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09 – Principios de simulación geoestadística Motivación  Modelos para la simulación  Simulación de funciones aleatorias Gaussianas  Algoritmo secuencial Gaussiano 

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Motivación 

El kriging suaviza: los valores estimados son menos dispersos que los valores verdaderos  



no se puede predecir la ocurrencia de valores extremos puede dar la impresión de que todo es mineral (leyes estimadas sobre la ley de corte, cuando esta última es baja)

La varianza de kriging incorpora información geométrica y de continuidad espacial, pero no la información local. Luego, no mide todas las fuentes de incertidumbre (no toma en cuenta el efecto proporcional)

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Motivación 

La simulación busca construir mapas de valores que reproducen la variabilidad real de la variable en estudio (histograma, variograma, distribución espacial...)  



cada mapa representa un escenario plausible se puede construir numerosos escenarios “equiprobables”

Uso de las simulaciones  



análisis de riesgo: escenario más optimista / pesimista estimación: promediar los escenarios medición de la incertidumbre: qué tan distintos son los escenarios

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Motivación 

Ejemplo: leyes de cobre en un yacimiento pórfido cuprífero

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Motivación 

La simulación se basa en la interpretación de la variable regionalizada como una realización de una función aleatoria. Consiste en construir otras realizaciones de esta misma función aleatoria



Para ello, es preciso conocer la distribución espacial de la función aleatoria, es decir, el conjunto de las distribuciones de probabilidad multivariables  

 

distribución marginal (histograma) distribuciones bivariables (variograma, etc.) distribuciones trivariables Etc.

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Motivación 

Simulación no condicional: no toma en cuenta los valores de los datos en los sitios de muestreo. Sólo produce realizaciones de una función aleatoria con cierta distribución espacial.



Simulación condicional: reproduce además los valores de los datos en los sitios de muestreo. Produce realizaciones de la función aleatoria condicionada a los valores de los datos (noción de distribución condicional o a posteriori).  más realista  en un sitio con dato, todos los escenarios reproducen este dato  lejos de los datos, la simulación se vuelve no condicional

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Modelos para la simulación Simulación de variables continuas (leyes)

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Modelos para la simulación Simulación de variables categóricas (geología)

Modelo plurigaussiano

Modelo de hojas muertas

Modelo jerárquico

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Modelos para la simulación Simulación de procesos puntuales

Puntos agrupados

Proceso de repulsión

Proceso de Poisson

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Modelos para la simulación Simulación de conjuntos aleatorios (redes de fractura)

Modelo fractal

Modelo Booleano

Modelo jerárquico

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Modelo Gaussiano para simular leyes A continuación examinaremos el modelo de funciones aleatorias Gaussianas, para las cuales las distribuciones conjuntas de variables son multi-Gaussianas (o multi-normales). Para cualquier conjunto {u1,... un} de sitios del espacio, la densidad de probabilidad se escribe como:

g (u1 ,...u n ; y1 ,... yn ) 

donde

1 ( 2 ) n

 1  exp  y t C 1 y  det (C)  2 

y = (y1,... yn) es un vector de reales C es la matriz de varianza-covarianza de las variable aleatorias en los sitios {u1,... un}

→ modelo sencillo, puesto que la distribución espacial queda caracterizada por la covarianza (o equivalentemente, por el variograma). MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE

Modelo Gaussiano para simular leyes 

Etapa 1: desagrupar los datos para tener un histograma representativo 

Método de las celdas



Método de los polígonos de influencia

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Modelo Gaussiano para simular leyes 

Etapa 2: transformar los datos a valores Gaussianos N(0,1)

Transformación cuantil a cuantil de la distribución desagrupada de los datos (izquierda) hacia una distribución Gaussiana N(0,1) (derecha)

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Modelo Gaussiano para simular leyes Ejemplo: paso a logaritmo cuando los datos originales tienen distribución lognormal

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Modelo Gaussiano para simular leyes 

Etapa 3: análisis variográfico de los datos Gaussianos

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Modelo Gaussiano para simular leyes 

Etapa 4: simulación secuencial 

Definir una secuencia aleatoria para los sitios a simular



Para cada sitio: 





Realizar el kriging a partir de los datos Gaussianos y de los valores Gaussianos previamente simulados Simular un valor Gaussiano, de media igual al valor estimado por kriging y varianza igual a la varianza de kriging

Repetir todo el procedimiento para obtener otras realizaciones

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Modelo Gaussiano para simular leyes Detalles de implementación 



En la práctica, se restringe los valores condicionantes (datos iniciales + valores previamente simulados) a los más cercanos del sitio a simular, es decir, se usa una vecindad móvil en lugar de una vecindad única. Esto provoca imprecisión, que requiere ciertos “trucos” para minimizar sus efectos:  



aleatorización del orden de los sitios a simular, para evitar artefactos grillas múltiples: simular en una malla amplia, luego refinar

Clásicamente, se usa kriging simple, puesto que los datos Gaussianos tienen media conocida (= 0). Se puede también relajar la hipótesis de media conocida y usar kriging ordinario

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Modelo Gaussiano para simular leyes

g

Distancia

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Modelo Gaussiano para simular leyes

g

Distancia

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Modelo Gaussiano para simular leyes Noción de fluctuación estadística: variogramas de los valores simulados vs. variograma teórico (100 realizaciones) Vecindad con 20 datos

Vecindad con 100 datos

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Modelo Gaussiano para simular leyes Métodos alternativos al método secuencial Gaussiano:  

   

Método de descomposición matricial Métodos de convolución (medias móviles, métodos auto-regresivos) Método espectral discreto Método espectral continuo Método de bandas rotantes …

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Modelo Gaussiano para simular leyes 

Etapa 5: transformación de vuelta 

Una vez obtenidas las realizaciones Gaussianas, se aplica la transformación inversa de la etapa 2, de modo de obtener valores simulados de la variable original (ley)

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Modelo Gaussiano para simular leyes 

Etapa 6: procesamiento de las realizaciones Ejemplo: leyes de cobre simuladas en una malla de 2m × 2m (50 realizaciones)

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Modelo Gaussiano para simular leyes Rebloquear a unidades de selección minera (10m × 10m × 12m) 

Para cada bloque y cada realización, se calcula el promedio aritmético de las leyes simuladas en este bloque

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Modelo Gaussiano para simular leyes Evaluación de las leyes de bloques y de su incertidumbre  

El promedio de las realizaciones es parecido al kriging La varianza de las realizaciones es distinta a la de kriging; en particular, incorpora el efecto proporcional

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Modelo Gaussiano para simular leyes Evaluación de recursos recuperables sobre una ley de corte de 0.5%Cu  

Cálculo de tonelajes, leyes medias sobre una ley de corte Estos mapas no pueden ser obtenidos por kriging, debido al suavizamiento de éste

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Modelo Gaussiano para simular leyes Otras posibles aplicaciones      

Análisis de riesgo: cálculo del VAN en cada realización Categorización de recursos y reservas Diseño de rajo óptimo Planificación minera: ¿qué variabilidad de leyes se espera en la planta? Control de leyes: ¿cuál es la decisión más oportuna para cada bloque: mandar a planta o a botadero? Reconciliación de leyes mina / planta

Extensiones:   

Simulación multivariable Simulación de variables geotécnicas o metalúrgicas Simulación de variables categóricas

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