Clase2

UNEFA – YARACUY GEOMETRÍA ANALÍTICA TEMA Nº 3: LA RECTA. PARTE I Definición: Llamamos línea recta al Lugar Geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1(x1,y1) y P2(x2,y2) del lugar, el valor de la pendiente m calculado por: y −y m= 2 1 x2 − x1 Resulte siempre constante. Geométricamente una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su dirección. Analíticamente la ecuación de una recta puede estar perfectamente determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación. Ecuaciones de la Recta: Se presenta como una ecuación lineal o de primer grado con una o dos variables. - Formas de la Ecuación de La Recta: a) Punto Pendiente: La recta que pasa por el punto P1(x1,y1) y tiene una pendiente m, tiene por ecuación: y − y1 = m( x − x1 ) b) Pendiente – Ordenada en el origen: La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje y en el punto (0,b). y − y1 = m( x − x1 ) y − b = m( x − 0) y = mx + b c) Cartesiana: La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2). y −y ( y − y1 ) = 2 1 ( x − x1 ) x2 − x1 x1 ≠ x2 d) Reducida o abscisa y ordenada en el origen: y −y ( y − y1 ) = 2 1 ( x − x1 ) x2 − x1 ( y − 0) =

b−0 ( x − a) 0−a

b y = − ( x − a) a

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ay = −bx + ba −bx y=− +b a y x + =1 b a Ax + By + C = 0 e) General: Caso I: A ≠ 0; B = 0 Ax + C = 0 x= Caso II:

C A

B≠0 A C x− B B y = mx + b A C m = − ;b = − B B y=−

f) Normal: x cos ω = 1 P x1 = P cos ω y1 P y1 = Psenω

senω =

P1 ( p cos ω , psenω ) y − y1 = −ctgω ( x − x1 ) y − psenω = −

cos ω ( x − p cos ω ) senω

ysenω − psen 2ω = − cos ω + p cos 2 ω x cos ω + ysenω = p x cos ω + ysenω − p = 0

Reducción de la Ecuación de la Recta de la forma General a Normal. La forma general de la ecuación de la recta es Ax + By + C = 0, y puede reducirse a la forma normal x cos ω + ysenω − p = 0 dividiendo cada término entre: r=± -

A2 + B 2 en donde es signo del radical r se determina de la siguiente forma: Si C ≠ 0 r es de signo contrario a C. Si C = 0 y B ≠ 0, r y B tienen el mismo signo. Si C = B = 0, r y A tienen el mismo signo.

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Posiciones Relativas de dos Rectas: Sean dos rectas cuyas ecuaciones en la forma general son: Ax + By + C= 0 A´x + B´y + C = 0 Estas rectas pueden ser: a) Paralelas: m1=m2

b) Perpendiculares: m1.m2=-1

Distancia de un Punto a una Recta: La distancia d de una recta Ax + By + C = 0 a un punto dado P1(x1,y1) puede obtenerse sustituyendo las coordenadas del punto en el primer miembro de la forma normal de la ecuación de la recta. La distancia dirigida de una recta dada a un punto P1(x1,y1) se obtiene por la fórmula: Ax + By1 + C d= 1 ± A2 + B 2 En donde el signo del radical se escoge como sigue: Si C ≠ 0 lleva el signo contrario a C. Si C = 0 y B ≠ 0 , el radical y B tienen el mismo signo. Si C = B = 0, el radical y A tienen el mismo signo.

Haz de Rectas: Es la totalidad de rectas que satisfacen una única condición geométrica, también es llamado familia de rectas. El concepto de familia de Rectas es útil en la determinación de una recta particular . Procedimiento: a.- Se escribe la ecuación de la familia de rectas de tal manera que satisfaga una condición dada. b.- Se determina el valor del parámetro de la familia aplicando la otra condición dada. Rectas Concurrentes: Si tres rectas se cortan en un punto común se dice que son concurrentes. A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0 A3x + B3y + C3 = 0

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 = 0 C3

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