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Sistemas de control automático 2 Clase Nº 11 Diseño de sistemas de control por el método del Lugar Geométrico de las Raíces (I) M.Sc. Ing. Leonardo David Comparatore Franco UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN Facultad de Ingeniería Ingeniería Mecatrónica Octavo Semestre 1

CONTENIDO

1. Justificación 2. Objetivos de la clase 3. Diseño de sistemas de control por el método del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR). 4. Ejercicios.

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JUSTIFICACIÓN

Mediante el método del lugar de las raíces, el diseñador puede predecir los efectos que tiene en la localización de los polos en lazo cerrado, variar el valor de la ganancia o añadir polos y/o ceros en lazo abierto. Por tanto, es conveniente que el diseñador comprenda bien el método para generar los lugares de las raíces del sistema en lazo cerrado, ya sea de forma manual o mediante el uso de programas de computadora.

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OBJETIVOS OBJETIVOS

• Familiarizarse con las técnicas de compensación de adelanto (retardo) basadas en el método del LGR. • Aplicar las técnicas de compensación de adelanto (retardo) basadas en el método del LGR para el diseño de sistemas de control.

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Diseño por el método del LGR

1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) = 0

Condición de ángulo: ∠𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) = ±180º(2𝑘 + 1)

Condición de magnitud: 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 1

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Diseño por el método del LGR Cancelación de los polos de 𝑮(𝒔) con los ceros de 𝑯(𝒔)

𝐺 𝑠 =

𝑠+𝑐 (𝑠+𝑎)(𝑠+𝑏)

y𝐻 𝑠 =

𝑠+𝑎 𝑠+𝑑

resulta: 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) = 𝐺 𝑠 1+𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)

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=

𝑠+𝑐 (𝑠+𝑏)(𝑠+𝑑) (𝑠+𝑐)(𝑠+𝑑) 𝑠+𝑎 [ 𝑠+𝑏 𝑠+𝑑 +𝑠+𝑐]

en lazo abierto en lazo cerrado

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Diseño por el método del LGR Cancelación de los polos de 𝑮(𝒔) con los ceros de 𝑯(𝒔)

• Un polo cancelado de 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) es un polo del sistema en lazo cerrado. • Sin embargo, si la cancelación de polos y ceros se presenta en la función de transferencia de la trayectoria directa, entonces la misma cancelación de polos y ceros se presenta en la función de transferencia en lazo cerrado.

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Diseño por el método del LGR Cancelación de los polos de 𝑮(𝒔) con los ceros de 𝑯(𝒔)

𝐺1 𝑠 = 𝐺𝐶 𝑠 𝐺 𝑠 y 𝐻 𝑠 = 1 donde: 𝐺𝐶 𝑠 =

𝑠+𝑏 𝑠+𝑎

y𝐺 𝑠 =

𝑠+𝑑 (𝑠+𝑏)(𝑠+𝑐)

resulta (en lazo cerrado): 𝐺𝐶 𝑠 𝐺 𝑠 1+𝐺𝐶 𝑠 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)

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=

(𝑠+𝑏)(𝑠+𝑑) 𝑠+𝑏 [ 𝑠+𝑎 𝑠+𝑐 +𝑠+𝑑]

=

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(𝑠+𝑑) 𝑠+𝑎 𝑠+𝑐 +𝑠+𝑑

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Diseño por el método del LGR Cancelación de los polos de 𝑮(𝒔) con los ceros de 𝑯(𝒔)

• El efecto de cancelación de polos y ceros en 𝐺(𝑠) y 𝐻(𝑠) es distinto al de la cancelación en la función de transferencia de la trayectoria directa (como lo es la cancelación del controlador y la planta). En el primero el polo cancelado sigue siendo un polo del sistema en lazo cerrado, en tanto que en el último, los polos cancelados no aparecen como polos en el sistema en lazo cerrado.

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Diseño por el método del LGR Diseño mediante el lugar de las raíces El diseño por el método del lugar de las raíces se basa en redibujar el lugar de las raíces del sistema añadiendo polos y ceros a la función de transferencia en lazo abierto del sistema y hacer que el lugar de las raíces pase por los polos en lazo cerrado deseados en el plano 𝑠. La característica del diseño del lugar de las raíces es que se basa en la hipótesis de que el sistema en lazo cerrado tiene un par de polos dominantes. Esto significa que los efectos de los ceros y polos adicionales no afectan mucho a las características de la respuesta.

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Diseño por el método del LGR Compensadores utilizados normalmente Si una entrada sinusoidal se aplica a la entrada de una red, y la salida en estado estacionario tiene un adelanto de fase, la red se denomina red de adelanto. (La magnitud del ángulo de adelanto de fase es una función de la frecuencia de entrada.) Si la salida en estado estacionario tiene un retardo de fase, la red se denomina red de retardo. En una red de retardoadelanto, ocurren tanto un retardo de fase como un adelanto de fase en la salida pero en diferentes regiones de frecuencia; el retardo de fase se produce en la región de baja frecuencia y el adelanto de fase en la región de alta frecuencia. 7/3/2019

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Diseño por el método del LGR Efectos de la adición de polos La adición de un polo a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de desplazar el lugar de las raíces a la derecha, lo cual tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema y el tiempo de asentamiento de la respuesta. (Por ejemplo, la adición del control integral añade un polo en el origen, lo cual hace que el sistema se vuelva menos estable.)

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Diseño por el método del LGR Efectos de la adición de ceros La adición de un cero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de desplazar el lugar de las raíces hacia la izquierda, lo cual tiende a hacer el sistema más estable, y se acelera el tiempo de asentamiento de la respuesta. (Físicamente, la adición de un cero en la función de transferencia del camino directo significa agregar al sistema un control derivativo. El efecto de este control es introducir un grado de anticipación al sistema y acelerar la respuesta transitoria.)

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Diseño por el método del LGR Técnicas de compensación de adelanto 1. A partir de las especificaciones de comportamiento, determine la localización deseada para los polos dominantes en lazo cerrado. 2. Por medio de una gráfica del lugar de las raíces del sistema sin compensar (sistema original), compruebe si el ajuste de la ganancia puede o no por sí solo proporcionar los polos en lazo cerrado adecuados. Si no, calcule la deficiencia de ángulo 𝜑. Este ángulo debe ser una contribución del compensador de adelanto si el nuevo lugar de las raíces va a pasar por las localizaciones deseadas para los polos dominantes en lazo cerrado. 7/3/2019

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Diseño por el método del LGR Técnicas de compensación de adelanto 3. Suponga que el compensador de adelanto es: 1 𝑠+ 𝑇𝑠 + 1 𝑇 𝐺𝑐 𝑠 = 𝑘𝑐 𝛼 = 𝑘𝑐 1 𝛼𝑇𝑠 + 1 𝑠+ 𝛼𝑇 0<𝛼<1 donde 𝛼 y 𝑇 se determinan a partir de la deficiencia de ángulo. 𝑘𝑐 se determina a partir del requisito de la ganancia en lazo abierto. • Método de la bisectriz • Método de cancelación de polos de 𝐺(𝑠) con ceros de 𝐺𝑐 (𝑠) 7/3/2019

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Diseño por el método del LGR Técnicas de compensación de adelanto En el método de cancelación de polos de 𝐺(𝑠) con ceros de 𝐺𝑐 (𝑠), se debe cancelar los polos más lentos (casi siempre es preferible una respuesta rápida), sin embargo, como la cancelación de polos y ceros nunca es exacta (algunos de ellos cambian su ubicación en el plano 𝒔 de acuerdo a las condiciones existentes en el sistema), no se debe cancelar los polos que estén en el semiplano derecho y/o en el origen del plano 𝒔, debido a que la falsa cancelación crea una rama entre el cero y el polo que da lugar a un polo inestable en cadena cerrada

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Diseño por el método del LGR Técnicas de compensación de adelanto 4. Si no se especifican las constantes de error estático, determine la localización del polo y del cero del compensador de adelanto, para que el compensador contribuya al ángulo 𝜑 necesario. Si no se imponen otros requisitos sobre el sistema, intente aumentar el valor de 𝛼 lo más que pueda. Un valor más grande de 𝛼, generalmente, proporciona un valor más grande de 𝑘𝑣 lo que es deseable. Obsérvese que: 𝑘𝑣 = 𝑘𝑐 𝛼 lim 𝑠. 𝐺(𝑠) 𝑠→0

5. Determine el valor de la 𝑘𝑐 del compensador de adelanto a partir de la condición de magnitud.

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Ejercicios Ejercicio 1 Considere el sistema de control de posición cuya función de transferencia del camino directo es: 10 𝐺 𝑠 = 𝑠(𝑠 + 1) Se desea diseñar un compensador de adelanto de forma que los polos en lazo cerrado dominantes tengan el factor de amortiguamiento ζ = 0.5 y la frecuencia natural no amortiguada 𝜔𝑛 = 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔.

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Ejercicios Ejercicio 2 Considere el sistema:

5 𝐺 𝑠 = 𝑠(0,5𝑠 + 1) Diseñe un compensador de adelanto para que los polos dominantes en lazo cerrado se localicen en 𝑠 = −2 ± 𝑗2 3 Dibuje la respuesta a una entrada escalón del sistema diseñado.

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Diseño por el método del LGR Técnicas de compensación de retardo 1. Dibuje la gráfica del lugar de las raíces para el sistema no compensado, cuya función de transferencia en lazo abierto sea 𝐺(𝑠). En función de las especificaciones de la respuesta transitoria, sitúe los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar de las raíces. 2. Suponga que la función de transferencia del compensador de retardo es: 1 𝑠+ 𝑇 𝐺𝑐 𝑠 = 𝑘𝑐 1 𝑠+ 𝛽𝑇 𝛽>1 7/3/2019

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Diseño por el método del LGR Técnicas de compensación de retardo 3. Calcule la constante de error estático especificada en el problema. 𝑘𝑣,𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = lim 𝑠. 𝐺(𝑠) 𝑠→0

4. Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las especificaciones. 𝑘𝑣,𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑜 = 𝑘𝑐 𝛽𝑘𝑣,𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑘𝑐 ≈ 1

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Diseño por el método del LGR Técnicas de compensación de retardo 5. Determine el polo y el cero del compensador de retardo que producen el incremento necesario en la constante de error estático sin modificar apreciablemente los lugares de las raíces originales. (Observe que la razón entre el valor de la ganancia requerido en las especificaciones y la ganancia que se encuentra en el sistema no compensado es la razón entre la distancia del cero al origen y la del polo al origen.) 𝑐𝑒𝑟𝑜 = −1/𝑇

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𝑝𝑜𝑙𝑜 = −1/𝛽𝑇

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Diseño por el método del LGR Técnicas de compensación de retardo 6. Dibuje una nueva gráfica del lugar de las raíces para el sistema no compensado. Localice los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre el lugar de las raíces. (Si la contribución de ángulo de la red de retardo es muy pequeña, es decir, de pocos grados, los lugares de las raíces originales y los nuevos serán casi idénticos. Sin embargo, habrá una ligera discrepancia entre ellos. A continuación localice, sobre el nuevo lugar de las raíces, los polos dominantes en lazo cerrado deseados a partir de las especificaciones de la respuesta transitoria.)

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Diseño por el método del LGR Técnicas de compensación de retardo 7. Ajuste la ganancia 𝑘𝑐 del compensador a partir de la condición de magnitud, para que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la localización deseada (𝑘𝑐 será aproximadamente 1).

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Ejercicios Ejercicio 3 Considere el sistema cuya función de transferencia del camino directo es: 1,06 𝐺 𝑠 = 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) Se pretende incrementar la constante de error estático de velocidad 𝐾𝑣 hasta cerca de 5 𝑠𝑒𝑔−1 sin modificar notablemente la localización de los polos dominantes en lazo cerrado.

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Ejercicios Ejercicio 4 Haciendo referencia al sistema de la Figura, diseñe un compensador tal que la constante de error estático de velocidad 𝐾𝑣 sea de 20 𝑠𝑒𝑔−1 sin que se modifique de forma notable la localización original (𝑠 = −2 ± 𝑗2 3) de un par de polos complejos conjugados en lazo cerrado.

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