Propiedad 6 (Transformada de Laplace de la Convolución) Si f y g son de orden exponencial y SC en [0, +∞[, entonces: L {(f ∗ g)(t)} = L {f }L {g} En consecuencia L −1 {F (s)G(s)} = f ∗ g Por inducción, estas propiedades pueden extenderse a n funciones f1 , . . . , fn de transformadas F1 , . . . , Fn .

Ejemplo 1 s y L {cos t} = 2 , se tiene que: s−1 s +1   L et ∗ cos t = L et L {cos t} 1 s = · s − 1 s2 + 1 s = (s − 1)(s2 + 1)

  Calculemos L et ∗ cos t . Como L et =

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La convolución Ejemplo  s , notemos que (s2 + 1)2     s 1 s −1 = L L −1 · (s2 + 1)2 (s2 + 1) (s2 + 1)

Para calcular L −1



= cos t ∗ sen t Para calcular la convolución, aplicamos definición, y usaremos la identidad cos x sen y = 1 (sen(x + y) − sen(x − y)). Así: 2 Z t cos t ∗ sen t = cos(t − µ) sen µ dµ 0  Z t Z t 1 sen t dµ − sen(t − 2µ) dµ = 2 0 0 t sen t = 2 Prof. Gabriel Aguilera C., UNAB

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La convolución

A continuación veremos algunos PVI donde interviene la convolución de dos funciones como integral. Estas EDO se llaman ecuaciones integrales o íntegro-diferenciales, dependiendo de si incluyen o no la derivada de la función incógnita.

Ejemplo Resolveremos la ecuación íntegro-diferencial: Z t y 0 (t) = 1 − y(t − v)e2v dv,

y(0) = 1

0

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Función escalón unitario Trabajaremos ahora con una función que podríamos llamar “la madre de las funciones por tramos”.

Definición 6 Para a ≥ 0, definimos la función escalón unitario (o función de Heaviside) como la función:  0, si t < a; H(t − a) := u(t − a) = 1, si t ≥ a. En general, esta función es una especie de “interruptor” que antes de a está apagado y se enciende en t = a. Para a = 0, tenemos la función escalón unitario más elemental:  0, si t < 0; H(t) = u(t) = 1, si t ≥ 0. H(t)

H(t - a) (a, 1)

(0, 1)

t

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t=a

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t

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Funciones por tramos y escalón unitario Ejemplos 

0, si t < 1; 1, si t ≥ 1.



0, si t < 3; 1, si t ≥ 3.

• H(t − 1) = • H(t − 3) =

• ¿Cómo sería la función H(t − 1) − H(t − 3)? Tenemos que la función cambia

según t pertenezca a los intervalos ] − ∞, 1[, [1, 3[ y [3, +∞[. Así: ◦ Para t < 1, H(t − 1) − H(t − 3) = 0 − 0 = 0. ◦ Para 1 ≤ t < 3, H(t − 1) − H(t − 3) = 1 − 0 = 1. ◦ Para t ≥ 3, H(t − 1) − H(t − 3) = 1 − 1 = 0.

Su gráfica es: (0, 1)

1

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3

t

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Funciones por tramos y escalón unitario Observación El ejemplo anterior muestra que, si 0 < a < b:   0, si t < a; 1, si a ≤ t < b; H(t − a) − H(t − b) =  0, si t ≥ b;

(0, 1)

a

t

b

Por su comportamiento similar a un interruptor, la función escalón unitario nos permite simplificar la notación de funciones definidas por tramos.

Teorema 4  si t < a;  0, g(t), si a ≤ t < b; Si 0 < a < b, entonces g(t)[H(t − a) − H(t − b)] =  0, si t ≥ b;

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Funciones por tramos y escalón unitario Ejemplos • Si deseamos escribir por tramos la función f (t) = t2 [H(t − 1) − H(t − 2)], se

tendrá:

  0, si t < 1; t2 , si 1 ≤ t < 2; t2 [H(t − 1) − H(t − 2)] =  0, si t ≥ 2;

• Si deseamos escribir

 t,    2 − t, f (t) = 0,    1,

si si si si

0 ≤ t < 1; 1 ≤ t < 2; 2 ≤ t ≤ 3; t ≥ 3;

tenemos que: f (t) = t[H(t) − H(t − 1)] + (2 − t)[H(t − 1) − H(t − 2)] + 1[H(t − 3)]

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Función escalón unitario Propiedad 7 (Transformada de Laplace del escalón unitario) Para s > 0: L {H(t − a)} =

e−as s

Demostración. Por definición L {H(t − a)} =

+∞

Z

e−st H(t − a) dt

0 +∞

Z =

e−st dt

a

b e−st = l´ım − b→+∞ s

a

e−as = s

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Transformada de expresiones con función de Heaviside Propiedad 8 (Segunda propiedad de traslación) Para s > 0 y a > 0: L {f (t − a)H(t − a)} = e−as L {f (t)} O equivalentemente: L {f (t)H(t − a)} = e−as L {f (t + a)} Por razones físicas, al factor e−as se le conoce como Factor de retraso.

Demostración. L {f (t − a)H(t − a)} =

+∞

Z

e−st f (t − a)H(t − a) dt

0 +∞

Z =

a Z +∞

=

e−st f (t − a) dt e−s(v+a) f (v) dv

0

= e−sa

+∞

Z

e−sv f (v) dv

0

= e−as F (s)

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Transformada de escalones unitarios Ejemplos • Calcular L {(t − 1)2 H(t − 1)} y L {t2 H(t − 1)} • Calcular L {(et + 1)H(t − 2)}. • Calcular, usando escalones unitarios, L {f (t)} donde  cos 2t, si 0 ≤ t < 2π; f (t) = 0, si t ≥ 2π. De la propiedad 8 se deduce que:  L −1 e−as F (s) = f (t − a)H(t − a)

Ejemplos  e−3s . s2    3 s • Calcular L −1 e−2s + 2 . s s +4

• Calcular L −1



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Transformada de escalones unitarios Aplicación a PVI

Ahora veremos algunos PVI en los que intervienen funciones por tramos, en los que es conveniente el uso de escalones unitarios para su resolución.

Ejemplos Resolver los PVI: • y 00 + 4y = f (t), y(0) = y 0 (0) = 0, y donde  cos 2t, si 0 ≤ t < 2π; f (t) = 0, si t ≥ 2π. • y 00 + 3y 0 + 2y = g(t), y(0) = 0, y 0 (0) = 1, y donde  1, si 0 ≤ t < 1; g(t) = 0, si t ≥ 1.

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La Delta de Dirac Vamos a definir una “función” cuya Transformada de Laplace sea 1.

Definición 7 La Delta de Dirac es un objeto que se define como ( 0, si t 6= 0 δ(t) = +∞, si t = 0 La Delta de Dirac no corresponde a una función propiamente tal (una función no puede tener imagen infinita), sino que es un objeto llamado función generalizada o distribución. Si se traslada la “función” de t = 0 a t = a, se obtiene la función: ( 0, si t 6= a δ(t − a) = +∞, si t = a

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La Delta de Dirac Propiedad 9 (Transformada de la Delta de Dirac) L {δ(t − a)}e−as . En particular, L {δ(t)} = 1 Como consecuencia de lo anterior: L −1 {e−as } = δ(t − a) y L −1 {1} = δ(t) Con este resultado podemos resolver ciertos PVI que involucran a la Delta de Dirac:

Ejemplos Resolver los PVI: 1. y 0 + y = δ(t − 1), y(0) = 1. 2. y 00 + 9y = 3δ(t − π), y(0) = 1, y 0 (0) = 0.

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