Clase4

Carrera de Ingeniería de Sistemas e Informática Facultad Nacional de Ingeniería FNI

La función de transferencia de sistemas lineales

Oruro-Bolivia

La función de transferencia

L [ c(t )] Función de transferencia = L [ r (t )]

c (t ) = salida r (t ) = entrada con condiciones iniciales cero

La función de transferencia de un sistema se define como la transformada detransferencia: Laplace de la variable de salida y la transformada de La función de Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero. •Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo. •Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema. •Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada •No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema

La función de transferencia Ejemplos de funciones de transferencia: 1.- Circuito RL Utilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:

di v(t ) = Ri (t ) + L dt

R

i (t ) v (t ) Figura 1. Circuito RL

Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:

V ( s ) = RI ( s ) + LsI ( s ) la relación corriente voltaje en Laplace, queda:

1 R

I (s) = V ( s) L s + 1 R

L

La función de transferencia 2.- Sistema masa amortiguador resorte Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:

d2y dy m 2 + b + ky (t ) = r (t ) dt dt donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa, k es la constante del resorte, y (t ) es el desplazamiento y r (t ) es la fuerza aplicada. Su transformada de Laplace es:

(

) (

)

k b m

M s 2Y ( s ) − sy (0 + ) − y ' (0 + ) + b sY ( s ) − y (0 + ) + KY ( s ) = R( s ) considerando:

y ' (0+ ) = 0, y (0+ ) = 0,

Ms 2Y ( s ) + bsY ( s ) + KY ( s ) = R ( s ) Y ( s) 1 = La función de transferencia es: R ( s ) Ms 2 + bs + K

y(t) r(t)

Figura 1. Sistema masa Amortiguador resorte.

La función de transferencia 2b.- Sistema masa amortiguador resorte con desplazamiento inicial Considérese ahora que existe un desplazamiento inicial y0 . Entonces para conservar la condición una entrada una salida se hace r (t ) = 0

(

) (

)

M s 2Y ( s ) − sy (0 + ) − y ' (0 + ) + b sY ( s ) − y (0 + ) + KY ( s ) = R( s ) condiciones iniciales

r (t ) = 0, y ' (0+ ) = 0, y (0+ ) = y0 ,

La función de transferencia es:

Y (s) =

y0 ( Ms + b) Ms 2 + bs + K

Ahora el desplazamiento solo depende de la posición inicial y los parámetros del sistema.

La función de transferencia Resumen de las leyes de elementos Tipo de elemento

Elemento físico

Ecuación representativa

I n d u c t a n c i a

Inductancia eléctrica

di v21 = L dt

Resorte traslacional

v21 =

1 df k dt

Símbolo

i

L

v1

v2

f

f v1

Resorte rotacional

1 dT ω21 = k dt

v2

ω1 T1

ω2 T2

La función de transferencia Resumen de las leyes de elementos Capacitancia eléctrica

C a p a c i t a n c i a

Masa

Inercia

Capacitancia fluídica

Capacitancia térmica

i

dv i = C 21 dt f =m

v1

dv dt

m

f

dω T= j dt

q21 = C f

q = Ct

dp21 dt dT dt

v2

C

v Tω

j p2 p1

q1

q2

Cf q

T

Ct

La función de transferencia Resumen de las leyes de elementos Resistencia eléctrica

R e s i s t e n c i a

Amortiguador traslacional Amortiguador rotacional Resistencia fluídica

Resistencia térmica

i

1 i = v21 R f = bv

T = bω 21

q=

v1

b

f

f

v21 T

T

ω1

1 p21 Rf

1 q = T21 Rt

v2

R

p1 T1

ω2

b

q Rf Rt

p2 q T2

Diagramas de bloques La relación causa y efecto de la función de transferencia, permite representar las relaciones de un sistema por medios diagramáticos. Diagrama a bloques Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés. Consideraciones: • Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales de un sistema. • Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño total del sistema. • No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace). • El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.

Diagramas de bloques Elementos de un diagrama a bloques Variable de entrada

Función de transferencia

G (s )

Variable de salida

Flecha: Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la dirección del flujo de señales. Bloque:

Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques. A los bloques también se les llama ganancia.

Diagramas de bloques Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado

R (s ) + punto de suma

C (s )

E (s ) G (s )

-

punto de bifurcación

B (s ) H (s )

Función de transferencia en lazo abierto

B( s) = G ( s) H ( s) E (s)

Función de transferencia trayectoria directa

C (s) = G( s) E (s)

Función de transferencia lazo cerrado

C (s) G ( s) = R( s) 1 + G ( s) H ( s)

Diagramas de bloques Reducción de diagrama de bloques Por elementos en serie

R (s )

D (s ) G1 ( s )

G2 ( s )

C (s )

R (s )

C (s ) G1 ( s )G2 ( s )

Por elementos en paralelo

R (s )

G1 ( s ) + +

G1 ( s )

C (s )

R (s )

G1 ( s ) + G2 ( s )

C (s )

Diagramas de bloques Reducción de diagrama de bloques Por elementos en lazo cerrado

R (s )

C (s )

E (s ) +

G (s )

-

B (s )

R (s )

C (s ) G ( s) 1 + G( s) H ( s)

H (s )

La simplificación de un diagrama de bloques complicado se realiza mediante alguna combinación de las tres formas básicas para reducir bloques y el reordenamiento del diagrama de bloques utilizando reglas del álgebra de los diagramas de bloques.

Diagramas de bloques Reducción de diagrama de bloques Reglas del álgebra de los diagramas de bloques Diagrama de bloques original

A

G

AG − B

AG +

Diagrama de bloques equivalente A

+

-

B G

B

A

G

AG AG

B A− G

A

-

G 1 G G G

AG − B B

AG AG

Diagramas de bloques Reducción de diagrama de bloques Reglas del álgebra de los diagramas de bloques Diagrama de bloques equivalente

Diagrama de bloques original

A

AG

G

A

AG

G

A

A

+

-

G1 G2

A

1 G B

A

1 G2

+

-

G2

G1

B